专题20：立体图形的切拼（专项训练）（含解析）-2025年小升初数学复习专项（人教版）

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专题20：立体图形的切拼
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．手工课上，李苹制作了一个长方体礼盒，如果将高减少0.6分米，正好变成了一个正方体，会少用纸板7.2平方分米。原来长方体礼盒的体积是（ ）立方分米。
A．4.32 B．5.4 C．27 D．32.4
2．用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（ ）。
A．个 B．个 C．个 D．个
3．小明用27个1cm3的小正方体拼成一个大正方体，小利从大正方体上拿走一个1cm3的小正方体，形成新几何体的表面积可能比原来的大正方体（ ）。21*cnjy*com
A．少了2cm2 B．少了4cm2 C．多了3cm2 D．多了4cm2
4．把一个长方体切成两个完全相同的小长方体，有三种切法，表面积分别增加了40平方厘米，30平方厘米，24平方厘米。原来长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．60 B．120 C．96 D．98
5．将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（ ）平方分米。
A．18π B．48π C．72π D．132π
6．莆田木雕是传统艺术。如图，一块长方体木料沿高截去2厘米，变成一个正方体，表面积减少48平方厘米，原来长方体的体积是（ ）。
A．216立方厘米 B．72立方厘米 C．264立方厘米 D．288立方厘米
二、填空题
7．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )。
8．一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。
9．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为( )cm。
10．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。
11．一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。
12．如下图所示，把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。
13．先观察、分析下面各组立体图形的摆放情况，再填空。（每个小正方体的棱长为1厘米）
摆3层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米；摆6层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米。
14．把一个棱长是6cm的正方体的六个面涂满红色，然后切割成1cm3的小正方体。这些小正方体中一面涂红色的有( )个，没有涂红色有( )个。
15．把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。【来源：21·世纪·教育·网】
16．用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。
17．一个长方体，如果长减少3cm，刚好变成了一个正方体，表面积比原来减少了120cm2，原来这个长方体的体积是( )，表面积是( )。
18．把一个高8分米的圆柱沿着它的底面直径切成相同的两部分，表面积增加96平方分米，这个圆柱的体积是( )立方分米。
19．一块长方体木料，截去一个高8cm的长方体后，表面积比原来减少，剩下的部分是一个正方体。原来这块长方体木料的体积是( )。
20．将一个圆柱分成16等份后，拼成一个近似的长方体，这个长方体高为4厘米，表面积比圆柱多64平方厘米，圆柱的体积是( )。
三、解答题
21．一个长方体，表面全涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数是多少？
22．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？
23．一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。
（1）请你设计一种符合要求的包装箱。
（2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？
24．一段圆柱形木料，如果截成两个小圆柱体，表面积增加25.12平方厘米，如果沿底面直径劈成两半，表面积增加16平方厘米，这段圆柱形木料的表面积是多少？
25．把一块长、宽、高分别为6分米、5分米和3分米的长方体木料削成一个底面直径是4分米的最大的圆锥，削去部分的体积是多少？
26．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？
27．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？
28．用棱长分别是12厘米和8厘米的小正方体各搭一个大正方体，如果搭出的两个正方体的棱长相同，那么它们的棱长最小是多少？各要用几个小正方体？
29．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
30．一个正方体的表面积是20平方厘米，将它切成8个一样大小的小正方体，每个小正方体的表面积是多少平方厘米？
31．两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。
