期末真题演练卷（含解析）2024-2025学年数学八年级下册人教版
文档属性
| 名称 | 期末真题演练卷（含解析）2024-2025学年数学八年级下册人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-02 11:15:22 | ||
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文档简介
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期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 庄浪县期末）若式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．a＜7 C．a≥7 D．a≤7
2．（2024秋 镇江期末）一次函数y＝2x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．（2024秋 龙口市期末）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
4．（2024春 安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
5．（2022春 交口县期末）如图（1），点P是 ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
6．（2017秋 昌平区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
7．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
8．（2024春 巩义市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 淮北期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2024秋 市中区期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 分．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
12．（2024春 迎江区校级期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的方差为 ．
13．（2023秋 凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
14．（2024春 陵城区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为 ．
15．（2024春 夏津县期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝ °．
16．（2024春 桑植县期末）如图，直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解为 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2024春 呼伦贝尔期末）计算：．
18．（2024秋 金寨县期末）已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x时，求y的值．
19．（2023春 抚顺县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
20．（2024春 三台县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
21．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
22．（2024春 普陀区期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
23．（2024秋 东平县期末）点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
24．（2023春 重庆期末）2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 59.66
八年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
25．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
26．（2023春 宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C（4，2），现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转（0°＜∠EOB＜180°）得到矩形OEFG，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求直线FG的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，求线段MG的长度．
（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PE，在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A B C
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 庄浪县期末）若式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．a＜7 C．a≥7 D．a≤7
【解答】解：依题意得：7﹣a≥0，
解得：a≤7，
故选：D．
2．（2024秋 镇江期末）一次函数y＝2x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴图象经过第一、三象限，
∴b＝3＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝2x+3的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
3．（2024秋 龙口市期末）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝10，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝BA＝3，
同理CF＝CD＝3，
∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B．
4．（2024春 安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
【解答】解：∵S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
5．（2022春 交口县期末）如图（1），点P是 ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【解答】解：根据点P的运动，可得出AD＝BC＝6，AB＝CD＝10﹣6＝4，
设AB与CD间的距离是d，
当点P在CD上时，y4 d＝10，
解得d＝5．
故选：A．
6．（2017秋 昌平区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OBBD＝3，OAAC＝4，AC⊥BD，
∴AB5，
∵S菱形ABCDAC BD＝AB EF，
∴EF4.8．
故选：B．
7．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【解答】解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
8．（2024春 巩义市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠FBO＝∠EDO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，
∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，
∵EF＝AE+FC，
∴AE＝EO＝OF＝CF，
∵AB＝3，
∴AE，BE，
∴CF＝AE，BF＝BE，
∴BC＝BF+CF，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 淮北期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴6﹣3x≥0，即x≤2．
故答案为：x≤2．
10．（2024秋 市中区期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 94 分．
【解答】解：由题意，王立最后的成绩为（分），
故答案为：94．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜2 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），且y随x的增大而增大，
∴当y＜0时，x＜2．
故答案为：x＜2．
12．（2024春 迎江区校级期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的方差为 3.2 ．
【解答】解：∵这一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，
∴1+3+x+5+6＝5（x﹣1），
解得x＝5，
