2025年高考数学考前押题卷（一）全国甲卷（含解析）

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2025年高考数学考前押题卷（一）全国甲卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025 亳州校级二模）若A＝{x|﹣2＜x＜2}，，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣2＜x≤2} D．{x|﹣2≤x≤2}
2．（2025 开封模拟）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C．5 D．20
3．（2025 河南校级模拟）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（　　）
A．﹣60 B．100 C．﹣260 D．380
4．（2025 鞍山模拟）计算：（　　）
A． B． C． D．1
5．（2025 滨海新区三模）已知a＝30.9，b＝log29，c＝e﹣ln3，则（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．（2025 青州市校级模拟）若函数在区间（m，m+1）上不单调，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 江苏校级模拟）空间直角坐标系里有一点P（2，3，6），过P作一动平面m，直线l的方向向量坐标为（3，0，﹣1）．当原点到m距离d最大时，下列说法正确的是（　　）
A．l⊥m B．l∥m C． D．d＝7
8．（2025 哈尔滨校级模拟）过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
（多选）9．（2025 吉林四模）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为3%；第二批占60%，次品率为2%，则（　　）
A．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06%
B．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4%
C．两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4%
D．两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3%
（多选）10．（2025 金昌校级模拟）在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　）
A．m＝1 B． C．m＝2 D．
（多选）11．（2025 厦门模拟）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，下面部分可视为正四棱锥P﹣ABCD，O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（　　）
A．A′O⊥AB B．A′O∥平面APD
C．平面AA′P⊥平面BDP D．CC′与A′P为相交直线
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025 哈尔滨校级模拟）已知函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝ 　 　 ．
13．（2025 青州市校级模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，，则{an}的通项公式为 　 　 ．
14．（2025 山海关区校级模拟）已知点F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则该椭圆的离心率为 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025 江西模拟）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝2，且．
（1）求角B；
（2）求边a的取值范围．
16．（2025 南通模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，是首项和公差均为1的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求bn的最小值．
17．（2025 鞍山模拟）某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试．测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31．
（1）计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差；
（2）将一分钟跳绳次数≥125视为及格，整理出以下列联表：
及格 不及格 合计
高一 52 8 60
高二 38 2 40
合计 90 10 100
试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位）
（3）如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：，n＝a+b+c+d．
χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2025 金昌校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABD，PA＝AB＝4，C，D是平面ABCD内以AB为直径的半圆上的两点，且AD＝2，DC∥AB．
（1）证明：BD⊥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
19．（2025 金昌校级模拟）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，F（2，0）为椭圆的右焦点，过点F的直线l（斜率存在）与Z交于A，B两点，线段AB的中点为M（不与O重合），直线OM与l的斜率之积为．
（1）证明：a2＝2b2；
（2）设直线OM与直线x＝4交于点N，若△AFN为等腰三角形，求l的一般式方程．
2025年高考数学考前押题卷（一）全国甲卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B A C D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC AC BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 亳州校级二模）若A＝{x|﹣2＜x＜2}，，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣2＜x≤2} D．{x|﹣2≤x≤2}
【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
2．（2025 开封模拟）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C．5 D．20
