2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 664.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-03 16:40:22 | ||
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文档简介
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2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 银川校级模拟）集合，那么A∩B的真子集个数有（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
4．（2025 河北模拟）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025 山海关区校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 哈尔滨校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（ ）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
8．（2025 临翔区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）＝f（x）+f（x﹣2），且f（35）＞f（25），f（30）＞f（10），则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f（20）＞100 B．f（20）＜1000
C．f（30）＞1000 D．f（30）＜10000
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 越秀区校级模拟）下列命题中正确的为（ ）
A．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且，则C，D相互独立
B．若三个事件A，B，C两两独立，则满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
C．给定三个事件A，B，C，且P（C）＞0，则P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C）
D．若事件A，B满足，则
（多选）10．（2025 开福区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+ax﹣blnx，则下列说法正确的有（ ）
A．当a＝1，b＝1时，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x
B．当a＝0时，f（x）有极小值
C．若x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，则f（x）在（1，+∞）单调递增
D．若x＞0时，f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，则f（x）的极小值为﹣8+4ln2
（多选）11．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（ ）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 道里区校级四模）4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，则共有 种不同分配方式（用数字作答）．
13．（2025 枣庄校级二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，记点M的轨迹为C，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，若，则a的值为 ．
14．（2025 建邺区校级三模）已知F1为双曲线的左焦点，过点F1作直线l与双曲线左支交于A，B两点，点D是双曲线上点B关于原点的对称点．若以AD为直径的圆过点F1，且|DF1|＝|AF1|，则双曲线E的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 河池二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求A的大小；
（2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD．
16．（2025 黄州区校级三模）如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω．记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立；
（3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．
17．（2025 浙江模拟）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝3，∠DAB＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°．
（1）求平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；
（2）求平面D1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值．
18．（2025 金昌校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，．
（1）当a＝4时，求g（x）在（0，4]上的值域；
（2）证明：曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（0，0）处存在公切线．
19．（2025 东西湖区校级模拟）设O是坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：x＝ty+c交双曲线C的右支于P，Q两点，且P关于y轴的对称点为P′，△P′QP的外心为T．
（i）求外心T的坐标（用t表示）；
（ii）求的取值范围．
2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D D A B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 银川校级模拟）集合，那么A∩B的真子集个数有（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【解答】解：当﹣1＜x＜4时，x2∈[0，16），又，易知，
当y＝0时，x＝1，当y＝1时，x＝2，当y＝2时，x＝5，当y＝3时，x＝10，
当y＝4时，x＝17＞16，
所以A∩B＝{1，2，5，10}，集合元素个数为4，
所以A∩B的真子集个数为24﹣1＝15．
故选：D．