32．一个正方体木块，把它锯成两个完全一样的长方体后，每个长方体的表面积比原来正方体的表面积小32平方厘米。求原正方体的体积。
33．智慧乐园
（1）2个棱长1厘米的正方体，它们的表面积总和是多少平方厘米？把它们拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？
（2）3个这样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？4个呢？
（3）你有什么发现？
（4）按这样的拼法，20个小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？
《专题20：立体图形的切拼（专项训练）-2025年小升初数学复习》参考答案
1．D
【分析】如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长和宽多0.6分米，如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，而且表面积要减少7.2平方分米，减少的面积在原来长方体中是高0.6分米那部分的侧面积，侧面的这4个面都是宽为0.6分米，长相等的完全一样的长方形，据此可求出原长方体的长和宽，从而求出高，最后根据长方体体积＝长×宽×高求体积。2-1-c-n-j-y
【详解】长、宽：7.2÷4÷0.6＝3（分米）
高：3＋0.6＝3.6（分米）
体积：3×3×3.6＝32.4（立方分米）
原来长方体礼盒的体积是32.4立方分米。
故答案为：D
【点睛】掌握长方体和正方体的特征，以及掌握长方体的体积公式，是解答本题的关键。
2．C
【分析】根据大正方体的组成个数可知大正方体有个顶点，再根据拿走个小正方体处应该有个三面涂色的解答即可。21*cnjy*com
【详解】因为个棱长的小正方体拼成大正方体，
即
所以大正方体的棱长为，
所以大正方体有个顶点，
因为从一个顶点处拿走个小正方体，
所以剩下的个顶点处的小正方体三面都涂色，拿走的个小正方体顶点处有个小正方体三面涂色，
所以剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（个），
故答案为：
【点睛】本题考查了小正方体组成大正方体的体积以及表面积等相关知识点，根据题目信息得到大正方体的顶点个数是解题的关键。21教育名师原创作品
3．D
【分析】情况1：拿走大正方体顶点处的一个小正方体，原来需要计算拿走小正方体上面、前面、右面3个面的面积，现在需要计算拿走小正方体下面、后面、左面3个面的面积，现在和原来大正方体的表面积相等；
情况2：拿走大正方体某条棱中间的一个小正方体，原来需要计算拿走小正方体的上面、前面2个面的面积，现在需要计算拿走小正方体下面、后面、左面、右面4个面的面积，现在比原来大正方体的表面积多2个小正方形的面积；
情况3：拿走某个面中心的一个小正方体，原来需要计算拿走小正方体前面1个面的面积，现在需要计算拿走小正方体后面、上面、下面、左面、右面5个面的面积，现在比原来大正方体的表面积多4个小正方形的面积，据此解答。
【详解】小正方体的体积为1cm3，则小正方体的棱长为1cm。
情况1：
分析可知，新几何体表面露出小正方形的数量等于原来大正方体表面小正方形的数量，所以形成新几何体的表面积等于原来大正方体的表面积。
情况2：
分析可知，新几何体表面露出小正方形的数量比原来大正方体多2个小正方形。
1×1×2＝2（cm2）
所以，新几何体的表面积比原来大正方体的表面积多2cm2。
情况3：
分析可知，新几何体表面露出小正方形的数量比原来大正方体多4个小正方形。
1×1×4＝4（cm2）
所以，新几何体的表面积比原来大正方体的表面积多4cm2。
故答案为：D
【点睛】明确原来和现在立体图形表面露出小正方形的数量是解答题目的关键。
4．A
【分析】根据题意可知，表面积增加了40平方厘米，就是长×宽×2＝40平方厘米，长×宽＝20平方厘米；
表面积增加了30平方厘米，就是长×高×2＝30平方厘米，长×高＝15平方厘米；
表面积增加了24平方厘米，就是宽×高×2＝24平方厘米，宽×高＝12平方厘米；
长×宽×长×高×宽×高＝20×15×12；进而可知，长2×宽2×高2＝20×15×12，即（长×宽×高）2＝3600，进而求出长方体体积。
【详解】根据分析可知：
（长×宽×高）2＝20×15×12
＝300×12
＝3600
（长×宽×高）×（长×宽×高）＝3600
因为60×60＝3600
长×宽×高＝60
所以长方体的体积是60立方厘米。
把一个长方体切成两个完全相同的小长方体，有三种切法，表面积分别增加了40平方厘米，30平方厘米，24平方厘米。原来长方体的体积是60立方厘米。
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键是增加的表面积是哪个切面的面积。
5．B
【分析】根据题意，把一个圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，表面积增加60平方分米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面的长、宽分别等于圆柱的底面直径和高；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。
【详解】圆柱的底面直径：
60÷2÷5
＝30÷5
＝6（分米）
圆柱的表面积：
π×6×5＋π×（6÷2）2×2
＝π×6×5＋π×9×2
＝30π＋18π
＝48π（平方分米）
这根圆柱形木料原来的表面积是48π平方分米。
故答案为：B
【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成两个半圆柱时，增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面直径和高为长、宽的长方形。
