专题5 二次函数（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编
文档属性
| 名称 | 专题5 二次函数（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 883.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-01 11:04:33 | ||
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文档简介
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专题5 二次函数
一．选择题
1．（2025 宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
2．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
3．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．（2025 钱塘区一模）将二次函数y＝﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x+1）2﹣2
C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝﹣3（x+1）2+2
5．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
6．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（ ）
A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0
C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0
7．（2025 宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（ ）
A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0
C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0
8．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
9．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
10．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
11．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（ ）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
二．填空题（共6小题）
12．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是 ．
13．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ ．
14．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为 ．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 ．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 ．
17．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是 ．
三．解答题（共17小题）
18．（2025 龙泉市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
19．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m≤．
20．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
21．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
22．（2025 嘉善县一模）已知二次函数y＝mx2+4mx+m2+4．
（1）求函数y图象的对称轴；
（2）若m＞0，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，求实数m的值；
（3）若m＝﹣1，当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．求实数x0的取值范围．
23．（2025 衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）．
（1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围．
24．（2025 上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3．
（1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围．
25．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
26．（2025 定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
27．（2025 余姚市一模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．设该函数图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求t的值．
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
（3）若t＞0，在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，求m的值．
28．（2025 浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；
（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．
29．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式．
（3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：．
30．（2025 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1）若m＝1，n＝4，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（2）当m＝0，n＞2时，求p的取值范围．
31．（2025 湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）．
（1）若a＝2，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值．
（2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
32．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
33．（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
34．（2025 临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
答案与解析
一．选择题（共11小题）
1．（2025 宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【点拨】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解析】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴．
2．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【点拨】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
3．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【点拨】根据当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下即可解决问题．
【解析】解：因为a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
所以只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知a＜0时二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下是解题的关键．
4．（2025 钱塘区一模）将二次函数y＝﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x+1）2﹣2
C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝﹣3（x+1）2+2
【点拨】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【解析】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
可设新抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
代入得：y＝﹣3（x+1）2﹣2．
∴所得图象的解析式为：y＝﹣3（x+1）2﹣2；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
5．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【点拨】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，
如图所示，
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题．
6．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（ ）
A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0
C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0
【点拨】依据题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值，
从而可以判断得解．
【解析】解：由题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，
又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值，
∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键．
7．（2025 宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（ ）
A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0
C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0
【点拨】令x＝，可以得到要求的多项式，然后根据a的取值不同确定y的正负，从而得解．
【解析】解：令x＝，y＝a+b+c＝（a+2b+4c），
∵二次函数与x轴没有交点，
∴a＞0时，y＞0，a＜0时，y＜0，
∴a（a+2b+4c）＞0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
8．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
【点拨】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可．
【解析】解：由二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3可得对称轴为直线x＝＝＝，
∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），
∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称．
当m＞1时，可知对称轴﹣2＜x＜﹣1，开口向上，如图1所示：
则根据对称性有，
即﹣8＜a+b+c+d＜﹣4＜0，故①正确；
由图1，当C、D两点互换位置后，则有d＜a＜b＜c，故②可能正确；
当m＜﹣1时，则对称轴﹣1＜x＜0，图象开口向下，如图2所示：
则根据对称性有，即﹣4＜a+b+c+d＜0，故③正确；
当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a＜c＜d＜b，故④一定不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
【点拨】依据题意，先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a﹣2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
【解析】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞﹣a，
又∵﹣a＜0，
∴2a+b＝0是可能的．
∴B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式是关键．
10．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
【点拨】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点（t，y1）与（t+1，y2）的大小关系．
【解析】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+c化为顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣a+c，
∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＜y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而减小，t＜t+1，则y1＞y2，
当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＞y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，t＜t+1，则y1＜y2，
当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
综上，当a＞0，t＞2时，y1＜y2，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，包括对称轴的求解、根据a判断开口方向以及利用函数单调性比较函数值大小．解题的关键在于熟练掌握二次函数的顶点式以及其在不同区间的单调性，并且要对t的取值范围进行细致分类讨论，这是解决此类问题容易出错的地方．
11．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（ ）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
【点拨】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，同样方法得到
平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），
∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x＝，
∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点，
∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，
∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意；
∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变，
∴＝，
即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题
12．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是 3 ．
【点拨】由题意得到1﹣a＝﹣2+2a，求得a＝1，则二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2，令x2﹣1＝2x+2，解方程即可求得点B的横坐标
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是﹣1，
∴1﹣a＝﹣2+2a，
∴a＝1，
∴二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2，
令x2﹣1＝2x+2，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴点B的横坐标是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，解得坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
13．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ 0 ．
【点拨】由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），再由抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称可知﹣＝1，据此可得出a、c的值，进而得出结论．
【解析】解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），
∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，
∴﹣＝1③，
①②③联立得，
解得a＝，
∴3a+c＝3×﹣2＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
14．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为 t＞﹣ ．
【点拨】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围．
【解析】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0），
代入可得0＝9a﹣6a+c，
∴c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝1，
点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2，
∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c]
＝a（﹣2t﹣3），
∵y1＞y2，
∴a（﹣2t﹣3）＞0，
∵a＜0，
∴﹣2t﹣3＜0，
解得：t＞﹣．
故答案为：t＞﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 k2＝k1+8 ．
【点拨】点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，求得k1、k2即可求得等量关系．
【解析】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9，
∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8，
∴k2＝k1+8；
故答案为：k2＝k1+8．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 2﹣或1+ ．
【点拨】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜和当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞，分别进行计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值．
①当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜．
又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2，
∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣．
②当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞．
又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2，
∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣．
∴n＝1+或n＝1﹣（不合题意，舍去）．
综上，n＝2﹣或1+．
故答案为：2﹣或1+．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质进行分类讨论是关键．
17．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是 ．
【点拨】由题意可得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，可得，AB＝|x1﹣x2|＝＝＝，则3＜＜4，求出n的取值范围即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，
∴．
∵A（x1，0），B（x2，0），
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝．
∵3＜AB＜4，
∴3＜＜4，
解得，
∴n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题
18．（2025 龙泉市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝1，进而可以得解；
（2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t＝．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t＝．
综上，t＝或t＝．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．
19．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m≤．
【点拨】（1）依据题意，由当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，即可判断得解；
（2）依据题意，由函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），可得y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k＝（x﹣）2+k﹣，结合图象的顶点坐标是（h，m），从而h＝，m＝k﹣，故可得h+m＝+k﹣＝＝＝﹣（k﹣1）2+，进而可以判断得解．
【解析】（1）解：点（1，﹣1）在该函数的图象上，理由如下：
由题意，∵当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，
∴点（1，﹣1）在该函数的图象上．
（2）证明：由题意，∵函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），
∴y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k
＝（x﹣）2+k﹣．
又∵图象的顶点坐标是（h，m），
∴h＝，m＝k﹣．
∴h+m＝+k﹣
＝
＝
＝﹣（k﹣1）2+．
∵对于任意的k都都有（k﹣1）2≥0，
∴h+m＝﹣（k﹣1）2+≤，即h+m≤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
20．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
【点拨】（1）①依据题意，由a＝﹣1，b＝1，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，进而得解；
②依据题意，当x＝时，M＝﹣x2＝﹣，N＝﹣x2+x＝﹣+＝，进而可以得解；
（2）依据题意，由M，N的值互为相反数，可得M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0，进而计算可以得解．
