专题6 二次函数综合（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编

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专题6 二次函数综合
一．解答题
1．（2025 新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
2．（2025 嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
3．（2025 宁波一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．
4．（2025 绍兴一模）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d．
（1）若y＝2x﹣5，求d的值；
（2）若，
①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值；
②当d＝4时，求t的值．
5．（2025 杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点．
①若k＝1，求a的值．
②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围．
6．（2025 富阳区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4．
（1）若二次函数过点A（3，7）．
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与x轴的两个交点之间的距离．
（2）如果P（n，a），M（﹣3，b），Q（n+2，a）都在这个二次函数上，且4＜b＜a，求n的取值范围．
7．（2025 衢江区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
①当函数图象过点A（1，2）时，求该二次函数的关系式；
②当m≤x≤m+2时，函数的最小值为﹣2，求m的最大值．
（2）若当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，且该二次函数图象经过B（﹣3，y1），C（t，y2）两点，y1＜y2，求t的取值的范围．
8．（2025 西湖区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
9．（2025 宁波一模）在同一平面直角坐标系中，若函数y1与y2的图象只有一个公共点，则称y2是y1的相切函数，公共点称为切点．已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点．
（1）试写出切点P的坐标（　 　 ，　 　 ），及m与n的关系式　 　 ．
（2）当x≠1时，试判断以下两组值①m＝2，n＝﹣2；②m＝﹣3，n＝3能否使y1＜y2成立？并说明理由．
（3）若函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2），且b1﹣b2＝m，求a的值．
10．（2025 浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
11．（2025 浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A．
（1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
（2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积．
12．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点．
（1）求t的值．
（2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值．
（3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围．
13．（2025 浙江模拟）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣（a是常数，a≠0）．
（1）若函数图象经过点（3，0），求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，当x满足m≤x≤3时，y的取值范围为，求m的取值范围．
（3）若，是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小．
14．（2025 乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．
（1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4．
15．（2025 鹿城区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值；
（3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值．
16．（2025 浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
17．（2025 鄞州区校级模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．是否存在点P使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由．
18．（2025 金华模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
19．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式．
（2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
（3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　 　 ．
20．（2025 萧山区模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象上．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）点B（m，y1），C（m+2，y2）在该函数的图象上，若m＞﹣2，求证：y1＜y2．
（3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），满足1＜x2﹣x1＜2，求a的取值范围．
21．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
（1）若m＝﹣2，求二次函数的表达式．
（2）若当﹣1≤x≤4时，y有最小值，求a的值．
（3）求证：．
22．（2025 洞头区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值．
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围．
答案与解析
一．解答题
1．（2025 新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
【点拨】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解；
（2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b （﹣b）+c＝0，即可求解．
【解析】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，
方程无解；
当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2＝﹣b，
∴（﹣b）2+b （﹣b）+c＝0，
∴c＝b2，
∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3，
∴．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2．（2025 嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
【点拨】（1）①由题意得：，即可求解；