6．D
【分析】根据题意，长方体的高截去2厘米后，表面积减少48平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，截去部分的高是2厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以2，求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上2厘米，即是原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。
【详解】长方体的长、宽是：
48÷4÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
长方体的高是：6＋2＝8（厘米）
长方体的体积是：
6×6×8
＝36×8
＝288（立方厘米）
原来长方体的体积是288立方厘米。
故答案为：D
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。
7．6个
【分析】1．计算最底层正方体的表面积
正方体表面积公式为S＝6a2（a为棱长），最底层正方体棱长a＝2，其一个面的面积为2×2＝4，那么最底层正方体的表面积（包含底面）为6×4＝24【出处：21教育名师】
2．分析上层正方体一个面的面积规律
我们通过观察图形来确定上层正方体一个面的面积与下层的关系。可以发现，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，把下层正方体上底面的正方形沿对角线分割，能直观看到上层正方体底面占下层正方体底面的一半。所以最底层正方体一个面面积是4，从下往上数，第二层正方体一个面面积是4÷2＝2，第三层正方体一个面面积是2÷2＝1，依此类推。
3．计算不同层数时塔形的表面积并确定最少个数
当有2个正方体时，表面积为最底层正方体表面积加上第二层正方体4个侧面的面积（因为第二层上底面与第一层接触，不增加表面积），即24＋4×2＝32。
当有3个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1
当有4个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5
当有5个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25
当有6个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125，超过了39。所以正方体个数至少是6个。
【详解】最底层正方体一个面面积：2×2＝4，最底层正方体表面积（含底面）
6×4＝24。
2个正方体时表面积：24＋4×2
＝24＋8
＝32
3个正方体时表面积：
24＋4×2＋4×1
＝24＋8＋4
＝36
4个正方体时表面积：
24＋4×2＋4×1＋4×0.5
＝24＋8＋4＋2
＝38
5个正方体时表面积：
24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25
＝24＋8＋4＋2＋1
＝39
6个正方体时表面积：
24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125
＝24＋8＋4＋2＋1＋0.5
＝39.5
所以正方体个数至少是6个。
【点睛】本题的关键在于通过直观观察图形，准确找出上层与下层正方体一个面面积的变化规律，再结合正方体表面积公式进行计算。在计算时，需明确每增加一层正方体，其各面在总表面积计算中所起的作用，即哪些面增加了表面积，哪些面因重合不产生影响，进而逐步算出不同正方体数量时塔形的表面积。
8．25.12
【分析】如图2所切，增加4个底面，增加的面积（50.24平方厘米）＝底面面积×4，则底面面积＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根据圆的面积：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如图1所切，增加4个长方形的面，增加的面积是48平方厘米，则1个长方形面积（直径×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直径即可求出高。若削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的。圆柱的体积：V＝sh，圆柱的体积：V＝sh，代入数据计算，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相减即可求出减少的体积。
【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米）
12.56÷3.14＝4（平方厘米）
4＝22
这个圆柱的底面半径是2厘米。
48÷4÷（2×2）
＝48÷4÷4
＝3（厘米）
12.56×3－12.56×3×
＝37.68－12.56
＝25.12（立方厘米）
体积减少了25.12立方厘米。
【点睛】掌握圆柱切割的特点，通过增加的面积，求出圆柱的底面半径和高是解题关键。
9．27
【分析】根据题意可知，铁块没有被水完全浸没；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先求出大正方体的体积和8个小正方体的体积，然后用减法可得剩下的体积；设放入铁块后水面高度变为xcm，水的体积加水里的铁块的体积相当于一个圆柱的体积，原来水的体积＋铁块的体积－露出水面铁块的体积＝水的体积＋水里的铁块的体积，再根据圆柱的体积公式＝底面积×高，列方程解答即可。【版权所有：21教育】
