专题19：不规则图形的体积算法（专项训练）（含解析）-2025年小升初数学复习专项（人教版）

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专题19：不规则图形的体积算法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下面使用转化思想解决问题的是（ ）。
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．一个棱长是30cm的正方体盒子里面装了一些水，水深20cm，将一块石头完全浸入水中，水面上升了4cm，这块石头的体积是（ ）cm3。21cnjy.com
A．1600 B．2400 C．3600 D．18000
3．如图，如果将同样大小的石块放在四个不同的容器中（石块完全浸没，且水未溢出），（ ）的水面上升得最多。（单位：cm）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
4．如图，每个小球的体积是（ ）立方厘米。

A．12 B．10 C．20
5．如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，放入小球后水面的高是10cm，②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是28cm，小球的体积与小正方体体积的比是（ ）。【来源：21·世纪·教育·网】
A．15∶32 B．3∶32 C．32∶15 D．64∶15
二、填空题
6．有小中大三个正方体水池，从里面测量它们的边长分别是2米、3米、6米，把两堆沙分别倒入小、中号水池，水面分别上升了4厘米、6厘米，如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升( )厘米。
7．根据下图信息（单位：厘米），石块的体积是( )立方厘米。
8．一个长5dm、宽3dm、高5dm的长方体玻璃缸内盛有2dm深的水，放入一个石块后，水深2.2dm，这个石块的体积是( )dm3。
9．把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是( )立方厘米。
10．一个棱长5厘米的正方体玻璃水箱，里面装有3厘米深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到4厘米，这块石头的体积是( )立方厘米。
11．一个圆柱形透明水缸，底面直径40厘米，把一个石球浸没在水中，缸内水面上升了2.5厘米，这个石球的体积是( )立方厘米。
12．一瓶水750mL，如下图，小刚喝了一些后，把瓶盖拧紧后倒置放平，小刚喝了( )mL。
13．一个圆柱形杯子从里面量底面直径是20厘米，里面装有一些水，正好是杯子容积的，将一块石子浸没在水里，水面上升了12厘米，刚好和杯口齐平。这个杯子的容积是( )毫升。
14．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的40%，将一块石块完全没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是( )毫升。
15．有一个长方体水箱，从里面量底面积是24平方分米，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是( )立方分米。
16．在一个从里面量底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形杯内倒入高8厘米的水后，再放入一个小石块全部浸没水中，水满后又溢出水10毫升，放入的小石块的体积是( )立方厘米。
17．一个棱长为的正方体水箱中装有半箱水，现在把一块石头完全浸没在水中，水面上升了，这块石块的体积是( )。
三、判断题
18．在一个装有50毫升水的量杯中放入一块石头，水面上升到75毫升，这块石头的体积就是75立方厘米。( )
19．小丽将一块建筑用砖放入一个里面长40cm、宽30cm的水槽中，完全浸没，过一会她将砖块拿出后发现水面下降0.8cm，所以砖块的体积是40×30×0.8＝960（cm3）。( )
20．如图（单位：cm），正方体的体积比小球的体积大。( )
21．把一个物体放入水中（完全浸没，水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。( )
22．把皮球放入盛满水的容器中，溢出水的体积比皮球的体积大。( )
四、计算题
23．求下面图形的体积。（π取3.14）
24．计算出石头的体积是多少立方厘米？
五、解答题
25．一个长方体鱼缸长7.2分米、宽5分米，鱼缸里的水深3分米，把淹没在里面的一块假山石捞出来后，鱼缸里的水面下降了3厘米，这块假山石的体积是多少？
