北师大版九年级上 第4章 图形的相似单元测试(含解析)

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名称 北师大版九年级上 第4章 图形的相似单元测试(含解析)
格式 zip
文件大小 3.1MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-06-03 09:18:49

文档简介

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一.选择题(共12小题)
1.在一幅比例尺是的地图上,用  厘米表示60千米.
A.0.06 B.6 C.0.6 D.60
【分析】根据比例尺图上距离:实际距离,列比例式,根据比例的基本性质即可求得结果.
【解答】解:60千米,
设用厘米表示60千米,则:

解得.
故选:.
2.如图,△△,若,,则△与△的相似比是  
A. B. C. D.
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解.
【解答】解:△△,
△与△的相似比为.
故选:.
3.若△,相似比为,则与△的面积的比为  
A. B. C. D.
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解.
【解答】解:△,相似比为,、
与△的面积的比.
故选:.
4.若,则的值  
A. B. C. D.
【分析】根据比例的性质将式子化成含有的形式,再代入的值计算即可.
【解答】解:,

故选:.
5.如图,梯形中,,若,,,则等于  
A. B. C. D.
【分析】过作交于,交于,根据平行四边形的性质先求出,从而得到,的长,再根据平行线分线段成比例定理可求出的值.
【解答】解:过作交于,交于.
则,
,,



故选:.
6.如图,能使△△成立的条件是  
A. B. C. D.
【分析】根据相似三角形的判定求解即可.
【解答】解:由题意得,,
若添加,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,可判断△△,故选项符合题意;
、、选项均不能判定△△,故不符合题意;
故选:.
7.如图是某景区大门部分建筑,已知,,当时,则的长是  
A. B. C. D.
【分析】由,利用平行线分线段成比例,即可求出的长.
【解答】解:,
,即,

故选:.
8.如图,,分别截两直线于六点.若,,则  
A.12 B. C.20 D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.
【解答】解:,





故选:.
9.如图,在平行四边形中,为上一点,,联结、、,且、交于点,则等于  
A. B. C. D.
【分析】先根据已知条件得出△△,进而可得,,,由此可得答案.
【解答】解:四边形是平行四边形,
,,



,,
△△,

,,

故选:.
10.如图,在边长为5的正方形中,点是上一点,,连接,将△绕点逆时针旋转得到△,平分交于点,则△的面积为  
A. B. C. D.
【分析】由旋转可证明△△,故,设,则,,在△中,由勾股定理可得:,解得..故△的面积△的面积.
【解答】解:将△绕点逆时针旋转得到△,
,,,
又平分,

在△和△中,

△△,
故,设,
则,,
在△中,由勾股定理可得:,
解得.
故△的面积△的面积.
故选:.
11.如图,,,三角形面积始终为2,则的最大值为  
A.5 B. C. D.
【分析】过点作的垂线,在垂线上取一点,使得,连接,取的中点,连接,,先利用勾股定理可得,再求出,则,证出△△,根据相似三角形的性质可得,从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上,则,然后根据求解即可得.
【解答】解:如图,过点作的垂线,在垂线上取一点,使得,连接,取的中点,连接,,
,,,




三角形面积始终为2,,
,即,
又,

,即,

△△,

又,
如图,点在以点为圆心、长为半径的圆上(定弦定角),

又(当且仅当等号成立),
的最大值为,
故选:.
12.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与、交于点、,连结交于点,连结、.若,,则下列结论中正确结论的个数是  
①△为等边三角形;
②;
③四边形是菱形;
④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据矩形的性质可得,先证明△△,再证明△是等边三角形,即可判断①选项;由△和△是等边三角形,可得,即可判断②选项;由含角的直角三角形的性质即可判断③选项;先证明△△,可知,设,根据含角的直角三角形的性质,可得,根据,,可得,进一步即可判断④选项.
【解答】解:为的中点,


△是等边三角形,

在△和△中,

△△,
,,
在等边△中,,






△是等边三角形,

平分,
,,
垂直平分,
如图,连接,
由条件可知,,三点在同一直线上,
在线段的垂直平分线上,


△是等边三角形,
故①符合题意;
由①得△和△是等边三角形,

四边形是菱形;
故③符合题意;
△是等边三角形,


△是等边三角形,


,即故②符合题意;
在△和△中,

△△,

垂直平分,

设,
,,

,,




故④不符合题意,
综上所述,正确的结论有①②③,
故选:.
二.填空题(共5小题)
13.已知,,,是成比例线段,其中,,,则线段的长为  4 .
【分析】根据成比例线段的定义得到,据此代值计算即可.
【解答】解:,,,是成比例线段,

,,,

故答案为:4.
14.已知,则的值为   .
【分析】设,,代入所求式子中化简求解即可.
【解答】解:由,可设,,
则.
故答案为:.
15.如图,在△中,,,,平分,交于点,点为边上一点,连接,交于点,当时,的长为   .
【分析】过点作交于点,过点作交的延长线于点,先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得,再证明△△,求得,最后利用△△即可解答.
【解答】解:如图,过点作交于点,过点作交的延长线于点,
在直角三角形中,,,,
由勾股定理得:,
平分,,