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：由题意可得tanα＝2，
则tan2α．
故选：D．
3．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
【解答】解：因为C2是圆，所以a＞0，
因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，
又圆，
可得，所以，解得a＝16．
故选：C．
4．（2025 河北模拟）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题可得：，
则复数z在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选：D．
5．（2025 山海关区校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设圆台的母线长为l，
因为圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，
所以圆台的表面积11π＝π+4π+π（1+2）l，
即l＝2，
故圆台的高为，
根据线面角定义求出母线与底面所成角60°，
所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为．
故选：D．
6．（2025 哈尔滨校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，得cosαcosβ+sinαsinβ①，
根据，可得，即sinαsinβ＝2cosαcosβ…②．
由①②组成方程组，解得，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．
可得cos（2α+2β）＝cos[2（α+β）]＝2cos2（α+β）﹣1．
故选：A．
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（ ）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
【解答】解：易知直线AB的方程为，
联立，消去y并整理得，
此时，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得x1+x2＝﹣3p，
由抛物线的定义知4，
解得p＝1，
则抛物线C的准线方程为．
故选：B．
8．（2025 临翔区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）＝f（x）+f（x﹣2），且f（35）＞f（25），f（30）＞f（10），则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f（20）＞100 B．f（20）＜1000
C．f（30）＞1000 D．f（30）＜10000
【解答】解：由题，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），设f（1）＝x，f（2）＝y，
则f（3）＝y﹣x，f（4）＝﹣x，f（5）＝﹣y，f（6）＝﹣y+x，f（7）＝x＝f（1），
所以函数f（x）的周期为6，
故f（35）＝f（5）＝﹣y，f（25）＝f（1）＝x，
f（30）＝f（6）＝﹣y+x，f（10）＝f（4）＝﹣x，
由f（35）＞f（25），则﹣y＞x，即x+y＜0，
由f（30）＞f（10），则﹣y+x＞﹣x，即2x﹣y＞0，
所以，可得y＜0，x无法确定，
所以f（20）＝f（2）＝y＜0＜1000，f（30）＝﹣y+x无法判断，
综上所述，f（20）＜1000．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 越秀区校级模拟）下列命题中正确的为（ ）
A．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且，则C，D相互独立
B．若三个事件A，B，C两两独立，则满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
C．给定三个事件A，B，C，且P（C）＞0，则P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C）
D．若事件A，B满足，则
【解答】解：对于A，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），
所以P（D|C）＝P（D），由条件概率公式得，
所以P（CD）＝P（C） P（D），事件C，D相互独立，故A正确；
对于B，设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，
可求得P（A）＝P（B）＝P（C），P（AB）＝P（AC）＝P（BC），，
所以P（AB）＝P（A） P（B），P（AC）＝P（A） P（C），P（BC）＝P（B） P（C），即A、B、C两两独立，
但，故B错误；
对于C，因为P（A∪B|C）＝P（A|C）+P（B|C）﹣P（A∩B|C），
由于P（A∩B|C）≥0，故P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C），故C正确；
对于D，因为P（A，即P（A）+P（B），解得，
因为P（A）＝P（AB）+P（A），所以，解得，
因为P（B）＝P（AB）+P（B），即，解得，
所以，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025 开福区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+ax﹣blnx，则下列说法正确的有（ ）
A．当a＝1，b＝1时，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x
B．当a＝0时，f（x）有极小值
C．若x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，则f（x）在（1，+∞）单调递增
D．若x＞0时，f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，则f（x）的极小值为﹣8+4ln2
【解答】解：因为f（x）＝x2+ax﹣blnx（x＞0），则f′（x）＝2x+a（x＞0），
对于A，当a＝1，b＝1时，f′（x）（x＞0），
所以f′（1）＝2，f（1）＝2，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故A正确；
对于B，当a＝0时，，
所以当b≤0时，f′（x）≥0，
则f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，故B错误；
对于C，因为x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，
即当x∈（1，∞）时，f′（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在（1，∞）单调递增，故C正确；
对于D，因为（x＞0），