②新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，即可求解；
（2）当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，即可求解；当b≤2时、2＜b＜4时，同理可解．
【解析】解：（1）①由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
②该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，
则新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），
将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，
解得：m＝4；
（2）纵坐标是横坐标的两倍，则y＝2x，
联立上式和抛物线的表达式得：2x＝﹣x2+bx+c，
则Δ＝（2﹣b）2+4c＝0①；
当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝6+2（不合题意的值已舍去）；
当b≤2时，则函数在x＝1时取得最大值，即y＝﹣1+b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝4（舍去）；
当2＜b＜4时，则函数顶点取得最大值，即y＝+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝3，
综上，b＝6+2或3．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、函数的最值等，分类求解是解题的关键．
3．（2025 宁波一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．
【点拨】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求解；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝3时，y＝4a﹣1，则2＜4a﹣1≤3，即可求解．
【解析】解：（1）正确，
理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
则x＝0和x＝2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同；
（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，
则到x轴的距离和为2，
由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），
令y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝1，则x＝1±，则两个点之间的距离为2，
则3＝（2）×2＝3，
则a＝；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，
当x＝0时，y＝a﹣1，当x＝3时，y＝4a﹣1，
则2＜4a﹣1≤3，则＜a≤1．
【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
4．（2025 绍兴一模）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d．
（1）若y＝2x﹣5，求d的值；
（2）若，
①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值；
②当d＝4时，求t的值．
【点拨】（1）这是一次函数，根据k＝2可知：y随x的增大而增大，分别代入x＝t和x＝t+1计算y的值，从而可得d的值；
（2）①计算m+n的值，配方后即可解答；
②类比（1）分别计算当x＝t时，y＝﹣t2+2，当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+2，相减可得d＝4，列方程即可解答．
【解析】解：（1）在y＝2x﹣5中，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x＝t时，y＝2t﹣5，
当x＝t+1时，y＝2（t+1）﹣5＝2t﹣3，
∴d＝2t﹣3﹣（2t﹣5）＝2t﹣3﹣2t+5＝2；
（2）①∵点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y＝﹣x2+2的图象上，
∴m＝﹣t2+2，n＝﹣（t+1）2+2，
∴m+n＝﹣t2+2﹣（t+1）2+2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，
∴当m+n的值最大时，t＝﹣，
此时点A（﹣，），B（，），
∴函数在t≤x≤t+1范围内有最大值是2，最小值是，
∴d＝2﹣＝；
②当x＝t时，y＝﹣t2+2，
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+2，
分四种情况：
（i）当t+1＜0时，即t＜﹣1，d＝﹣（t+1）2+2﹣（﹣t2+2）＝4，
﹣（t+1）2+2+t2﹣2＝4，
∴t＝﹣；
（ii）当t＞0时，d＝﹣+2﹣[﹣+2]＝4
﹣+2+﹣2＝4，
∴t＝；
（iii）当﹣＜t＜0时，2﹣[﹣+2]＝4，
t＝﹣1±2（不符合题意，舍），
（iiii）当﹣1＜t＜﹣时，2﹣（﹣t2+2）＝4，
t＝（不符合题意，舍），
综上，t的值是或﹣．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，在一定范围内计算d的值，函数图象上点的坐标等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
5．（2025 杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点．
①若k＝1，求a的值．
②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到x3＝﹣﹣x2，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上，
∴Δ＝42﹣4a×3＝0，
∴a＝．
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4x+3；
（2）①若k＝1，则y＝x，
∵A（﹣，y1）为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点，
∴，
∴．
∴若k＝1，a的值为．
②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线x＝﹣，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3，
∴B，C两点关于对称轴直线x＝﹣对称，
∴，
∴x3＝﹣﹣x2．
∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点，
∴，
∴x1，x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根，
∴，
∵x1＝﹣，
∴x2＝﹣3．
∴x3＝+3，
∵0≤x3≤1，
∴0≤﹣+3≤1，
∵a＞0，
∴≤2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2025 富阳区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4．
（1）若二次函数过点A（3，7）．
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与x轴的两个交点之间的距离．
（2）如果P（n，a），M（﹣3，b），Q（n+2，a）都在这个二次函数上，且4＜b＜a，求n的取值范围．
【点拨】（1）①将点A的坐标代入函数表达式即可求解；
②平移后的表达式为：y＝﹣x2﹣4x+2，令y＝0，则x＝﹣2±，即可求解；
（2）根据对称性求出m和n的关系，将P和M的坐标代入，求出a，b的表达式，在根据4＜b＜a求解n的取值范围即可．
【解析】解：（1）①将点A的坐标代入函数表达式得：7＝﹣9+6m+4，则m＝2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+4；
②平移后的表达式为：y＝﹣x2+4x+2，
令y＝0，则x＝2±，
则两个交点之间的距离为2；
（2）∵P（n，a），Q（n+2，a）在二次函数上，
