马鞍山二中 2025 届高三年级高考适应性考试
数学试题
（本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 A {x | 2≤ x 1}， B { 2, 1,0,1,2}，则 A B
A．{ 1,0,1,2} B．{ 1,0,1} C．{ 2, 1,0,1} D．{ 2, 1,0}
2．设 a,b不共线， AB 2a b ， BC a b ，CD a 3b ，若 A,B,D三点共线，则实数 的值为
A． 2 B． 1 C．1 D．2
3．已知直线 ax 3y 2 0与圆 x2 y2 4交于 A,B两点，则“ | AB | 2 3 ”是“ a 1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4 x a．若函数 f (x) ln x的图象关于 (2,2)对称，且 a 1，则实数 a
x 1
A． 5 B． 1 C．0 D． 5
5．如图， A,B y 1 π是直线 与函数 f (x) cos( x ) 图象的两个交点，若 | AB | ，则 f (π)
2 6
A 1 B 1 C 3 3． ． ． D．
2 2 2 2
6．若等差数列{an}的公差 d 0，等比数列{bn}的公比 q 1，且 ax ay 3d ，b3bx b
2
y q
3 ，则 x y
A．6 B．8 C．9 D．12
7．设抛物线 : y2 4x的焦点为 F ，x轴上方有两点 A,B在 上，若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补，且点 A
到 准线的距离为 3，则点 B的横坐标为
A 1． B 1． C 2． D．1
3 2 3
2
8 x x a,x 0．已知函数 f (x) x ， f (x)的图象上存在不同的两点 A,B，使得曲线 y f (x)在这两点处
e , x 0
的切线重合，则实数 a的取值范围是
A． ( 1, 1) B． ( , 1 ) C． ( 1 1, ) D． ( , 1) ( , )
4 4 4
数学试题 第 1 页 共 4 页
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．某班有 10名同学，现在选出 3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为
A7
A．C3 10 3 2 1 2 310 B． A3
C．C9 C9 D．C8 2C8 C8
3
10 c 2a b．已知△ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c， c 4，且 ，则
cosC cosB
A C 2π． B．△ABC 4 3的外接圆半径为
3 3
C．若 a 2b，则△ABC 8 3的面积为 D． AB边上中线CD的最大值为 4
3
2
11 x．已知 F 为椭圆C : y2 1(a 1)的左焦点，点 A,B在椭圆C上，记 | AF | | BF | | AB | m，则
a2
A．m的最大值为 4a
B m 4． 的最小值为
a
C．若直线 AB与单位圆相切，点 A,B在 y轴左侧，则m 2a
D．若直线 AB与 y m 6 3轴重合， ，则椭圆C的离心率 e
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．设随机变量 X 服从正态分布 N (1, 2 )，且 P(X ≤ a2 1) P(X a 3) ，则正数 a ．
13．设 i为虚数单位，若 2 i是关于 x的方程 x2 px q 0(p,q R)的一个根，则 p q ．
14．市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为 2，下底
面半径为 4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为12 3，
则圆台外接球的表面积为 ；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高
的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
f (x) a ln x 1 x已知函数 ．
x
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）若 f (x)有极小值，且极小值大于 (a2 1)(a 1)，求 a的取值范围．
数学试题 第 2 页 共 4 页
16．（15分）
如图，四棱锥 P ABCD的底面为正方形，AB AP 2，PA 平面 ABCD，E,F 分别是线段 PB,PD
的中点，G是线段 PC上的一点．
（1）求证：平面 EFG 平面 PAC ；
（2）若直线 AG与平面 AEF 1所成角的正弦值为 ，求CG的长．
3
17．（15分）
甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，
一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，