因为f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，
所以f′（x）＝0与x2﹣3x+2＝0有相同的根，即2x2+ax﹣b＝0的两个实数根为1，2，
所以，即a＝﹣6，b＝﹣4，此时f（x）＝x2﹣6x+4lnx，
所以当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝﹣8+4ln2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（ ）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
【解答】解：根据，那么或y＝0，那么C由椭圆与直线y＝0组成，
易知F2（0，2），F1（0，﹣2）为的两个焦点，
如果点P在椭圆上时，，
如果点P是原点时，那么|PF1|+|PF2|＝4，
曲线C上的其他点，那么|PF1|+|PF2|＞4，
因此|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞），所以选项A正确；
当点P在直线y＝0上时，||PF1|﹣|PF2||＝0，
当点P在椭圆上时，，
根据，得||PF1|﹣|PF2||∈[0，4]，所以选项B正确．
将y＝mx﹣3代入椭圆，可得（m2+5）x2﹣6mx+4＝0，
设该方程的两个根为x1，x2，那么根的判别式Δ＝20m2﹣80＞0，即m2＞4，
结合韦达定理可得，，
根据y＝mx﹣3＝0，得，假设存在l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
那么，解得m2＝10＞4，所以选项D正确．
当m＞3时，介于x1，x2之间，
假设存在直线l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，
则，即，得5m2+45＝0，显然该方程无实数解，C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 道里区校级四模）4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，则共有 12 种不同分配方式（用数字作答）．
【解答】解：4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，
若甲1人去A地，则有6种情况；
若甲和另外一人去A地，则有种情况，
则共有6+6＝12种情况．
故答案为：12．
13．（2025 枣庄校级二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，记点M的轨迹为C，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，若，则a的值为 ﹣1或 ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，
设M（x，y），根据两点间的距离公式可得（x+1）2+（y﹣1）2＝3（x﹣2）2+3（y﹣2）2，
化简整理得，
则圆心为，半径为，
设圆心到直线l：x+ay＝0的距离为d，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，
因为，所以，，
根据点到直线的距离公式可得，解得a＝﹣1或．
故答案为：﹣1或．
14．（2025 建邺区校级三模）已知F1为双曲线的左焦点，过点F1作直线l与双曲线左支交于A，B两点，点D是双曲线上点B关于原点的对称点．若以AD为直径的圆过点F1，且|DF1|＝|AF1|，则双曲线E的离心率为 ．
【解答】解：如图，
设双曲线的右焦点为F2，连接DF2，BF2，AF2，
因为点D是双曲线上点B关于原点的对称点．所以四边形BF2DF1为平行四边形，
因为以AD为直径的圆过点F1，所以AF1⊥DF1，
因为|DF1|＝|AF1|，所以∠ADF1＝45°，
因为DF1∥AB，所以∠F2DF1＝90°，所以∠ADF2＝135°，
设|DF1|＝|AF1|＝m，则|AD|m，
由双曲线的定义，|AF2|＝m+2a，|DF2|＝m﹣2a，
在△ADF2中，由余弦定理，2|AF2||DF2|cos∠ADF2，
即（m+2a）2＝2m2+（m﹣2a）2﹣2m（m﹣2a）×（），整理得，m＝3a，
所以|DF1|＝3a，|DF2|＝a，在Rt△F1DF2中，9a2+a2＝4c2，所以离心率e．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河池二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求A的大小；
（2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD．
【解答】解：（1）由，
得，
整理得2cosBcosC﹣1＝2sinCsinB，即，
又A+B+C＝π，所以，
因为A∈（0，π），
所以；
（2）由题意，，角A的平分线交BC于点D，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及，
可得，
化简得AD（b+c）＝bc，所以，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc，
即3＝4﹣bc，则有bc＝1，所以．
16．（2025 黄州区校级三模）如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω．记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立；
（3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．
【解答】解：（1）根据题意，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；
（2）根据题意，A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，3，4}C＝{2，3，5，7}，ABC＝{2}，
故P（ABC），P（A）＝P（B）＝P（C），
则有P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
但AC＝{2}，P（AC），有P（AC）≠P（A）P（C），
故A、B、C两两独立不成立，
（3）根据题意，每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记 i（i＝1，2，3）为第i次抛掷这个正八面体发生事件AB，则P（ i）＝P（AB），
所以事件AB只发生1次的概率P＝P（C1）P（）P（）+P（）P（C2）P（）+P（）P（）P（C3）．
17．（2025 浙江模拟）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝3，∠DAB＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°．
（1）求平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；
