2025年江苏省高考数学押题卷（含解析）

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2025年江苏省高考数学押题卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 昆明模拟）已知集合，则（ RM）∩N＝（　　）
A．{x|2≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|2＜x≤4} D．{x|﹣1＜x≤2}
2．（2025 金昌校级模拟）已知函数且f（16）＝2，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．2 D．4
3．（2025 南安市校级模拟）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（　　）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
4．（2025 杨浦区校级模拟）设实数a，b∈R，则不等式|a+b|≤|a|+|b|的等号成立的一个充分不必要条件为（　　）
A．ab＞0 B．ab＜0 C．ab≥0 D．ab≤0
5．（2025 安徽模拟）一个笔盒中装有10支除颜色外完全一样的笔，其中5支黑色、3支红色、2支蓝色，将这10支笔排成一排，则2支蓝色的笔排在一起的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 三元区校级二模）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 保山校级二模）等差数列{an}的前n项和Sn，S5＝25，a5＝9，则S8的值为（　　）
A．40 B．52 C．56 D．64
8．（2025 河池二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程．这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献．方程定义：y＝sinx+0.5cos2x，这个方程中，x代表一个给定的角度，y则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）．则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（　　）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 温州模拟）已知函数f（x）＝sinx（cosx+asinx），则存在实数a，使得（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的最大值为0
（多选）10．（2025 湖北模拟）已知点P在抛物线y2＝12x上运动，F为抛物线的焦点，点M（4，1），则|PM|+|PF|的值可能是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
（多选）11．（2025 福建模拟）已知某区域的水源指标x与某种植物的分布数量y之间的数据如表所示，则（　　）
x 10 20 30 40 50
y 23 45 60 78 94
附：相关系数．
A．y与x的相关系数为正数
B．y与x的回归直线经过点（30，60）
C．删去数据（30，60）后，y与x的相关系数变小
D．增加数据（30，60）后，y与x的相关系数不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 雨花区校级模拟）若函数f（x）＝xlnx﹣x+|x﹣a|有且仅有两个零点，则a的取值范围是 　 　 ．
13．（2025 湖南模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE＝2EC1，若AB＝2，AA1＝3，则点A1到平面BDE的距离为 　 　 ．
14．（2025 山东校级模拟）经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f′（x）是f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数．若函数f（x）＝x3+px2+x+q图象的对称中心点为（﹣1，2），且不等式ex﹣mxe（lnx+1）≥[f（x）﹣x3﹣3x2+e]xe对任意x∈（1，+∞）恒成立，则m的取值范围是 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 西安校级模拟）设a≠0，函数f（x）＝[a2x2﹣（a3+3a）x+2a2+3] eax．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．
16．（2025 江西模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3asinA＝5bsinC．
（1）求cosA的最小值．
（2）已知13a2＝10（b2+c2）．
①求sinA；
②若，求△ABC的周长．
17．（2025 天津模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，M为边CD的中点，且PC⊥BM．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PD上（不含端点）是否存在点N，使直线AN与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求线段PN的长；若不存在，请说明理由．
18．（2025 宜春二模）记数列{an}的前n项和为Sn其中，an≠0，对任意的n∈N*，有．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn．