一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为 a，乙在进攻方胜率为 b，甲优先进攻．
（1）第二局乙获胜的概率；
1 1
（2）若 a ,b ，求甲在四局以内赢得比赛的概率；
2 3
（3）若 a b 1，记游戏局数为 X ，求 E(X )的最大值．
数学试题 第 3 页 共 4 页
18．（17分）
平面直角坐标系 xOy中，已知点 P(0,1)，动点M 在 x轴上的投影为M ，且 |M M | |M P |，记动点M
的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）已知点 A,B在曲线 上，点 A在 x轴上方且异于点 P，点 B在 x轴下方，直线 AP,BP, AB与 x轴
分别交于点C,D,Q．
（ⅰ）若 PA PB，求 | AB |的取值范围；
（ⅱ）求证： |QC | |QD | | PQ |2．
19．（17分）
已知 n N*且 n≥ 2，数列 A0 : a1,a2 ,a3 , ,an 1,an，定义数列 A0 的一个变换T ，在变换T 下数列 A0 变
为新的数列 A1 : a1 a2 ,a2 a3 , ,an 1 an ,an a1，记T (A0 ) A1，设 Ak 1 T (Ak )， k N．
（1）若 A :1,2,4, , 2n 10 ，求 A1， A2；
（2）若 n 100，且 A0 :1,2,3, ,n，记数列 Ak (k N
* )的末项为 bk ，求数列{bk}(k N
*) 的前 100项的
和；
（3）若 n 4，数列 A0 不是常数列，求证：存在 k0 N
*，使得对任意 k≥ k0 ，数列 Ak 中至少有一项
的绝对值大于 2025．
数学试题 第 4 页 共 4 页数学答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合 A ={x | 2≤ x 1}， B ={ 2, 1,0,1,2}，则 A B =
A．{ 1,0,1,2} B．{ 1,0,1} C．{ 2, 1,0,1} D．{ 2, 1,0}
【答案】选 D． A B ={ 2, 1,0}．
2．设 a,b不共线， AB = 2a + b ， BC = a + b ，CD = a 3b ，若 A, B, D三点共线，则实数 的值为
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】选 A． BD = BC +CD = 2a 2b，又 A, B, D三点共线，且 AB = 2a + b ，所以 = 2 ．
3．已知直线 ax + 3y + 2 = 0 与圆 x2 + y2 = 4交于 A, B 两点，则“ | AB |= 2 3 ”是“ a =1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】选 B．不难知 | AB |= 2 3 弦心距 d =1 a = 1．
x + a
4．若函数 f (x) = ln + x 的图象关于 (2,2)对称，且 a 1，则实数 a =
x +1
A． 5 B． 1 C．0 D．5
【答案】选 A．结合 f (x) 的定义域的对称性不难知 a 1= 4，故 a = 5 ．
1 π
5．如图， A, B 是直线 y = 与函数 f (x) = cos( x + ) 图象的两个交点，若 | AB |= ，则 f (π) =
2 6
1 1
A． B．
2 2
3 3
C． D．
2 2
5π 3
【答案】选 D．不难求得 f (x) = cos(4x + ) ，故 f (π) = ．
6 2
6．若等差数列{an}的公差 d 0，等比数列
2 3
{bn}的公比 q 1，且 ax = ay + 3d ，b3bx = by q ，则 x + y =
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】选 C．由题， x = y + 3，3+ x = 2y + 3，解得 x = 6 ， y = 3，故 x + y = 9 ．
7．设抛物线 : y2 = 4x 的焦点为 F ， x轴上方有两点 A, B 在 上，若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补，
且点 A到 准线的距离为 3，则点 B 的横坐标为
1 1 2
A． B． C． D．1
3 2 3
p2 1
【答案】选 B．易知 xA = 2 ，由焦点弦性质不难知 xAxB = =1，故 xB = ．
4 2
x2 + x + a, x 0
8．已知函数 f (x) = ， f (x) 的图象上存在不同的两点 A, B ，使得曲线 y = f (x) 在这两
e
x , x 0
点处的切线重合，则实数 a的取值范围是
1 1 1
A． ( 1, ) B． ( , ) C． ( 1,+ ) D． ( , 1) ( ,+ )
4 4 4
1
【答案】选 A．基于 f (x) 的图象，易求得 a ( 1, )．
4
数学试题 第1页（共5页）
