北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义：且是常数）判断即可得答案．
【解答】解：根据二次函数的定义且是常数）逐项分析判断如下：
、时不是二次函数，故不符合题意；
、是一次函数，故不符合题意；
、里含有分式，故不符合题意；
、是二次函数，故符合题意；
故选：．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
【分析】根据的正负判断开口方向，通过抛物线的解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与轴交点个数．
【解答】解：抛物线，所以开口向上，选项错误；顶点坐标为，所以选项错误；
根据顶点坐标以及开口向上可判定与轴没有交点，
选项错误；
对称轴为直线，选项正确．
故选：．
3．抛物线与轴的交点个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根的判别式即可得答案．
【解答】解：把代入得，
，
方程无实数根，
抛物线与轴的交点个数为0个．
故选：．
4．若将抛物线向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为
A． B． C． D．
【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线向上平移2个单位，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
所得抛物线对应的函数关系式为．
故选：．
5．已知直线过点，，二次函数的图象和直线交于点，在的左侧），若，则满足条件的的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式为，与二次函数的解析式联立可得，解方程可得或，再设点的坐标为，点的坐标为，且，则，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，然后分两种情况：①和②，分别求出，的值，根据建立方程，解方程即可得．
【解答】解：设直线的解析式为，
由条件可得：，解得，
直线的解析式为，
联立得：，
，
解得或，
由题意，设点的坐标为，点的坐标为，且，
，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
由①当时，，
则，
，
，
，
，
解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设；
②当时，，
则，
同理可得：，
，
解得或（不符合题设，舍去），
经检验，是方程的解，且符合题设；
综上，满足条件的的值有或或，共3个，
故选：．
6．若函数是二次函数，则的值一定是
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【分析】根据反二次函数的性质列出关于的一元二次方程，求出的值即可．
【解答】解：此函数是二次函数，
，
解得．
故选：．
7．如图，二次函数在时函数有最大值2，下面的结论不正确的是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线开口向下，可得，即可判定；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得△，即可判定；由对称轴为直线，可判定；根据抛物线经过原点，即可判定，据此即可求解．
【解答】解：、抛物线开口向下，
，
故该选项正确，不合题意；
、由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
△，故该选项正确，不合题意；
、抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故该选项正确，不符合题意；
、抛物线经过原点，
，
，
故该选项错误，符合题意；
故选：．
8．题目：“已知二次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，将抛物线位于直线下方的部分翻折至直线上方，将这部分图象与抛物线剩余部分组成的新图象记为．若图象与轴有4个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．乙、丙答案合在一起才完整
【分析】首先结合二次函数的图象可得，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折部分顶点在轴的上方，即可解决问题．
【解答】解：二次函数的图象与轴交于点，
点的坐标为，
翻折后与轴有4个交点，
，
二次函数，
顶点坐标为，
顶点关于直线的对称点为，
翻折部分的顶点为，
翻折后与轴有4个交点，
翻折部分的顶点在轴的上方，
，即，
的取值范围为：，
故乙的回答是正确的．
故选：．
9．已知二次函数的图象过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是
A． B． C． D．
【分析】由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点，，到直线的距离的大小来判断，，的大小．
【解答】解：二次函数的图象过点，，
注意到，两点的纵坐标都是，
二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线，
点，，均在二次函数的图象上，
，
，
故选：．
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可；
【解答】解：根据题意得：；
当时，，
，
①当为平行四边形一条边时，如图1，
则，
故点的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3，
所以点坐标为，
当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故点或；
②当是四边形的对角线时，
中点坐标为，
设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：，
，
故点．
故选：．
11．如图，二次函数的图象的顶点与的点重合，且经过点，与交于点，点与点的横坐标相同．若，则点的坐标为
A． B．
C． D．
【分析】先求出二次函数的顶点坐标，得到，再根据平行四边形的面积求出，代入二次函数解析式即可求出，，再求出直线的解析式为，联立，求解即可．
【解答】解：，
二次函数的图象的顶点为，即，
点在轴上，
，即，
点与点的横坐标相同，四边形是平行四边形，且，
，，
，
二次函数的图象的顶点经过点，
，即，
，即，
，则，
，二次函数的解析式为，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，则，
解得：或（舍去），
，则，
，
故选：．
12．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】先找出二次函数的相关函数为，对称轴为直线，再画出大致图象分类讨论即可．
【解答】解：二次函数的相关函数为，对称轴为直线，
大致图象如下：
当时，图象与有一个交点，当时，如图1所示，
图象与恰有两个交点，
当如图2所示时，的顶点在上时，图象与轴有一个交点，
此时顶点坐标为，代入中，得，
综上，的取值范围为，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．抛物线与轴交点的坐标为 ．
【分析】取，求出的值，即可得出答案．
【解答】解：设，则，
抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
14．若二次函数图象经过原点，则的值为 3 ．
【分析】把代入求解，注意的取值范围．
【解答】解：把代入得，
整理得，
