(共22张PPT)
课前准备
1：提前3分钟进班坐好。
2：必修一数学课本、积累纠错本、演草纸、黑红水笔等工具准备齐全。
3：桌上不能有其他杂物。
4：做好上课准备。
课前准备
6.3.1平面向量基本定理
第六章 6.3.1平面向量基本定理
课 型：新授课
日 期：12.1
导（5min）
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过阅读课本P25-27理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底.
2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.
【重难点】
重点：能判断两个向量能否构成一个基底.
难点：会用基底表示平面向量.
问题导入
思考：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。对此，联系向量，你能得到什么启发呢？
是否可以利用平行四边形法则，将向量也同样进行分解呢
问题1.已知非零向量，那么所有与共线的向量，都能用表示吗？如何表示？
问题2.可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？
问题3.要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？
问题4.平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？
问题5.平面向量基本定理
问题6.基底有哪些特征？
1、认真阅读课本25-27页并思考以下问题。将问题的答案写在积累本上(前8min)
2、完成导学提纲上深入学习部分。(后5min)
要求： 1. 阅读课本快速、全面，圈画并标星重要知识点；
2. 不交流，不提问，眼不斜视，手不离笔；
思(13min)
各小组讨论解决问题，并记录解决不了的问题和疑惑！
要求：人人发言，不讨论与课堂无关的话题，以小组为单位，组内商量后选出代表回答问题。
议(5min)
问题1.已知非零向量，那么所有与共线的向量都能用表示吗？如何表示？
问题2.可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？
问题3. 要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？
问题4.平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？
问题5.基底有哪些特征？
问题6.平面向量基本定理
展（8min）
探究1.2.3.
问题1 平面内任意一个向量都可以表示成吗？
当时
当时
与都共线
与共线
与都不共线
与共线
与共线
=
=
展（8min）
探究4.
探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？
M
N
展（8min）
探究4
问题4：如果给定的两向量
共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？
不能，此时与，共线，当向量与它们不共线时，则无法表示.
只有不共线时，才可以用来表示平面内的任一向量，即若不共线，则对，都存在，，使得
展（8min）
探究5.
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
展（8min）
探究6.基底的特征
①基底不唯一
②基底是两个不共线的向量
③零向量不能作为基底
展（8min）
牛刀小试
辨析：判断正误.
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ）
(2)零向量可以作为基底. （ ）
(3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ）
×
×
√
展（8min）
探究4.
例1：若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ）.
A.， B.，
C.， D.，
【答案】：
展（8min）
探究5.
例2：如图，，不共线，且，用，表示.
解：因为，
所以
若三点共线，为直线外一点存在实数，使且.
思考1：观察，你有什么发现？
思考1：观察，你有什么发现？
展（8min）
牛刀小试
例3：如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形.
证明：如图，设，，则，，于是.
因为，所以
因为，，所以
因此.
于是是直角三角形.
评（6min）
题型一：利用基底表示向量
练习1：设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：
① 与；② 与；③ 与；④ 与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】：
评（6min）
题型二：利用已知向量表示未知向量
评（6min）
题型二：
检（3min）
变式2-1：如图所示，中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝， ＝，试用，表示向量.
【答案】：＝ ＋ ＝ ＋
＝＋＝＋ －＝ ＋ .
1.（多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
【答案】：ACD
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
结
1.知识清单:
(1)基底的特征
(2)平面向量的基本定理
3）利用定理解决问题
2.方法归纳:数形结合
3.常见误区:
整理笔记
本课结束
下节内容预告：南乐一行高级中学 2024级数学 日期：2025.2..5 编制：郭社玲 审核：高一数学组
6.3.1平面向量基本定理 【学习目标】 1.通过阅读课本P通过阅读课本P25-27理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 【重难点】 重点：能判断两个向量能否构成一个基底. 难点：会用基底表示平面向量. 【基础感知】 问题1.已知非零向量a ，那么所有与a 共线的向量都能用a 表示吗？如何表示？ 问题2.可以只用这个非零向量a 来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 问题3. 要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 问题4.平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个a ，还能这样表示吗？ 问题5.基底有哪些特征？ 问题6.平面向量基本定理 【我有问题要问】 1. 2. 3. 4. 【深入学习】 题型一： 题型二： 题型三： 【检】
天生我材必有用
1.如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，CA=a,CB=b.用a,b表示AB,AD,BE,C京
B
B
(第1题)
(第2题)
2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=a,AD=b,点E,F分别是OA,OC
的中点，G是CD的三等分点(DG=CD.
(1)用a,b表示DE,FB,O心：
(2)能由(1)得出DE,BF的关系吗？
3.如图，在△ABC中，AD=AB,点E,F分别是AC,BC的中
点.设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示CD,EF
(2)如果∠A=60°，AB=2AC,CD,EF有什么关系？用向量方法
(第3题)
证明你的结论，
D
F
C
G
b
E
A
a
B2024-2025学年下学期高一6.3.1平面向量基本定理限时练习
编写人：郭社玲 试做人：高一数学组
满分：80分 时间：40分钟 日期：2..05 编号：003
班级 姓名 学号 分数________________
一、单选题（每题5分）
1．下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
3．（多选）下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B．若，共线，则
C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D．若，，三点共线，则
4．（多选）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若实数，使得，则且
5．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，C．， D．，
6．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． 和 B．和C． 和 D．和
7．已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和C．和 D．和
8．已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分）
1．在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
2．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则CF向量等于
三、解答题（每题5分）
4．如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，，令，试用分别表示.
5．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．
（1）试用，表示、；（2）试用，表示．
天生我材必有用