∴对称轴为直线x＝n+1，
∴﹣＝m＝n+1，
∴y＝﹣x2+（2n+2）x+4
将P（n，a）和M（﹣3，b）代入，
a＝﹣n2+（2n+2）n+4＝n2+2n+4，
b＝﹣9﹣3（2n+2）+4＝﹣6n﹣11，
∵4＜b＜a，
∴，
解得，
综上所述：﹣3＜n＜﹣或n＜﹣5．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键．
7．（2025 衢江区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
①当函数图象过点A（1，2）时，求该二次函数的关系式；
②当m≤x≤m+2时，函数的最小值为﹣2，求m的最大值．
（2）若当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，且该二次函数图象经过B（﹣3，y1），C（t，y2）两点，y1＜y2，求t的取值的范围．
【点拨】（1）①由待定系数法即可求解；
②当m+2≤﹣1时，即m≤﹣3，此时x＝m+2时，取得最小值，即（m+2+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+3）2+c＝﹣1；当m≥﹣1时，同理可得：（m+1）2+c＝﹣1；当﹣3＜m＜﹣1时，抛物线在顶点时取得最小值，即c﹣1＝﹣2，则c＝﹣1，即c＝﹣1时，抛物线取得最小值﹣2，故m≤﹣1≤m+2，即可求解；
（2）当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，则抛物线的对称轴为直线x＝（k﹣5+1﹣k）＝﹣2，∵y1＜y2，即|t+2|＞|﹣3+2|，即可求解．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＝﹣，则b＝2，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x+c，
①将点A的坐标代入上式得：2＝1+2+c，则c＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣1；
②y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，顶点为（1，c﹣1），
当m+2≤﹣1时，即m≤﹣3，
此时x＝m+2时，取得最小值，即（m+2+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+3）2+c＝﹣1；
当m≥﹣1时，
同理可得，此时x＝m时，取得最小值，即（m+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+1）2+c＝﹣1；
当﹣3＜m＜﹣1时，
抛物线在顶点时取得最小值，即c﹣1＝﹣2，则c＝﹣1，
即c＝﹣1时，抛物线取得最小值﹣2，
故m≤﹣1≤m+2，
解得：﹣3≤m≤﹣1，
即m的最大值为﹣1；
（2）当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，则抛物线的对称轴为直线x＝（k﹣5+1﹣k）＝﹣2，
∵y1＜y2，即|t+2|＞|﹣3+2|，
解得：t＞﹣1或t＜﹣3．
【点睛】本题卡考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，分类求解是本题解题的关键．
8．（2025 西湖区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【点拨】（1）把（﹣1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
【解析】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得，
m+2m+3＝4，
∴m＝，
∴函数解析式为：y＝x2﹣x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝9，
∴m＝2，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
9．（2025 宁波一模）在同一平面直角坐标系中，若函数y1与y2的图象只有一个公共点，则称y2是y1的相切函数，公共点称为切点．已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点．
（1）试写出切点P的坐标（　1　 ，　0　 ），及m与n的关系式　m+n＝0　 ．
（2）当x≠1时，试判断以下两组值①m＝2，n＝﹣2；②m＝﹣3，n＝3能否使y1＜y2成立？并说明理由．
（3）若函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2），且b1﹣b2＝m，求a的值．
【点拨】（1）联立y1与y2，得mx2+nx＝mx+n，整理得mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，由题意得Δ＝b2﹣4ac＝0，于是可得m+n＝0，即n＝﹣m，将n＝﹣m代入方程mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，得mx2﹣2mx+m＝0，解方程即可求出x的值，进而可求出相对应的y值，于是可得切点P的坐标；
（2）由（1）得n＝﹣m，则，y2＝mx﹣m，要使y1＜y2成立，则mx2﹣mx＜mx﹣m，整理得m（x﹣1）2＜0，由x≠1可得（x﹣1）2＞0，进而可得m＜0，据此对m、n的两组值进行验证，即可得出答案；
（3）由“函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2）”可得，b2＝ma+n，再结合b1﹣b2＝m，可得ma2+na﹣（ma+n）＝m，由（1）得n＝﹣m，将n＝﹣m代入并整理，得m（a2﹣2a）＝0，由mn≠0可得m≠0，进而可得（a2﹣2a）＝0，解方程即可求出a的值．
【解析】（1）解：已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点，
联立得：mx2+nx＝mx+n，
整理，得：mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，
由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝0，
即（n﹣m）2﹣4m×（﹣n）＝（m+n）2＝0，
∴n＝﹣m，
将n＝﹣m代入方程mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，得：
mx2﹣2mx+m＝0，
整理，得：m（x﹣1）2＝0，
∵mn≠0，
∴m≠0，
∴x﹣1＝0，即：x＝1，
将x＝1代入，得：
y＝m×12+n×1＝m+n＝0，
∴切点P的坐标为（1，0），
故答案为：1，0，m+n＝0；
（2）①不能使y1＜y2成立；②能使y1＜y2成立；理由如下：
由（1）得：n＝﹣m，
∴，
y2＝mx+n＝mx﹣m，
要使y1＜y2成立，则mx2﹣mx＜mx﹣m，
整理，得：m（x﹣1）2＜0，
∵x≠1，
∴x﹣1≠0，
∴（x﹣1）2＞0，
∴m＜0，
①当m＝2，n＝﹣2时，
∵m＝2＞0，不满足m＜0，
∴y1＜y2不成立；
②当m＝﹣3，n＝3时，
∵m＝﹣3＜0，满足m＜0，
∴y1＜y2成立，
综上所述，①不能使y1＜y2成立；②能使y1＜y2成立；
（3）∵函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2），
∴，b2＝ma+n，
∵b1﹣b2＝m，
∴ma2+na﹣（ma+n）＝m，
即：ma2+na﹣ma﹣n＝m，
由（1）得：n＝﹣m，
将n＝﹣m代入，得：ma2﹣ma﹣ma﹣（﹣m）＝m，
整理，得：m（a2﹣2a）＝0，
∵mn≠0，
∴m≠0，
∴（a2﹣2a）＝0，
解得：a＝0或2，
∴a的值为0或2．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出n＝﹣m是解题的关键．
10．（2025 浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
【点拨】（1）把点（2，﹣3）代入y＝x2﹣2mx﹣3，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得对称轴为直线x＝m，进而根据二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，即可求解．
（3）将（a，a），（b，b），代入解析式得出，a+b＝2m+1，根据﹣1＜a+b＜1得出m的取值范围．
