2025年湖南省高考数学押题卷（含解析）

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2025年湖南省高考数学押题卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 滨海新区三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a2≠b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025 河北模拟）已知向量满足，且，则的夹角为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
3．（2025 青州市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，则S16＝（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（　　）
A．4 B．6 C．16 D．36
5．（2025 山海关区校级模拟）设函数f（x）＝ax2﹣1，g（x）＝cosx﹣a，若F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则a＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．2
6．（2025 白云区校级三模）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 滨海新区三模）下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x年的生产利润为y（单位：亿元），现统计前7年的数据为（1，y1），（2，y2）， ，（7，y7），根据该组数据可得y关于x的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.2
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
8．（2025 开封模拟）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象C2，则双曲线C1的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 开封模拟）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则（　　）
A．4x+2y的最小值为
B．log2x+log2y的最大值为﹣3
C．y﹣x﹣xy的最小值为﹣1
D．的最小值为
（多选）10．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（　　）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
（多选）11．（2025 吉林四模）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点．AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且AB∥CD，AB＝2CD＝4，F为的中点，则（　　）
A．铁桶的母线长为3
B．铁桶的侧面积为18π
C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为
D．桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 黄浦区校级三模）已知一个随机变量X的分布列为，若b是a，c的等差中项，则b＝　 　 ．
13．（2025 徐汇区校级模拟）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从正态分布N（3，σ2），且P（|X﹣3|≤0.5）＝0.8，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为 　 　 ．
14．（2025 普陀区校级三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 甘肃模拟）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
16．（2025 淮滨县二模）若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，则称点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．如图，已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．
（1）若b＝c，且满足，求∠ABC的大小．
（2）若△ABC为锐角三角形．
（i）证明．
（ii）若PB平分∠ABC，证明：b2＝ac．
17．（2025 扬中市校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝1，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求点F到平面PCD的距离；
（3）设直线EG与平面ABCD，平面PAD，平面PAF所成的角分别为θ1，θ2，θ3，求sinθ1+sinθ2+sinθ3．
18．（2025 湖南模拟）已知椭圆C：，A（0，b），B（0，﹣b）．椭圆C内部的一点（t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；
（2）设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若，b＝1时，求t的值；
（3）若点U（xu，yu），V（xv，yv）满足xu＜xv且yu＞yv，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
19．（2025 河南模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
2025年湖南省高考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C D A B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 滨海新区三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a2≠b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，当a＝﹣b≠0时，满足a≠b，但a2≠b2成立，
