北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．在一幅比例尺是的地图上，用 厘米表示60千米．
A．0.06 B．6 C．0.6 D．60
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．
【解答】解：60千米，
设用厘米表示60千米，则：
，
解得．
故选：．
2．如图，△△，若，，则△与△的相似比是
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
【解答】解：△△，
△与△的相似比为．
故选：．
3．若△，相似比为，则与△的面积的比为
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：△，相似比为，、
与△的面积的比．
故选：．
4．若，则的值
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质将式子化成含有的形式，再代入的值计算即可．
【解答】解：，
．
故选：．
5．如图，梯形中，，若，，，则等于
A． B． C． D．
【分析】过作交于，交于，根据平行四边形的性质先求出，从而得到，的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出的值．
【解答】解：过作交于，交于．
则，
，，
，
，
．
故选：．
6．如图，能使△△成立的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定求解即可．
【解答】解：由题意得，，
若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△△，故选项符合题意；
、、选项均不能判定△△，故不符合题意；
故选：．
7．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是
A． B． C． D．
【分析】由，利用平行线分线段成比例，即可求出的长．
【解答】解：，
，即，
．
故选：．
8．如图，，分别截两直线于六点．若，，则
A．12 B． C．20 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
9．如图，在平行四边形中，为上一点，，联结、、，且、交于点，则等于
A． B． C． D．
【分析】先根据已知条件得出△△，进而可得，，，由此可得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
△△，
，
，，
．
故选：．
10．如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，平分交于点，则△的面积为
A． B． C． D．
【分析】由旋转可证明△△，故，设，则，，在△中，由勾股定理可得：，解得．．故△的面积△的面积．
【解答】解：将△绕点逆时针旋转得到△，
，，，
又平分，
，
在△和△中，
，
△△，
故，设，
则，，
在△中，由勾股定理可得：，
解得．
故△的面积△的面积．
故选：．
11．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为
A．5 B． C． D．
【分析】过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出△△，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得．
【解答】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，，
，，，
，
，
，
，
三角形面积始终为2，，
，即，
又，
，
，即，
，
△△，
，
又，
如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角），
，
又（当且仅当等号成立），
的最大值为，
故选：．
12．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是
①△为等边三角形；
②；
③四边形是菱形；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形的性质可得，先证明△△，再证明△是等边三角形，即可判断①选项；由△和△是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明△△，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项．
【解答】解：为的中点，
，
，
△是等边三角形，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
在等边△中，，
，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
平分，
，，
垂直平分，
如图，连接，
由条件可知，，三点在同一直线上，
在线段的垂直平分线上，
，
，
△是等边三角形，
故①符合题意；
由①得△和△是等边三角形，
，
四边形是菱形；
故③符合题意；
△是等边三角形，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，即故②符合题意；
在△和△中，
，
△△，
，
垂直平分，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
，
故④不符合题意，
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 4 ．
【分析】根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可．
【解答】解：，，，是成比例线段，
，
，，，
，
故答案为：4．
14．已知，则的值为 ．
【分析】设，，代入所求式子中化简求解即可．
【解答】解：由，可设，，
则．
故答案为：．
15．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为 ．
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得，再证明△△，求得，最后利用△△即可解答．
【解答】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，
在直角三角形中，，，，
由勾股定理得：，
平分，，
，
根据三角形面积公式可得，
即，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
△△，
，
，
同理可得△△，
，
，
故答案为：．
16．若，则的值为 4或 ．
【分析】由条件推出，当时，得到，当时，求出，即可得到答案．
【解答】解：，
，，，
，
当时，，
当时，
，
的值为4或．
故答案为：4或．
17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 ．
【分析】证明△△，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明△△，得到，，设，利用勾股定理计算，得到问题的答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
△△，
，，
连接，则垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，，
设，则，
，，
，，
，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．如图，是正方形的对角线，点、分别在边、上，，延长到，且，联结、．
（1）求证：；
（2）延长交于点，联结，求证：．
【分析】（1）由正方形的性质得，，则，，由，推导出，则，可证明，，即可根据“”证明△△，则；
（2）延长交于点，联结，由，得，而，所以，则，所以，则，再证明△△，得，所以，则．
【解答】证明：（1）四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
．
（2）延长交于点，联结，
，
，
由（1）得△△，
，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
．
19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
（1）写出一个与△相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
（2）已知，求的长．
【分析】（1）由不全等很容易得到△△；
（2）根据相似比即可得解．
【解答】解：（1）△．证明如下：
平分．
，
而，
△△．
（2）设．
△△，
，
，
解得（负值舍去），
．
20．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，联结、并延长，分别与边、交于点、．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）由菱形的性质得，垂直平分，推导出，，而，即可根据“”证明△△，则；
（2）设交于点，则，由，，得，可证明，则，再证明，则，由，，证明△△，则，即可证明．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，垂直平分，
，
点在上，
，
，
在△和△中，
，
△△，
．
（2）设交于点，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
△△，
，
，
．
21．如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）由题意得，可知，进而可得，证得△△，可知，得，即可证明结论；
（2）连接交于点，由平行四边形的性质可知，再证△△，得，即，由，即，可得，结合等腰三角形的性质可知，可知四边形是菱形，即可证得结论．
【解答】证明：（1），
，
，
又，
，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）由（1）得四边形是平行四边形，，且，如图，连接交于点，
，△△，
，即，
，即，
，
，
即：，
四边形是菱形，
．
22．如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，．
①求证：△△；
②求的长．（提示：过点作于点．
【分析】（1）只要证明是等边△的高即可解决问题；
（2）①由△△，可得，推出，又，即可推出△△；
②求出的长即可解决问题．
【解答】（1）解：四边形是菱形，
，
，
△是等边三角形，
，
，
．
（2）①证明：
，
，
又，
△△，
，
，
，
△△，
②解：作于．
△△，
，
，
，
在△中，，，
在△中，，
，
．
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一．选择题（共12小题）
1．在一幅比例尺是的地图上，用 厘米表示60千米．
A．0.06 B．6 C．0.6 D．60
2．如图，△△，若，，则△与△的相似比是
A． B． C． D．
3．若△，相似比为，则与△的面积的比为
A． B． C． D．
4．若，则的值
A． B． C． D．
5．如图，梯形中，，若，，，则等于
A． B． C． D．
6．如图，能使△△成立的条件是
A． B． C． D．
7．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是
A． B． C． D．
8．如图，，分别截两直线于六点．若，，则
A．12 B． C．20 D．
9．如图，在平行四边形中，为上一点，，联结、、，且、交于点，则等于
A． B． C． D．
10．如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，平分交于点，则△的面积为
A． B． C． D．
11．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为
A．5 B． C． D．
12．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是
①△为等边三角形；
②；
③四边形是菱形；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ．
14．已知，则的值为 ．
15．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为 ．
16．若，则的值为 ．
17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，是正方形的对角线，点、分别在边、上，，延长到，且，联结、．
（1）求证：；
（2）延长交于点，联结，求证：．
19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
（1）写出一个与△相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
（2）已知，求的长．
20．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，联结、并延长，分别与边、交于点、．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
21．如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
22．如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，．
①求证：△△；
②求的长．（提示：过点作于点．
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