2024-2025学年八年级数学下册期末知识点复习题--解答压轴题--人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年八年级数学下册期末知识点复习题--解答压轴题--人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-03 11:17:29 | ||
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文档简介
2024-2025学年八年级数学下册期末知识点复习题--解答压轴题
【题型1 利用二次根式比较大小】
1.像(+2)(﹣2)＝1、 ＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与， +1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
2.阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
3.已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算： ；
(3)比较与的大小，并说明理由．
4.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
【题型2 复合二次根式的化简】
1.先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
2.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空： + ；
(2)的算术平方根为 ；
(3)化简： ．(n为正整数)
3.先阅读下列解答过程，然后再解答
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使得a+b＝m，ab＝n，（）2+（）2＝m；＝，便有＝＝＝（a＞b＞0）例如：
＝＝＝，仿照上述方法化简下列各式
（1）；
（2）．
4.先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【题型3 勾股定理的证明】
1.（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：
② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．
2.把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
3.综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
4.【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．
(1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
=[（__________）2（__________）2]-[（__________）2-（__________）2]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
(3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
【题型4 利用勾股定理格点作图】
1.在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；
、 、 、 、 、 、 、；
（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是 ．
A． 勾股定理 B． 勾股定理逆定理
（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．
2.如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
3.问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是 ．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
4.综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】
1.如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接．
(1)求的面积和线段的长；
(2)如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离．
2.阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
3.如图，△ABC和都是等边三角形，求:（1）AE长；（2）∠BDC的度数：（3）AC的长．
4.如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【题型6 尺规作图与四边形的综合】
1.如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴_____________．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴____________，
∴．
∴____________，
∴四边形是菱形．
2.实践与操作：如图，已知，在中，．
(1)①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段的垂直平分线，垂足为；
②连接，并延长到点，使得，连接、；
③分别在、的延长线上取点、，使，连接、、、．
推理与运用：
(2)①求证：四边形是平行四边形：
②若，，当四边形是矩形时求它的面积．
3.请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形.
善思小组分享的方法是：如图2，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
4.如图，E、F两点分别在平行四边形ABCD的边CD、AD上，AE＝CF，AE、CF相交于点O．
（1）用尺规作出∠AOC的角平分线OM（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：OM一定经过B点．
【题型7 四边形中的折叠问题】
1.【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点．
【问题解决】
（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）：
【拓展变式】
（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；
（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积．
2.如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
(2)【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
3.综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
4.（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．
（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；
（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型8 四边形中的旋转问题】
1.如图1所示，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边，上，连接、．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)图2取的中点M，的中点为N，连接，，请判断线段与的关系，并证明；
(3)将图2中的直角三角板，绕点C旋转，如图3所示，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
2.综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得．
【操作发现】
（1）将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，与相交于点H，如图4所示，连接，直接写出线段的长度．
3.【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
4.已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)M是延长线上一点，联结，且．
①若，求证：；
②如图2，若，，联结、，求证：．
【题型9 四边形中的定值问题】
1.问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
2.如图①，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求的值；
(3)当点P在边上运动时，如图②，求证：为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线的对称点F，连接、，当四边形和矩形的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
4.如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【题型10 四边形中的最值问题】
1.如图1：正方形的边长为3，E是直线上一动点，连接，在的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，．
(1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，连接，则的最小值为______．
2.问题提出
（1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
3.在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个 三角形；
②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．
4.如图，在菱形中，，为正三角形，在菱形的边上．
(1)证明：．
(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形)，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
(3)在(2)的情况下，请探究的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
【题型11 动点函数图像】
1.李大爷在如图 1 所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心 O 出发，沿O→A→B→O 匀速运动，最后回到点 O，其中路径 AB 是一段长 180 米的圆弧．李大爷离出发点 O 的直线距离 S（米）与运动时间 t（分）之间的关系如图 2 所示．
（1）在 时间段内，李大爷离出发点 O 的距离在增大；在 4~10 分这个时间段内，李大爷在 路段上运动（填 OA，AB 或 OB）；李大爷从点 O 出发到回到点 O 一共用了 分钟；
（2）扇形栈道的半径是 米，李大爷的速度为 米/分；
（3）在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第 分到达报刊亭，他在报刊亭停留了 分钟．
2.如图，在正方形中，，点在正方形边上沿运动（含端点），连接，以为边，在线段右侧作正方形，连接、.