反之，若a2≠b2，即a≠b且a≠﹣b，必有a≠b成立，
因此，“a≠b”是“a2≠b2”的必要不充分条件．
故选：B．
2．（2025 河北模拟）已知向量满足，且，则的夹角为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：由得，，即，
向量满足，
所以，则，
所以，
，
则的夹角为60°．
故选：B．
3．（2025 青州市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，则S16＝（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，
．
故选：B．
4．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（　　）
A．4 B．6 C．16 D．36
【解答】解：因为C2是圆，所以a＞0，
因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，
又圆，
可得，所以，解得a＝16．
故选：C．
5．（2025 山海关区校级模拟）设函数f（x）＝ax2﹣1，g（x）＝cosx﹣a，若F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则a＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．2
【解答】解：因为函数f（x）＝ax2﹣1，g（x）＝cosx﹣a，
所以F（x）＝g（x）﹣f（x）＝cosx﹣a﹣ax2+1，
则F（﹣x）＝cos（﹣x）﹣a﹣a（﹣x）2+1＝cosx﹣a﹣ax2+1＝F（x），
所以函数F（x）是（﹣1，1）上的偶函数，
又因为F（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，
所以F（0）＝0，即F（0）＝2﹣a＝0，解得a＝2．
故选：D．
6．（2025 白云区校级三模）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意，设点M（x，y），
由，
可得4x2﹣9y2＝100，（x≠±5），
即得点M的轨迹方程为．
故选：A．
7．（2025 滨海新区三模）下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x年的生产利润为y（单位：亿元），现统计前7年的数据为（1，y1），（2，y2）， ，（7，y7），根据该组数据可得y关于x的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.2
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
【解答】解：对于选项A，因为10×60%＝6，
所以这组数据的第60百分位数为，故A错误；
对于选项B，由题意可知，，，
因为回归直线方程过点（，），
所以，即，
则，
当x＝8时，y＝0.5×8+2.3＝6.3亿元，故B正确；
对于选项C，因为X～N（3，σ2），所以μ＝3，
因为P（X≤4）＝0.7，
所以P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣P（X≤3）＝0.7﹣0.5＝0.2，
则P（2＜X＜4）＝2P（3＜X＜4）＝2×0.2＝0.4，故C错误；
对于选项D，因为η＝3ξ﹣2，
所以E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ），故D错误．
故选：B．
8．（2025 开封模拟）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象C2，则双曲线C1的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：“飘带”函数y的渐近线为y与y轴，
设两渐近线夹角为α（），则，
整理得tanα，又，
∴，整理得，
由0＜α，解得．
∴旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为k＝tan，
∴双曲线的离心率为e．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 开封模拟）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则（　　）
A．4x+2y的最小值为
B．log2x+log2y的最大值为﹣3
C．y﹣x﹣xy的最小值为﹣1
D．的最小值为
【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，
所以4x+2y22，当且仅当2x＝y，即y，x时取等号，A正确；
因为1＝2x+y，当且仅当2x＝y，即y，x时取等号，
所以0＜xy，
所以log2x+log2y＝log2xy≤log23，B正确；
y﹣x﹣xy＝1﹣2x﹣x﹣x（1﹣2x）＝2x2﹣4x+1，
因为y＝1﹣2x＞0，可得0＜x，
根据二次函数的性质可知，上式没有最小值，C错误；
＝2（x+2）+y+1104
＝（）（2x+4+y+1）4
（17+16）﹣4（17+8）﹣4，当且仅当，即x，y时取等号，D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（　　）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
【解答】解：根据，那么或y＝0，那么C由椭圆与直线y＝0组成，
易知F2（0，2），F1（0，﹣2）为的两个焦点，
如果点P在椭圆上时，，
如果点P是原点时，那么|PF1|+|PF2|＝4，
曲线C上的其他点，那么|PF1|+|PF2|＞4，
因此|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞），所以选项A正确；
当点P在直线y＝0上时，||PF1|﹣|PF2||＝0，
当点P在椭圆上时，，
根据，得||PF1|﹣|PF2||∈[0，4]，所以选项B正确．
将y＝mx﹣3代入椭圆，可得（m2+5）x2﹣6mx+4＝0，
设该方程的两个根为x1，x2，那么根的判别式Δ＝20m2﹣80＞0，即m2＞4，
结合韦达定理可得，，
根据y＝mx﹣3＝0，得，假设存在l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
那么，解得m2＝10＞4，所以选项D正确．