19．（2025 南通校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率e，且椭圆E过点A（2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于点B，交y轴于点C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．
2025年江苏省高考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A A C B D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ABC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 昆明模拟）已知集合，则（ RM）∩N＝（　　）
A．{x|2≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|2＜x≤4} D．{x|﹣1＜x≤2}
【解答】解：集合{x|x≥4或≤﹣1}，
故 RM＝{x|﹣1＜x＜4}，
N＝{x|x≤2}，
则（ RM）∩N＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：D．
2．（2025 金昌校级模拟）已知函数且f（16）＝2，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：函数
则f（16）＝16a＝24a＝2，解得，
则．
故选：D．
3．（2025 南安市校级模拟）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（　　）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
【解答】解：向量在向量上的投影向量为，，
则，
∴，
故．
故选：A．
4．（2025 杨浦区校级模拟）设实数a，b∈R，则不等式|a+b|≤|a|+|b|的等号成立的一个充分不必要条件为（　　）
A．ab＞0 B．ab＜0 C．ab≥0 D．ab≤0
【解答】解：不等式|a+b|≤|a|+|b|的等号成立时，有ab≥0，
结合选项可知，其成立的一个充分不必要条件为ab＞0，A正确．
故选：A．
5．（2025 安徽模拟）一个笔盒中装有10支除颜色外完全一样的笔，其中5支黑色、3支红色、2支蓝色，将这10支笔排成一排，则2支蓝色的笔排在一起的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：10只笔的所有情况排列数N，
把2支笔看作一个整体，此时相当于5支黑色、3支红色一起排列，共有排列数为M，
故所求概率为．
故选：C．
6．（2025 三元区校级二模）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
由正弦定理可得，
即可得．
故选：B．
7．（2025 保山校级二模）等差数列{an}的前n项和Sn，S5＝25，a5＝9，则S8的值为（　　）
A．40 B．52 C．56 D．64
【解答】解：∵S55a3＝25，∴a3＝5，
a1+2d＝5 ①∵a5＝9，∴a1+4d＝9②
由①②得：a1＝1，d＝2，
∴S8＝8×12＝64．
故选：D．
8．（2025 河池二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程．这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献．方程定义：y＝sinx+0.5cos2x，这个方程中，x代表一个给定的角度，y则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）．则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：因为y＝sinx+0.5cos2x＝sinx（1﹣2sin2x）＝﹣sin2x+sinx，
所以当x时，，函数取得最大值为．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 温州模拟）已知函数f（x）＝sinx（cosx+asinx），则存在实数a，使得（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的最大值为0
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝sinxcosxsin2x，可知f（x）为奇函数，且周期T＝π，可知A、C两项正确；
由f（﹣x）＝sin（﹣x）[cos（﹣x）+asin（﹣x）]＝﹣sinx（cosx﹣asinx）＝﹣sinxcosx+asin2x，
可得f（x）﹣f（﹣x）＝2sinxcosx，不恒等于0，所以f（x）＝f（﹣x）不能恒成立，故B项错误；
因为f（x）＝sinxcosx+asin2x，
所以f（x）的最大值为0恒成立，故D项错误．
故选：AC．
（多选）10．（2025 湖北模拟）已知点P在抛物线y2＝12x上运动，F为抛物线的焦点，点M（4，1），则|PM|+|PF|的值可能是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点F（3，0），准线l：x＝﹣3，
因为点P在抛物线y2＝12x上运动，
如图，过点P作PA⊥l于A，过点M作MB⊥l于B，连接PM，PF，
由抛物线的定义知|PF|＝|PA|，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PA|≥|MB|，当且仅当点P在MB上时取等号，
又|MB|＝4+3＝7，所以|PM|+|PF|的最小值为7．