【详解】
（cm3）
解：设放入铁块后水面高度变为xcm。
放入铁块后水面高度变为27cm。
【点睛】本题考查了体积的等积变形，关键是明确水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分。
10．96
【分析】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，再求出正方体棱长，再求出正方体体积，用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。
【详解】64÷4＝16（平方厘米）
16＝4×4
所以正方体棱长是4厘米。
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
64＋64÷2
＝64＋32
＝96（立方厘米）
所以新长方体的体积是96立方厘米。
【点睛】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。
11．62
【分析】由题意，长增加2厘米，体积增加12立方厘米，可知宽×高＝12÷2＝6平方厘米；同理可知长×高＝30÷3＝10平方厘米，长×宽＝60÷4＝15平方厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据分别代入公式解答。
【详解】（6＋10＋15）×2
＝（16＋15）×2
＝31×2
＝62（平方厘米）
那么这个长方体的表面积是62平方厘米。
【点睛】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可。21·cn·jy·com
12． 42平方厘米/42cm2 9平方厘米/9cm2
【分析】把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，就是切了1刀，表面积增加了两个切面的面积。想要表面积增加最多，就要切面的面积最大，看图可知，这个长方体的切面最大是增加了长7厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；想要表面积增加最少，就要切面的面积最小，看图可知，这个长方体的切面最小是增加了宽1.5厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；即可得解。
【详解】最多增加：7×3×2＝42（平方厘米）
最少增加：1.5×3×2＝9（平方厘米）
把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加（42平方厘米），最少增加（9平方厘米）。
【点睛】明确表面积增加最多、最少的切法是解决本题的关键。
13． 6 24 21 66
【分析】观察图形可知：
摆1层，用了1个小正方体；
摆2层，用了3个小正方体，3＝1＋2；
摆3层，用了6个小正方体，6＝1＋2＋3；
……
规律：摆n层，用小正方体的个数：（1＋2＋3＋…n）个。
摆1层，立体图形有6个小正方形，6＝1×6＝1×（5＋1）；
摆2层，立体图形有14个小正方形，14＝2×7＝2×（5＋2）；
摆3层，立体图形有24个小正方形，24＝3×8＝3×（5＋3）；
……
规律：摆n层，摆成的立体图形有小正方形的个数：n×（5＋n）个。
再用每个正方形的面积乘个数即可求出立体图形的表面积。
据此规律解答。
【详解】（1）摆3层时，用了小正方体的个数：
1＋2＋3＝6（个）
摆成的立体图形有小正方形：
3×（5＋3）
＝3×8
＝24（个）
摆成的立体图形的表面积：
1×1×24＝24（平方厘米）
（2）摆6层时，用了小正方体的个数：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个）
摆成的立体图形有小正方形：
6×（5＋6）
＝6×11
＝66（个）
摆成的立体图形的表面积：
1×1×66＝66（平方厘米）
所以，摆3层时，用了6个小正方体，摆成的立体图形的表面积是24平方厘米；摆6层时，用了21个小正方体，摆成的立体图形的表面积是66平方厘米。21教育网
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
14． 96 64
【分析】已知把一个棱长是6cm的正方体切割成1cm3的小正方体，则小正方体的棱长是1cm，那么每条棱上有6个小正方体。2·1·c·n·j·y
规律：如果一个大的正方体每条棱上有n个（n≥3）小正方体，则：
①三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有1个，共8个；
②两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个；
③一面涂色的小正方体位于面上，每个面中间有（n－2）2个，共有（n－2）2×6个；
④没有涂色的小正方体位于大正方体内部，共有（n－2）3个；
据此规律解答。
【详解】每条棱上有小正方体：6÷1＝6（个）
一面涂红色的有：
（6－2）×（6－2）×6
＝4×4×6
＝16×6
＝96（个）
没有涂红色的有：
（6－2）×（6－2）×（6－2）
＝4×4×4
＝64（个）
这些小正方体中一面涂红色的有96个，没有涂红色有64个。
【点睛】结合大正方体表面涂色后切割成小正方体位置的规律进行解答，熟练掌握表面涂色的特点是解题的关键。21·世纪*教育网
15．226.08立方厘米/226.08cm3
【分析】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。
【详解】72÷2＝36（平方厘米）
设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。
