2025年湖北省高考数学押题卷（含解析）

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2025年湖北省高考数学押题卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，0] B． C． D．[0，1）
2．复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
3．已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝（　　）
A． B． C． D．
4．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象中，若，则点A的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．在三棱锥P﹣ABC中，，PC＝1，PA+PB＝4，CA﹣CB＝2，且PC⊥AB，则二面角P﹣AB﹣C的余弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．法布里﹣贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时光波的透过率，其中k＝1，2，3…，n，为使得，则n的最大值为（　　）
A．31 B．32 C．63 D．64
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
（多选）10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　）
A． B．x1x2＝ex0
C．y1+y2＝1+y0 D．y1y2＜1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列{an}的前n项和，当取最小值时，n＝　 　 ．
13．已知曲线C是平面内到定点F（0，﹣2）与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T（﹣2，t），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为 　 　 ．
14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　 　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　 　 ．（参考公式：决定系数）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知．
（1）求B；
（2）若点D在边AC上，且，AD＝2DC＝2，求△ABC的周长．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．
17．已知函数f（x）＝cosx+xsinx，x∈（﹣π，π）．
（1）求f（x）的单调区间和极小值；
（2）证明：当x∈[0，π）时，2f（x）≤ex+e﹣x．
18．已知O为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且，求|AB|的取值范围；
（3）已知点P是C上的动点，是否存在定圆O：x2+y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|？若存在，求出圆O的半径r；若不存在，请说明理由．
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n（n≥3，n∈N*）位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
（1）若n＝3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；
（2）记A团队第k（1≤k≤n﹣1，k∈N*）位成员上场且闯过第二关的概率为pk，集合中元素的最小值为k0，规定团队人数n＝k0+1，求n．
2025年湖北省高考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A A B A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，0] B． C． D．[0，1）
【解答】解：集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x}．
故选：B．
2．复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
因为复数z满足，
即2（a+bi）+3（a﹣bi）＝5a﹣bi＝5﹣2i．
可得a＝1且b＝2，
故|z|．
故选：C．
3．已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为logam＝2，logbm＝3
所以，，
所以，
即，
所以．
故选：D．
4．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有（0，1，2），（1，1，1）两种组合形式，
当红球分组形式为（0，1，2）时，将红球放入三个不同的袋中有 放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可．
当红球分组形式为（1，1，1）时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可．
综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为6+1＝7种．
故选：A．
5．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线y2＝2x，可得2p＝2，p＝1，
根据抛物线的对称性可设P在第一象限；
根据题意作图如下：
因为∠PQF＝30°，
所以∠QFD＝30°，
可得|DQ|＝|DF|×tan30°＝p，
即yp，
故xp，
故|PQ|＝xp．