根据三角形面积公式可得,
即,

在直角三角形中,由勾股定理得:,


△△,


同理可得△△,


故答案为:.
16.若,则的值为  4或  .
【分析】由条件推出,当时,得到,当时,求出,即可得到答案.
【解答】解:,
,,,

当时,,
当时,

的值为4或.
故答案为:4或.
17.如图,在正方形中,点,点分别在边,上(点不与点,重合),且.连接,交于点,连接,交于点.若,则    .
【分析】证明△△,得,,再证明,推导出,则,,再推导出,再证明△△,得到,,设,利用勾股定理计算,得到问题的答案.
【解答】解:四边形是正方形,
,,,

△△,
,,
连接,则垂直平分,

,,












△△,

,,
设,则,
,,
,,

故答案为:.
三.解答题(共5小题)
18.如图,是正方形的对角线,点、分别在边、上,,延长到,且,联结、.
(1)求证:;
(2)延长交于点,联结,求证:.
【分析】(1)由正方形的性质得,,则,,由,推导出,则,可证明,,即可根据“”证明△△,则;
(2)延长交于点,联结,由,得,而,所以,则,所以,则,再证明△△,得,所以,则.
【解答】证明:(1)四边形是正方形,
,,
,,

,,




,,

在△和△中,

△△,

(2)延长交于点,联结,


由(1)得△△,






,,
△△,



19.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形与正方形.连接,平分.
(1)写出一个与△相似(不全等)的三角形,并证明你的结论.
(2)已知,求的长.
【分析】(1)由不全等很容易得到△△;
(2)根据相似比即可得解.
【解答】解:(1)△.证明如下:
平分.

而,
△△.
(2)设.
△△,


解得(负值舍去),

20.已知:如图,四边形是菱形,是对角线上一点,联结、并延长,分别与边、交于点、.
(1)求证:;
(2)如果,求证:.
【分析】(1)由菱形的性质得,垂直平分,推导出,,而,即可根据“”证明△△,则;
(2)设交于点,则,由,,得,可证明,则,再证明,则,由,,证明△△,则,即可证明.
【解答】证明:(1)四边形是菱形,
,垂直平分,

点在上,


在△和△中,

△△,

(2)设交于点,则,
,,






,,




△△,



21.如图,在△中,点、分别在边、上,连接、交于点,点在线段上,且,,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)如果,求证:.
【分析】(1)由题意得,可知,进而可得,证得△△,可知,得,即可证明结论;
(2)连接交于点,由平行四边形的性质可知,再证△△,得,即,由,即,可得,结合等腰三角形的性质可知,可知四边形是菱形,即可证得结论.
【解答】证明:(1),


又,


△△,


四边形是平行四边形;
(2)由(1)得四边形是平行四边形,,且,如图,连接交于点,
,△△,
,即,
,即,


即:,
四边形是菱形,

22.如图,在菱形中,,,点是边的中点,连接、、.
(1)求的长;(结果保留根号)
(2)点为边上的一点,连接,交于点,连接,.
①求证:△△;
②求的长.(提示:过点作于点.
【分析】(1)只要证明是等边△的高即可解决问题;
(2)①由△△,可得,推出,又,即可推出△△;
②求出的长即可解决问题.
【解答】(1)解:四边形是菱形,


△是等边三角形,



(2)①证明:


又,
△△,



△△,
②解:作于.
△△,



在△中,,,
在△中,,


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一.选择题(共12小题)
1.在一幅比例尺是的地图上,用  厘米表示60千米.
A.0.06 B.6 C.0.6 D.60
2.如图,△△,若,,则△与△的相似比是  
A. B. C. D.
3.若△,相似比为,则与△的面积的比为  
A. B. C. D.
4.若,则的值  
A. B. C. D.
5.如图,梯形中,,若,,,则等于  
A. B. C. D.
6.如图,能使△△成立的条件是  
A. B. C. D.
7.如图是某景区大门部分建筑,已知,,当时,则的长是  
A. B. C. D.
8.如图,,分别截两直线于六点.若,,则  
A.12 B. C.20 D.
9.如图,在平行四边形中,为上一点,,联结、、,且、交于点,则等于  
A. B. C. D.
10.如图,在边长为5的正方形中,点是上一点,,连接,将△绕点逆时针旋转得到△,平分交于点,则△的面积为  
A. B. C. D.
11.如图,,,三角形面积始终为2,则的最大值为  
A.5 B. C. D.
12.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与、交于点、,连结交于点,连结、.若,,则下列结论中正确结论的个数是  
①△为等边三角形;
②;
③四边形是菱形;
④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共5小题)
13.已知,,,是成比例线段,其中,,,则线段的长为   .
14.已知,则的值为   .
15.如图,在△中,,,,平分,交于点,点为边上一点,连接,交于点,当时,的长为   .
16.若,则的值为    .
17.如图,在正方形中,点,点分别在边,上(点不与点,重合),且.连接,交于点,连接,交于点.若,则    .
三.解答题(共5小题)
18.如图,是正方形的对角线,点、分别在边、上,,延长到,且,联结、.
(1)求证:;
(2)延长交于点,联结,求证:.
19.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形与正方形.连接,平分.
(1)写出一个与△相似(不全等)的三角形,并证明你的结论.
(2)已知,求的长.
20.已知:如图,四边形是菱形,是对角线上一点,联结、并延长,分别与边、交于点、.
(1)求证:;
(2)如果,求证:.
21.如图,在△中,点、分别在边、上,连接、交于点,点在线段上,且,,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)如果,求证:.
22.如图,在菱形中,,,点是边的中点,连接、、.
(1)求的长;(结果保留根号)
(2)点为边上的一点,连接,交于点,连接,.
①求证:△△;
②求的长.(提示:过点作于点.
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