2025年高考数学考前押题卷（二）全国甲卷（含解析）

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2025年高考数学考前押题卷（二）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 辽宁三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（　　）
A．A B B． UA B C．B UA D．B∩A＝
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（2025 临翔区校级模拟）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（　　）
A．z的实部是1
B．z的虚部是1
C．
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
4．（2025 金昌校级模拟）函数y＝sin2x与的图象在区间[﹣2π，2π]上的交点个数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．（2025 湖南模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
6．（2025 黄浦区校级三模）下列选项中，正确的是（　　）
A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12
B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是
C．若事件A、B满足0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1且，则A与B相互独立
D．若样本数据x1、x2、 、xn的平均数为2，则2x1+3、2x2+3、…、2xn+3的平均数为8
7．（2025 青州市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，则S16＝（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（2025 岳麓区校级模拟）将函数的图象向左平移个单位关于y轴对称，则ω的值可以为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 南阳模拟）已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（　　）
A．若A B，P（B）＞0，则P（A）≤P（A|B）
B．若P（A）＞0，P（B）＞0，A，B相互独立，则AB≠
C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，则P（AB）的最小值可能为0.38
D．若AB＝ ，则
（多选）10．（2025 金昌校级模拟）在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　）
A．m＝1 B． C．m＝2 D．
（多选）11．（2025 南通模拟）已知函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π），，则（　　）
A．
B．
C．y＝f（x）﹣2cosx在（0，2π）上有3个零点
D．有3个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 金昌校级模拟）已知2tanx﹣tany＝tan（x+y），则sin2y的最大值是 　 　 ．
13．（2025 广州模拟）已知椭阀的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围为　 　 ．
14．（2025 道里区校级四模）已知函数，若存在实数a、b、c（a＜b＜c），满足2b＝a+c且f（|a|）＝f（|b|）＝f（|c|），则b﹣a＝ 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 河北模拟）已知数列{an}满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若D为BC上一点，且BC＝4DC，
①若AB⊥AD，求的值；
②若，求△ABC的周长．
17．（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
18．（2025 广州模拟）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示．
（1）将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布N（μ，σ2）（用样本平均数和标准差S分别作为μ，σ的近似值），已知样本的标准差s≈7.5．现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
（2）从得分区间[80，90）和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[90，100]的概率．
参考数据：若ξ N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.68，
P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.99．
19．（2025 河南校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥CD，AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4，M，N分别为PB，PC的中点．
（1）设，且H，A，M，N四点共面，求实数λ的值；
（2）若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值为，求三棱锥C﹣AMN的体积．
2025年高考数学考前押题卷（二）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D B C B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 辽宁三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（　　）
A．A B B． UA B C．B UA D．B∩A＝
【解答】解：对于A，由已知可得A B，故A错误；
对于B， UA＝{x|x≥1}，故 UA B，B正确；
对于C，由B知，C错误；
对于D，B∩A＝{x|﹣1＜x＜1}≠ ，故D错误．
故选：B．
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：由题意可得tanα＝2，
则tan2α．
故选：D．
3．（2025 临翔区校级模拟）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（　　）
A．z的实部是1
B．z的虚部是1
C．
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【解答】解：∵（1+i）z＝3+i，
∴，
则z的实部为2，虚部为﹣1，故A，B选项错误，
，故C选项正确，
，则在复平面内对应的点为（2，1），位于第一象限，故D选项错误．
故选：C．
4．（2025 金昌校级模拟）函数y＝sin2x与的图象在区间[﹣2π，2π]上的交点个数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：根据题意，y＝sin2x的周期为π，y＝sin2x的周期为4π，
采用“五点法”作图，在同一直角坐标系中画出函数y＝sin2x和在区间[﹣2π，2π]上的图象，