故选：A．
6．如图，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象中，若，则点A的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据，可得，所以，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为，所以，可得，
所以，
整理得，结合图象y1＞0，可知．
故选：B．
7．在三棱锥P﹣ABC中，，PC＝1，PA+PB＝4，CA﹣CB＝2，且PC⊥AB，则二面角P﹣AB﹣C的余弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为PA+PB＝4，由椭圆的定义知点P的轨迹方程为，
又因为CA﹣CB＝2，由双曲线的定义知点C的轨迹方程为x2﹣y2＝1（双曲线的一支），
如图，过点P作PH⊥AB，
因为AB⊥PC，又PH∩PC＝P，PF，PC 面PHC，
所以AB⊥面PHC，设O为AB中点，则二面角P﹣AB﹣C为，
所以不妨设，
则由椭圆的方程可得PH，则，
所以，
所以，令1﹣sin2θ＝t，0＜t＜1，
所以，
等号成立当且仅当，
所以当且仅当时，．
故选：A．
8．法布里﹣贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时光波的透过率，其中k＝1，2，3…，n，为使得，则n的最大值为（　　）
A．31 B．32 C．63 D．64
【解答】解：由题意，，…，，
所以，
所以，即n（n+1）≤4048，
显然f（n）＝n（n+1）关于n单调递增，其中n∈N*，
又f（63）＝4032＜4048＜f（64）＝4160，
所以n的最大值为63．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
【解答】解：已知向量，不共线，向量平分与的夹角，
设，，
则，
由平行四边形法则可得：且四边形ABDC为菱形，
对于选项A，显然错误；
对于选项B，，
即，
即选项B正确；
对于选项C，向量，在上的投影向量为，
即选项C正确；
对于选项D，，，
又与不一定相等，
即选项D错误．
故选：BC．
（多选）10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，甲箱中有3个红球和2个白球，则P（A1），A正确；
对于B，P（A2）＝1，P（B|A1），P（B|A2），
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），B正确；
对于C，P（B|A1），C错误；
对于D，P（A2|B），D正确．
故选：ABD．
（多选）11．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　）
A． B．x1x2＝ex0
C．y1+y2＝1+y0 D．y1y2＜1
【解答】解：由已知，可得，记g（x）＝lnx，则，
则g（x）＝lnx在点M处的切线方程为y﹣y1＝g'（x1）（x﹣x1），
即，①；
同理可得，g（x）＝lnx在点N处的切线方程为，②；
对于选项A，令f（x），f'（x），
x∈（0，e）时，f（x）递增，x∈（e，+∞）时，f（x）递减，
所以f（x）极大值为f（e），当x＞1时，f（x）＞0，
因为直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），
y＝k与的图象存在两个不同的交点，
则，故A正确；
对于选项B，曲线y＝lnx在点M处的切线与点N处的切线相交于点P（x0，y0），
则有即，
则，即，则，
又由选项A，可知，则，即x1x2＞ex0，故B错误；
对于选项C，由选项B，可知，即x0＝kx1x2，
则有，
即y1+y2＝y0+1故C正确；
对于选项D，若y1y2＜1成立，则有kx1 kx2＜1，即，
则，由对数不等式，显然成立，故D正确；
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．已知数列{an}的前n项和，当取最小值时，n＝　3　 ．
【解答】解：由题意得a1＝S1＝2，
当n 2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，
又a1＝2满足该式，所以an＝2n，
则，
当且仅当，即n＝3时取等号，
所以当取最小值时，n＝3．
故答案为：3．
13．已知曲线C是平面内到定点F（0，﹣2）与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T（﹣2，t），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为 　2　 ．
【解答】解：设P（x，y），当y≥2时，|PF|+y﹣2＝6，
所以，化简得：x2＝60﹣20y，y∈[2，3]，即；
当y＜2时，|PF|+2﹣y＝6，所以，整理得：x2＝4y+12，y∈[﹣3，2]，即；
对于曲线C上任意一点P，
则|PF|+|PT|≥|TF|，当且仅当P是线段TF与曲线C的交点时取“＝”，
因为|TF|2，所以|PF|+|PT|≥|TF|≥2，当且仅当t＝﹣2，
即点T的坐标为（﹣2，﹣2）时，m（t）取得最小值为2．
故答案为：2．
14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　﹣0.3　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　0.98　 ．（参考公式：决定系数）
【解答】解：∵，，经验回归方程为，
∴5＝87.4，
∴0.3，
对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，
∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，
∴k0.3，
由公式可知，R2≈1110.98．
故答案为：﹣0.3；0.98．
四．解答题（共5小题）
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知．
