人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
2．下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是
A．2 B．5 C．6 D．9
3．已知，则的值为
A． B． C． D．
4．如图，△和△是以点为位似中心的位似图形．若，则△与△的面积之比是
A． B． C． D．
5．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为
A． B． C． D．
6．如图，在△中，点，分别在边，上，下列条件中，不能确定△△的是
A． B．
C． D．
7．如图，在矩形中，点是中点，点是上一点，连接，，，若，，则的值为
A． B． C． D．
8．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约，下身长约，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到
A． B． C． D．
9．如图，在△中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与△的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
11．如图，，分别是平行四边形的边，的中点，交于点，连接，过点作交于点，则的值为
A． B． C． D．
12．如图，边长为的菱形中，，对角线、交于点，点为边中点，连结、分别和、交于点、，点是直线上一动点．下列结论：
①；
②；
③；
④的最大值是；
⑤的最小值是．
其中正确结论有
A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
二．填空题（共5小题）
13．如图，小明同学用木棍制成的△测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上，已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
14．已知，则 ．
15．如图，在直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在第三象限内与△的位似比为的位似图形△．若点的坐标为，则点的坐标为
16．如图，△，△，△是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则 ．
17．如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
19．如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点．
（1）求证：△△；
（2）当点为中点时，若，求的值．
20．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的值．
21．如图，中边，高，点、在、上，且交中线和高于点和点．
（1）若点是的重心，求的面积；
（2）求当长度为多少时，的面积最大．
22．如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线．
第1页（共1页）人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：．
2．下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是
A．2 B．5 C．6 D．9
【分析】根据比例的性质进行作答即可．
【解答】解：，
、3、4、8可以构成比例，
故选：．
3．已知，则的值为
A． B． C． D．
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：，
故设，，
，
所以的值为，
故选：．
4．如图，△和△是以点为位似中心的位似图形．若，则△与△的面积之比是
A． B． C． D．
【分析】根据位似图形的性质求解，即得答案．
【解答】解：△和△是以点为位似中心的位似图形，
，
故选：．
5．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为
A． B． C． D．
【分析】设雕像下部高为，则雕像上部高为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为，
根据题意得：，即．
故选：．
6．如图，在△中，点，分别在边，上，下列条件中，不能确定△△的是
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：．由，，可判定△△，故选项正确，不符合题意；
．由可判定△△，故选项正确，不符合题意；
．由可得，但没有夹角相等，故选项错误，符合题意；
．由可得且，可判定△△，故选项正确，不符合题意．
故选：．
7．如图，在矩形中，点是中点，点是上一点，连接，，，若，，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△△，设，则，进而得出，，即可求解．
【解答】解：在矩形中，，
，，，
，
△△，
，
，
，
点是中点，
，
设，则，
，
，
，
，
故选：．
8．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约，下身长约，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到
A． B． C． D．
【分析】设应穿厘米高的高跟鞋，则根据题意及黄金分割比直接列式计算即可．
【解答】解：设应穿厘米高的高跟鞋，由题意得：
，
解得：；
故选：．
9．如图，在△中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与△的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】过点作且，连接，，先证明，再由平行线的性质得到，，证明△△得到，则当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，在△中，由勾股定理得，据此可得答案．
【解答】解：如图所示，过点作且，连接，，
在△中，，，，
，
△是直角三角形，且，
，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，
在△中，由勾股定理得，
的最小值为，
故选：．
10．如图，在中，，，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据，可得，，利用相似三角形的性质即可判断、、选项，再根据平行线分线段成比例即可判断选项．
【解答】解：，
，，
，
，
故选项不符合题意；
，
，，
，
，
故、选项不符合题意；
，，
，，
，
故选项符合题意；
故选：．