观察图象可得：两函数图象区间[﹣2π，2π]上有9个交点．
故选：D．
5．（2025 湖南模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（　　）
A． B．4π C． D．12π
【解答】解：设PO＝h＞0，则母线，由圆锥PO侧面展开图的圆心角为，可得，即h＝3，
∴圆锥PO的体积为V．
故选：B．
6．（2025 黄浦区校级三模）下列选项中，正确的是（　　）
A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12
B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是
C．若事件A、B满足0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1且，则A与B相互独立
D．若样本数据x1、x2、 、xn的平均数为2，则2x1+3、2x2+3、…、2xn+3的平均数为8
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，7×80%＝5.6，则数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为11，A错误；
对于B，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是，B错误；
对于C，若事件A、B满足0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1且，由于P（B）＝P（AB）+P（B），
则有P（AB）＝P（A）P（B），即事件A、B是相互独立事件，C正确；
对于D，若样本数据x1、x2、 、xn的平均数为2，则2x1+3、2x2+3、…、2xn+3的平均数为2×2+3＝7，D错误．
故选：C．
7．（2025 青州市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，则S16＝（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a13＝1，
．
故选：B．
8．（2025 岳麓区校级模拟）将函数的图象向左平移个单位关于y轴对称，则ω的值可以为（　　）
A． B．1 C．2 D．5
【解答】解：由题意得f（x）的图象关于直线x对称，
当x时，ω kπ（k∈Z），解得ω＝6k+1，k∈Z，
取k＝0得ω＝1，可知B项符合题意．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 南阳模拟）已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（　　）
A．若A B，P（B）＞0，则P（A）≤P（A|B）
B．若P（A）＞0，P（B）＞0，A，B相互独立，则AB≠
C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，则P（AB）的最小值可能为0.38
D．若AB＝ ，则
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由A B，则P（AB）＝P（A），则有，而0＜P（B）≤1，则P（A）≤P（A|B），A正确；
对于B，若P（A）＞0，P（B）＞0，A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，则AB≠ ，B正确；
对于C，由P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，得P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）≥0.4，
则P（AB）的最小值不可能为0.38，C错误；
对于D，若AB＝ ，则，所以P（A|），故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 金昌校级模拟）在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　）
A．m＝1 B． C．m＝2 D．
【解答】解：由正弦定理，即，可得．
当m＝1时，sinC＝1，结合C∈（0，π），可得，△ABC唯一存在，
所以由m＝1可以推出△ABC有唯一解，故A正确；
当时，，结合AB＞BC，可知，
满足条件的角C有互补的两个值，相应的△ABC有两解，故B错误；
当m＝2时，可得AB＝BC＝2，所以，则，△ABC唯一存在，
所以由m＝2可以推出△ABC有唯一解，故C正确；
当时，，结合AB＞BC，可得，
满足条件的角C有互补的两个值，可知△ABC有两解，D项错误．
故选：AC．
（多选）11．（2025 南通模拟）已知函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π），，则（　　）
A．
B．
C．y＝f（x）﹣2cosx在（0，2π）上有3个零点
D．有3个零点
【解答】解：因为，
所以函数在x处取最小值，
又因为3φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝2kπ，k∈Z，
又因为0＜φ＜π，
所以k＝1，φ，
所以f（x）＝2sin（3x）＝2cos3x，
对于A，f（）＝2cos，f（）＝2cos2cos，
又因为y＝cosx在（0，）上单调递减，
且0，
所以2cos2cos，
即f（）＜f（），故A错误；
对于B，f（）＝2cos（）＝2cos（﹣2π）＝2cos，f（）＝2cos，
又因为y＝cosx在（0，）上单调递减，
且0，
所以2cos2cos，
即f（）＞f（），故B正确；
对于C，y＝f（x）﹣2cosx
＝2cos3x﹣2cosx
＝2cos2xcosx﹣2sin2xsinx﹣2cosx
＝2cosx（cos2x﹣2sin2x﹣1）
＝2cosx （﹣4sin2x）
＝﹣8cosx sin2x，
令y＝﹣8cosx sin2x＝0，
当x∈（0，2π）时，解得x，π，，共3个零点，故C正确；
对于D，y＝f（x）x＝2cos3xx，
函数y＝2cos3xx的零点个数，即为y＝2cos3x与yx的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
因为两函数有3个交点，
所以函数y＝f（x）x有3个零点，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 金昌校级模拟）已知2tanx﹣tany＝tan（x+y），则sin2y的最大值是 　　 ．
【解答】解：因为，2tanx﹣tany＝tan（x+y），
故tanx+tany＝（1﹣tanx tany）（2tanx﹣tany）＝2tanx﹣tany﹣2tan2x tany+tanx tan2y，
故2tan2x tany﹣tanx tan2y﹣tanx+2tany＝0，即2tan2x tany+2tany＝tanx tan2y+tanx，
即2tany（tan2x+1）＝tanx（tan2y+1），而1+tan2x，
同理，故，即2sinycosy＝sinxcosx，
所以，当且仅当sin2x＝1时，等号成立．
故答案为：．
13．（2025 广州模拟）已知椭阀的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围为　（，1）　 ．
【解答】解：由题意得，椭圆C上存在一点P，使得∠PF2F1为钝角，且|PF2|＝|F2F1|＝2c，
则|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2a﹣2c，
因为∠PF2F1为钝角，所以∠PF2F1＞45°，sin∠PF2F1，
即，整理得a＞（1）c，所以离心率e1，