当m＞3时，介于x1，x2之间，
假设存在直线l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，
则，即，得5m2+45＝0，显然该方程无实数解，C错误．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 吉林四模）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点．AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且AB∥CD，AB＝2CD＝4，F为的中点，则（　　）
A．铁桶的母线长为3
B．铁桶的侧面积为18π
C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为
D．桶中另一个球的半径的最大值为
【解答】解：由题，铁桶的轴截面是上底为4，下底为2的等腰梯形且有内切圆，如图，
设内切圆半径为r，则梯形两腰长为，
梯形面积公式可以用两种方式表示为
，∴，
故铁桶的母线长为3，A正确；
对于选项B，侧面积公式为S＝π（OB+QC）×BC＝π（2+1）×3＝9π，故B错误；
对于C．连接DE交AB于G，连接FG交圆O于M，
则FM即为过D，E，F三点的平面与桶盖的交线，
∵AB∥CD，则∠FGA即为所求角．CE＝CQ＝1，
∴E为BC的三等分点且靠近C，
∵，∴BG＝4，
在Rt△OFG中，，
∴过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为，故C正确；
对于D，当球O2与球O1、桶盖、桶壁均相切时，球O2的半径最大，设为R，
如图，在轴截面ABCD中，
∵，
∴，
∴桶中另一个球的半径的最大值为．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 黄浦区校级三模）已知一个随机变量X的分布列为，若b是a，c的等差中项，则b＝　　 ．
【解答】解：根据题意，随机变量X的分布列为，
则有a+b+c＝1，
又由b是a，c的等差中项，则a+b+c＝2b+b＝3b＝1，则b．
故答案为：．
13．（2025 徐汇区校级模拟）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从正态分布N（3，σ2），且P（|X﹣3|≤0.5）＝0.8，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为 　0.2916　 ．
【解答】解：P（|X﹣3|≤0.5）＝0.8，
则P（|X﹣3|＞0.5）＝1﹣0.8＝0.2，即P（X＞3.5）+P（X＜2.5）＝0.2，
又由对称性可知P（X＞3.5）＝P（X＜2.5）＝0.1，
所以P（X＞3.5）＝0.1，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为0.1；
因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为．
故答案为：0.2916．
14．（2025 普陀区校级三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 　31　 ．
【解答】解：只要三点不共线即可构成三角形，且B，D，E，F四点共线，
所以过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同的三角形的个数为：．
故答案为：31．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 甘肃模拟）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
【解答】解：（1）由，得，
则f（1）＝0，f′（1）＝3，
故f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x﹣3．
（2）由f（x）＝0，得，
令，
则，
令h（x）＝x4+2x3+x﹣1，x＞0，显然h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且，h（1）＝3＞0，故，h（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，即g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
因为，g（x0）＜g（1）＝0，
所以，g（x1）＝0，从而g（x）的零点个数为2，即f（x）的零点个数为2．
（3）证明：要证f（x）≥3lnx，需证，
令，x＞0，则，
令，
则H′（x）＝2x+20，
则H（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为H（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，H（x）＜0，则φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，则φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
从而φ（x）≥φ（1）＝2，证毕．
16．（2025 淮滨县二模）若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，则称点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．如图，已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．
（1）若b＝c，且满足，求∠ABC的大小．
（2）若△ABC为锐角三角形．
（i）证明．
（ii）若PB平分∠ABC，证明：b2＝ac．
【解答】解：（1）若b＝c，即AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，
点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则∠PCB＝∠PBA，
在△PCB和△PBA中，∠PCB＝∠PBA，∠PAB＝∠PBC＝θ，
所以△PCB与△PBA相似，且，
所以，即，
由余弦定理得：，且，
得，且0＜B＜π，
所以；
证明：（2）（i）在△ABC内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得：①，
在△PAB内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在△PBC和△PCA内，同理：，