故选：ABC．
（多选）11．（2025 福建模拟）已知某区域的水源指标x与某种植物的分布数量y之间的数据如表所示，则（　　）
x 10 20 30 40 50
y 23 45 60 78 94
附：相关系数．
A．y与x的相关系数为正数
B．y与x的回归直线经过点（30，60）
C．删去数据（30，60）后，y与x的相关系数变小
D．增加数据（30，60）后，y与x的相关系数不变
【解答】解：对于A，由于x与y正相关，则相关系数为正，故A正确；
对于B，，60，
则中心点为（30，60），则回归直线经过点（30，60），故B正确；
对于C，D，删去或增加数据（30，60）后，的值不变，和的值不变，
则y与x的相关系数不变，故C错误，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 雨花区校级模拟）若函数f（x）＝xlnx﹣x+|x﹣a|有且仅有两个零点，则a的取值范围是 　　 ．
【解答】解：由f（x）＝0可得|x﹣a|＝x﹣xlnx，则函数y＝|x﹣a|与函数y＝x﹣xlnx的图象有两个交点；
设g（x）＝x﹣xlnx，则g′（x）＝﹣lnx，
令g′（x）＝﹣lnx＞0，解得0＜x＜1；
令g′（x）＝﹣lnx＜0，解得x＞1；
所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
令g′（x）＝1，解得，可求得g（x）的图象在处的切线方程为；
令g′（x）＝﹣1，解得x＝e，可求得g（x）的图象在x＝e处的切线方程为y＝﹣x+e；
函数y＝|x﹣a|与函数y＝x﹣xlnx的图象如图所示：
切线与y＝﹣x+e在x轴上的截距分别为，e，
当a＝0时，y＝|x﹣a|与函数y＝x﹣xlnx的图象有一个交点，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
13．（2025 湖南模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE＝2EC1，若AB＝2，AA1＝3，则点A1到平面BDE的距离为 　　 ．
【解答】解：取AB，A1B1的中点F，G，
因为AA1⊥平面ABC，FB，FC 平面ABC，
所以AA1⊥FB，AA1⊥FC，
因为三角形ABC是等边三角形，点F是AB中点，所以FB⊥FC，
所以FB，FC，FG两两互相垂直，故建系如图：
则，
所以，
设平面BDE的法向量为，
所以，取，
所以点A1到平面BDE的距离为．
故答案为：．
14．（2025 山东校级模拟）经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f′（x）是f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数．若函数f（x）＝x3+px2+x+q图象的对称中心点为（﹣1，2），且不等式ex﹣mxe（lnx+1）≥[f（x）﹣x3﹣3x2+e]xe对任意x∈（1，+∞）恒成立，则m的取值范围是 　（﹣∞，﹣e]　 ．
【解答】解：f（x）＝x3+px2+x+q，f′（x）＝3x2+2px+1，f″（x）＝6x+2p，
因为f（x）图象的对称中心点为（﹣1，2），所以f″（﹣1）＝﹣6+2p＝0，所以p＝3，
由f（﹣1）＝﹣1+3﹣1+q＝2，所以q＝1，
原不等式为ex﹣mxe（lnx+1）≥（x+1+e）xe，
因为x∈（1，+∞），所以，
设g（t）＝et﹣t﹣1，则g′（t）＝et﹣1，
当t＜0时，g′（t）＜0，当t＞0时，g′（t）＞0，
所以当t＜0时，g（t）单调递减，当t＞0时，g（t）单调递增，
所以g（t）≥g（0）＝0，即et≥t+1，
因为ex﹣elnx≥x﹣elnx+1，当且仅当x﹣elnx＝0，即x＝e时等号成立，
所以，所以其最小值为﹣e，故m≤﹣e．
故答案为：（﹣∞，﹣e]．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 西安校级模拟）设a≠0，函数f（x）＝[a2x2﹣（a3+3a）x+2a2+3] eax．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由题意a≠0，函数f（x）＝[a2x2﹣（a3+3a）x+2a2+3] eax，
当a＝1时，f（x）＝（x2﹣4x+5）ex，
则f′（x）＝（2x﹣4）ex+（x2﹣4x+5）ex＝（x2﹣2x+1）ex，
则f′（0）＝1，又f（0）＝5，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣5＝x，
即x﹣y+5＝0；
（2）由f（x）＝[a2x2﹣（a3+3a）x+2a2+3] eax，a≠0，
则f′（x）＝（2a2x﹣a3﹣3a）eax+[a2x2﹣（a3+3a）x+2a2+3] eax a
＝[ax2﹣（a2+1）x+a] a2eax＝（ax﹣1）（x﹣a） a2eax，
令f′（x）＝0，得或x＝a，
当a＜﹣1时，，令f′（x）＞0，得；
令f′（x）＜0，得x＜a或，
所以函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
当a＝﹣1时，f′（x）＝﹣（x+1）2 e﹣x≤0，
则函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），无单调递增区间；
当﹣1＜a＜0时，，令f′（x）＞0，得；
令f′（x）＜0，或x＞a，
所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当0＜a＜1时，，令f′（x）＞0，得x＜a或；
令f′（x）＜0，得，
所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当a＝1时，f′（x）＝（x﹣1）2 ex≥0，