∴这组数据的平均数为x﹣1＝4，
∴这组数据的方差是：[（1﹣4）2+（3﹣4）2+2×（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝3.2．
故答案为：3.2．
13．（2023秋 凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 24 ．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB10，
所以阴影部分的面积Sπ×32π×426×8 π×52＝24，
故答案为：24．
14．（2024春 陵城区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为 5或﹣1 ．
【解答】解：当k﹣1＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣（k﹣1）+2，
解得：k＝5；
当k﹣1＜0时，函数y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2＝2（k﹣1）+2，
解得：k＝﹣1；
∴k的值为5或﹣1．
故答案为：5或﹣1．
15．（2024春 夏津县期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝ 60 °．
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵点O是AC中点，
∴OD＝AO，
∴∠ADO＝∠CAD＝20°，
∴∠DOC＝40°，
∵E为BC的中点，点O是AC中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAB＝20°，
∴∠DOE＝60°，
故答案为：60．
16．（2024春 桑植县期末）如图，直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解为 x＝4 ．
【解答】解：∵直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），
∴2m，
∴m＝4，
∴P（4，2），
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝4，
故答案为：x＝4．
三．解答题（共10小题）
17．（2024春 呼伦贝尔期末）计算：．
【解答】解：
．
18．（2024秋 金寨县期末）已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x时，求y的值．
【解答】解：（1）设y+3＝kx，
把x＝2，y＝7代入得2k＝7+3，解得k＝5，
所以y+3＝5x，
所以y与x的函数表达式为y＝5x﹣3；
（2）当x时，y＝5×（）﹣3．
19．（2023春 抚顺县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【解答】解：（1）设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元，
根据题意，得，
解得，
∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元．
（2）根据题意可知，B品牌足球（60﹣x）个，
∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍，
∴60﹣x≥2x，
∴x≤20，
∴y＝50x+80（60﹣x）＝﹣30x+4800，
∵﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y最小，此时y＝﹣30×20+4800＝4200．
综上，y＝﹣30x+4800，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个．
20．（2024春 三台县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴AC⊥BD，
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ AFCE是菱形．
21．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x，
∴CD的长为．
22．（2024春 普陀区期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ 10 b＝ 15 ，m＝ 200 ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【解答】解：（1）1500÷150＝10（分钟），
10+5＝15（分钟），
（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．
故答案为：10；15；200．
（2）BC段关系式为：y1＝200x﹣1500，
OD段关系式为：y2＝120x，
相遇时，即y1＝y2，即120x＝200x﹣1500
解得：x＝18.75
此时：y1＝y2＝2250
距离图书馆：3000﹣2250＝750（米）
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）当y1﹣y2＝100时，解得x＝20
当y2﹣y1＝100时，解得x＝17.5
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
23．（2024秋 东平县期末）点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，ABMN，
∵MFMN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
24．（2023春 重庆期末）2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 59.66
八年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 88 ，m＝ 35 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【解答】解：（1）八年级A、B组的频数和为20×（10%+15%）＝5，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，
则其中位数a87.5，
七年级D组的人数为10%×20＝2（人），
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b＝88，
∵m%＝7÷20×100%＝35%，
所以m＝35；
故答案为：87.5，88，35；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）500700×（1﹣10%﹣15%﹣35%）＝150+280＝430（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．
25．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
【解答】解：（1）；
（2）
．
26．（2023春 宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C（4，2），现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转（0°＜∠EOB＜180°）得到矩形OEFG，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求直线FG的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，求线段MG的长度．
（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PE，在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵矩形OBCD，点 ，
∴OB＝CD＝4，，∠ODC＝90°，
∵矩形OEFG是由矩形OBCD旋转得到，
∴OE＝OB＝4，FG∥OE，
在Rt△ODE 中，，
∴DE＝DO，
∴∠DOE＝45°，，
∴直线OE表达式为y＝x，
设FG的函数表达式为y＝x+b，
由GO＝DO＝2，∠DOG＝45° 得G（﹣2，2），
∴2＝﹣2+b，
解得b＝4，
∴FG的函数表达式为y＝x+4；
（2）如图，过点M作MN⊥OE于N，连接OC、OF，
∵矩形OEFG是由矩形OBCD旋转得到，
∴OF＝OC，∠OEF＝90°，
∴FE＝EC，
∵∠MNE＝∠NEF＝∠EFM＝90°，
∴四边形MNEF是矩形，
∴MN＝FE，
∴MN＝EC，
∵∠MNH＝∠CEH＝90°，∠MHN＝∠CHE，
∴△MNH≌△CEH（AAS），
∴MH＝HC，
∵BC＝FE＝EC，OC＝OC，
∴Rt△BOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠BOC＝∠EOC，
∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC＝∠EOC，
∴OH＝HC，
设OH＝HC＝m，
在 Rt△ODH 中，OD2+DH2＝OH2，
∴；
解得m＝3，
∴OH＝CH＝3，
∴EH＝4﹣3＝1，
∴MF＝NE＝2EH＝2，
∴MG＝4﹣MF＝2；
（3）在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离存在最大值，这个最大值是4，理由如下：
当PE在O的左侧且PE⊥OB时，B到直线PE的距离最大，设PE于OB的交点为M，如图：
∵P为FG的中点，