【解析】解：（1）①由题意，∵a＝﹣1，b＝1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝．
②由题意，当x＝时，M＝﹣x2＝﹣，N＝﹣x2+x＝﹣+＝．
（2）由题意，∵M，N的值互为相反数，
∴M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0．
∴x＝0或x＝﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、相反数、列代数式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【点拨】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；
②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解．
【解析】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，
∴对称轴为直线；
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2；
②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等，
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），
∴a1＞0，a2＜0，
当a1＞0时，，
当a2＜0时，，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
22．（2025 嘉善县一模）已知二次函数y＝mx2+4mx+m2+4．
（1）求函数y图象的对称轴；
（2）若m＞0，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，求实数m的值；
（3）若m＝﹣1，当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．求实数x0的取值范围．
【点拨】（1）利用对称轴公式即可求解；
（2）由题意可知，二次函数y＝mx2+4mx+m2+4的图象开口向上，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，即可得到x＝0时，函数y有最大值，即m2+4＝8，解方程即可；
（3）若m＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2﹣4x+5，根据当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，利用二次函数的性质即可得到x＝t时，y＝﹣7，x＝t﹣2时，y＝n，即可求得t＝2，t﹣2＝0，然后利用二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征求得实数x0的取值范围．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝mx2+4mx+m2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2；
（2）若m＞0，则二次函数y＝mx2+4mx+m2+4的图象开口向上，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，
∴x＝0时，函数y有最大值，
∴m2+4＝8，
解得m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）若m＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2﹣4x+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∵当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，
∴x＝t时，y＝﹣7，x＝t﹣2时，y＝n，
∴﹣7＝﹣t2﹣4t+5，
解得t＝﹣6或t＝2，
∵t＞0，
∴t＝2，
∴t﹣2＝0，
∴x＝0时，y＝n，
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＝﹣4时，y＝n，
∵当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．
∴﹣4≤x0≤0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2025 衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）．
（1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围．
【点拨】（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可；
②因为a＝1，则函数y＝x2﹣2x﹣3，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），则点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），根据二次函数增减性即可求得当x≥2时，该函数的最小值是﹣3．
（2）由p＜q，得到p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，因为a＞0，所以2n+1＞0，解得n＞﹣0.5．
【解析】解：（1）①当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣3＝﹣3≠﹣5，不合题意，舍去；
当x＝1时，a﹣2a﹣3＝﹣4，所以a＝1，符合合题意，
这时二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3；
当x＝﹣1时，3a﹣3＝﹣6，所以a＝﹣1＜0，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过（1，﹣4）；
②∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），
∵当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，
∴m＝2；
（2）二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），
∴p＝an2﹣2an﹣3，q＝a（n+3）2﹣2a（n+3）﹣3，
∵p＜q，
∴p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，
∵a＞0，
∴2n+1＞0即n＞﹣0.5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
24．（2025 上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3．
（1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围．
【点拨】（1）利用对称轴公式求得a的值，得到解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）令顶点的纵坐标等于5，解关于a的方程即可；
（3）代入P点的坐标求得a＝3，然后求得抛物线的对称轴，结合1≤x1≤4，根据二次函数的增减性和对称性即可求得x2的取值范围．
【解析】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴该函数的顶点坐标为（1，3）；
（2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值＝5，
整理得a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣1，
∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1；
（3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，
∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3，
解得a＝3，
∴y＝﹣x2+6x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，
∴x2＜1或x2＞5．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
25．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
【点拨】（1）①依据题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．再令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，求出x后，即可判断得解；
②依据题意，由二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，则y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3，从而y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3，又a+b＝4，则b＝4﹣a，进而可得y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝2（a﹣2）2﹣2，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，可得对称轴是直线x＝﹣＝m，又点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，则p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，故p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）＝2（a﹣m）+1，又点C在对称轴的左侧可得a﹣m＜﹣1，进而可以判断得解．
【解析】（1）解：①由题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0．
∴x＝1或x＝3．
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
②由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，
∴y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3．
又∵a+b＝4，
∴b＝4﹣a．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝a2﹣4a+3+16﹣8a+a2﹣16+4a+3
＝2a2﹣8a+6
＝2（a﹣2）2﹣2．
∵2＞0，
∴y1+y2的最小值为﹣2．
（2）证明：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m．
∵点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，
∴p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，
∴p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）
＝（2a+1﹣2m）（1+2m﹣2m）
＝2（a﹣m）+1．
∵点C在对称轴的左侧，
∴a+1＜m．
∴a﹣m＜﹣1．
∴p﹣q＝2（a﹣m）+1＜﹣2+1＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
26．（2025 定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
【点拨】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥．
【解析】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2，
∵当x＝1时，y＝1，
∴1＝2+b+2，
∴b＝﹣3，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a+）2+，
∴a2+b2≥．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质．