26．一个棱长为16厘米的正方体容器内水深8厘米，将一个不规则的铁块放入水中（完全浸没），水面上升，此时水面与容器口处相差3厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？
27．一个盛满水的底面内半径为20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的圆锥完全浸入水中，取出圆锥后，容器里的水面下降了2厘米。21教育网
（1）圆锥的体积是多少立方厘米？
（2）圆锥的高是多少厘米？
28．如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？21·世纪*教育网
29．一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。2-1-c-n-j-y
30．一个长方体容器装有45升的水，将一个铁球浸没在水中时，容器内的水深达到5.7分米。如果再放入一个体积为3.2立方分米的铁球，这个长方体容器里的水会溢出来吗？（请通过计算说明）21*cnjy*com
31．如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重7.8克，这段钢材重多少克？
32．学了体积后，妈妈拿出一块不规则的土豆问小华，你能算出它的体积吗？小华想了想，找来一个从里面量长12厘米，宽10厘米，高15厘米的长方体容器，里面水深8厘米，放入土豆后，土豆全部浸没在水中，水面上升到9.5厘米，你能帮小华算出土豆的体积是多少立方厘米？
《专题19：不规则图形的体积算法（专项训练）-2025年小升初数学复习》参考答案
1．D
【分析】① 把圆柱的体积转化为长方体，利用长方体体积公式，推导出圆柱的体积公式，用了转化思想解决问题。
②把圆柱的侧面积转化为长方形，利用长方形面积公式，推导出圆柱的侧面积公式，用了转化思想解决问题。
③把瓶子中的液体转化为两个圆柱的容积，求出瓶子的容积，用了转化思想解决问题。
④把不规则物体的体积转化为圆柱的体积，求出不规则物体的体积，用了转化思想解决问题。据此解答。
【详解】根据分析可知，使用转化思想解决问题的是①②③④。
故答案为：D
2．C
【分析】由题意可知，上升的水的体积等于这块石头的体积，上升的水的体积可以看成长是30cm，宽是30cm，高是4cm的长方体的体积，根据，代入数据计算即可。
【详解】（cm3）
一个棱长是30cm的正方体盒子里面装了一些水，水深20cm，将一块石头完全浸入水中，水面上升了4cm，这块石头的体积是3600cm3。21·cn·jy·com
故答案为：C
3．D
【分析】将石块浸没在水中，水面上升部分的体积就是石块的体积。水面上升部分形成了一个长方体，长方体体积＝底面积×高。由于石块的体积是一样大的，那么底面积越大，对应水面上升的高度越低；反之底面积越小，水面上升的高度越高。据此，先求出四个容器的底面积，再找出底面积最小的即可。21教育名师原创作品
【详解】A．25×20＝500（cm2）；
B．24×18＝432（cm2）；
C．20×20＝400（cm2）；
D．30×12＝360（cm2）；
360＜400＜432＜500，即D选项容器的底面积最小，那么将石块放入后，水面上升得最多。
故答案为：D
4．B
【分析】左图：放入1个大球与2个小球，溢出水的体积是36毫升；右图：放入1个大球与4个小球，溢出水的体积是56毫升；www-2-1-cnjy-com
右图比左图多了2个小球，水的体积多了（56－36）毫升，据此用除法计算求出每个小球的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。
【详解】（56－36）÷（4－2）
＝20÷2
＝10（毫升）
10毫升＝10立方厘米
每个小球的体积是10立方厘米。
故答案为：B
5．C
【分析】因为两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积；
已知①号容器放入小球后，水面升高了（10－8）cm，那么水上升部分的体积就是小球的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出小球的体积；
已知②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是28cm，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面高28cm时，水、小球和正方体的体积之和，再减去水、小球的体积，即是正方体的体积；
根据比的意义写出小球的体积与小正方体体积的比，再化简比。
【详解】水的体积：
π×（16÷2）2×8
＝π×82×8
＝π×64×8
＝512π（cm3）
小球的体积：
π×（16÷2）2×（10－8）
＝π×82×2
＝π×64×2
＝128π（cm3）
正方体的体积：
