甘肃省定西市渭源县莲峰中学2024-2025学年八年级下学期第二次阶段考试数学试卷（含答案）

2024-2025甘肃省定西市渭源县新寨中学第二次阶段考试
八年级 数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2025 B．x＜2025 C．x＞2025 D．x≠2025
2．一个正方形的边长为3cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝12﹣4x B．y＝4x﹣12 C．y＝12﹣x D．以上都不对
3．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．四边形ABCD四个角∠A：∠B：∠C：∠D满足下列哪一条件时，四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．1：2：2：1 B．2：1：1：1 C．1：2：3：4 D．2：1：2：1
5．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5
7．如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（　　）
A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的平分线交对角线BD，底边BC分别于点O，E，若，，则BO的长为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形ADEF的周长＝AB+AC；④AD AC＝AF AB．下列选项中，正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知是x的正比例函数，则m＝ 　 　 ．
12．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是　 　 ．
13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简　 　 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点E为AC中点．点D在AC右侧，DE⊥AC，且∠DAE＝∠BAC，射线BE交AD于点F，若△DEF为等腰三角形，则线段BE的长为　 　 ．
15．如题图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AB＝12，则CD＝ 　 　 ．
16．小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后立即以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮出发时间x（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为　 　 米．
三．解答题（共10小题，共72分）
17．（4分）计算：|1|．
18．（4分）已知，，求下列代数式的值：
（1）x2+xy+y2；
（2）．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．
（1）若AC＝13，AB＝12，AD＝15．求CD的长；
（2）若AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，直接写出AB的长．
20．（5分）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点．求证：DE＝CE．
21．（7分）已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若点M（1，m）关于y轴的对称点M′恰好落在该函数的图象上，求m的值．
22．（6分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，求BG的长．
23．（6分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
24．（6分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积．
25．（7分）如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，
（1）求这块空地的面积；
（2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
26．（10分）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解；
（3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积．
27．（12分）操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH＝S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B A D D D C
二．填空题（共6小题）
11．﹣3．
12. x＜2．
13.1．
14.3或4．
15.6．
16.240．
三．解答题（共11小题）
17．解：原式．
18．解：因为，，
所以x+y，
x﹣y，
xy，
（1）x2+xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣xy
＝13；
（2）
．
19．解：（1）在△ABC中，AC＝13，AB＝12，∴BC5，
在△ABD中，AD＝15，AB＝12，
∴BD9，
∴CD＝BD﹣BC＝4；
（2）过点C作CE⊥AD于E，
∵∠ABC＝90°，AC平分∠BAD，
∴CE＝BC＝9，
在△CDE中，CD＝15，CE＝9，
∴DE12，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴AB＝AE，
∴AD＝AB+12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AB2+242＝（AB+12）2，
解得AB＝18．
20．证明：∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB＝∠BCA＝90°，
∵E为AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE．
21．解：（1）设y+6＝k（x+1），
把x＝3，y＝2代入得2+6＝4k，
解得k＝2，
∴y+6＝2（x+1），
∴y与x的函数表达式为y＝2x﹣4；
（2）∵点M'是点M（1，m）关于y轴的对称点，
∴点M'的坐标为（﹣1，m），
又∵点M在该函数的图象上，
∴﹣2﹣4＝m．
解得m＝﹣6．
22．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EC，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠GCF＝∠ACF，
∵DE∥BC，
∴∠GCF＝∠EFC，
∴∠ACF＝∠EFC，
∴EF＝ECAC＝6，
∴DF＝DE﹣EF＝10﹣6＝4，
∴BG＝2DF＝8，
故BG的长为8．
23．解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝4时，x+1＝4，
解得：x＝3，
∴方程kx+b＝4的解为x＝3．
24．解：∵在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，
∴小正方形的边长为2（cm），大正方形的边长为4（cm），
∴图中空白部分矩形的周长是（24﹣2）×2＝8cm，面积是2（4﹣2）＝（812）cm2，
即图中空白部分矩形的周长是8cm，面积是（）cm2．
25．解：（1）连接AC，如图：
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，
由勾股定理得：，
在△ABC中，BC＝24m，AB＝26m，
∵AB2＝262，BC2＝242，102+242＝262，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD
＝96（m2），
答：这块空地的面积为96m2；
（2）∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，
∴200×96＝19200（元），
答：在该空地上种植草皮共需19200元．
26．解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，
∴，
解得，
所以直线l的表达式为：y＝2x+4；
（2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6），
∴关于x，y的方程组的解为；
（3）∵点A与点P关于x轴对称，
∴点P（0，﹣4），
∴AP＝4+4＝8，OC＝2，
∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC
8×18×2
＝4+8
＝12．
27．解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD＝CD，又∠ADM+∠MDC＝∠CDE+∠MDC＝90°，
∴DM＝DE
∴四边形MNED是正方形．
∵DE2＝CD2+CE2＝a2+b2，
∴正方形MNED的面积为a2+b2；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．