【解答】解：已知，，
由，得1×x﹣2×2＝0，即x＝4，则，
可得．
故选：B．
3．（2025 河南校级模拟）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（　　）
A．﹣60 B．100 C．﹣260 D．380
【解答】解：的展开式中所有项的系数之和为3，
令x＝1，则（1+a）×（2﹣1）6＝3，故a＝2，
的展开式的通项公式为：，
故的展开式中的常数项为：
．
故选：C．
4．（2025 鞍山模拟）计算：（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：原式
．
故选：B．
5．（2025 滨海新区三模）已知a＝30.9，b＝log29，c＝e﹣ln3，则（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【解答】解：由题意1，1＜a＝30.9＜31＝3，b＝log29＞log28＝3，
所以b＞a＞c．
故选：A．
6．（2025 青州市校级模拟）若函数在区间（m，m+1）上不单调，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题目：函数在区间（m，m+1）上不单调，
，令，
因为函数在区间（m，m+1）上不单调，
所以y＝x2﹣3在（m，m+1）上有变号零点，
即，解得．
故选：C．
7．（2025 江苏校级模拟）空间直角坐标系里有一点P（2，3，6），过P作一动平面m，直线l的方向向量坐标为（3，0，﹣1）．当原点到m距离d最大时，下列说法正确的是（　　）
A．l⊥m B．l∥m C． D．d＝7
【解答】解：由题意，原点O到m距离d最大，即OP⊥m，点P（2，3，6），
此时，故C错误，D正确．
显然是平面m的一个法向量，而直线l的方向向量，
则，
但无法确定直线l与平面m的位置关系，所以l∥m或l m，故AB错误．
故选：D．
8．（2025 哈尔滨校级模拟）过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，
由抛物线的定义知：
|AB|＝|AF|+|BF|＝d1+d2＝2×4＝8．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 吉林四模）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为3%；第二批占60%，次品率为2%，则（　　）
A．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06%
B．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4%
C．两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4%
D．两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3%
【解答】解：依题意，从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为3%×2%＝0.06%，故A正确，B错误；
设事件A＝“从混合后的产品中取出一件是次品”，B＝“次品来自第一批产品”，C＝“次品来自第二批产品”，
则P（B）＝40%，P（C）＝60%，P（A|B）＝3%，P（A|C）＝2%，
所以P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C＝40%×3%+60%×2%＝2.4%，故C正确；
因为，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2025 金昌校级模拟）在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　）
A．m＝1 B． C．m＝2 D．
【解答】解：由正弦定理，即，可得．
当m＝1时，sinC＝1，结合C∈（0，π），可得，△ABC唯一存在，
所以由m＝1可以推出△ABC有唯一解，故A正确；
当时，，结合AB＞BC，可知，
满足条件的角C有互补的两个值，相应的△ABC有两解，故B错误；
当m＝2时，可得AB＝BC＝2，所以，则，△ABC唯一存在，
所以由m＝2可以推出△ABC有唯一解，故C正确；
当时，，结合AB＞BC，可得，
满足条件的角C有互补的两个值，可知△ABC有两解，D项错误．
故选：AC．
（多选）11．（2025 厦门模拟）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，下面部分可视为正四棱锥P﹣ABCD，O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（　　）
A．A′O⊥AB B．A′O∥平面APD
C．平面AA′P⊥平面BDP D．CC′与A′P为相交直线
【解答】解：对于A，设正方形ABCD边长为2，由正四棱锥性质可得PO⊥平面ABCD，故PO＝AA′＝1，
因为A′A⊥面ABCD，故A′O在底面的射影为AO，
又AO不与AB垂直，故A′O不与AB垂直，故A不正确；
对于B，由题PO∥AA′且PO＝AA′，故四边形POA′A是平行四边形，
所以A′O∥AP，A′O不在平面APD内，AP 平面APD，
所以A′O∥平面APD，故B正确；
对于C，因为PO∥CC′∥AA′，O∈平面CC′AA′，故PO 平面CC′A′A，
平面AA′P即为平面CC′A′A，因为A′A⊥面ABCD，BD 面ABCD，
所以A′A⊥BD，又因为BD⊥AC，A′A∩AC＝A，
所以BD⊥平面CC′A′A，又BD 平面BDP，
所以平面BDP⊥平面CC′A′A，即平面AA′P⊥平面BDP，故C正确；
对于D，由C可知CC′与A′P都在平面CC′A′A中且不平行，故CC与′A′P为相交直线，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 哈尔滨校级模拟）已知函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝ 　8　 ．
【解答】解：因为函数，f（a）+f（﹣1）＝2，
所以f（﹣1）＝﹣1，
故f（a）＝3，即log2a＝3，解得a＝8．
故答案为：8．
13．（2025 青州市校级模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，，则{an}的通项公式为 　　 ．
【解答】解：∵，
∴，n≥2，
两式相减得：，n≥2，
∴an+1＝4an，n≥2，
又，S1＝a1，∴a2＝3a1＝3，
∴数列{an}除去首项1后，是一个以a2＝3为首项，公比为4的等比数列，
，n≥2，
∴，
故答案为：．
14．（2025 山海关区校级模拟）已知点F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则该椭圆的离心率为 　　 ．
【解答】解：如图，点F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，可知|PF1|+|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝60°，
利用余弦定理可知：
，
化简可得，
