人教版九年级下 第28章 锐角三角函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为
A． B． C． D．
2．的值为
A． B． C．1 D．
3．在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
4．如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了16米，到达处，测得，则大树的高度为
A．6米 B．8米 C．10米 D．20米
5．在△中，，若，，则的度数为
A． B． C． D．不确定
6．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是 ．
A．0.95 B． C． D．
7．已知实数，，，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
8．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到1米）．
（参考数据：，，，
A．74 B．91 C．57 D．40
9．如图，小温通过“ ”软件测得手机镜头点离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端点的俯角，顶端点仰角，则可得到小旗杆的高度为
A． B．
C． D．
10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为
A． B． C． D．
12．△中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．计算： ．
14．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米．
15．在中，若，则 ．
16．在中，，，点是边上一点，，，则 ．
17．图1为汽车雨刮器，其局部构造如图2，把玻璃框看作矩形，雨刮臂．若雨刮条的端点到点的距离为，且的度数保持不变，当雨刮臂绕着点顺时针旋转时，雨刮条扫过的面积为 ；如图3，若，，在雨刮臂运动过程中，雨刮臂所在直线与边框或交于点，以线段为直径作，当与矩形的交点个数最多时，的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
18．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上点处观测旗杆顶点的仰角为，观测旗杆底部点的仰角为（参考数据：，．
（1）若已知米，求建筑物的高度；
（2）若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度．
19．如图，已知四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
20．如图，为了测量一棵树的高度，小明在点测得树的最顶端的仰角为，在点测得树的最顶端的仰角为．
（1）若，，点与点相距1.4米，求这棵树的高度（精确到，；
（2）若，米，米，求这棵树的高度．
21．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点．
（1）若，求路灯的高度；
（2）连接，若米，求的值．
22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向．
（1）请求出的长度；（结果保留根号）
（2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：
第1页（共1页）人教版九年级下 第28章 锐角三角函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为
A． B． C． D．
【分析】坡度是坡角的正切值．
【解答】解：因为，即坡度为．故选：．
2．的值为
A． B． C．1 D．
【分析】直接根据求解．
【解答】解：．
故选：．
3．在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在中，，，，
，
故选：．
4．如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了16米，到达处，测得，则大树的高度为
A．6米 B．8米 C．10米 D．20米
【分析】根据，即可得到，再根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【解答】解：，，
，
米，
米，
，垂直于地面，
米，
故选：．
5．在△中，，若，，则的度数为
A． B． C． D．不确定
【分析】根据余弦的定义、的余弦值是解答．
【解答】解：在△中，，若，，
则，
，
故选：．
6．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是 ．
A．0.95 B． C． D．
【分析】过点作于点，则为最大距离，根据三角函数作答即可．
【解答】解：过点作于点，则为最大距离，
在中，
，，
，
故选：．
7．已知实数，，，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可．
【解答】解：，，，
，
．
故选：．
8．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到1米）．
（参考数据：，，，
A．74 B．91 C．57 D．40
【分析】过点作于点，则米，在△中和△中，根据锐角三角函数中的正切函数的定义可以分别求得和的长，从而可以求得的长．
【解答】解：处测得处的仰角是，测得处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，如图，过点作于点，
，，米，，
在△中，，
（米，
在△中，，
（米，
（米，
即这栋楼的高度是74米．
故选：．
9．如图，小温通过“ ”软件测得手机镜头点离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端点的俯角，顶端点仰角，则可得到小旗杆的高度为
A． B．
C． D．
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
，
故选：．
10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为
A． B． C． D．
【分析】如图，先证明，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】解：矩形为一个正在倒水的水杯的截面图如图所示，，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
杯中水的最大深度为．
故选：．