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．某班有 10 名同学，现在选出 3 名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为
A7
A．C3 B． 10 C． 3 2 1 2 310 C + C3 9 9 D．C8 + 2C8 +C8 A3
【答案】选 ACD．CD：对于特定的同学，入选与否进行分类计数．
c 2a b
10．已知△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， c = 4，且 = ，则
cosC cos B
2π 4 3
A．C = B．△ABC 的外接圆半径为
3 3
8 3
C．若 a = 2b，则△ABC 的面积为 D． AB 边上中线CD的最大值为 4
3
c 2a b π
【答案】选 BC．A：由题， = ，易得C = ，A 错误；
cosC cos B 3
c 8 3 4 3
B：由正弦定理， 2R = = ，则△ABC 的外接圆半径为 ，B 正确；
sin C 3 3
8 3
C：若 a = 2b，则△ABC 为直角三角形，易知△ABC 的面积为 ，C 正确；
3
1 1
D：由余弦定理，16 = a2 + b2 ab≥ ab，故 | CD |= 2(a2 + b2 ) c2 = 2(16 + ab) 16 ≤ 2 3 ，
2 2
当且仅当 a = b时取等，D 错误．
x2
11．已知 F 为椭圆C : + y2 =1(a 1)的左焦点，点 A, B 在椭圆C 上，记 | AF | + | BF | + | AB |= m，则
a2
A．m 的最大值为 4a
4
B．m 的最小值为
a
C．若直线 AB 与单位圆相切，点 A, B 在 y 轴左侧，则m = 2a
3
D．若直线 AB 与 y 轴重合，m = 6，则椭圆C 的离心率 e =
2
【答案】选 ACD．A：当 AB 过右焦点时，m 的最大值为 4a ，故 A 正确；
B：取 a = 2，则 A, B 无限接近 A1( 2,0) 时，m 无限接近 2 | A1F |= 2(2 3) 2 ，故 B 错误；
2 2 1C：设 AB 与单位圆相切于T ，则 | AT |= xA + yA 1
2 = (1 )x2A = exA ，熟知 | AF |= a + ex ，
a2
A
故 | AF | + | AT |= a ，同理 | BF | + | BT |= a ，即m = 2a ，故 C 正确；
3
D：此时 a = 2，离心率 e = ，故 D 正确．
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．设随机变量 X 服从正态分布 N (1, 2 ) ，且 P(X ≤ a2 1) = P(X a 3) ，则正数 a = ．
【答案】2．由 (a2 1) + (a 3) = 2，解得 a = 2或 3（舍）．
13．设 i 为虚数单位，若 22 + i 是关于 x的方程 x + px + q = 0( p,q R) 的一个根，则 p + q = ．
【答案】1．由二次方程的虚根为共轭复数，得 p = (2 + i + 2 i) = 4， q = (2 + i)(2 i) = 5．
14．市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为 2，
下底面半径为 4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积
为12 3 ，则圆台外接球的表面积为 ；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，
则圆台的高的取值范围为 ．
【答案】64π；(0,2)．当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形，易得高O1O2 = 2 3 ，
数学试题 第2页（共5页）
且圆台外接球球心在高O1O2 上，设圆台的外接球半径 R ，则 R
2 4 + R2 16 = 2 3 ，解得R = 4 ；
将圆台O1O2 补成圆锥 PO2 ，设圆台O1O2 的母线长 l ，则圆锥 PO 2l APB = 2 母线长为 ．设 ，则
1 3
切割面为等腰梯形，且面积 S = [(2l)2 l2 ]sin = l2 sin ．当切割面的面积取最大值时且不经过上
2 2
r r 2
下底面圆心时，不难知 为钝角．设圆台的高为 h，则 tan = 2 1 = 1，故0 h 2．
2 h h
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
1 x
已知函数 f (x) = a ln x + ．
x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有极小值，且极小值大于 (a2 +1)(a 1)，求 a的取值范围．
ax 1
【解析】（1） f (x) 的定义域为 (0,+ )， f (x) = ．
x2
① a ≤ 0时， f (x) 0，此时 f (x) 在 (0,+ )上单调递减；
1 1 1
② a 0时，令 f (x) 0 得 0 x ，令 f (x) 0得 x ，此时 f (x) 在 (0, ) 上单调递减，在