27．（2025 余姚市一模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．设该函数图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求t的值．
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
（3）若t＞0，在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，求m的值．
【点拨】（1）把A点的坐标代入y＝﹣2x2+bx即可求得b的值，然后利用对称轴公式即可求得t；
（2）由题意得到或，解得2＜b＜4；
（3）分两种情况：当t≥4时，则x＝4时，有最大值，得到﹣2×42+4（m+2）＝16，解得m＝10（舍），当0＜t＜4时，则x＝时，有最大值，得到﹣2（）2+（m+2） ＝16，解得m＝8．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），m＝0，
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴y＝﹣2x2+2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴t＝；
（2）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．且mn＜0，
∴m＜0，n＞0或m＜0，n＞0，
∴或，
解得2＜b＜4；
（3）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），
∴m＝﹣2+b，
∴b＝m+2，
∴y＝﹣2x2+（m+2）x，
∵t＞0，
∴﹣，
∴m＞﹣2，
∵在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，
∴当t≥4时，此时m≥14，则x＝4时，有最大值，
∴﹣2×42+4（m+2）＝16，解得m＝10（舍），
当0＜t＜4时，则x＝时，有最大值，
∴﹣2×（）2+（m+2） ＝16，解得m＝，
∵m＞﹣2，
∴m＝8，
综上，m的值为8．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论思想的运用是解题的关键．
28．（2025 浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；
（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解；
（3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．
【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4），
∴c＝4；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0），
∴4a+2b+c＝0．
∴4a+2b＝﹣4．
∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2；
（2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
∴﹣＝﹣1．
∴b＝2a．
∴b+b＝﹣2．
∴b＝﹣1．
（3）∵2a+b＝﹣2，c＝4，
∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝．
当a＞0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧．
∴≥2．
∴0＜a≤1．
当a＜0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧．
∴≤0．
∴﹣1≤a＜0．
综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式．
（3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：．
【点拨】（1）先将二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）化为一般式，再根据二次函数顶点坐标公式（﹣，）；
（2）先根据函数平移规律得到平移后的函数表达式，再将点（0，﹣3）代入平移后的表达式求出a的值，进而得到原二次函数表达式；
（3）先根据m＜n列出不等式，结合a＜0求出a的取值范围，再根据二次函数性质求出函数最大值，进而证明y＜．
【解析】（1）解：将y＝a（x﹣1）（x+2）展开得y＝a（x2+x﹣2）＝ax2+ax﹣2a，
∴根据顶点坐标公式﹣＝﹣，＝＝﹣，
∴顶点坐标为（﹣，﹣）；
（2）解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2+ax﹣2a+3，
∵平移后的函数经过（0，﹣3），把x＝0，y＝﹣3代入y＝ax2+ax﹣2a+3，
∴﹣3＝﹣2a+3，解得a＝3，
∴原二次函数表达式为y＝3（x﹣1）（x+2）＝3x2+3x﹣6；
（3）证明∵A（x1，m）和（x2，n）在y＝ax2+ax﹣2a上，且x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，m＜n，
∴a（﹣1﹣a）2+a（﹣1﹣a）﹣2a＜a（2a）2+a×2a﹣2a，
化简得a3+a2﹣2a＜4a3+2a2﹣2a，
移项得3a3+a2＞0，
∵a＜0，
两边同时除以a得3a2+a＜0，因式分解得a（3a+1）＜0，
∴解得﹣＜a＜0，
由（1）知二次函数顶点纵坐标为y＝﹣，
∵﹣＜a＜0，
∴0＜﹣＜，
∵a＜0，
二次函数图象开口向下，
∴y＜．
【点睛】本题综合考查了二次函数的多种性质：（1）重点考查二次函数一般式与顶点坐标公式得运用；（2）集合函数平移知识，通过代入点坐标求解函数表达式；（3）用函数上点的坐标关系，结合不等式求解参数范围，进而证明函数值得范围．该题全面考查了对二次函数知识的理解和运用能力，尤其是对二次函数性质在不同情境下的灵活应用．
30．（2025 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1）若m＝1，n＝4，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（2）当m＝0，n＞2时，求p的取值范围．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意则，两式相减得3a+3b＜﹣2，即可得到a+b+1＜，得出p＜．
【解析】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点为（1，0）；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（2）当m＝0，n＞2时，则，
∴3a+3b＜﹣2，
∴a+b+1＜．
∵p＝a+b+1，
∴p＜．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出3a+3b＜﹣2是解题的关键．
31．（2025 湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）．
（1）若a＝2，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值．
（2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【点拨】（1）①根据配方法求解；
②根据抛物线的对称性求解；
（2）根据二次函数的性质求解．
【解析】解：（1）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴该函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3，顶点坐标为（1，1）；
②由题意得：，
解得：m＝﹣2；
（2）由题意得：a2﹣1＝0，
∴a＝1（取正数解），
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣1≤x≤t≤5时，y的最大值为x＝﹣1时的y值，
∴1+4＝5＝4t，
解得：t＝1.25，
当﹣1≤x≤5≤t时，y的最大值为x＝t时的y值，
∴t2﹣4t＝4t，
解得：t＝8或t＝0（不合题意，舍去），
∴t的值为1.25或8．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
32．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将y＝﹣x2+6x+11变为顶点式得到y＝﹣（x﹣3）2+20，其顶点坐标为（3，20），点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），由题意可知，解得m＝4，n＝16；
（3）求得抛物线与x轴的交点，求得抛物线与直线y＝16的交点，结合图象即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+6x+11；
（2）∵y＝﹣x2+6x+11＝﹣（x﹣3）2+20，
∴抛物线的顶点为（3，20），
∵点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），且落在抛物线的顶点处，
∴，
∴m＝4，n＝16；
（3）∵令y＝16，则y＝﹣x2+6x+11＝16，
整理得x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1或x＝5，
令y＝0，则y＝﹣x2+6x+11＝0，
解得x＝3，
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴0，
∴若点C的纵坐标小于16，则点C的横坐标xC的取值范围是0＜xC＜1或5．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移；熟练掌握相关知识是解题的关键．
33．（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
【点拨】（1）①依据题意，由小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，从而对称轴是直线，故可得最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m），进而得解；
②依据题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，求出t后即可判断得解；
（2）依据题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0，从而，则v0＝5t，从而两次发射时：，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，当v0＝12m/s时，
①小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，
∴对称轴是直线．
∴最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m）．
②由题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，
∴t＝0.4或t＝2．
答：经过0.4s或2s小球的高度达到4m．
（2）结论正确，理由如下．
由题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0．
∴．
∴v0＝5t．
两次发射时：．
∴该比值为常数5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
34．（2025 临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
【点拨】（1）根据上沿抛物线的顶点设出抛物线解析式的顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，然后根据BE＝得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可得出点B坐标．
【解析】解：（1）设上沿抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2﹣，
把（0，0）代入解析式得：16a﹣＝0，
解得a＝，
∴上沿抛物线的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣；
（2）∵，H比P点高，
∴P（4，﹣4），
设下沿抛物线的函数表达式为y＝a′（x﹣4）2﹣4，
把（0，0）代入解析式得：16a′﹣4＝0，
解得a′＝，
∴下沿抛物线的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4，
∵BE＝dm，
