北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程
A． B． C． D．
【分析】由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
【解答】解：某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，
，
即：；
故选：．
2．下列属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
【分析】含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．
【解答】解：．是二元二次方程，不符合题意；
．是分式方程，不符合题意；
．是一元二次方程，符合题意；
．当时，是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
3．若是方程的一个解，则的值为
A．1 B．2 C． D．
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．
【解答】解：是方程的一个解，
，解得，
故选：．
4．已知，是方程的两个实数根，则的值为
A．8 B． C．6 D．
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【解答】解：由根与系数的关系可知：．
故选：．
5．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是
A． B． C． D．
【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故选：．
6．已知关于的一元二次方程，则这个方程的根的情况是
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定
【分析】先求出方程的根的判别式，结合的取值范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．
【解答】解：△，
此方程无实数根．
故选：．
7．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【分析】根据已知易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故选：．
8．一元二次方程有两个实数根，，那么一次函数的图象一定不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先利用根与系数的关系得到，，则一次函数解析式为，然后根据一次函数的性质解决问题．
【解答】解：根据题意得，，
所以一次函数化为，
所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，
即一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：．
9．关于的方程的两实根异号，则满足的条件是
A． B． C． D．
【分析】由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及△即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于的方程的两实根异号，
所以且，
解得．
又因为，
所以，
综上所述，满足的条件是：．
故选：．
10．若代数式，，则和的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【分析】依据题意，由，，可得，又对于任意的实数都有，则，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，，，
．
又对于任意的实数都有，
．
对任意实数，均有，即．
故选：．
11．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【分析】首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，利用勾股定理求出，进而得到，即可求解．
【解答】解：，
，
或，
解得或8；
四边形是矩形，，
，，
，
．
方程的正数解是线段的长．
故选：．
12．对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当，，时，方程一定没有实数根；
②当，，时，方程一定有实数根；
③当，时，方程一定没有实数根；
④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【分析】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当，，时，满足，，，
此时△，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②，，
，
，
，
△，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当，，时，满足，，
此时△，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④，，，
，，
△，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6160元利润，应将销售单价定为 42 元．
【分析】设降价元，根据题意列出方程求出即可求解．
【解答】解：设降价元，根据题意得，
解得，，
要让顾客得实惠，
应将销售单价定为元，
故答案为：42．
14．方程的根是 ， ．
【分析】首先移项可得，再两边直接开平方即可．
【解答】解：，
移项得：，
两边直接开平方得：，
，
故答案为：，．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合题意的整数的值 0（答案不唯一） ．
【分析】先根据判别式的意义得到△，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得，
所以当取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
16．已知关于的一元二次方程，若△的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当△是等腰三角形时，的值为 4或5 ．
【分析】先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论：，，当或时△为等腰三角形，然后求出的值．
【解答】解：△，
，即，，
、中有一个数为5．
当时，
．
、5、5能构成等腰三角形，
符合题意；
当时，5、5、6能构成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为4或5．
故答案为：4或5．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若，满足，则关于的方程是倍根方程；
④若方程以是倍根方程，则必有．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合，
③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故①不正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故②正确；
③，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，，
即，，
，
，
，
．
若时，则，，
即，则，，
，
，
，
，
．
故④正确，
故答案为：②③④
三．解答题（共5小题）
18．解方程：
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（适当方法）
【分析】（1）直接利用配方法求解，即可解题；
（2）先确定求根公式中的、、，再代入公式求解，即可解题；
（3）先提取公因式分解因式，再取每个因式分别为0，即可解题；
（4）直接利用配方法求解，即可解题．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
解得，；
（2），
，，，
△，
方程有两个不等的实数根，
，
，；
（3），
，
，
或，
解得，；
（4），
，
，
，
，
，
，
，．
19．已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为2，求另一个根．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△，再根据非负数的值得到△，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）设方程的另一个根为，先把代入方程求出的值，再由根与系数的关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
△
，
而，即△，
方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为，
方程有一个根为2，
，
解得，
，
．
20．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为 ．
（1）求车棚的长．（用含的代数式表示）
（2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用不锈钢栅栏的总长，即可用含的代数式表示出车棚的长；
（2）根据矩形车棚的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合可利用的墙长为，即可得出结论；
（3）假设能围成面积为的自行车车棚，设 ，则，根据矩形车棚的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为的自行车车棚．
【解答】解：（1）不锈钢栅栏的总长为，左右两侧各开一个的出口，且车棚的宽为 ，
车棚的长为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚的长为，宽为；
（3）不能围成面积为的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为的自行车车棚，设 ，则，
根据题意得：，
整理得：，
△，
原方程没有实数根，
假设不成立，
即不能围成面积为的自行车车棚．
21．新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”？
（1）若与是“同类方程”，求 5 ．
（2）现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”，求和的值．
【分析】（1）根据“同类方程”的定义，可得出的值；
（2）根据“同类方程”的定义，可得出，的值．
【解答】解：（1）由条件可知与是“同类方程”，
，
解得；
故答案为：5；
（2）由条件可知，
，
，
解得．
22．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．
【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求；
（2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求；
（3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解．
【解答】解：（1）设所求方程的根是，则，所以，
把代入，
得，
故答案为：；
（2）设所求方程的根是，则，
所以，
把代入方程，得
，
化简，得；
（3）一元二次方程整理后可得：，
令，
，
则方程 的两根比两根大1，
所以方程 的两根分别是4、．
第1页（共1页）北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程
A． B． C． D．
2．下列属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
3．若是方程的一个解，则的值为
A．1 B．2 C． D．
4．已知，是方程的两个实数根，则的值为
A．8 B． C．6 D．
5．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是
A． B． C． D．
6．已知关于的一元二次方程，则这个方程的根的情况是
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定
7．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
8．一元二次方程有两个实数根，，那么一次函数的图象一定不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．关于的方程的两实根异号，则满足的条件是
A． B． C． D．
10．若代数式，，则和的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
11．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
12．对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当，，时，方程一定没有实数根；
②当，，时，方程一定有实数根；
③当，时，方程一定没有实数根；
④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共5小题）
13．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6160元利润，应将销售单价定为 元．
14．方程的根是 ．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合题意的整数的值 ．
16．已知关于的一元二次方程，若△的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当△是等腰三角形时，的值为 ．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若，满足，则关于的方程是倍根方程；
④若方程以是倍根方程，则必有．
三．解答题（共5小题）
18．解方程：
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（适当方法）
19．已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为2，求另一个根．
20．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为 ．
（1）求车棚的长．（用含的代数式表示）
（2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21．新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”？
（1）若与是“同类方程”，求 ．
（2）现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”，求和的值．
22．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．
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