解得或，
，
．
故答案为：3．
15．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ．
【分析】将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可．
【解答】解：关于的一元二次方程无实数根，
抛物线与没有交点，
抛物线的顶点坐标是，
．
故答案为：．
16．已知．若，，则的取值范围是 ．
【分析】依据题意，由，从而，故，又，故当时，取最小值为2，结合当时，；当时，，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，，
．
．
又，
当时，取最小值为2．
又当时，；当时，，
．
故答案为：．
17．已知，和，是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为 ；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ．
【分析】（1）由可知，当时，，又，故，代入即可求得的值；
（2）由题意可知函数的顶点为，即可求得，，根据，和，是二次函数图象上两个不同的点，则，根据，是二次函数图象上的点，一次函数的图象经过点，求得，，即可得到，解得，从而求得．
【解答】解：（1），
当时，，
二次函数图象过点，
，和，是二次函数图象上两个不同的点，且，
，即，
一次函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
（2），，
，
函数的图象与轴仅有一个交点，
，，
，，
，
，是二次函数图象上的点，一次函数的图象经过点，
，，
，，
，即，
解得，
，和，是二次函数图象上两个不同的点，
，
．
故答案为：1．
三．解答题（共5小题）
18．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为，设矩形花圃的宽为，面积为．
（1）求与的函数关系式及的取值范围；
（2）当花圃的面积为时，求的长；
（3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【分析】（1）根据为，就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将代入（1）中关系式，可求出即的长．
（3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据的取值范围求得围成的花圃的最大面积．
【解答】解：（1）根据题意，得，
即所求的函数解析式为：，
又，
；
（2）由得，
，
整理，得
，
解得，，
，
，
；
（3），
，
当，随的增大而减小，
，最大面积．
19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连结．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点在轴上时，求点的坐标；
（3）作点关于抛物线对称轴的对称点不与重合），连结，求的值；
（4）以为边向下作正方形，当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再将解析式变形为顶点式即可求出结果；
（2）将点的横坐标代入解析式，用表示其纵坐标，当点在轴上时，点的纵坐标为0，得出值，即可求解；
（3）先表示出点，点，点，分情况讨论，①当点在点左侧时，即，若点在点左侧，不符合题意，若点在点左侧，，即，，②当点在点左侧时，即，此时点都在点左侧，，将点的坐标代入后化简，即可解题；
（4）该抛物线的顶点坐标为，分情况讨论：①当点在点左侧，时，此时点应在抛物线对称轴直线的右侧，即，设点在正方形上，过点作于点，，求出此时的值，根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图象，即可解题；②当点在点左侧时，即时，此时点应在抛物线对称轴直线的右侧，即，设点在正方形上时，过点作轴于点，过点作于点，，求出此时的值，根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图象，即可解题．
【解答】解：（1）抛物线是常数）经过点，
，
解得，
该抛物线解析式为，顶点坐标为；
（2）点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，
点的纵坐标，
即点，
当点在轴上时，，解得，，
则点的坐标为或；
（3）点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，
点，点，
又点为点关于抛物线对称轴的对称点，该抛物线的对称轴为，
点，
①当点在点左侧时，即时，
若点在点左侧，如图所示不符合题意；
若点在点左侧，，即，如图所示，
；
②当点在点左侧时，即时，此时点都在点左侧，如图所示，
；
综上所述，当或时，；
（4）点为，点为，该抛物线的顶点坐标为，
①当点在点左侧，时，
抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，
点应在抛物线对称轴直线的右侧，，即，
设点在正方形上，如图所示，以为边向下作正方形，
过点作 于点，
，，
，
，
由（3）知，，
即，
得，
根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图象，
则；
②当点在点左侧，时，
抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大，
点应在抛物线对称轴直线的右侧，即，
设点在正方形上，如图所示，以为边向下作正方形，
过点作轴于点，过点作于点，
，，
，
又，
，
由（3）知．．
即，
得，
根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图象，则；
综上所述，．
20．如图①是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图②所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式；
（2）在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长．
【分析】（1）由题意知，，设抛物线的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式；
（2）由题意知，当时，，解得，，即，4，，，4，，得出，由抛物线的形状与抛物线完全相同，，则抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的，即可求解；
【解答】解：（1）由题意知，，，
设抛物线的函数表达式为．
把的坐标代入，得，
解得，
．
（2），
当时，，
，．
，．
．
抛物线的形状与抛物线完全相同．
，
抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的．
．
，即的长为15米．
21．已知抛物线，，为常数，的顶点为，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，，是抛物线上的动点，且位于第四象限．
若，．
①求抛物线解析式及顶点的坐标；
②过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，，当时，求点的坐标；
（Ⅱ）若，是轴负半轴上的动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，，且，当的最小值为时，求点的坐标．
【分析】①首先利用待定系数法求出解析式，然后然后配方成顶点式求出顶点坐标；
②首先求出，，然后得到△，△ 都是等腰直角三角形，得到，求出，然后求出直线的解析式为，然后得到进而求解即可；