小颖根据学习函数的经验，在点运动过程中，对线段、、的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点在、边上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
在、和的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象：
（3）结合函数图像，解决问题：
当为等腰三角形时，的长约为
3.如图1，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为6cm/s，点Q的速度变为bcm/s．图2是点P出发x秒后，△APD的面积（）与x（s）的函数关系图像；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积（）与x（s）的函数关系图像．
(1)动点P在线段___上运动时，的面积保持不变；动点Q到达点A时，x的值为___；
(2)求a，b的值；
(3)设点P离开点A所走的路程为（cm），点Q离开点D所走的路程为（cm），当时，分别求出，与x的函数关系式；
(4)当两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围．
4.如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象．
(1)正方形的边长是__________；
(2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式；
(3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
【题型12 一次函数的应用】
1.五一期间，某电器商城推出了两种促销方式,且每次购买电器时只能使用其中一种方式：第一种是打折优惠，凡是在该商城购买家用电器的客户均可享受八折优惠；第二种方式是：赠送优惠券，凡在商城三天内购买家用电器的金额满400元且少于600元的，赠优惠券100元（优惠券在购买该物品时就可使用）；不少于600元的，所赠优惠券是购买电器金额的，另再送50元现金.
(1)以上两种促销方式中第二种方式，可用如下形式表达：设购买电器的金额为x（x≥400）元，优惠券金额为y元，则：①当x＝500时，y＝ ；②当x≥600时，y＝ ；
(2)如果小张想一次性购买原价为x（400≤x＜600）元的电器，可以使用优惠券，在上面的两种促销方式中，试通过计算帮他确定一种比较合算的方式？
(3)如果小张在促销期间内在此商城先后两次购买电器时都得到了优惠券（两次购买均未使用优惠券），第一次购买金额在600元以内，第二次购买金额超过600元，所得优惠券金额累计达800元，设他购买电器的金额为W元，W至少应为多少？（W＝支付金额－所送现金金额）
2.某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值．
3.甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线，分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程与甲行进时间x()之间的部分函数图象．
(1)求所在直线的函数解析式；
(2)小狗的速度为______；求点E的坐标；
(3) 小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？
4.为推进生态美、产业强，促进乡村全面振兴，河南西峡以香菇、猕猴桃、山茱萸为代表，形成了“菌果药”三大特色产业．某香菇种植大棚计划购买20个A，两种型号的货架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表．
型号 线下 线上
售价 运费 售价 运费（不超过20个）
九折 0 八折 110元
九折 八五折
若按原价购买，则购买10个A型货架和10个型货架共需3500元．已知每个A型货架的原价比每个型货架便宜50元
(1)求每个A，型号的货架的原价．
(2)若该香菇种植大棚选择线上或线下任意一种方式购买，且购买型货架的数量不少于A型货架数量的2倍，请求出花费最少的购买方案，并说明理由．
【题型13 一次函数与几何综合】
1.在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
(1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，则t的值为______，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标；
(3)如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程．
2.如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过A点，且与y轴交于D点．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)试说明：；
(3)若点M是直线上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．
(1)求m和b的值；
(2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
4.已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
(1)求点E的坐标和k的值；
(2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式；
(3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
【题型14 新定义问题】
1.定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式；
③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式．
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
________；________；________；________．
（3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性．
2.我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．
(1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
(2)推理：如图2，已知 中，以和为边在 的外侧分别作等边三角形 和 ，连接． 求证：四边形是等对四边形；
(3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长．
3.定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
(1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
(2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
(3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．
4.问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【题型15 阅读理解问题】
1.阅读下列两则材料，回答问题
材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值．
∵，∴
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC，
则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：，
∴可将的值看作点到点的距离．
(1)利用材料一，解关于x的方程：，其中；
(2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围．
2.阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(1)请你按材料中的分析写出证明过程；
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A．转化思想
B．类比思想
C．数形结合思想
D．从一般到特殊思想
(3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，，，则 ．
3.阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为
4.阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式+的最小值．
【题型16 规律探究问题】
1.（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
2.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，， ，计算出的值．
3.在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．
同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质：
对于一次函数（，为常数，且），
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________．
爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的．
这是一种巧合还是存在着某种联系？
沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论：
“若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论．
【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________．
【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．
【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标．
4.【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形 AB1C1D1是正方形；
（2）= ；
【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点；
（4）四边形是否是正方形 说明理由.