∴（x﹣4）2﹣﹣（x﹣4）2+4＝，
解得x＝2或x＝6，
把x＝2或x＝6代入y＝（x﹣4）2﹣4得：y＝﹣3，
∴B（2，﹣3）或（6，﹣3）．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确列出表达式是就解题的关键．
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专题5 二次函数
一．选择题
1．（2025 宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
2．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
3．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．（2025 钱塘区一模）将二次函数y＝﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x+1）2﹣2
C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝﹣3（x+1）2+2
5．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
6．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（ ）
A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0
C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0
7．（2025 宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（ ）
A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0
C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0
8．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
9．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
10．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
11．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（ ）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
二．填空题（共6小题）
12．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是 ．
13．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ ．
14．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为 ．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 ．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 ．
17．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是 ．
三．解答题（共17小题）
18．（2025 龙泉市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
19．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m≤．
20．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
21．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
22．（2025 嘉善县一模）已知二次函数y＝mx2+4mx+m2+4．
（1）求函数y图象的对称轴；
（2）若m＞0，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，求实数m的值；
（3）若m＝﹣1，当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．求实数x0的取值范围．
23．（2025 衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）．
（1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围．
24．（2025 上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3．
（1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围．
25．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
26．（2025 定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
27．（2025 余姚市一模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．设该函数图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求t的值．
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
（3）若t＞0，在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，求m的值．
28．（2025 浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；
（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．
29．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式．
（3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：．
30．（2025 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1）若m＝1，n＝4，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（2）当m＝0，n＞2时，求p的取值范围．
31．（2025 湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）．
（1）若a＝2，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值．
（2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
32．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
33．（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
34．（2025 临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
答案与解析
一．选择题（共11小题）
1．（2025 宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【点拨】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解析】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴．
2．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【点拨】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
3．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【点拨】根据当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下即可解决问题．
【解析】解：因为a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
所以只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知a＜0时二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下是解题的关键．
4．（2025 钱塘区一模）将二次函数y＝﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x+1）2﹣2
C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝﹣3（x+1）2+2
【点拨】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【解析】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
可设新抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
代入得：y＝﹣3（x+1）2﹣2．
∴所得图象的解析式为：y＝﹣3（x+1）2﹣2；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
5．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【点拨】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，
如图所示，
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题．
6．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（ ）
A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0
C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0
【点拨】依据题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值，
从而可以判断得解．
【解析】解：由题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，
又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值，
∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键．
7．（2025 宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（ ）
A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0
C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0
【点拨】令x＝，可以得到要求的多项式，然后根据a的取值不同确定y的正负，从而得解．
【解析】解：令x＝，y＝a+b+c＝（a+2b+4c），
∵二次函数与x轴没有交点，
∴a＞0时，y＞0，a＜0时，y＜0，
∴a（a+2b+4c）＞0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
8．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
【点拨】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可．
【解析】解：由二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3可得对称轴为直线x＝＝＝，
∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），
∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称．
当m＞1时，可知对称轴﹣2＜x＜﹣1，开口向上，如图1所示：
则根据对称性有，
即﹣8＜a+b+c+d＜﹣4＜0，故①正确；
由图1，当C、D两点互换位置后，则有d＜a＜b＜c，故②可能正确；