π×（10÷2）2×28－512π－128π
＝π×52×28－512π－128π
＝π×25×28－512π－128π
＝700π－512π－128π
＝60π（cm3）
小球的体积与小正方体体积的比是：
128π∶60π
＝（128π÷4π）∶（60π÷4π）
＝32∶15
小球的体积与小正方体体积的比是32∶15。
故答案为：C
6．
【分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆沙分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放沙的体积，利用长方体的体积公式长宽高，求出两堆沙的体积；再将这两堆沙石都倒入大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆沙的体积，再用两堆沙的体积和除以大正方形水池的底面积，即可解答，注意单位名数的统一。
【详解】2米＝200厘米
3米＝300厘米
6米＝600厘米
200×200×4
＝40000×4
＝160000（立方厘米）
300×300×6
＝90000×6
＝540000（立方厘米）
（160000＋540000）÷（600×600）
＝700000÷360000
＝（厘米）
如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升厘米。
7．628
【分析】观察可知，放入小石块，水面上升了厘米，上升的水的体积就是小石块的体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算上升的水的体积，即可得解。21*cnjy*com
【详解】
（立方厘米）
石块的体积是628立方厘米。
8．3
【分析】水面上升的体积就是这个石块的体积，长方体玻璃缸的长×宽×水面上升的高度＝石块体积，据此列式计算。
【详解】5×3×（2.2－2）
＝15×0.2
＝3（dm3）
这个石块的体积是3dm3。
9．90
【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积。根据，代入数据计算即可。
【详解】60×1.5＝90（立方厘米）
这块石头的体积是90立方厘米。
10．25
【分析】这块石头的体积＝上升的水的体积。根据题意，上升的水的形状是长5厘米，宽5厘米，高（4－3）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这块石头的体积。
【详解】5×5×（4－3）
＝5×5×1
＝25（立方厘米）
则这块石头的体积是25立方厘米。
11．3140
【分析】石球的体积相当于缸内水上升的体积，水的体积等于底面直径40厘米，高2.5厘米的圆柱体积，圆柱的体积V＝πr2h，据此代入数据计算即可。
【详解】3.14×（40÷2）2×2.5
＝3.14×202×2.5
＝3.14×400×2.5
＝1256×2.5
＝3140（立方厘米）
所以，这个石球的体积是3140立方厘米。
12．500
【分析】1mL＝1，750 mL＝750；由图可知，这瓶水的体积相当于高5＋10＝15（cm）的圆柱的体积，根据圆柱的底面积＝体积÷高，用750÷15列式求出瓶子的底面积；再根据圆柱的体积＝底面积×高，用瓶子的底面积乘空余部分圆柱的高（10cm），即可求出小刚喝了多少的水，然后化成mL作单位即可。
【详解】750 mL＝750
750÷（5＋10）×10
＝750÷15×10
＝50×10
＝500（）
500＝500 mL
所以小刚喝了500 mL。
13．9420
【分析】根据题意，水上升的体积等于石头的体积，根据V＝Sh，计算出石头的体积，再根据水的体积是杯子容器的，那么石头的体积是杯子容器的（1－），再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。
【详解】（20÷2）2×3.14×12÷（1－）
＝100×3.14×12÷
＝314×12×
＝3768×
＝9420（毫升）
所以，这个杯子的容积是9420毫升。
14．6280
【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的40%，即杯中水的高也占杯子高的40%，将石块浸没在水中，这时水面上升12厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的，由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式列式解答。
【详解】
（厘米）
（立方厘米）
立方厘米＝毫升
故这个玻璃杯的容积是毫升。
15．9.6
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积，就是西瓜的体积，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】24×（5.4－5）