2r×r÷2＝36
r2＝36
r＝6
体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米）
所以圆锥的体积是226.08立方厘米。
【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。21世纪教育网版权所有
16． 38 12
【分析】根据题意可知，长方体长、宽、高上分别切割成6个、5个、3个小正方体。一面涂色的小正方体位于大长方体的面上，分别用长、宽、高减去两端的小正方体，就是处于中间面上一面涂色的小正方体在大长方体的长、宽、高上的个数，即（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出一面涂色的小正方体的个数；
没有涂色的小正方体在长方体的内部，它在大长方体的长、宽、高上的个数也是（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出没有涂色的小正方体的个数。
【详解】每条棱分别切割成小正方体的个数：
长：6÷1＝6（个）
宽：5÷1＝5（个）
高：3÷1＝3（个）
一面涂色或没有涂色的小正方体：
长：6－2＝4（个）
宽：5－2＝3（个）
高：3－2＝1（个）
一面涂色的小正方体有：
（4×3＋4×1＋3×1）×2
＝（12＋4＋3）×2
＝19×2
＝38（个）
没有涂色的小正方体有：4×3×1＝12（个）
这些小正方体中，一面涂色的小正方体有38个，没有涂色的小正方体有12个。
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，结合长方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于长方体的8个顶点处；两面涂色的小正方体位于长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于面上（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在长方体的内部。
17． 1300cm3/1300立方厘米 720cm2/720平方厘米
【分析】根据题意，长方体的长减少3cm，表面积比原来减少了120cm2，减少的表面积是前后面与上下面共4个面的面积之和，因为长方体的长减少3cm，刚好变成了一个正方体，说明长方体的宽和高相等，那么减少的4个面完全相同；用减少的表面积除以4，求出减少的一个面的面积，再除以3，即可求出原来长方体的宽和高；然后用长方体的宽或高加上3cm，即是原来长方体的长；
根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出原来这个长方体的体积和表面积。
【详解】原来长方体的宽、高：120÷4÷3＝10（cm）
原来长方体的长：10＋3＝13（cm）
体积：13×10×10＝1300（cm3）
表面积：
（13×10＋13×10＋10×10）×2
＝（130＋130＋100）×2
＝360×2
＝720（cm2）
原来这个长方体的体积是1300cm3，表面积是720cm2。
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，利用减少的表面积和长减少3cm后变成一个正方体，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。
18．226.08
【分析】把一个圆柱沿底面直径切成相同的两部分，表面积增加96平方厘米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆柱的体积。
【详解】一个切面的面积：96÷2＝48（平方分米）
圆柱的底面直径：48÷8＝6（分米）
圆柱的体积：
3.14×（6÷2）2×8
＝3.14×9×8
＝226.08（立方分米）
这个圆柱的体积是226.08立方分米。
【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成两部分时，增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面直径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，利用公式列式计算。
19．504
【分析】截去一个高8cm的长方体后，表面积减少的是长方体4个侧面的面积，用192除以4即可计算出1个面的面积为48cm2，根据长方形的面积公式，48除以8即可计算出长方形的宽为6cm，即正方体的棱长。所以原来长方体的长和宽都为6cm，高为（6＋8）cm，利用长方体的体积公式即可得解。
【详解】192÷4÷8
＝48÷8
＝6（cm）
6×6×（6＋8）
＝36×14
＝504（cm3）
【点睛】此题的解题关键是掌握立体图形切拼后表面积的变化情况，灵活运用长方体的体积公式求解。
20．803.84立方厘米
【分析】根据圆柱切割和拼组的特点，拼成的近似长方体后表面积比圆柱的表面积增加了2个以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的长方形的面积；先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以4，求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h计算即可。
【详解】圆柱的底面半径：
64÷2÷4
＝32÷4
＝8（厘米）
圆柱的体积：
3.14×82×4
＝3.14×64×4
＝200.96×4
＝803.84（立方厘米）