当m＜﹣1时，则对称轴﹣1＜x＜0，图象开口向下，如图2所示：
则根据对称性有，即﹣4＜a+b+c+d＜0，故③正确；
当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a＜c＜d＜b，故④一定不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
【点拨】依据题意，先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a﹣2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
【解析】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞﹣a，
又∵﹣a＜0，
∴2a+b＝0是可能的．
∴B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式是关键．
10．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
【点拨】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点（t，y1）与（t+1，y2）的大小关系．
【解析】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+c化为顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣a+c，
∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＜y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而减小，t＜t+1，则y1＞y2，
当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＞y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，t＜t+1，则y1＜y2，
当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
综上，当a＞0，t＞2时，y1＜y2，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，包括对称轴的求解、根据a判断开口方向以及利用函数单调性比较函数值大小．解题的关键在于熟练掌握二次函数的顶点式以及其在不同区间的单调性，并且要对t的取值范围进行细致分类讨论，这是解决此类问题容易出错的地方．
11．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（ ）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
【点拨】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，同样方法得到
平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），
∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x＝，
∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点，
∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，
∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意；
∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变，
∴＝，
即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题
12．（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是 3 ．
【点拨】由题意得到1﹣a＝﹣2+2a，求得a＝1，则二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2，令x2﹣1＝2x+2，解方程即可求得点B的横坐标
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是﹣1，
∴1﹣a＝﹣2+2a，
∴a＝1，
∴二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2，
令x2﹣1＝2x+2，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴点B的横坐标是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，解得坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
13．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ 0 ．
【点拨】由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），再由抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称可知﹣＝1，据此可得出a、c的值，进而得出结论．
【解析】解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），
∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，
∴﹣＝1③，
①②③联立得，
解得a＝，
∴3a+c＝3×﹣2＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
14．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为 t＞﹣ ．
【点拨】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围．
【解析】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0），
代入可得0＝9a﹣6a+c，
∴c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝1，
点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2，
∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c]
＝a（﹣2t﹣3），
∵y1＞y2，
∴a（﹣2t﹣3）＞0，
∵a＜0，
∴﹣2t﹣3＜0，
解得：t＞﹣．
故答案为：t＞﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 k2＝k1+8 ．
【点拨】点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，求得k1、k2即可求得等量关系．
【解析】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9，
∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8，
∴k2＝k1+8；
故答案为：k2＝k1+8．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 2﹣或1+ ．
【点拨】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜和当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞，分别进行计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值．
①当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜．
又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2，
∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣．
②当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞．
又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2，
∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣．
∴n＝1+或n＝1﹣（不合题意，舍去）．
综上，n＝2﹣或1+．
故答案为：2﹣或1+．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质进行分类讨论是关键．
17．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是 ．
【点拨】由题意可得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，可得，AB＝|x1﹣x2|＝＝＝，则3＜＜4，求出n的取值范围即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，
∴．
∵A（x1，0），B（x2，0），
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝．
∵3＜AB＜4，
∴3＜＜4，
解得，
∴n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题
18．（2025 龙泉市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝1，进而可以得解；
（2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t＝．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t＝．
综上，t＝或t＝．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．
19．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m≤．
【点拨】（1）依据题意，由当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，即可判断得解；
（2）依据题意，由函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），可得y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k＝（x﹣）2+k﹣，结合图象的顶点坐标是（h，m），从而h＝，m＝k﹣，故可得h+m＝+k﹣＝＝＝﹣（k﹣1）2+，进而可以判断得解．
【解析】（1）解：点（1，﹣1）在该函数的图象上，理由如下：
由题意，∵当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，
∴点（1，﹣1）在该函数的图象上．
（2）证明：由题意，∵函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），
∴y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k
＝（x﹣）2+k﹣．
又∵图象的顶点坐标是（h，m），
∴h＝，m＝k﹣．
∴h+m＝+k﹣
＝
＝
＝﹣（k﹣1）2+．
∵对于任意的k都都有（k﹣1）2≥0，
∴h+m＝﹣（k﹣1）2+≤，即h+m≤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
20．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
【点拨】（1）①依据题意，由a＝﹣1，b＝1，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，进而得解；
②依据题意，当x＝时，M＝﹣x2＝﹣，N＝﹣x2+x＝﹣+＝，进而可以得解；
（2）依据题意，由M，N的值互为相反数，可得M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0，进而计算可以得解．
【解析】解：（1）①由题意，∵a＝﹣1，b＝1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝．
②由题意，当x＝时，M＝﹣x2＝﹣，N＝﹣x2+x＝﹣+＝．