（2）求平面D1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值．
【解答】解：（1）过A1作A1H⊥平面ABCD，垂足为H，过H作HM⊥AB，HN⊥AD，垂足分别为M，N，
连接A1M，A1N，由三垂线定理得A，M⊥AB，A，N⊥AD，
又∠A1AD＝∠A1AB，AA1为公共边，
所以ΔA1AM ΔA1AN，
所以A1M＝A1N，
又∠A1HM＝∠A1HN＝90°，A1H为公共边，
所以RtΔA1HM≌RtΔA1HN，
所以HM＝HN，所以H在∠DAB的平分线上．
又底面ABCD是菱形，所以H在AC上，
又，，，
所以，
所以，所以H为AC中点，
，，AA1＝3，
所以，
菱形ABCD的面积为，
所以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为；
（2）由（1）可得HA，HB，HA1两两垂直，建系如图所示，
则，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），，A，0，0，﹣6），
所以，
设平面BCD1的法向量为，平面BCC1B1的法向量为，
则，则，
取，
则，则，
取，
设平面D1BC与平面BCC1B1所成角为θ，
则，
所以平面D1BC与平面BCC1B1所成角的余弦值为．
18．（2025 金昌校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，．
（1）当a＝4时，求g（x）在（0，4]上的值域；
（2）证明：曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（0，0）处存在公切线．
【解答】解：（1）若a＝4，则，所以，x∈（0，4]
所以当x∈（0，2]时，g′（x）≥0，g（x）单调递增；
当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）有最大值为，
当x＝0时，，当x＝4时，，
所以g（x）在（0，4]上的值域为（0，1]；
（2）证明：因为f′（x）＝cosx，所以f′（0）＝1，
又f（0）＝0，所以f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．
因为，所以g′（0）＝1，又g（0）＝0，
所以g（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x，
所以f（x）与g（x）在（0，0）处存在公切线y＝x．
19．（2025 东西湖区校级模拟）设O是坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：x＝ty+c交双曲线C的右支于P，Q两点，且P关于y轴的对称点为P′，△P′QP的外心为T．
（i）求外心T的坐标（用t表示）；
（ii）求的取值范围．
【解答】解：（1）由双曲线的方程知，，又离心率，
故c＝2，所以b2＝1，
故双曲线的方程为；
（2）（i）直线PQ的方程为x＝ty+2，
联立，
得（t2﹣3）y2+4ty+1＝0，
故t2﹣3≠0，且Δ＝16t2﹣4（t2﹣3）＝12t2+12＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），P'（﹣x1，y1），
则，，
，
由已知，
所以，
所以线段PQ的中点坐标为，
所以线段PQ的垂直平分线方程为，
又线段PP'的垂直平分线方程为x＝0，
所以点T的坐标为，
（ii），
，
所以，
因为，
所以的取值范围为．
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2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 银川校级模拟）集合，那么A∩B的真子集个数有（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
4．（2025 河北模拟）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025 山海关区校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 哈尔滨校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（ ）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
8．（2025 临翔区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）＝f（x）+f（x﹣2），且f（35）＞f（25），f（30）＞f（10），则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f（20）＞100 B．f（20）＜1000
C．f（30）＞1000 D．f（30）＜10000
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（2025 越秀区校级模拟）下列命题中正确的为（ ）
A．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且，则C，D相互独立
B．若三个事件A，B，C两两独立，则满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
C．给定三个事件A，B，C，且P（C）＞0，则P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C）
D．若事件A，B满足，则
（多选）10．（2025 开福区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+ax﹣blnx，则下列说法正确的有（ ）
A．当a＝1，b＝1时，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x
B．当a＝0时，f（x）有极小值
C．若x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，则f（x）在（1，+∞）单调递增
D．若x＞0时，f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，则f（x）的极小值为﹣8+4ln2
（多选）11．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（ ）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 道里区校级四模）4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，则共有 种不同分配方式（用数字作答）．
13．（2025 枣庄校级二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，记点M的轨迹为C，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，若，则a的值为 ．