11．如图，，分别是平行四边形的边，的中点，交于点，连接，过点作交于点，则的值为
A． B． C． D．
【分析】延长，，它们交于点，延长，交于点，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：延长，，它们交于点，延长，交于点，如图，
四边形 为平行四边形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
设，则，．
，
△△，
，
，
，
．
，
，
△△，
．
故选：．
12．如图，边长为的菱形中，，对角线、交于点，点为边中点，连结、分别和、交于点、，点是直线上一动点．下列结论：
①；
②；
③；
④的最大值是；
⑤的最小值是．
其中正确结论有
A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
【分析】连接和，根据四边形为菱形以及，可以求出，，以及，，，，根据平行线分线段成比例求出和即可判断①，再求出和可以判断③，根据三角形面积公式求出△和△的面积即可判断②，再根据，，共线，即可求出其差的最大值即为，最后根据对称性求出最小为．
【解答】解：连接，，如图：
四边形为菱形，
，，，，，
，
△为等边三角形，
，
，，
为中点，
，，
，
，，
，，，
，故①错误；
，，
，故③正确；
，，
，故②正确；
，，共线，
，故④正确；
垂直平分，
，
当，，共线时，最小，
，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有②③④．
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．如图，小明同学用木棍制成的△测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上，已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 12 米．
【分析】延长交于，根据矩形的性质得到米，米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：延长交于，
，，，
四边形是矩形，
米，米，
，，
△△，
，
，
，
（米，
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
14．已知，则 1 ．
【分析】设，得到，，，代入即可求值．
【解答】解：设，
，，，
．
故答案为：1．
15．如图，在直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在第三象限内与△的位似比为的位似图形△．若点的坐标为，则点的坐标为
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：以点为位似中心，在第三象限内与△的位似比为的位似图形△，
点的坐标为，
，，即，
故答案为：．
16．如图，△，△，△是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则 16 ．
【分析】由题意可得，，，从而可得，可判定△△，相似比为，故，即，同理可得，
【解答】解：△，△，△是等边三角形，点，，，在同一直线上，
，，
，
从而可得，
△△，
相似比为，
故，
，
同理可得，
故答案为：16．
17．如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ．
【分析】连接，根据角平分线的性质和等边对等角得出，根据平行线的性质得出直角和相关边长，然后利用勾股定理求出长度，最后利用等面积法即可求解．
【解答】解：如图，连接，
切于点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是的直径，
，
在直角△中，由勾股定理得，
利用等面积法可得，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，可求出，由△△得出比例式，即可求出的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
△△；
（2）解：四边形是正方形，，，
，，
，
是的中点，
，
△△，
，
即，
．
19．如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点．
（1）求证：△△；
（2）当点为中点时，若，求的值．
【分析】（1）根据矩形性质以及直角三角形两锐角互余可得，即可证明△△；
（2）利用相似三角形性质得到，结合矩形性质求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
，
，
△△；
（2）由（1）知△△，
，
，为的中点，
．则，
，
在△中可得：．
20．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的值．
【分析】（1）先根据菱形的性质得出，，再证明，然后根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据菱形对角线互相垂直平分得出，再根据，证出，最后根据菱形四边相等，平行四边形对边相等，利用平行线分线段成比例定理、等量代换即可求解．
【解答】（1）证明：四边形为菱形，
，，
又，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，四边形为平行四边形，
，即，，
又，
，
，
，
四边形 为菱形，
，
．
21．如图，中边，高，点、在、上，且交中线和高于点和点．
（1）若点是的重心，求的面积；
（2）求当长度为多少时，的面积最大．
【分析】（1）由三角形重心的性质可知：，从而可得到，，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）设，由，可求得，然后可表示出，由三角形的面积公式可求得的面积与的函数关系，根据二次函数的性质可求得的长度．
【解答】解：（1）是三角形的重心，
．
，
，．
，．
的面积．
（2）设．
，
，即．
．
．
．
．
当时，的面积最大．
22．如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线．
【分析】（1）连接，利用垂径定理，含角的直角三角形的性质求得的度数，再利用圆的弧长公式解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质得到，则，利用圆的切线的判定定理解答即可．
【解答】（1）解：连接，如图，
是的直径，，
，
为的中点，
，
，
，
，
的长度；
（2）证明：，
，
，
，
．
是的直径，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
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