（2）由题意，∵M，N的值互为相反数，
∴M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0．
∴x＝0或x＝﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、相反数、列代数式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【点拨】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；
②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解．
【解析】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，
∴对称轴为直线；
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2；
②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等，
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），
∴a1＞0，a2＜0，
当a1＞0时，，
当a2＜0时，，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
22．（2025 嘉善县一模）已知二次函数y＝mx2+4mx+m2+4．
（1）求函数y图象的对称轴；
（2）若m＞0，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，求实数m的值；
（3）若m＝﹣1，当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．求实数x0的取值范围．
【点拨】（1）利用对称轴公式即可求解；
（2）由题意可知，二次函数y＝mx2+4mx+m2+4的图象开口向上，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，即可得到x＝0时，函数y有最大值，即m2+4＝8，解方程即可；
（3）若m＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2﹣4x+5，根据当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，利用二次函数的性质即可得到x＝t时，y＝﹣7，x＝t﹣2时，y＝n，即可求得t＝2，t﹣2＝0，然后利用二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征求得实数x0的取值范围．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝mx2+4mx+m2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2；
（2）若m＞0，则二次函数y＝mx2+4mx+m2+4的图象开口向上，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵当﹣3≤x≤0时，函数y的最大值为8，
∴x＝0时，函数y有最大值，
∴m2+4＝8，
解得m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）若m＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2﹣4x+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∵当t﹣2≤x≤t（t＞0）时，﹣7≤y≤n，
∴x＝t时，y＝﹣7，x＝t﹣2时，y＝n，
∴﹣7＝﹣t2﹣4t+5，
解得t＝﹣6或t＝2，
∵t＞0，
∴t＝2，
∴t﹣2＝0，
∴x＝0时，y＝n，
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＝﹣4时，y＝n，
∵当x0≤x≤t﹣2时，总有y≥n．
∴﹣4≤x0≤0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2025 衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）．
（1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围．
【点拨】（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可；
②因为a＝1，则函数y＝x2﹣2x﹣3，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），则点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），根据二次函数增减性即可求得当x≥2时，该函数的最小值是﹣3．
（2）由p＜q，得到p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，因为a＞0，所以2n+1＞0，解得n＞﹣0.5．
【解析】解：（1）①当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣3＝﹣3≠﹣5，不合题意，舍去；
当x＝1时，a﹣2a﹣3＝﹣4，所以a＝1，符合合题意，
这时二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3；
当x＝﹣1时，3a﹣3＝﹣6，所以a＝﹣1＜0，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过（1，﹣4）；
②∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），
∵当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，
∴m＝2；
（2）二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），
∴p＝an2﹣2an﹣3，q＝a（n+3）2﹣2a（n+3）﹣3，
∵p＜q，
∴p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，
∵a＞0，
∴2n+1＞0即n＞﹣0.5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
24．（2025 上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3．
（1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围．
【点拨】（1）利用对称轴公式求得a的值，得到解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）令顶点的纵坐标等于5，解关于a的方程即可；
（3）代入P点的坐标求得a＝3，然后求得抛物线的对称轴，结合1≤x1≤4，根据二次函数的增减性和对称性即可求得x2的取值范围．
【解析】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴该函数的顶点坐标为（1，3）；
（2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值＝5，
整理得a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣1，
∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1；
（3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，
∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3，
解得a＝3，
∴y＝﹣x2+6x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，
∴x2＜1或x2＞5．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
25．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
【点拨】（1）①依据题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．再令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，求出x后，即可判断得解；
②依据题意，由二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，则y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3，从而y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3，又a+b＝4，则b＝4﹣a，进而可得y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝2（a﹣2）2﹣2，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，可得对称轴是直线x＝﹣＝m，又点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，则p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，故p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）＝2（a﹣m）+1，又点C在对称轴的左侧可得a﹣m＜﹣1，进而可以判断得解．
【解析】（1）解：①由题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0．
∴x＝1或x＝3．
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
②由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，
∴y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3．
又∵a+b＝4，
∴b＝4﹣a．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝a2﹣4a+3+16﹣8a+a2﹣16+4a+3
＝2a2﹣8a+6
＝2（a﹣2）2﹣2．
∵2＞0，
∴y1+y2的最小值为﹣2．
（2）证明：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m．
∵点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，
∴p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，
∴p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）
＝（2a+1﹣2m）（1+2m﹣2m）
＝2（a﹣m）+1．
∵点C在对称轴的左侧，
∴a+1＜m．
∴a﹣m＜﹣1．
∴p﹣q＝2（a﹣m）+1＜﹣2+1＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
26．（2025 定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
【点拨】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥．
【解析】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2，
∵当x＝1时，y＝1，
∴1＝2+b+2，
∴b＝﹣3，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a+）2+，
∴a2+b2≥．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质．
27．（2025 余姚市一模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．设该函数图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求t的值．
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
（3）若t＞0，在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，求m的值．