【解析】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣4m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，
∴对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，
∴m≤﹣2；
（3）∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b，
∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，
∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b，
∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0，
∵a≠b，
∴a+b＝2m+1，
∵﹣1＜a+b＜1，
∴﹣1＜2m+1＜1，
解得﹣1＜m＜0．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2025 浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A．
（1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
（2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积．
【点拨】（1）抛物线的对称轴为直线x＝k，当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8），即可求解；
（2）由Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0，即可求解；
（3）由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8），则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8+m），将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8+m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8，进而求解．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝k，
当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8），
当k＝2时，抛物线的顶点坐标为：（2，﹣4），对称轴为直线x＝2；
（2）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（3）△AMN的位置如下示意图，
∵△AMN为等边三角形，过A作AT⊥MN于点T，
设MT＝NT＝m，则AT＝m，
由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8），
则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8+m），
将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8+m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8，
整理得：m2＝m，则m＝0（舍去）或，
则△AMN的面积＝NM×AT＝2m×m＝3．
【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质等，正确确定点N的坐标是解题的关键．
12．（2025 钱塘区一模）已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点．
（1）求t的值．
（2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值．
（3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围．
【点拨】（1）先求出y＝﹣x2+2x的顶点坐标，再把顶点坐标代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中可得t的值；
（2）把点（m+1，n+1）代入二次函数y＝x2+2x﹣2中，整理化简可得n关于m的二次函数表达式，配方求最值即可；
（3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3），令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1；令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1，画出大致图象根据图象信息可解．
【解析】解：（1）根据y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，可得其顶点坐标为（1，1），
把（1，1）代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中，可得1＝1+2t+t﹣3，
解得t＝1．
（2）由（1）知t＝1，故二次函数y＝x2+2x﹣2，
又因为y＝x2+2x﹣2图象经过点（m+1，n+1），
∴n+1＝（m+1）2+2（m+1）﹣2，整理可得n＝m2+4m＝（m+2）2﹣4，
故n是m的二次函数，n的最小值为﹣4．
（3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1，
顶点坐标为（﹣1，﹣3），
令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1；
令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1，
画出大致图象如下图所示：
由于在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，
故m的取值范围为﹣1≤m≤1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数配方求最值，二次函数的区间最值，熟练掌握以上内容并能数形结合考虑是解题关键．
13．（2025 浙江模拟）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣（a是常数，a≠0）．
（1）若函数图象经过点（3，0），求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，当x满足m≤x≤3时，y的取值范围为，求m的取值范围．
（3）若，是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小．
【点拨】（1）将（3，0）代入抛物线表达式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，即可求解；
（2）y的取值范围为，即在x轴下方部分，则m在x＝﹣和顶点之间，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝+，则点A、B和对称轴的距离分别为：|+﹣|＝||、|+﹣﹣|＝||，进而求解．
【解析】解：（1）将（3，0）代入抛物线表达式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，
则抛物线的对称轴为直线x＝，
当x＝时，y＝x2﹣x﹣1＝，
顶点为：（，﹣）；
（2）令y＝x2﹣x﹣1﹣0，则x＝﹣或3，
故抛物线和x轴的交点为（﹣，0）、（3，0），
∵y的取值范围为，即在x轴下方部分，
则m在x＝﹣和顶点之间，即﹣≤m≤；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝+，
则点A、B和对称轴的距离分别为：|+﹣|＝||、|+﹣﹣|＝||，
当a＞0时，则||＜||，则y2＞y1；
当a＜0时，则||＜||，则y2＜y1.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式，熟悉函数的图象和性质以及分类求解是解题的关键．
14．（2025 乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．