三式相等：，
因为S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PCA，
由等比性质得：②，
由①②式可证得：；
（ii）因为，
即，
所以，
在△PAB，△PBC，△PAC中，
分别由余弦定理得：BP2＝c2+AP2﹣2c APcosθ CP2＝a2+BP2﹣2a BPcosθ AP2＝b2+CP2﹣2b CPcosθ，
三式相加整理得2cosθ（c AP+a BP+b CP）＝a2+b2+c2，
a2+b2+c2＝2cosθ（c AP+a BP+b CP），
，
若PB平分∠ABC，则，
所以③，
又由余弦定理可得：a2+c2＝b2+2accos2θ＝b2+2ac（cos2θ﹣sin2θ）④，
由③﹣④得：b2＝﹣b2+2ac（sin2θ+cos2θ），
所以b2＝ac（sin2θ+cos2θ），
所以b2＝ac．
17．（2025 扬中市校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝1，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求点F到平面PCD的距离；
（3）设直线EG与平面ABCD，平面PAD，平面PAF所成的角分别为θ1，θ2，θ3，求sinθ1+sinθ2+sinθ3．
【解答】（1）证明：连接AC，取AD的中点O，连接OC，
因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以△ABC、△ADC为等边三角形，
所以OC⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OC 平面ABCD，
所以OC⊥平面PAD，
因为PA 平面PAD，所以PA⊥OC，
又PA⊥CD，CD∩OC＝C，CD、OC 平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：由（1）知PA⊥平面ABCD，
所以点P到平面FCD的距离即为PA＝1，
因为AC，AD 平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，
由勾股定理知，PC＝PD，
所以S△PCDCD 2，
因为∠ABC＝60°，所以∠BCD＝120°，
所以S△FCDCF CDsin∠BCD，
设点F到平面PCD的距离为d，
因为VF﹣PCD＝VP﹣FCD，
所以d S△PCDPA S△FCD，即d 2＝1 ，解得d，
故点F到平面PCD的距离为．
（3）解：连接OE，OG，则OE∥PA且，
由（1）知PA⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD，
所以∠EGO为直线EG与平面ABCD所成的角，即∠EGO＝θ1，所以，
取PA的中点M，连接EM，则EM∥AD且，
因为F为BC中点，所以AF⊥BC，
又AD∥BC，所以AD⊥AF，
由PA⊥平面ABCD，AF、AD 平面ABCD，
所以PA⊥AF，PA⊥AD，
因为AD∩PA＝A，AD、PA 平面PAD，所以AF⊥平面PAD，
连接AE，则∠AEG为直线EG与平面PAD所成的角，即∠AEG＝θ2，所以sinθ2，
因为AF∩PA＝A，AF、PA 平面PAF，所以AD⊥平面PAF，所以EM⊥平面PAF，
连接MG，则∠EGM为直线EG与平面PAF所成的角，即∠EGM＝θ3，所以sinθ3，
所以sinθ1+sinθ2+sinθ3，
设AG＝x（0≤x），则AEPD，EG，
所以sinθ1+sinθ2+sinθ3，
令t，则t∈[，]，
所以sinθ1+sinθ2+sinθ3，
由t∈[，]，知[，]，
所以当时，取得最大值，
故sinθ1+sinθ2+sinθ3的最大值为．
18．（2025 湖南模拟）已知椭圆C：，A（0，b），B（0，﹣b）．椭圆C内部的一点（t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；
（2）设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若，b＝1时，求t的值；
（3）若点U（xu，yu），V（xv，yv）满足xu＜xv且yu＞yv，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率是，
当0＜b＜2时，，得b＝1；
当b＞2时，，得b＝4；
所以b的值为1或4；
（2）由题意，直线AM的斜率kAM存在，直线BN的斜率kBN存在，，直线AM的方程，设M（xM，yM）．
则.，直线BN的方程，设N（xN，yN），
则，
由图，，
注意到∠BTM+∠ATN＝π，则sin∠BTM＝sin∠ATN．
又，
同理可得，
则．
（3）证明：由题意，直线AM的斜率kAM存在，直线BN的斜率kBN存在，，直线AM的方程，设M（xM，yM）．
则 ，
，直线BN的方程，设N（xN，yN），
则 ，
则
，
又在椭圆内部，则，故xM＞xN，
又根据题意知，所以，所以当时，点N在点M的左上方．
19．（2025 河南模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
【解答】（1）证明：由题意知，f（x）（x+1），
则f′（x）0，因此f（x）在R上单调递减，
Af（p）＝{x|f（x）＞f（p）}＝{x|x＜p}，Af（q）＝{x|f（x）＞f（q）}＝{x|x＜q}，又p＜q，所以Af（p） Af（q）．
（2）证明：观察发现，f（x）+f（﹣x）a（x+1）+bx3a（﹣x+1）﹣bx3＝2a+1，
取s＝2a+1，现证At与B2a+1﹣t互为对偶集，
x∈At，f（x）＞t，则2a+1﹣f（﹣x）＞t，即f（﹣x）＜2a+1﹣t，由定义知，﹣x∈B2a+1﹣t，
同理可知， x∈B2a+1﹣t，﹣x∈At，
所以当s＝2a+1时，Ai与Bs﹣t互为对偶集．
（3）解：构造函数，则，即g（x）＞0的充分必要条件为x∈（0，+∞），
若g（0）＜0，又g（1）＞0，由于g（x）的图象在[0，1]上连续不断，
故 x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，则与矛盾，
因此g（0）＝0，代入解得a＝0．
若b＜0，则，不符合题意，舍去．
若b≥0，此时在R上恒成立，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．
综上，b的取值范围是[0，+∞）．
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