a a a
1
( ,+ ) 上单调递增． （6 分）
a
1
（2）由（1）知 a 0时， f极小值 = f ( ) = a ln a + a 1 (a
2 +1)(a 1)，整理得 ln a + a2 a 0．
a
1 1
令 g(a) = ln a + a2 a ，则 g (a) = + 2a 1≥ 2 2a 1= 2 2 1 0 ，
a a
故 g(a)在 (0,+ )上单调递增，又 g(1) = 0 ，所以 a的取值范围为 (0,1) ． （13 分）
16．（15 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， AB = AP = 2 ， PA⊥平面 ABCD ， E, F 分别是线段
PB, PD的中点，G 是线段 PC 上的一点．
（1）求证：平面 EFG ⊥平面 PAC ；
1
（2）若直线 AG 与平面 AEF 所成角的正弦值为 ，求CG 的长．
3
【解析】（1）连接 BD，因为 E, F 分别是线段 PB, PD的中点，所以 EF∥BD．
因为 PA⊥平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 PA ⊥ BD ，即 EF ⊥ PA ，
又 ABCD为正方形，所以 BD ⊥ AC ，即 EF ⊥ AC
又 PA AC = A， PA, AC 平面 PAC ，所以 EF ⊥平面 PAC ，
又 EF 平面 EFG ，所以平面 EFG ⊥平面 PAC ． （6 分）
（2）如图，以 A为原点，分别以 AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 A xyz ，
则 A(0,0,0) ， E(1,0,1) ， F(0,1,1)， P(0,0,2) ，C(2,2,0) ， AE = (1,0,1) ， AF = (0,1,1)，
数学试题 第3页（共5页）
设 PG = PC(0 1)，则 AG = AP + PG = (0,0,2) + (2 ,2 , 2 ) = (2 ,2 ,2 2 ) ．
AE n = x + z = 0
设平面 AEF 的一个法向量为n = (x, y, z)，则 ，令 z = 1得n = (1,1, 1) ．
AF n = y + z = 0
设直线 AG 与平面 AEF 所成角为 ，则
| n AG | | 6 2 | 1
sin =| cos n, AG |= = = ．
| n | | AG | 3 4 2 + 4 2 + (2 2 )2 3
1 1 5 3
解得 = 或 ，所以CG = (1 )PC = (1 ) 2 3 = 或 3 ． （15 分）
6 2 3
17．（15 分）
甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守
方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继
续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为 a，乙在进攻方胜率为b ，甲优先进攻．
（1）第二局乙获胜的概率；
1 1
（2）若 a = ,b = ，求甲在四局以内赢得比赛的概率；
2 3
（3）若 a + b =1，记游戏局数为 X ，求 E(X ) 的最大值．
【解析】（1）设第二局乙获胜的概率为 P(A)，
则 P(A) = a(1 a) + (1 a)b = (1 a)(a + b) ． （3 分）
（2）设比赛三局甲获胜的概率为 P(B)，比赛四局甲获胜的概率为 P(C) ，
则 P(B) = a3， P(C) = (1 a)(1 b)aa + a(1 a)(1 b)a + aa(1 a)(1 b)，
1 1 1 1 2 3
代入 a = ,b = ，得甲在四局以内赢得比赛的概率 P(B) + P(C) = + 3 = ． （8 分）
2 3 8 8 3 8
（3）若 a + b =1，则每局游戏中甲获胜的概率为 a，失败的概率为b ．
由题意， P(X = 3) = a3 + b3 ， P(X = 4) = C13a
3b +C13ab
3， P(X = 5) = C2a3b2 +C2 2 34 4a b ． （11 分）
于是，利用 a + b =1，
E(X ) = 3(a3 + b3 ) +12(a3b + ab3 ) + 30(a3b2 + a2b3)
= 3(a2 + b2 ab) +12ab(a2 + b2 ) + 30a2b2 (a + b)
= 3(1 3ab) +12ab(1 2ab) + 30a2b2
= 6a2b2 + 3ab + 3
a + b 2 1 1 33因为 0 ab≤ ( ) = ，所以 ab = 时， E(X ) 取得最大值 ． （15 分）
2 4 4 8
18．（17 分）
平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(0,1)，动点M 在 x轴上的投影为M ，且 | M M |=| M P | ，记动