（1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4．
【点拨】（1）（t，c）代入y＝x2﹣2x+c，求解一元二次方程即可；
（2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在x轴上，求解即可；
（3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
【解析】（1）解：已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．点（t，c）在该二次函数的图象上，将（t，c）代入得：
c＝t2﹣2t+c，
解得：t＝0或2；
（2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，c﹣1），
∵该二次函数图象的顶点在x轴上，
∴c﹣1＝0，
解得：c＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
其中1＞0，对称轴为直线x＝1，
∴在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在1＜x≤2时，y随x的增大而增大；
∴当x＝1时函数取得最小值n＝c﹣1；
当x＝﹣1时函数取得最大值m＝1+2+c＝c+3；
∴mn＝（c﹣1）（c+3）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4≥﹣4，
即mn≥﹣4．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2025 鹿城区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值；
（3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值．
【点拨】（1）将（1，﹣4）代入函数表达式，即可求解；
（2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0），则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1＝（4t﹣t），则t＝，即可求解；
（3）当x＝n﹣1＜1时，即n＜2，抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2；当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4，则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n，即可求解．
【解析】解：（1）将（1，﹣4）代入函数表达式得：﹣4＝1+b﹣3，则b＝﹣2，
即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0），
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1＝（4t﹣t），则t＝，
则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（，0），
则新抛物线的表达式为：y＝（x+）（x﹣）＝x2﹣2x﹣3+，
即m＝；
（3）由（1）知，抛物线的顶点为（1，﹣4），
当x＝n﹣1＜1时，即n＜2，
抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2；
当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4，
则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n，
解得：n＝0（舍去）或6（舍去），
综上，n＝﹣2．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、图形的平移等，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键．
16．（2025 浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
【点拨】任务一：
任务二：
任务三：
【解析】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为：（100，45），
设从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式为：y＝a（x﹣100）2+45，
则：25＝a（0﹣100）2+45，解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣100）2+45；
任务二：小亮不能实现；
设OP的解析式为：y＝kx，则300k＝20，
解得：k＝，
∴y＝x，当x＝140时，y＝＜14，
∴小亮不能实现；
任务三：设弹起后球飞行的路径为：y＝b（x﹣300）2+40，
对于y＝﹣（x﹣100）2+45，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣100）2+45，
解得：x＝﹣50（不合题意，舍去）或x＝250，
∴M（250，0），
∴0＝b（250﹣300）2+40，
解得：b＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣300）2+40，
当y＝30时，30＝﹣（x﹣300）2+40，
解得：x＝275或x＝325，
∴击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
17．（2025 鄞州区校级模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．是否存在点P使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由．
【点拨】（1）设利用待定系数法求出解析式即可；
（2）当点P在直线BC的上方时，过点P作PQ∥y轴，交BC的延长线于点Q，待定系数法求出直线BC的解析式，设点P（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2），根据二次函数的对称性求出CD＝1，根据题意求出PQ＝1，列出方程式，解方程求出m的值，即可求出点P的坐标；当点P在BC的下方时，点P和点D重合，舍去；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解．
【解析】解：（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2），将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图2：
当点P在直线BC的上方时，
过点P作PQ∥y轴，交BC的延长线于点Q，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C（0，﹣2）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设点P（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2），
∵y＝x2﹣x﹣2，
∴对称轴为直线，
∴D（1，﹣2），
即CD＝1，
则，，
∵S△PBC＝S△BCD，
∴PQ＝1，
即m2﹣m﹣2﹣（m﹣2）＝1，
解得：，
当时，，
当时，，
∴或；
当点P在BC的下方时，
同理得出PQ＝1，
∴﹣m2+2m＝1，
∴m＝1，
此时点P和点D重合，故舍去，
∴或；
（3）存在点P使的值最大；理由如下：
如图3：
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴，
∴当t＝1时，的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．
18．（2025 金华模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【点拨】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0，分别求出最小值即可求解．
【解析】解：（1）由题意可得：
∴对称轴为直线，
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2，
②∵二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意）