【点睛】抓住圆柱切拼成近似长方体的特点，得出增加的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出圆柱的底面半径是解题的关键。21cnjy.com
21．36个
【分析】根据题意可知，不带红色的小正方体的个数等于7，它应该是7个小正方体排成一排，所以长方体被切割成了3排9列3层，共有3×9×3＝81（个）小正方体，两面带红色的小正方体在12条棱上（不含顶点上的小正方体），每条长上有7个，每条宽上有1个，每条高上有1个，所以共有（7＋1＋1）×4＝36（个），据此即可解答。
【详解】（7＋1＋1）×4
＝9×4
＝36（个）
答：两面带红色的小正方体是36个。
【点睛】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。
22．2个
【分析】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。
【详解】2×2×2－2×3
＝8－6
＝2（个）
答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。
【点睛】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。
23．（1）包装箱的长180厘米；宽12厘米；高12厘米（答案不唯一）
（2）包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米
【分析】
（1）如图，可以设计一种能放下2层汽车玩具盒的包装箱，包装箱的长＝汽车玩具盒的长×9，包装箱的宽＝汽车玩具盒的宽，包装箱的高＝汽车玩具盒的高×2，据此分析，答案不唯一。
（2）要想用料最少，尽可能的将玩具盒较大较多的面拼起来，如图、、三种拼法，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出表面积，比较即可。
【详解】（1）20×9＝180（厘米）
6×2＝12（厘米）
答：可以设计一种长180厘米，宽12厘米，高12厘米的包装箱。
（2）长：20厘米
宽：12×3＝36（厘米）
高：6×6＝36（厘米）
（20×36＋20×36＋36×36）×2
＝（720＋720＋1296）×2
＝2736×2
＝5472（平方厘米）
长：20×2＝40（厘米）
宽：12×3＝36（厘米）
高：6×3＝18（厘米）
（40×36＋40×18＋36×18）×2
＝（1440＋720＋648）×2
＝2808×2
＝5616（平方厘米）
长：20×3＝60（厘米）
宽：12×3＝36（厘米）
高：6×2＝12（厘米）
（60×36＋60×12＋36×12）×2
＝（2160＋720＋432）×2
＝3312×2
＝6624（平方厘米）
6624＞5616＞5472
答：当包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米时用料最少，最少是5472平方厘米。
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。
24．50.24平方厘米
【分析】把一段圆柱形木料截成两个小圆柱体，表面积增加25.12平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径；
把这段圆柱形木料沿底面直径劈成两半，表面积增加16平方厘米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高；
最后根据圆柱的表面积公式S表＝2S底＋S侧，其中S侧＝πdh，代入数据计算，求出这段圆柱形木料的表面积。
【详解】圆柱的底面积：25.12÷2＝12.56（平方厘米）
底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米）
因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。
圆柱的底面直径：2×2＝4（厘米）
圆柱的高：16÷2÷4＝2（厘米）
圆柱的表面积：
25.12＋3.14×4×2
＝25.12＋25.12
＝50.24（平方厘米）
答：这段圆柱形木料的表面积是50.24平方厘米。
【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。
25．77.44立方分米
【分析】根据题意，长方体的上下面、前后面、左右面分别是“6×5”、“6×3”、“5×3”，要把这块长方体木料削成一个底面直径4分米的最大的圆锥，因为4＞3，所以是以长方体的底面作为圆锥的底面，长方体的高作为圆锥的高；根据长方体的体积公式V＝abh，圆锥的体积公式V ＝πr2h，代入数据计算，再用长方体的体积减去圆锥的体积就是削去部分的体积。
【详解】长方体的体积：
6×5×3
＝30×3
＝90（立方分米）
圆锥的体积：
×3.14×（4÷2）2×3
＝×3.14×4×3
＝3.14×4
＝12.56（立方分米）
削去部分的体积：
90－12.56＝77.44（立方分米）
答：削去部分的体积是77.44立方分米。
【点睛】本题考查长方体、圆锥的体积计算公式的灵活运用，找出最大的圆锥的底面和高与长方体的关系是解题的关键。【来源：21cnj*y.co*m】
26．192立方厘米
【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】96÷4＝24（平方厘米）
24÷3＝8（厘米）
8×8×3
＝64×3
＝192（立方厘米）
答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。
【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。
27．48平方厘米