∴FP＝PG＝2，
∴PE2，
∵S△PEOS矩形OEFG＝4，
∴OM PE＝4，
∴OM×24，
∴OM，
∴BM4，
∴点B到直线PE的距离最大值是4．
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期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 庄浪县期末）若式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．a＜7 C．a≥7 D．a≤7
2．（2024秋 镇江期末）一次函数y＝2x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．（2024秋 龙口市期末）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
4．（2024春 安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
5．（2022春 交口县期末）如图（1），点P是 ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
6．（2017秋 昌平区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
7．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
8．（2024春 巩义市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 淮北期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2024秋 市中区期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 分．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
12．（2024春 迎江区校级期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的方差为 ．
13．（2023秋 凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
14．（2024春 陵城区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为 ．
15．（2024春 夏津县期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝ °．
16．（2024春 桑植县期末）如图，直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解为 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2024春 呼伦贝尔期末）计算：．
18．（2024秋 金寨县期末）已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x时，求y的值．
19．（2023春 抚顺县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
20．（2024春 三台县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
21．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
22．（2024春 普陀区期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
23．（2024秋 东平县期末）点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
24．（2023春 重庆期末）2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 59.66
八年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
25．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
26．（2023春 宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C（4，2），现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转（0°＜∠EOB＜180°）得到矩形OEFG，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求直线FG的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，求线段MG的长度．
（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PE，在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A B C
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 庄浪县期末）若式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞7 B．a＜7 C．a≥7 D．a≤7
【解答】解：依题意得：7﹣a≥0，
解得：a≤7，
故选：D．
2．（2024秋 镇江期末）一次函数y＝2x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴图象经过第一、三象限，
∴b＝3＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝2x+3的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
3．（2024秋 龙口市期末）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝10，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝BA＝3，
同理CF＝CD＝3，
∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B．
4．（2024春 安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
【解答】解：∵S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
5．（2022春 交口县期末）如图（1），点P是 ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【解答】解：根据点P的运动，可得出AD＝BC＝6，AB＝CD＝10﹣6＝4，
设AB与CD间的距离是d，
当点P在CD上时，y4 d＝10，
解得d＝5．
故选：A．
6．（2017秋 昌平区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OBBD＝3，OAAC＝4，AC⊥BD，
∴AB5，
∵S菱形ABCDAC BD＝AB EF，
∴EF4.8．
故选：B．
7．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【解答】解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
8．（2024春 巩义市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠FBO＝∠EDO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，
∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，
∵EF＝AE+FC，
∴AE＝EO＝OF＝CF，
∵AB＝3，
∴AE，BE，
∴CF＝AE，BF＝BE，
∴BC＝BF+CF，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 淮北期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴6﹣3x≥0，即x≤2．
故答案为：x≤2．
10．（2024秋 市中区期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 94 分．
【解答】解：由题意，王立最后的成绩为（分），
故答案为：94．
11．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜2 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），且y随x的增大而增大，
∴当y＜0时，x＜2．
故答案为：x＜2．
12．（2024春 迎江区校级期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的方差为 3.2 ．
【解答】解：∵这一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，
∴1+3+x+5+6＝5（x﹣1），
解得x＝5，
∴这组数据的平均数为x﹣1＝4，
∴这组数据的方差是：[（1﹣4）2+（3﹣4）2+2×（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝3.2．
故答案为：3.2．