点 M 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）已知点 A, B 在曲线 上，点 A在 x轴上方且异于点 P ，点 B 在 x轴下方，直线 AP, BP, AB与
x轴分别交于点C, D,Q．
（ⅰ）若 PA⊥ PB ，求 | AB |的取值范围；
（ⅱ）求证： | QC | | QD |=| PQ |2 ．
【解析】（1）设 ，则 2 2M (x, y) M (x,0)，由题意， | y |= x +1 ，
整理得曲线 的方程为： y2 x2 =1． （4 分）
数学试题 第4页（共5页）
2k
（2）（ⅰ）联立直线 PA : y = kx +1与 得： (k2 1)x2 + 2kx = 0 ，故 xA = ，
k2 1
1
2( )
1 2k
又 PA⊥ PB ，以 替代 k ，得 xB =
k = ，所以 xA = xB ，即 AB ⊥ x 轴．
k 1 2
( )2 1 1 k
k
于是， | AB |= 2yA 2，即 | AB |的取值范围为 (2,+ )． （10 分）
（ⅱ）联立直线 AB : x = my + t 与 得： (1 m2 )y2 2mty (t2 +1) = 0，
2mt t2 +1
由韦达定理， y 2 2A + yB = ， yA yB = ，由 0 t +1 m ． （13 分） 2 m2m 1 1
yA 1 x x在直线 AP : y = x +1中，令 x = 0 得C( A ,0) ，同理D( B ,0) ，又Q(t,0) ，
xA yA 1 yB 1
xA xB tyA t +my + t ty t +my + t于是 | QC | | QD |=| t + | | t + |=| A | | B B |
yA 1 yB 1 yA 1 yB 1
y 2
= (t +m)2 | A
yB t +1|= (t +m)2 | |= t2 +1=| PQ |2 ． （17 分）
y y (y + y ) +1 (t2A B A B +1) ( 2mt) + (m
2 1)
19．（17 分）
已知 n *N 且 n≥ 2，数列 A0 : a1,a2 ,a3 , ,an 1,an ，定义数列 A0 的一个变换T ，在变换T 下数列 A0
变为新的数列 A1 : a1 a2 ,a2 a3 , ,an 1 an ,an a1 ，记T (A0 ) = A1，设 Ak+1 = T (Ak ) ， k N．
（1）若 A :1,2,4, ,2n 10 ，求 A1 ， A2 ；
（2）若 n =100，且 A0 :1,2,3, ,n，记数列 A
* *
k (k N )的末项为bk ，求数列{bk}(k N ) 的前 100
项的和；
（3）若 n = 4，数列 A0 不是常数列，求证：存在 k0
*
N ，使得对任意 k ≥ k0 ，数列 Ak 中至少有
一项的绝对值大于 2025．
【解析】（1）由定义知： A1 : 1, 2, 4, , 2
n 2 ,2n 1 1， （2 分）
A :1,2,4, ,2n 3, 3 2n 2 +1,2n 12 ． （4 分）
（2）由题， A1 : 1, 1, , 1,n 1，故b1 = n 1； A2 : 0,0, 0, n,n，故b2 = n ；
n 1个 n 2个
n 1,k =1
A3 : 0,0, ,0,n, 2n,n，故b3 = n ；……，依次类推知bk = ； （8 分）
n,2≤ k ≤100n 3个
故 S100 = b1 + b2 + + b100 = n 1+ 99n =100n 1= 9999． （10 分）
（3）当 n = 4时，记数列 Ak : x
*
k , yk , zk ,tk ，k N，则 k N 时，xk + yk + zk + tk = 0 ，x1, y1, z1, t1 不
全为 0， xk = xk 1 yk 1; yk = yk 1 zk 1; zk = zk 1 tk 1,tk = tk 1 xk 1． （12 分）
故 k ≥ 2时， x2k + y
2 + z2 2k k + tk = (xk 1 yk 1)
2 + (yk 1 z
2 2 2
k 1) + (zk 1 tk 1) + (tk 1 xk 1)
= 2(x2 + y2 + z2 + t2 2 2 2 2 2k 1 k 1 k 1 k 1) 2(xk 1 + zk 1)(yk 1 + tk 1) = 2(xk 1 + yk 1 + zk 1 + tk 1) + 2(xk 1 + zk 1)
2(x2 2 2 2 2 2 2 2 2≥ k 1 + yk 1 + zk 1 + tk 1)≥ 2 (xk 2 + yk 2 + zk 2 + tk 2 )
2k 1(x2≥ ≥ 1 + y
2 + z2 21 1 + t1 ) ． （15 分）
取 k 使得 k0 1 20 2 (x1 + y
2 + z2 2 2 2 2 2 2 21 1 + t1 ) 4 2025 ，则对任意 k ≥ k0 ， xk + yk + zk + tk 4 2025 ，故
x2 , y2 , z2k k k ,t
2
k 中至少有一个数大于 2025
2 ，即数列 Ak 中至少有一项的绝对值大于 2025． （17 分）
数学试题 第5页（共5页）