14．（2025 建邺区校级三模）已知F1为双曲线的左焦点，过点F1作直线l与双曲线左支交于A，B两点，点D是双曲线上点B关于原点的对称点．若以AD为直径的圆过点F1，且|DF1|＝|AF1|，则双曲线E的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 河池二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求A的大小；
（2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD．
16．（2025 黄州区校级三模）如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω．记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立；
（3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．
17．（2025 浙江模拟）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝3，∠DAB＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°．
（1）求平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；
（2）求平面D1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值．
18．（2025 金昌校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，．
（1）当a＝4时，求g（x）在（0，4]上的值域；
（2）证明：曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（0，0）处存在公切线．
19．（2025 东西湖区校级模拟）设O是坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：x＝ty+c交双曲线C的右支于P，Q两点，且P关于y轴的对称点为P′，△P′QP的外心为T．
（i）求外心T的坐标（用t表示）；
（ii）求的取值范围．
2025年高考数学考前押题卷（三）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D D A B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 银川校级模拟）集合，那么A∩B的真子集个数有（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【解答】解：当﹣1＜x＜4时，x2∈[0，16），又，易知，
当y＝0时，x＝1，当y＝1时，x＝2，当y＝2时，x＝5，当y＝3时，x＝10，
当y＝4时，x＝17＞16，
所以A∩B＝{1，2，5，10}，集合元素个数为4，
所以A∩B的真子集个数为24﹣1＝15．
故选：D．
2．（2025 吉林四模）直线l的一个方向向量为，倾斜角为α，则tan2α＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：由题意可得tanα＝2，
则tan2α．
故选：D．
3．（2025 江苏校级模拟）圆，若两圆的公切线恰有3条，则a＝（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
【解答】解：因为C2是圆，所以a＞0，
因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，
又圆，
可得，所以，解得a＝16．
故选：C．
4．（2025 河北模拟）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题可得：，
则复数z在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选：D．
5．（2025 山海关区校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设圆台的母线长为l，
因为圆台的上、下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为11π，
所以圆台的表面积11π＝π+4π+π（1+2）l，
即l＝2，
故圆台的高为，
根据线面角定义求出母线与底面所成角60°，
所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为．
故选：D．
6．（2025 哈尔滨校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，得cosαcosβ+sinαsinβ①，
根据，可得，即sinαsinβ＝2cosαcosβ…②．
由①②组成方程组，解得，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．
可得cos（2α+2β）＝cos[2（α+β）]＝2cos2（α+β）﹣1．
故选：A．
7．（2025 河北模拟）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），若斜率为﹣1的直线经过点与C交于A，B两点，且|AB|＝4，则C的准线方程为（ ）
A．x＝1 B． C． D．x＝﹣1
【解答】解：易知直线AB的方程为，
联立，消去y并整理得，
此时，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得x1+x2＝﹣3p，
由抛物线的定义知4，
解得p＝1，
则抛物线C的准线方程为．
故选：B．
8．（2025 临翔区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）＝f（x）+f（x﹣2），且f（35）＞f（25），f（30）＞f（10），则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f（20）＞100 B．f（20）＜1000
C．f（30）＞1000 D．f（30）＜10000
【解答】解：由题，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），设f（1）＝x，f（2）＝y，
则f（3）＝y﹣x，f（4）＝﹣x，f（5）＝﹣y，f（6）＝﹣y+x，f（7）＝x＝f（1），
所以函数f（x）的周期为6，
故f（35）＝f（5）＝﹣y，f（25）＝f（1）＝x，
f（30）＝f（6）＝﹣y+x，f（10）＝f（4）＝﹣x，
由f（35）＞f（25），则﹣y＞x，即x+y＜0，
由f（30）＞f（10），则﹣y+x＞﹣x，即2x﹣y＞0，
所以，可得y＜0，x无法确定，
所以f（20）＝f（2）＝y＜0＜1000，f（30）＝﹣y+x无法判断，
综上所述，f（20）＜1000．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 越秀区校级模拟）下列命题中正确的为（ ）