＝24×0.4
＝9.6（立方分米）
有一个长方体水箱，从里面量底面积是24平方分米，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是9.6立方分米。
16．167
【分析】小石块的体积＝杯子空余部分容积＋溢出的水的体积，空白部分的容积＝底面积×（杯子高度－水的高度），据此列式计算。
【详解】10毫升＝10立方厘米
3.14×52×（10－8）＋10
＝3.14×25×2＋10
＝157＋10
＝167（立方厘米）
放入的小石块的体积是167立方厘米。
17．5.4
【分析】水面上升的体积就是石块的体积，根据长方体体积公式，水箱棱长×棱长×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式计算。注意统一单位。
【详解】6cm＝0.6dm
3×3×0.6＝5.4（）
这块石块的体积是5.4。
18．×
【分析】1毫升＝1立方厘米，即50毫升＝50立方厘米，75毫升＝75立方厘米，由于加入石头后，水面上升到75毫升，即75立方厘米，此时的75立方厘米包含了水和石头的体积，用75立方厘米减去原来水的体积即可求出石头的体积。
【详解】50毫升＝50立方厘米；75毫升＝75立方厘米
石头的体积：75－50＝25（立方厘米）
故答案为：×
【点睛】本题主要考查不规则物体的体积求法，熟练掌握它的求法并灵活运用。
19．√
【分析】将砖块从水槽中拿出来时，下降部分的水的体积就是砖块的体积，长方体的长×宽×下降的水位＝砖块的体积，据此列式解答。
【详解】40×30×0.8
＝1200×0.8
＝960（cm3）
此题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查了不规则物体的体积计算，运用长方体的体积进行解答即可。
20．√
【分析】观察图形可知，拿出正方体后，水面下降从10cm下降到7.5cm，下降了10－7.5＝2.5cm，下降部分就是正方体的体积；拿出小球后，水面从7.5cm下降到6cm，水面下降了7.5－6＝1.5cm；下降部分就是小球的体积；根据长方体的体积公式：底面积×高；底面积相等，比较下降的高度，谁下降的多，谁大，据此解答。
【详解】正方体下降的高度：10－7.5＝2.5（cm）
小球下降的高度：7.5－6＝1.5（cm）
2.5＞1.5，所以正方体的体积大于小球的体积。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】根据求不规则物体体积方法；利用长方体体积公式进行解答。
21．√
【分析】当物体是浸没在水中时，水面上升的体积是物体的体积，据此判断即可解答。
【详解】
如：一个长方体水箱，从里面量长14分米，宽10分米，高16分米。里面装了10分米深的水（如图）。小明将一块石头放入水中后，若水面上升到12.5分米，石头的体积是多少立方分米？
水的体积：
14×10×10
＝140×10
＝1400（立方分米）
水和石头的体积：
14×10×12.5
＝140×12.5
＝1750（立方分米）
石头的体积：
1750－1400＝350（立方分米）
石头的体积是350立方分米。
水上升部分的体积：
14×10×（12.5－10）
＝140×2.5
＝350（立方分米）
由此可得：石头的体积就是水上升部分的体积。即：把一个物体放入水中（完全浸没，水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。原题说法正确。21世纪教育网版权所有
故答案为：√
【点睛】本题考查了求不规则物体的体积，关键是理解水上升的体积就是物体的体积。
22．×
【分析】把皮球放入盛满水的容器中，皮球一部分沉没在水中，另一部分漂浮在水面上；溢出水的体积等于皮球沉没在水中的体积，皮球的体积等于沉没在水中的体积加上漂浮在水面上的体积，所以溢出水的体积比皮球的体积小，据此解答。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】根据分析可知，把皮球放入盛满水的容器中，溢出水的体积比皮球的体积小。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键明确皮球的体积分两部分，一部分沉没在水中，一部分是漂浮在水面上。
23．12444.24
【分析】观察图形可知，这个组合图形的体积等于这个长38、宽32、高12的长方体的体积与底面半径是（32－10－10）÷2＝6，高为38的半圆柱的体积之差，据此利用长方体的体积＝长×宽×高，半圆柱的体积＝底面积×高÷2，代入数据计算即可解答问题。
【详解】（32－10－10）÷2＝12÷2＝6
38×32×12－3.14×62×38×
＝14592－3.14×36×38×
＝14592－3.14×36×19