【点拨】（1）把A点的坐标代入y＝﹣2x2+bx即可求得b的值，然后利用对称轴公式即可求得t；
（2）由题意得到或，解得2＜b＜4；
（3）分两种情况：当t≥4时，则x＝4时，有最大值，得到﹣2×42+4（m+2）＝16，解得m＝10（舍），当0＜t＜4时，则x＝时，有最大值，得到﹣2（）2+（m+2） ＝16，解得m＝8．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），m＝0，
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴y＝﹣2x2+2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴t＝；
（2）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．且mn＜0，
∴m＜0，n＞0或m＜0，n＞0，
∴或，
解得2＜b＜4；
（3）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），
∴m＝﹣2+b，
∴b＝m+2，
∴y＝﹣2x2+（m+2）x，
∵t＞0，
∴﹣，
∴m＞﹣2，
∵在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，
∴当t≥4时，此时m≥14，则x＝4时，有最大值，
∴﹣2×42+4（m+2）＝16，解得m＝10（舍），
当0＜t＜4时，则x＝时，有最大值，
∴﹣2×（）2+（m+2） ＝16，解得m＝，
∵m＞﹣2，
∴m＝8，
综上，m的值为8．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论思想的运用是解题的关键．
28．（2025 浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；
（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解；
（3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．
【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4），
∴c＝4；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0），
∴4a+2b+c＝0．
∴4a+2b＝﹣4．
∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2；
（2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
∴﹣＝﹣1．
∴b＝2a．
∴b+b＝﹣2．
∴b＝﹣1．
（3）∵2a+b＝﹣2，c＝4，
∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝．
当a＞0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧．
∴≥2．
∴0＜a≤1．
当a＜0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧．
∴≤0．
∴﹣1≤a＜0．
综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式．
（3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：．
【点拨】（1）先将二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）化为一般式，再根据二次函数顶点坐标公式（﹣，）；
（2）先根据函数平移规律得到平移后的函数表达式，再将点（0，﹣3）代入平移后的表达式求出a的值，进而得到原二次函数表达式；
（3）先根据m＜n列出不等式，结合a＜0求出a的取值范围，再根据二次函数性质求出函数最大值，进而证明y＜．
【解析】（1）解：将y＝a（x﹣1）（x+2）展开得y＝a（x2+x﹣2）＝ax2+ax﹣2a，
∴根据顶点坐标公式﹣＝﹣，＝＝﹣，
∴顶点坐标为（﹣，﹣）；
（2）解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2+ax﹣2a+3，
∵平移后的函数经过（0，﹣3），把x＝0，y＝﹣3代入y＝ax2+ax﹣2a+3，
∴﹣3＝﹣2a+3，解得a＝3，
∴原二次函数表达式为y＝3（x﹣1）（x+2）＝3x2+3x﹣6；
（3）证明∵A（x1，m）和（x2，n）在y＝ax2+ax﹣2a上，且x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，m＜n，
∴a（﹣1﹣a）2+a（﹣1﹣a）﹣2a＜a（2a）2+a×2a﹣2a，
化简得a3+a2﹣2a＜4a3+2a2﹣2a，
移项得3a3+a2＞0，
∵a＜0，
两边同时除以a得3a2+a＜0，因式分解得a（3a+1）＜0，
∴解得﹣＜a＜0，
由（1）知二次函数顶点纵坐标为y＝﹣，
∵﹣＜a＜0，
∴0＜﹣＜，
∵a＜0，
二次函数图象开口向下，
∴y＜．
【点睛】本题综合考查了二次函数的多种性质：（1）重点考查二次函数一般式与顶点坐标公式得运用；（2）集合函数平移知识，通过代入点坐标求解函数表达式；（3）用函数上点的坐标关系，结合不等式求解参数范围，进而证明函数值得范围．该题全面考查了对二次函数知识的理解和运用能力，尤其是对二次函数性质在不同情境下的灵活应用．
30．（2025 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1）若m＝1，n＝4，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（2）当m＝0，n＞2时，求p的取值范围．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意则，两式相减得3a+3b＜﹣2，即可得到a+b+1＜，得出p＜．
【解析】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点为（1，0）；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（2）当m＝0，n＞2时，则，
∴3a+3b＜﹣2，
∴a+b+1＜．
∵p＝a+b+1，
∴p＜．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出3a+3b＜﹣2是解题的关键．
31．（2025 湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）．
（1）若a＝2，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值．
（2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【点拨】（1）①根据配方法求解；
②根据抛物线的对称性求解；
（2）根据二次函数的性质求解．
【解析】解：（1）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴该函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3，顶点坐标为（1，1）；
②由题意得：，
解得：m＝﹣2；
（2）由题意得：a2﹣1＝0，
∴a＝1（取正数解），
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣1≤x≤t≤5时，y的最大值为x＝﹣1时的y值，
∴1+4＝5＝4t，
解得：t＝1.25，
当﹣1≤x≤5≤t时，y的最大值为x＝t时的y值，
∴t2﹣4t＝4t，
解得：t＝8或t＝0（不合题意，舍去），
∴t的值为1.25或8．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
32．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将y＝﹣x2+6x+11变为顶点式得到y＝﹣（x﹣3）2+20，其顶点坐标为（3，20），点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），由题意可知，解得m＝4，n＝16；
（3）求得抛物线与x轴的交点，求得抛物线与直线y＝16的交点，结合图象即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+6x+11；
（2）∵y＝﹣x2+6x+11＝﹣（x﹣3）2+20，
∴抛物线的顶点为（3，20），
∵点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），且落在抛物线的顶点处，
∴，
∴m＝4，n＝16；
（3）∵令y＝16，则y＝﹣x2+6x+11＝16，
整理得x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1或x＝5，
令y＝0，则y＝﹣x2+6x+11＝0，
解得x＝3，
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴0，
∴若点C的纵坐标小于16，则点C的横坐标xC的取值范围是0＜xC＜1或5．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移；熟练掌握相关知识是解题的关键．
33．（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
【点拨】（1）①依据题意，由小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，从而对称轴是直线，故可得最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m），进而得解；
②依据题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，求出t后即可判断得解；
（2）依据题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0，从而，则v0＝5t，从而两次发射时：，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，当v0＝12m/s时，
①小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，
∴对称轴是直线．
∴最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m）．
②由题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，
∴t＝0.4或t＝2．
答：经过0.4s或2s小球的高度达到4m．
（2）结论正确，理由如下．
由题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0．
∴．
∴v0＝5t．
两次发射时：．
∴该比值为常数5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
34．（2025 临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
【点拨】（1）根据上沿抛物线的顶点设出抛物线解析式的顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，然后根据BE＝得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可得出点B坐标．
【解析】解：（1）设上沿抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2﹣，
把（0，0）代入解析式得：16a﹣＝0，
解得a＝，
∴上沿抛物线的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣；
（2）∵，H比P点高，
∴P（4，﹣4），
设下沿抛物线的函数表达式为y＝a′（x﹣4）2﹣4，
把（0，0）代入解析式得：16a′﹣4＝0，
解得a′＝，
∴下沿抛物线的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4，
∵BE＝dm，
∴（x﹣4）2﹣﹣（x﹣4）2+4＝，
解得x＝2或x＝6，
把x＝2或x＝6代入y＝（x﹣4）2﹣4得：y＝﹣3，
∴B（2，﹣3）或（6，﹣3）．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确列出表达式是就解题的关键．
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