11．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的性质可知，，，由勾股定理求出，取的中点，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出，，由全等三角形的判定和性质得出，，进而得出点的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案．
【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知，，，，
，
点是的中点，
，
点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心，
，
，
又，，
△△，
，
点是点、点的旋转中心，
因此点是旋转到的旋转中心，
，，
，
，，
，
，，
在中，由于，
设，则，由勾股定理得，
，
即，
解得（取正值），
即，
，
，
，
点，
点，
中点的坐标为，，
故选：．
12．△中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为
A． B． C． D．
【分析】过作于，延长交于，由，设，则，而为中点，得，根据平分，可得△△，即有，，而，可得，即知，根据，得，从而可得．
【解答】解：过作于，延长交于，如图：
在△中，，
，
设，则，
为中点，
，
平分，
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，，
，
，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．计算： ．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算加法即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
14．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米．
【分析】在△中，由正切的定义即可求解．
【解答】解：由题意得：，
（米，
故答案为：．
15．在中，若，则 ．
【分析】利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
16．在中，，，点是边上一点，，，则 6或 ．
【分析】过点作于，根据，可得出，设，，则，，在中，由勾股定理得构造关于的方程并解出，进而可求出，，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长．
【解答】解：过点作于，如图所示：
，
在中，，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，或，
当时，，，
，，
，
，
，
即，
，
当，，，
同理：，
即，
．
综上所述：或．
17．图1为汽车雨刮器，其局部构造如图2，把玻璃框看作矩形，雨刮臂．若雨刮条的端点到点的距离为，且的度数保持不变，当雨刮臂绕着点顺时针旋转时，雨刮条扫过的面积为 ；如图3，若，，在雨刮臂运动过程中，雨刮臂所在直线与边框或交于点，以线段为直径作，当与矩形的交点个数最多时，的取值范围是 ．
【分析】线段扫过的面积．如图3中，以为直径作，当与相切于点时，设．利用勾股定理求出的值，再求出两种特殊位置的值，可得结论．
【解答】解：如图2中，
线段扫过的面积
．
如图3中，以为直径作，当与相切于点时，设．
是的切线，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
当点与重合时，，
观察图形可知，．
故答案为：，．
三．解答题（共5小题）
18．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上点处观测旗杆顶点的仰角为，观测旗杆底部点的仰角为（参考数据：，．
（1）若已知米，求建筑物的高度；
（2）若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度．
【分析】（1）由题意可知△是等腰直角三角形，所以；
（2）直接利用，进而得出的长求出答案．
【解答】解：（1），，
，
，
米，
米，
答：建筑物的高度为25米；
（2）设米，
则，
，
答：建筑物的高度为20米．
19．如图，已知四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【分析】（1），，，，进而求出，；
（2），设，则，得，求出，进而求出，，，解得，．
【解答】解：（1），，，，
，，
又，，，，
，
；
（2），，，
设，则，得，
，即，
，，
，
解得，
．
20．如图，为了测量一棵树的高度，小明在点测得树的最顶端的仰角为，在点测得树的最顶端的仰角为．
（1）若，，点与点相距1.4米，求这棵树的高度（精确到，；
（2）若，米，米，求这棵树的高度．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，由即可求得答案；
（2）根据题意可得：米，米，，从而可得，进而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而证明△△，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：米，，
，
，，
，
，，
，
，
解得米．
答：这棵树的高度约为2米；
（2）由题意得：米，米，，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
或（舍去），
这棵树的高度是2米．
21．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点．
（1）若，求路灯的高度；
（2）连接，若米，求的值．
【分析】（1）根据题意得到米，米，证明△△，△△得，，进而得，进而可得答案；
（2）过点作于点，则，证明△△，△△，得，，进而得，进而可求得米，（米，，再由勾股定理求得（米，再根据正弦函数的定义求解即可．
【解答】解：（1）已知两路灯之间的水平距离是24米，即米，，且，
米，米，
，
，
又，，
△△，△△，
，，
，即，
又，
米，
答：路灯的高为16米；
（2）由题意得米，米，米，
过点作于点，如图，
，
△△，△△，
，，
，
米，（米，
（米，
在直角三角形中，由勾股定理得：（米，
．
22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向．
（1）请求出的长度；（结果保留根号）
（2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：
【分析】（1）过作于，求得，根据矩形的性质得到，得到，于是得到；
（2）过作于，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过作于，于，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）过作于，
，，
，
，，
，
，
，
小巴所用时间为：，
小蜀所用时间为：，
，
小巴先到达停车场地）．
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