【分析】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。
【详解】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米）
（472－376）÷2
＝96÷2
＝48（平方厘米）
（632－472）÷2
＝160÷2
＝80（平方厘米）
（752－632）÷2
＝120÷2
＝60（平方厘米）
因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。
答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。
28．24厘米；8个；27个。
【分析】求它们的棱长最小是多少，只需要找出12和8的最小公倍数就可以，通过计算求出大正方体的棱长；用大正方体的棱长除以小正方体的棱长，得到每条棱上有几个小正方体，再利用体积公式即可求出这个大正方体里有几个小正方体。
【详解】12＝2×2×3；
8＝2×2×2；
12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；
大正方体的棱长最小是24厘米；
（个）
（个）
（个）
（个）
答：他们的棱长最小是24厘米，分别需要8个和27个。
【点睛】此题的解题关键是根据求最小公倍数的方法，灵活运用正方体的体积公式求解。
29．896平方厘米
【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【详解】160÷（12×3－16）
＝160÷（36－16）
＝160÷20
＝8（厘米）
8×8×6×3－8×8×4
＝64×6×3－64×4
＝384×3－256
＝1152－256
＝896（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是896平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。www.21-cn-jy.com
30．5平方厘米
【分析】由正方体的特征可知，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，正方体的表面积是6个面的面积之和；如下图，把一个大正方体切成8个一样大小的小正方体，需要切3刀，每切一刀就增加2个大正方形的面；切3刀，增加6个大正方形的面积，这6个大正方形的面积等于原来正方体的表面积；由此得出切割后的8个小正方体的表面积之和是原来正方体表面积的2倍，再除以8，就是1个小正方体的表面积。
【详解】20×2÷8
＝40÷8
＝5（平方厘米）
答：每个小正方体的表面积是5平方厘米。
【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，以此为突破口解决问题。
31．56平方厘米
【分析】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了2个这样的面，据此可得出答案。
【详解】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少：
7×4×2
＝28×2
＝56（平方厘米）。
答：表面积比原来减少了56平方厘米。
【点睛】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。
32．64立方厘米
【分析】把一个正方体锯成两个完全一样的长方体后，每个长方体的面积比原来减少了2个正方形的面积，据此求出正方体一个面的面积，并计算出正方体的棱长，最后利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出原正方体的体积。
【详解】一个面的面积：32÷2＝16（平方厘米）
4×4＝16（平方厘米）
则正方体的棱长是4厘米。
体积：4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：原正方体的体积是64立方厘米。
【点睛】根据减少部分的面积求出正方体一个面的面积是解答题目的关键。
33．（1）12平方厘米；2平方厘米
（2）4平方厘米；6平方厘米
（3）见解析
（4）38平方厘米
【分析】（1）根据正方体的表面积×2可求出图中两个正方体的表面积总和，由于在拼组的过程中，减少了两个面，则用棱长×棱长×2即可求出减少的面积；
（2）3个这样的正方体拼成一个长方体减少了（3－1）×2个面，4个这样的正方体拼成一个长方体减少了（4－1）×3个面，根据一个面的面积×减少面的个数即可求出减少的面积；
对于（3）和（4）根据增加正方体的个数与减少面的数量之间的关系说说自己的发现，然后根据这一规律计算20个这样的正方体拼成一个长方体减少的面积。
【详解】（1）1×1×6×2＝12（平方厘米）
1×1×2＝2（平方厘米）
答：它们的表面积总和是12平方厘米，表面积减少了2平方厘米。
（2）1×1×（3－1）×2
＝1×2×2
＝4（平方厘米）
1×1×（4－1）×2
＝1×3×2
＝6（平方厘米）
答：表面积减少了4平方厘米，4个正方体拼成长方体后，表面积减少了6平方厘米。
（3）1×1×（n－1）×2＝2n－2（平方厘米）
答：把n个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体后，表面积减少（2n－2）平方厘米。
（4）1×1×（20－1）×2
＝1×19×2
＝38（平方厘米）
答：表面积减少了38平方厘米。
【点睛】此题的解题关键是观察立体图形拼接以后表面积的变化情况，根据长方体和正方体的特征，找出规律，利用正方形面积公式求解。www-2-1-cnjy-com
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