∴△PF1F2的面积为，
设△PF1F2的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
由正弦定理可得，可得，
易知△PF1F2的周长为l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c，
利用等面积法可知，解得，
又△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，即，∴，
即可得，
∴6c＝4a，离心率．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 江西模拟）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝2，且．
（1）求角B；
（2）求边a的取值范围．
【解答】解：（1）因为，c＝2，
所以，
故（a﹣c）sinC＝csin（A﹣B），由正弦定理可得（sinA﹣sinC）sinC＝sinC×sin（A﹣B），
又sinC≠0，故得到sinA﹣sinC＝sin（A﹣B），
在三角形中，sin（A+B）＝sinC，
即sinA﹣sin（A+B）＝sin（A﹣B），即sinA﹣sinAcosB﹣cosAsinB＝sinAcosB﹣sinBcosA
整理得sinA＝2sinAcosB，因为sinA≠0，故，
又B是三角形的内角，所以0＜B＜π，
解得；
（2）已知△ABC是锐角三角形，
所以即则①
根据余弦定理得，即，
解得b2＝a2﹣2a+4，②
将②代入①中，整理得又a＞0，解得1＜a＜4，
即a∈（1，4）
法（ii）因为△ABC是锐角三角形，c＝2，
由正弦定理可得，
可得a 21，
因为，可得A，
所以tanA，可得∈（0，3），
所以a∈（1，4）．
16．（2025 南通模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，是首项和公差均为1的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求bn的最小值．
【解答】解：（1）由是首项和公差均为1的等差数列，
可得1+n﹣1＝n，
即有Sn＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
上式符合首项，
则an＝2n﹣1，n∈N*；
（2）若2n﹣10n+5，
则bn+1﹣bn＝2n+1﹣10（n+1）+5﹣2n+10n﹣5＝2n﹣10，
当1≤n≤3时，可得b1＞b2＞b3＞b4，
当n≥4时，bn+1﹣bn＞0，即有b4＜b5＜b6＜...＜bn，
则bn的最小值为b4＝16﹣35＝﹣19．
17．（2025 鞍山模拟）某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试．测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31．
（1）计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差；
（2）将一分钟跳绳次数≥125视为及格，整理出以下列联表：
及格 不及格 合计
高一 52 8 60
高二 38 2 40
合计 90 10 100
试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位）
（3）如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：，n＝a+b+c+d．
χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）由题意可知，高一样本量为100＝60，高二样本量为100＝40，
所以总样本均值为，
总样本方差为；
（2）零假设为H0：一分钟跳绳次数及格情况与年级无关，
根据列联表，，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级无关；
（3）将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，
则，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级有关，
所以将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，结果不一样，
因为样本量增大使得相对差异的绝对值增大，导致卡方统计量显著上升．
18．（2025 金昌校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABD，PA＝AB＝4，C，D是平面ABCD内以AB为直径的半圆上的两点，且AD＝2，DC∥AB．
（1）证明：BD⊥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABD，BD 平面ABD，
所以PA⊥BD．
因为D是以AB为直径的半圆上的一点，
所以AD⊥BD，
因为PA，AD 平面PAD，PA∩AD＝A，
所以BD⊥平面PAD．
（2）证明：因为BD 平面PBD，由（1）得BD⊥平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBD．
（3）解：以A为坐标原点，垂直于平面PAB的方向为x轴，的方向分别为y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则，，
故．
设平面PBD的法向量为，
则，即，
令y＝1，得，
可得 3+3﹣4＝2，||2，||，
所以cos，．
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos，|．
19．（2025 金昌校级模拟）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，F（2，0）为椭圆的右焦点，过点F的直线l（斜率存在）与Z交于A，B两点，线段AB的中点为M（不与O重合），直线OM与l的斜率之积为．
（1）证明：a2＝2b2；
（2）设直线OM与直线x＝4交于点N，若△AFN为等腰三角形，求l的一般式方程．
【解答】解：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为A，B两点均在椭圆Z上，
所以，
两式相减得，
即，
设M（x0，y0），
此时x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，
所以，
即，
则直线l的斜率，直线OM的斜率为，
所以直线OM与直线l的斜率之积为，
即，
则a2＝2b2；
（2）因为椭圆的右焦点F（2，0），
所以c＝2，
此时a2﹣b2＝c2＝4，
又a2＝2b2，
解得a＝2，b＝2，
所以椭圆Z的方程为，
由（1）知，直线OM的方程为，
令x＝4，
解得，
即，
所以直线FN的斜率为，
所以直线FN始终垂直于直线l，
因为△AFN为等腰三角形，
即|NF|＝|AF|，
可得，
解得y1＝±2，
则x1＝0．
故l的一般式方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0．
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