又点P不在x轴上时，a﹣c＜|PF2|＜a+c，所以a﹣c＜2c＜a+c，解得e，
所以离心率的取值范围为（，1）．
14．（2025 道里区校级四模）已知函数，若存在实数a、b、c（a＜b＜c），满足2b＝a+c且f（|a|）＝f（|b|）＝f（|c|），则b﹣a＝ 　　 ．
【解答】解：根据题意，函数f（|x|）为偶函数，图象关于y轴对称，
所以f（|x|）在[0，+∞）上的图象与f（x）图象相同，
在（﹣∞，0）上的图象与f（x）在（0，+∞）上的图象关于y轴对称，
结合，作出函数f（|x|）的图象如下图所示：
设t∈（0，4）时，方程f（|x|）＝t的解分别为x1、x2、x3、x4（x1＜x2＜x3＜x4），
因为f（|a|）＝f（|b|）＝f（|c|），所以a、b、c为x1、x2、x3、x4中的三个数，
结合2b＝a+0且x2﹣x1＝x4﹣x3，可知a、b、c对应的数为x1、x2、x3或x2、x3、x4，
根据对称性，不妨取a、b、c对应的数为x2、x3、x4，
根据x3＝﹣x2可得b＝﹣a，结合a+c＝2b，解得c＝3b，
因为，所以6b﹣2＝23﹣3b，令3b﹣1＝m，可得2m＝22﹣m，
根据函数g（m）＝22﹣m﹣2m为减函数，且g（1）＝0，
可得方程2m＝22﹣m的解为m＝1，即3b﹣1＝1，解得，，可得b﹣a．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河北模拟）已知数列{an}满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）证明：数列{an}满足，，
两边同时取倒数，可得，
所以数列是首项和公差均为2的等差数列．
（2）由等差数列的通项公式知，，
则，，
所以数列{bn}的前n项和．
16．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若D为BC上一点，且BC＝4DC，
①若AB⊥AD，求的值；
②若，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理得b2+c2﹣a2＝2bccosA，
可得cosA，
又A∈（0，π），
所以；
（2）①在Rt△ABD中，
BC＝4CD，所以BDBCa，CDa，
，①
在△ADC中，由正弦定理得，，而∠DAC，
即，即sinC，②
则可得 ；
②因为，
可得（），
两边平方可得222 b2c2bccosA
b216b24b2×（）b2，
即b2，
解得b＝2，则c＝4b＝8，
由（1）得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+64+16＝84，
所以，
故△ABC的周长为．
17．（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
【解答】解：（1）由对数运算法则，，
f（3x）＝log3（3x）＝1+log3x，
设t＝log3x，则原方程等价于（3﹣t）（1+t）＝﹣5，解得t＝﹣2或t＝4．
所以原方程的解为x或x＝81．
（2）当0＜a＜1时，函数y＝f（x）严格单调递减，f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a；
当a＞1时，函数y＝f（x）严格单调递增，f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a＞1．
综上，a的取值范围是（，）∪（1，+∞）．
18．（2025 广州模拟）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示．
（1）将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布N（μ，σ2）（用样本平均数和标准差S分别作为μ，σ的近似值），已知样本的标准差s≈7.5．现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
（2）从得分区间[80，90）和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[90，100]的概率．
参考数据：若ξ N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.68，
P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.99．
【解答】解：（1）易知65×0.1+75×0.4+85×0.35+95×0.15＝80.5，
所以μ的近似值80.5，
因为样本的标准差s≈7.5，
所以ξ N（80.5，7.52），
因为P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.68，
即P（73＜ξ≤88）≈0.68，
则，
因为抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，
此时X B（100，0.16），
则X的数学期望E（X）＝100×0.16＝16，
所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过8（8分）的学生人数的数学期望为16人；
（2）易知分数在[80，90）和[90，100]的频率分别为0.35和0.15，
若用分层抽样的方法抽取10份试卷，
此时分数在[80，90），应抽取份，
分数在[90，100]应抽取份，
记“抽测的3份试卷来自于不同区间”为事件A，“取出的试卷有2份来自区间[90，100]”为事件B，
可得，，
则，
故抽测3份试卷有2份来自区间[90，100]的概率为．
19．（2025 河南校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥CD，AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4，M，N分别为PB，PC的中点．
（1）设，且H，A，M，N四点共面，求实数λ的值；
（2）若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值为，求三棱锥C﹣AMN的体积．
【解答】解：（1）在平面ABCD内作AS⊥AB，以A为原点，AB，AS，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝2a，∵AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4，BC⊥CD，
∴B（4，0，0），C（4，2，0），P（0，0，2a），D（2，2，0），，
∵（0，0，2a）+λ（2，2，﹣2a）＝（2λ，2λ，2（1﹣λ）a），
又∵M，N分别为PB，PC的中点，
∴，，
设平面AMN的法向量为，
∴，
则y＝0，令z＝2得x＝﹣a，
∴，
又∵，，共面，
∴，
解得λ．
（2）由（1）得，
又∵，，
设平面CDP的法向量为，
则，
解得x＝0，令z＝1得y＝a，
∴，
设平面AMN和平面CDP所成的角为θ，
∵，
整理得a4+a2﹣6＝0，
∵a＞0，∴a＝1，即PA＝2，
∴平面AMN的法向量为（﹣1，0，2），，
设点C到平面AMN的距离为d，
∴，
∵PA⊥平面ABCD，又∵BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，又∵BC⊥CD，BA∩PA＝A，BA、PA 平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
又∵M，N分别为PB，PC的中点，
∴MN∥BC，，
∴MN⊥平面ABP，又∵AM 平面APB，∴MN⊥AM，
又∵PA⊥AB，AB＝4，PA＝2，
∴，
则，
∴．
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