（Ⅱ）首先得到，，表示出顶点的坐标为，作点关于轴的对称点，将向右平移1个单位的长度），得到点，连接，，得到四边形为平行四边形，得到当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，过作于点，得到，得到，然后代入表示出，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：①当，时，抛物线解析式为，
将代入抛物线，得，
，
抛物线解析式为，
，
抛物线顶点的坐标为；
②如图所示，过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，，
将代入，得或，
，
将代入得，
，
，
，
轴，轴，
△，△都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为：，把，代入上式，
得，
，
，
，，
把代入，得，
，
，
，
，
或，
，
；
（Ⅱ）把代入抛物线，
得，
，
，
，
将代入，得或，
将代入，
，
抛物线的对称轴，
顶点的坐标为，
，
，
作点关于轴的对称点，将向右平移1个单位的长度），
得到点，连接，，
且，
四边形为平行四边形，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，
，，把代入，得，
，
过作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
或，
，
，
，
过点作，垂足为，
在△中，，
，
，
，
．
22．如图1，抛物线过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式及对称轴；
（2）点为直线下方抛物线上的动点，当△的面积是4时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线与相交于点，，且与轴交于点．点位于第一象限且在抛物线上，过点作平行于轴的直线，交抛物线于另一点（点在点左侧），交抛物线于点，（点在点左侧）．当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）将点，代入，得出方程组，求出解即可；
（2）作，设点，可得点，即可表示出，，，，，再根据得出方程，结合点的位置求出解；
（3）将点代入关系式可求出关系式，再根据点的坐标及对称轴求出，分，两种情况求出值，即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
，
解得，
抛物线的关系式为，
抛物线的对称轴是直线；
（2）如图所示，过点作，交轴于点，
设点，可得点，
，
则，
当时，，
点，
，，
，，
，
，
即，
解得（舍去），，
点；
（3）设抛物线的关系式为，
将点代入得，
解得，
抛物线的关系式为，
则抛物线的对称轴也是，
点，对称轴为，
点，
，
当时，即，
，
点，
，
解得或（舍去）；
当时，即，
点，
，
解得或（舍去），
，
．
第1页（共1页）北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是
A． B． C． D．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
3．抛物线与轴的交点个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
4．若将抛物线向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为
A． B． C． D．
5．已知直线过点，，二次函数的图象和直线交于点，在的左侧），若，则满足条件的的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若函数是二次函数，则的值一定是
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
7．如图，二次函数在时函数有最大值2，下面的结论不正确的是
A． B． C． D．
8．题目：“已知二次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，将抛物线位于直线下方的部分翻折至直线上方，将这部分图象与抛物线剩余部分组成的新图象记为．若图象与轴有4个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．乙、丙答案合在一起才完整
9．已知二次函数的图象过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是
A． B． C． D．
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，二次函数的图象的顶点与的点重合，且经过点，与交于点，点与点的横坐标相同．若，则点的坐标为
A． B．
C． D．
12．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．抛物线与轴交点的坐标为 ．
14．若二次函数图象经过原点，则的值为 ．
15．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ．
16．已知．若，，则的取值范围是 ．
17．已知，和，是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为 ；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为，设矩形花圃的宽为，面积为．
（1）求与的函数关系式及的取值范围；
（2）当花圃的面积为时，求的长；
（3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连结．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点在轴上时，求点的坐标；
（3）作点关于抛物线对称轴的对称点不与重合），连结，求的值；
（4）以为边向下作正方形，当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
20．如图①是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图②所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式；
（2）在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长．
21．已知抛物线，，为常数，的顶点为，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，，是抛物线上的动点，且位于第四象限．
若，．
①求抛物线解析式及顶点的坐标；
②过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，，当时，求点的坐标；
（Ⅱ）若，是轴负半轴上的动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，，且，当的最小值为时，求点的坐标．
22．如图1，抛物线过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式及对称轴；
（2）点为直线下方抛物线上的动点，当△的面积是4时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线与相交于点，，且与轴交于点．点位于第一象限且在抛物线上，过点作平行于轴的直线，交抛物线于另一点（点在点左侧），交抛物线于点，（点在点左侧）．当时，直接写出的取值范围．
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