则函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞1时，，令f′（x）＜0，得，令f′（x）＞0，得或x＞a；
所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为．
综上所述，当a＜﹣1时，函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当a＝﹣1时，函数f（x）无单调递增区间，单调递减区间为（﹣∞，+∞）；
当﹣1＜a＜0时，所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当0＜a＜1时，所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当a＝1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞1时，所以函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为．
16．（2025 江西模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3asinA＝5bsinC．
（1）求cosA的最小值．
（2）已知13a2＝10（b2+c2）．
①求sinA；
②若，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为3asinA＝5bsinC，由正弦定理可得3a2＝5bc，
由余弦定理可得3（b2+c2﹣2bccosA）＝5bc，
可得5bc≥3（2bc﹣2bccosA），当且仅当b＝c时取等号，
即5≥3（2﹣2cosA），可得cosA，
所以cosA的最小值为；
（2）因为13a2＝10（b2+c2），由（1）可得13 bc＝10（b2+c2），
整理可得6b2﹣13bc+6c2＝0，
可得bc或bc，
当bc时，可得3a2＝5c c，可得ac，
由余弦定理可得cosA，
①此时sinA；
当bc时，3a2＝5 c c，此时ac，
由余弦定理可得cosA，
则sinA，
综上所述：sinA；
②因为a时，bc时，ac，可得c＝3，b＝2，此时△ABC的周长为a+b+c5，
因为a时，当bc时，因为ac，可得c＝2，b＝3，此时△ABC的周长为a+b+c5，
综上所述：△ABC的周长为5．
17．（2025 天津模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，M为边CD的中点，且PC⊥BM．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PD上（不含端点）是否存在点N，使直线AN与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求线段PN的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，AD、AB 平面ABCD，
故PA⊥AD、PA⊥AB，又底面ABCD是矩形，故AB⊥AD，
故AD、AB、PA两两垂直，
故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2），
设AB＝a，则B（a，0，0）、C（a，1，0）、，
则、，
由PC⊥BM，则，
解得，即；
（Ⅱ），
设平面PBM的一个法向量，
因为，可得，
令z＝1，则，y＝1，
所以，
（2，1，﹣2），，
设平面PCD的一个法向量，
则，可得，
令z1＝1，则y1＝2，
所以，
设平面PBM与平面PCD夹角为θ，
则cosθ＝|cos，，
所以平面PBM与平面PCD夹角的余弦值为；
（Ⅲ），设，λ∈（0，1），
则N（0，λ，2﹣2λ），∴，
因为AN与平面PCD所成角的正弦值为，
所以，
所以5λ2﹣8λ+3＝0，
所以λ＝1或，
因为λ∈（0，1），所以，
所以．
18．（2025 宜春二模）记数列{an}的前n项和为Sn其中，an≠0，对任意的n∈N*，有．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn．
【解答】解：（1），an≠0，对任意的n∈N*，有，①
当n＝1时，1，解得a2，
当n≥2时，可得...1，②
①﹣②，可得，
化为an+1﹣an＝2，对n＝1不成立，
则an；
（2）Sn（）（n﹣1）（n﹣1）（n﹣2）×2＝n2n+3．
19．（2025 南通校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率e，且椭圆E过点A（2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于点B，交y轴于点C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆E的离心率e，且椭圆E过点A（2，0），
所以，
解得a＝2，b，
则椭圆E的方程为；
（2）易知直线l的斜率存在，
不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣4＝0，
由韦达定理得，，
因为P为AB的中点，
所以，
因为点P在直线AB上，
所以yP＝k（xP﹣2），
即P（，），
因为直线AB的方程为y＝k（x﹣2），
令x＝0，
解得y＝﹣2k，
即C（0，﹣2k），
假设存在定点Q（m，n）满足，
此时，
因为（，），（m，n+2k），
所以0，
整理得2mk2﹣k（n+2k）＝0，
因为k≠0，
所以2mk﹣（n+2k）＝0，
即（2m﹣2）k﹣n＝0恒成立，
此时，
解得m＝1，n＝0，
故存在Q（1，0）满足．
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