13．（2023秋 凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 24 ．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB10，
所以阴影部分的面积Sπ×32π×426×8 π×52＝24，
故答案为：24．
14．（2024春 陵城区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为 5或﹣1 ．
【解答】解：当k﹣1＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣（k﹣1）+2，
解得：k＝5；
当k﹣1＜0时，函数y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2＝2（k﹣1）+2，
解得：k＝﹣1；
∴k的值为5或﹣1．
故答案为：5或﹣1．
15．（2024春 夏津县期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝ 60 °．
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵点O是AC中点，
∴OD＝AO，
∴∠ADO＝∠CAD＝20°，
∴∠DOC＝40°，
∵E为BC的中点，点O是AC中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAB＝20°，
∴∠DOE＝60°，
故答案为：60．
16．（2024春 桑植县期末）如图，直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解为 x＝4 ．
【解答】解：∵直线y1x与直线y2＝kx+b相交于点A（m，2），
∴2m，
∴m＝4，
∴P（4，2），
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝4，
故答案为：x＝4．
三．解答题（共10小题）
17．（2024春 呼伦贝尔期末）计算：．
【解答】解：
．
18．（2024秋 金寨县期末）已知y+3与x成正比例，当x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x时，求y的值．
【解答】解：（1）设y+3＝kx，
把x＝2，y＝7代入得2k＝7+3，解得k＝5，
所以y+3＝5x，
所以y与x的函数表达式为y＝5x﹣3；
（2）当x时，y＝5×（）﹣3．
19．（2023春 抚顺县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【解答】解：（1）设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元，
根据题意，得，
解得，
∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元．
（2）根据题意可知，B品牌足球（60﹣x）个，
∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍，
∴60﹣x≥2x，
∴x≤20，
∴y＝50x+80（60﹣x）＝﹣30x+4800，
∵﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y最小，此时y＝﹣30×20+4800＝4200．
综上，y＝﹣30x+4800，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个．
20．（2024春 三台县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴AC⊥BD，
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ AFCE是菱形．
21．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x，
∴CD的长为．
22．（2024春 普陀区期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ 10 b＝ 15 ，m＝ 200 ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【解答】解：（1）1500÷150＝10（分钟），
10+5＝15（分钟），
（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．
故答案为：10；15；200．
（2）BC段关系式为：y1＝200x﹣1500，
OD段关系式为：y2＝120x，
相遇时，即y1＝y2，即120x＝200x﹣1500
解得：x＝18.75
此时：y1＝y2＝2250
距离图书馆：3000﹣2250＝750（米）
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）当y1﹣y2＝100时，解得x＝20
当y2﹣y1＝100时，解得x＝17.5
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
23．（2024秋 东平县期末）点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，ABMN，
∵MFMN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
24．（2023春 重庆期末）2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 59.66
八年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 88 ，m＝ 35 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【解答】解：（1）八年级A、B组的频数和为20×（10%+15%）＝5，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，
则其中位数a87.5，
七年级D组的人数为10%×20＝2（人），
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b＝88，
∵m%＝7÷20×100%＝35%，
所以m＝35；
故答案为：87.5，88，35；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）500700×（1﹣10%﹣15%﹣35%）＝150+280＝430（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．
25．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
【解答】解：（1）；
（2）
．
26．（2023春 宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C（4，2），现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转（0°＜∠EOB＜180°）得到矩形OEFG，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求直线FG的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，求线段MG的长度．
（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PE，在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵矩形OBCD，点 ，
∴OB＝CD＝4，，∠ODC＝90°，
∵矩形OEFG是由矩形OBCD旋转得到，
∴OE＝OB＝4，FG∥OE，
在Rt△ODE 中，，
∴DE＝DO，
∴∠DOE＝45°，，
∴直线OE表达式为y＝x，
设FG的函数表达式为y＝x+b，
由GO＝DO＝2，∠DOG＝45° 得G（﹣2，2），
∴2＝﹣2+b，
解得b＝4，
∴FG的函数表达式为y＝x+4；
（2）如图，过点M作MN⊥OE于N，连接OC、OF，
∵矩形OEFG是由矩形OBCD旋转得到，
∴OF＝OC，∠OEF＝90°，
∴FE＝EC，
∵∠MNE＝∠NEF＝∠EFM＝90°，
∴四边形MNEF是矩形，
∴MN＝FE，
∴MN＝EC，
∵∠MNH＝∠CEH＝90°，∠MHN＝∠CHE，
∴△MNH≌△CEH（AAS），
∴MH＝HC，
∵BC＝FE＝EC，OC＝OC，
∴Rt△BOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠BOC＝∠EOC，
∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC＝∠EOC，
∴OH＝HC，
设OH＝HC＝m，
在 Rt△ODH 中，OD2+DH2＝OH2，
∴；
解得m＝3，
∴OH＝CH＝3，
∴EH＝4﹣3＝1，
∴MF＝NE＝2EH＝2，
∴MG＝4﹣MF＝2；
（3）在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离存在最大值，这个最大值是4，理由如下：
当PE在O的左侧且PE⊥OB时，B到直线PE的距离最大，设PE于OB的交点为M，如图：
∵P为FG的中点，
∴FP＝PG＝2，
∴PE2，
∵S△PEOS矩形OEFG＝4，
∴OM PE＝4，
∴OM×24，
∴OM，
∴BM4，
∴点B到直线PE的距离最大值是4．
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