A．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且，则C，D相互独立
B．若三个事件A，B，C两两独立，则满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
C．给定三个事件A，B，C，且P（C）＞0，则P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C）
D．若事件A，B满足，则
【解答】解：对于A，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），
所以P（D|C）＝P（D），由条件概率公式得，
所以P（CD）＝P（C） P（D），事件C，D相互独立，故A正确；
对于B，设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，
可求得P（A）＝P（B）＝P（C），P（AB）＝P（AC）＝P（BC），，
所以P（AB）＝P（A） P（B），P（AC）＝P（A） P（C），P（BC）＝P（B） P（C），即A、B、C两两独立，
但，故B错误；
对于C，因为P（A∪B|C）＝P（A|C）+P（B|C）﹣P（A∩B|C），
由于P（A∩B|C）≥0，故P（A∪B|C）≤P（A|C）+P（B|C），故C正确；
对于D，因为P（A，即P（A）+P（B），解得，
因为P（A）＝P（AB）+P（A），所以，解得，
因为P（B）＝P（AB）+P（B），即，解得，
所以，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025 开福区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+ax﹣blnx，则下列说法正确的有（ ）
A．当a＝1，b＝1时，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x
B．当a＝0时，f（x）有极小值
C．若x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，则f（x）在（1，+∞）单调递增
D．若x＞0时，f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，则f（x）的极小值为﹣8+4ln2
【解答】解：因为f（x）＝x2+ax﹣blnx（x＞0），则f′（x）＝2x+a（x＞0），
对于A，当a＝1，b＝1时，f′（x）（x＞0），
所以f′（1）＝2，f（1）＝2，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故A正确；
对于B，当a＝0时，，
所以当b≤0时，f′（x）≥0，
则f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，故B错误；
对于C，因为x＞0时，f′（x）（x﹣1）≥0恒成立，
即当x∈（1，∞）时，f′（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在（1，∞）单调递增，故C正确；
对于D，因为（x＞0），
因为f′（x）（x2﹣3x+2）≥0恒成立，
所以f′（x）＝0与x2﹣3x+2＝0有相同的根，即2x2+ax﹣b＝0的两个实数根为1，2，
所以，即a＝﹣6，b＝﹣4，此时f（x）＝x2﹣6x+4lnx，
所以当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝﹣8+4ln2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 保定二模）已知曲线，点F1（0，﹣2），F2（0，2），则（ ）
A．当P为C上的动点时，|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞）
B．当P为C上的动点时，||PF1|﹣|PF2||的取值范围是[0，4]
C．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞3），使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线l：y＝mx﹣3（m＞2），使得l与C的所有交点的横坐标之和为
【解答】解：根据，那么或y＝0，那么C由椭圆与直线y＝0组成，
易知F2（0，2），F1（0，﹣2）为的两个焦点，
如果点P在椭圆上时，，
如果点P是原点时，那么|PF1|+|PF2|＝4，
曲线C上的其他点，那么|PF1|+|PF2|＞4，
因此|PF1|+|PF2|的取值范围是[4，+∞），所以选项A正确；
当点P在直线y＝0上时，||PF1|﹣|PF2||＝0，
当点P在椭圆上时，，
根据，得||PF1|﹣|PF2||∈[0，4]，所以选项B正确．
将y＝mx﹣3代入椭圆，可得（m2+5）x2﹣6mx+4＝0，
设该方程的两个根为x1，x2，那么根的判别式Δ＝20m2﹣80＞0，即m2＞4，
结合韦达定理可得，，
根据y＝mx﹣3＝0，得，假设存在l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
那么，解得m2＝10＞4，所以选项D正确．
当m＞3时，介于x1，x2之间，
假设存在直线l：y＝mx﹣3，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，
则，即，得5m2+45＝0，显然该方程无实数解，C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 道里区校级四模）4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，则共有 12 种不同分配方式（用数字作答）．
【解答】解：4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去A地，
若甲1人去A地，则有6种情况；
若甲和另外一人去A地，则有种情况，
则共有6+6＝12种情况．
故答案为：12．
13．（2025 枣庄校级二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，记点M的轨迹为C，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，若，则a的值为 ﹣1或 ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（2，2），动点M满足，
设M（x，y），根据两点间的距离公式可得（x+1）2+（y﹣1）2＝3（x﹣2）2+3（y﹣2）2，
化简整理得，
则圆心为，半径为，
设圆心到直线l：x+ay＝0的距离为d，直线l：x+ay＝0与C交于D，E两点，
因为，所以，，
根据点到直线的距离公式可得，解得a＝﹣1或．
故答案为：﹣1或．
14．（2025 建邺区校级三模）已知F1为双曲线的左焦点，过点F1作直线l与双曲线左支交于A，B两点，点D是双曲线上点B关于原点的对称点．若以AD为直径的圆过点F1，且|DF1|＝|AF1|，则双曲线E的离心率为 ．
【解答】解：如图，