∴a1＞0，a2＜0
当a1＞0时，
当a2＜0时，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
19．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式．
（2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
（3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　≤m≤4　 ．
【点拨】（1）由题意得y＝a（x﹣1）2+2，把点（3，10）代入可求得a＝2，即可求得答案；
（2）由平移得y＝2（x+1）2﹣1，把点（t，t﹣1）代入，整理得2t2+3t+2＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，即可得出答案；
（3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可．
【解析】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），
∴设y＝a（x﹣1）2+2，
把点（3，10）代入y＝a（x﹣1）2+2，得a（3﹣1）2+2＝10，
解得：a＝2，
∴y＝2（x﹣1）2+2，
即y＝2x2﹣4x+4．
（2）将函数y＝2x2﹣4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣3＝2（x+1）2﹣1，
把点（t，t﹣1）代入y＝2（x+1）2﹣1，得：t﹣1＝2（t+1）2﹣1，
整理得：2t2+3t+2＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴原方程没有实数解，
∴点（t，t﹣1）不在新的函数图象上．
（3）∵原函数的对称轴为直线x＝m，
∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为x＝m+2，
又∵点A（m，y1），B（2m，y2）在原函数的图象上，点C（x3，y3）在新的函数图象上，
且当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，
∴m+2＜x3＜2m+2，
即，
解得：≤m≤4；
故答案为：≤m≤4．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
20．（2025 萧山区模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象上．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）点B（m，y1），C（m+2，y2）在该函数的图象上，若m＞﹣2，求证：y1＜y2．
（3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），满足1＜x2﹣x1＜2，求a的取值范围．
【点拨】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式求解即可；
（2）求得两函数值的差即可判断；
（3）求得x2的取值范围，结合图象列出关于a的不等式，解不等式即可．
【解析】（1）解：∵A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1的图象上，
∴1＝4a﹣2b+1，
∴b＝2a，
∴对称轴为直线，
（2）证明：∵点B（m，y1）C（m+2，y2）在该函数的图象上，
，
，
∴y2﹣y1＝4am+8a＝4a（m+2），
∵m＞﹣2，a＞0，
∴4a（m+2）＞0，
∴y2﹣y1＞0，即y1＜y2．
（3）解：如图，1＜x2﹣x1＜2，对称轴为x＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
∴﹣1＜2x2＜0，
∴﹣0.5＜x2＜0，
∴当x＝﹣0.5时，y＜0，
即，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
21．（2025 浙江模拟）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
（1）若m＝﹣2，求二次函数的表达式．
（2）若当﹣1≤x≤4时，y有最小值，求a的值．
（3）求证：．
【点拨】（1）根据表格信息得到对称轴直线为，即，x＝﹣1时，y＝﹣2，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到y＝ax2﹣2ax+1，分类讨论：当a＞0时，二次函数图象开口象限，对称轴直线x＝1处取得最小值；当a＜0时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为x＝1，离对称轴直线越远，函数值越小，当x＝4时，取得最小值；代入求值即可；
（3）根据题意当x＝﹣1时，y＝m，当x＝1时，y＝n，得，根据二次函数图象的性质即可求解．
【解析】解：（1）由条件可知抛物线的对称轴直线为，即，
∴b＝﹣2a，
若m＝﹣2，即x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴，
∴a+2a+1＝﹣2，
解得，a＝﹣1，b＝2，c＝1，
∴二次函数的表达式y＝﹣x2+2x+1；
（2）根据题意，b＝﹣2a，c＝1，
∴y＝ax2﹣2ax+1，
当a＞0时，二次函数图象开口象限，对称轴直线x＝1处取得最小值，
∴，
解得，；
当a＜0时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为x＝1，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当x＝4时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）由条件可知，
∴，
∵﹣3＜0，
∴关于a的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键．
22．（2025 洞头区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值．
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法可以得解；
（2）依据题意，由点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1（2，16），再求得B1关于抛物线的对称轴对称的B2，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（﹣6﹣m，16），结合（﹣6﹣m，16）在y＝x2+4x﹣5图象上，可得16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，可得当x＝﹣2时，y取最小值，最小值为﹣9，再根据n＞﹣2、﹣6≤n≤﹣2和n＜﹣6进行分类讨论，即可计算得解．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7），
∴，
∴．
∴抛物线为y＝x2+4x﹣5．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，
∴B1（2，16），
∴B2（﹣6，16），
∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，
∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（﹣6﹣m，16），
把点（﹣6﹣m，16）代入y＝x2+4x﹣5得，16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，
解得m＝1或m＝﹣9（舍去），
∴m的值为1．
（3）由题意，当n＞﹣2时，
∴最大值与最小值的和为（n+2）2﹣9+7＝﹣2．
∴n＝﹣2不符合题意，舍去．
当﹣6≤n≤﹣2 时，
∴最大值与最小值的和为7﹣9＝﹣2，符合题意．
当n＜﹣6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2﹣9﹣9＝﹣2，
解得 n1＝2 或 n2＝﹣6，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
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