＝14592－2147.76
＝12444.24
这个图形的体积是12444.24。
24．288立方厘米
【分析】水面上升的体积就是石头的体积，由题图可知，水面上升了9－7＝2（厘米），根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。【出处：21教育名师】
【详解】12×12×（9－7）
＝144×2
＝288（立方厘米）
25．10.8立方分米
【分析】把3厘米化成0.3分米，由题意可知，假山石的体积等于鱼缸里下降的水的体积，下降的长方体的长为7.2分米、宽为5分米、高为0.3分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。【版权所有：21教育】
【详解】3厘米＝0.3分米
7.2×5×0.3
＝36×0.3
＝10.8（立方分米）
答：这块假山石的体积是10.8立方分米。
26．1280立方厘米
【分析】不规则的铁块完全浸入水中水面上升部分水的体积就是铁块的体积，棱长减去原来的水深再减去最后水面与容器口处相差的距离就等于水面上升的高度，根据长方体体积的计算公式，用容器底面积乘水面上升高度即可解答。2·1·c·n·j·y
【详解】16－8－3
＝8－3
＝5（厘米）
16×16×5
＝256×5
＝1280（立方厘米）
答：这个铁块的体积是1280立方厘米。
27．（1）2512立方厘米
（2）24厘米
【分析】（1）圆柱形容器里下降的水的体积就是圆锥的体积，圆柱形容器的底面半径是20厘米，水面下降2厘米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，代入数据计算即可解答；
（2）圆锥的体积＝××半径的平方×高，用圆锥的体积乘3，除以（×半径的平方）即可求出圆锥的高是多少厘米。
【详解】（1）3.14×202×2
＝3.14×400×2
＝1256×2
＝2512（立方厘米）
答：圆锥的体积是2512立方厘米。
（2）2512×3÷（3.14×102）
＝7536÷（3.14×100）
＝7536÷314
＝24（厘米）
答：圆锥的高是24厘米。
28．37.68平方厘米
【分析】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是4厘米，水面下降高度是1.5厘米，根据圆柱的体积公式可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知圆锥的高是6厘米，根据圆锥体积公式可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。
【详解】3.14×42×1.5
＝3.14×16×1.5
＝50.24×1.5
＝75.36（立方厘米）
75.36×3÷6
＝226.08÷6
＝37.68（平方厘米）
答：这个铅锤的底面积是37.68平方厘米。
29．216立方厘米
【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积，上升的水的体积可看作是一个长是12厘米、宽是6厘米、高是厘米的小长方体的体积，根据，代入数据计算即可得解。
【详解】12×6×（8－5）
＝12×6×3
＝216（立方厘米）
答：这块石头的体积是216立方厘米。
30．会
【分析】由题意可知，容器内无水部分可以看作一个长方体，长方体的长和宽都是3分米，高为（6－5.7）分米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出无水部分的体积，最后和铁球的体积比较大小，即可求得。
【详解】3×3×（6－5.7）
＝3×3×0.3
＝9×0.3
＝2.7（立方分米）
因为3.2立方分米＞2.7立方分米，所以水会溢出来。
答：这个长方体容器里的水会溢出来。
31．881.712克
【详解】如果这个图再增加一半，可以拼成一个底面直径是4厘米，高（10＋8）厘米的圆柱体，根据圆柱体的体积公式，求出这个圆柱体的体积，再除以2求出图形的体积，然后再乘7.8克，即可求出这段钢材重多少克。
【解答】3.14×（4÷2）2×（10＋8）
＝3.14×4×18
＝12.56×18
＝226.08（立方厘米）
226.08÷2×7.8
＝113.04×7.8
＝881.712（克）
答：这段钢材重881.712克。
32．180立方厘米
【分析】分析题目，土豆的体积等于一个长是12厘米，宽是10厘米，高是（9.5－8）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。
【详解】12×10×（9.5－8）
＝12×10×1.5
＝120×1.5
＝180（立方厘米）
答：土豆的体积是180立方厘米。
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