（1）求B；
（2）若点D在边AC上，且，AD＝2DC＝2，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为acsinB，
由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，
可得tanB，而B∈（0，π），
可得B；
（2）依题意，
在△ABD中，由正弦定理得，
同理，在△CBD中有，
又∠ADB+∠CDB＝π，所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以AB＝CB，即a＝c，
在△ABC中，b2＝c2+a2﹣2ca cos∠ABC，
即32＝c2+a2+ac＝3a2，解得，
所以，所以△ABC的周长为．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）取PC中点E，连接ME，BE，
∵M为DP中点，N为AB中点，
∴ME∥CD且MECD，
又∵BN∥CD且BNCD，
∴ME∥BN且ME＝BN，
∴四边形BEMN为平行四边形，
∴MN∥BE，
∵MN 平面PBC，BE 平面PBC，
∴MN∥平面PBC；
证明：（2）∵，
∴△BCD≌△BCP，过P作PQ⊥BC于点Q，∴DQ⊥BC，
∴，∴PQ⊥DQ，
∴PQ⊥平面ABCD，
∵PQ 平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD；
解：（3）如图建系，
则，
∴，
设平面PAD的一个法向量，
∴，
设CM与平面PAD所成角为θ，
∴．
17．已知函数f（x）＝cosx+xsinx，x∈（﹣π，π）．
（1）求f（x）的单调区间和极小值；
（2）证明：当x∈[0，π）时，2f（x）≤ex+e﹣x．
【解答】解：（1）∵f（x）＝cosx+xsinx﹣1，∴f'（x）＝xcosx，
当x∈（﹣π，）∪（0，）时，f（x）＞0，
当x∈（，0）∪（，π）时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣π，），（0，）；
单调递减区间为（，0），（，π），
当x＝0时，f（x）取极小值为f（0）＝1．
（2）证明：当x∈[0，π）时，令F（x）＝ex+e﹣x﹣2（cosx+xsinx），
F'（x）＝ex﹣e﹣x﹣2xcosx≥ex﹣e﹣x﹣2x，
令φ（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，，
∴φ（x）在[0，π）上单调递增，φ（x）≥φ（0）＝0，
∴F'（x）≥0，F（x）在[0，π）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）＝0，证毕．
18．已知O为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且，求|AB|的取值范围；
（3）已知点P是C上的动点，是否存在定圆O：x2+y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|？若存在，求出圆O的半径r；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意知，
∴C的方程为；
（2）当l斜率不存在时，设l：x＝t，
∴，∴，
由，此时，
当l斜率存在时，设l方程：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y化简得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
则3﹣k2≠0，Δ＝4k2m2+4（3﹣k2）（m2+3）＝12（m2﹣k2+3）＞0，
即k2＜m2+3且k2≠3，
∴，
∴
，又，
则2m2﹣3k2﹣3＝0，即2m2＝3k2+3，
又
，
令k2﹣3＝λ，则λ≥﹣3且λ≠0，，
∴
，
令f（λ）＝48（）2，则f（λ）在上单调递减，在上单调递增，
则f（λ）min＝f（）＝1，即f（λ）≥1，
∴|AB|，
综上，|AB|的取值范围为；
（3）设P（x0，y0），则平分，又PN＝PM，∴PO⊥MN，
设过P与圆O相切的直线为，
即，
化为关于k的二次方程，
则，
由题可设切线PM：y﹣y0＝k1（x﹣x0），
则与方程3x2﹣y2＝3联立，
消去y得，
则，
同理，
则
，
则kMN kPO，
即，
即，化简得，
解得．
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n（n≥3，n∈N*）位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
（1）若n＝3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；
（2）记A团队第k（1≤k≤n﹣1，k∈N*）位成员上场且闯过第二关的概率为pk，集合中元素的最小值为k0，规定团队人数n＝k0+1，求n．
【解答】解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，
，，，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴；
（2）由题设，，若前（k﹣1）位玩家都没有通过第一关测试，其概率为，
若前（k﹣1）位玩家中第i（1≤i≤k﹣1）位玩家才通过第一关测试，
则前面i﹣1位玩家无人通过第一关测试，其概率为（1﹣p）i﹣1，
第i位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为p（1﹣q），
第i+1位玩家到第k﹣1位玩家都没有通过第二关测试，其概率为（1﹣q）k﹣i﹣1，
所以前面（k﹣1）位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
，
∴第k位成员闯过第二关的概率，
由，
∴k0＝6，∴n＝7．
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