设双曲线的右焦点为F2，连接DF2，BF2，AF2，
因为点D是双曲线上点B关于原点的对称点．所以四边形BF2DF1为平行四边形，
因为以AD为直径的圆过点F1，所以AF1⊥DF1，
因为|DF1|＝|AF1|，所以∠ADF1＝45°，
因为DF1∥AB，所以∠F2DF1＝90°，所以∠ADF2＝135°，
设|DF1|＝|AF1|＝m，则|AD|m，
由双曲线的定义，|AF2|＝m+2a，|DF2|＝m﹣2a，
在△ADF2中，由余弦定理，2|AF2||DF2|cos∠ADF2，
即（m+2a）2＝2m2+（m﹣2a）2﹣2m（m﹣2a）×（），整理得，m＝3a，
所以|DF1|＝3a，|DF2|＝a，在Rt△F1DF2中，9a2+a2＝4c2，所以离心率e．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河池二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求A的大小；
（2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD．
【解答】解：（1）由，
得，
整理得2cosBcosC﹣1＝2sinCsinB，即，
又A+B+C＝π，所以，
因为A∈（0，π），
所以；
（2）由题意，，角A的平分线交BC于点D，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及，
可得，
化简得AD（b+c）＝bc，所以，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc，
即3＝4﹣bc，则有bc＝1，所以．
16．（2025 黄州区校级三模）如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω．记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立；
（3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．
【解答】解：（1）根据题意，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；
（2）根据题意，A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，3，4}C＝{2，3，5，7}，ABC＝{2}，
故P（ABC），P（A）＝P（B）＝P（C），
则有P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
但AC＝{2}，P（AC），有P（AC）≠P（A）P（C），
故A、B、C两两独立不成立，
（3）根据题意，每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记 i（i＝1，2，3）为第i次抛掷这个正八面体发生事件AB，则P（ i）＝P（AB），
所以事件AB只发生1次的概率P＝P（C1）P（）P（）+P（）P（C2）P（）+P（）P（）P（C3）．
17．（2025 浙江模拟）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝3，∠DAB＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°．
（1）求平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；
（2）求平面D1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值．
【解答】解：（1）过A1作A1H⊥平面ABCD，垂足为H，过H作HM⊥AB，HN⊥AD，垂足分别为M，N，
连接A1M，A1N，由三垂线定理得A，M⊥AB，A，N⊥AD，
又∠A1AD＝∠A1AB，AA1为公共边，
所以ΔA1AM ΔA1AN，
所以A1M＝A1N，
又∠A1HM＝∠A1HN＝90°，A1H为公共边，
所以RtΔA1HM≌RtΔA1HN，
所以HM＝HN，所以H在∠DAB的平分线上．
又底面ABCD是菱形，所以H在AC上，
又，，，
所以，
所以，所以H为AC中点，
，，AA1＝3，
所以，
菱形ABCD的面积为，
所以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为；
（2）由（1）可得HA，HB，HA1两两垂直，建系如图所示，
则，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），，A，0，0，﹣6），
所以，
设平面BCD1的法向量为，平面BCC1B1的法向量为，
则，则，
取，
则，则，
取，
设平面D1BC与平面BCC1B1所成角为θ，
则，
所以平面D1BC与平面BCC1B1所成角的余弦值为．
18．（2025 金昌校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，．
（1）当a＝4时，求g（x）在（0，4]上的值域；
（2）证明：曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（0，0）处存在公切线．
【解答】解：（1）若a＝4，则，所以，x∈（0，4]
所以当x∈（0，2]时，g′（x）≥0，g（x）单调递增；
当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）有最大值为，
当x＝0时，，当x＝4时，，
所以g（x）在（0，4]上的值域为（0，1]；
（2）证明：因为f′（x）＝cosx，所以f′（0）＝1，
又f（0）＝0，所以f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．
因为，所以g′（0）＝1，又g（0）＝0，
所以g（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x，
所以f（x）与g（x）在（0，0）处存在公切线y＝x．
19．（2025 东西湖区校级模拟）设O是坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：x＝ty+c交双曲线C的右支于P，Q两点，且P关于y轴的对称点为P′，△P′QP的外心为T．
（i）求外心T的坐标（用t表示）；
（ii）求的取值范围．
【解答】解：（1）由双曲线的方程知，，又离心率，
故c＝2，所以b2＝1，
故双曲线的方程为；
（2）（i）直线PQ的方程为x＝ty+2，
联立，
得（t2﹣3）y2+4ty+1＝0，
故t2﹣3≠0，且Δ＝16t2﹣4（t2﹣3）＝12t2+12＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），P'（﹣x1，y1），
则，，
，
由已知，
所以，
所以线段PQ的中点坐标为，
所以线段PQ的垂直平分线方程为，
又线段PP'的垂直平分线方程为x＝0，
所以点T的坐标为，
（ii），
，
所以，
因为，
所以的取值范围为．
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