参考答案
【题型1 利用二次根式比较大小】
1.解：(1) 原式==；
（2）原式==；
（3）根据题意，，，
∵，
∴，
即．
2.（1）
（2）
，
，
，
故答案为：；
（3）
；
（4）
，
，
，
故．
3.（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）
．
故答案为：；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
又∵，
∴，
∴．
4.（1）解：∵c2=32，d2=28，
则c2>d2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m证明：∵m＝，n＝，
∴m2=()2=26+4， n2＝()2=26+4，
∵<，
∴m2∴m（3）解：∵，，
∴
=2
=2+2
∵≥0
∴p≥1，
分情况讨论：
①若≤0，即1≤p≤2时，
原式=2+2，
=4；
②若>0，即p>2时，
原式=2+2，
=4
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4；
故答案为：4或4．
【题型2 复合二次根式的化简】
1.解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
2.（1）解：∵，
故答案为：21；4；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵
，
∴，
∴
，
∴原式化简结果为．
3.（1）原式＝＝＝﹣1；
（2）原式＝＝＝+.
4.解：（1）；
；
（2）；
（3） ==．
【题型3 勾股定理的证明】
1.解：（1）依题意得图1中阴影部分的面积为：
或，
，
故答案为：；
（2）依题意得图2中梯形的面积为：
或，
，
整理得：；
（3）①由（1）得
，
在直角中，，由（2）得，
，
；
②由（2）得，
，
因为直角中周长为n，
，
，
，
整理得：，
，
长方形的面积为：
，
当，
解得，
即当时，长方形的面积为定值．
2.
3.（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
4.（1）
故答案为：；
（2）在中，
由勾股定理的推论，可知：．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）如图2，设，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
∴，
∴．
【题型4 利用勾股定理格点作图】
1.（1）在所给的这列数中：
∵，，
∴，不是无理数；
∵2、5、8、10、15、20都是开平方开不尽的数
∴、 、 、 、 、 都是无理数，
取其中三个一组列举如下：
①、、；
②、、；
③、、；
④、、；
⑤、、；
……，共计20组；
对于第①组
∵
∴第①组各数不能构成直角三角形，用同样方法发现第②、③、④组的各数都不能构成直角三角形；
对于第⑤组
∵
∴第⑤组各数能构成直角三角形；
……
重复上述过程于全部的20组，可得只有如下这样的三组数能构成直角三角形：
、 、或、、或、、；
（2）解决（1）时，是计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方，若是则三角形为直角三角形，否则不是直角形．
故选：B(勾股定理逆定理)；
（3）∵15不能写成两个自然数的平方和的形式，
∴以网格的格点为端点的线段其长不可能为
∴、 、或、、不能作为直角三角形的三边画在网格中，使其顶点都在格点上；
∵ 、、
∴以网格的格点为端点的线段其长可以为、、，
∴、、为边的直角三角形可以画在网格中，使其顶点都在格点上，如下图所示：
2.（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝ ；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
（3）设点C到AB的距离是h．
由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
3.解：（1）如图1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，
S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，
故答案为，，，．
（2）△PMN如图所示．
S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
4.（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】
1.（1）∵，，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴；
过点A作于点M，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）根据题意，得，，，
设，则，
∴，
解得，
故，
过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故点到的距离为．
2.解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
3.解：（1）∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE＝DE＝2，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝；
（2）在△ADE中，∵，
∴DE2+AE2＝＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝150°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC＝150°；
（3）过C作CP⊥DE于点P，设AC与DE交于G，如图，
∵△CDE是等边三角形，
∴PE＝DE＝1，CP＝，
∴AE＝CP，
在△AEG与△CPG中，
∵∠AEG＝∠CPG＝90°，∠AGE＝∠CGP，AE＝CP，
∴△AEG≌△CPG，
∴AG＝CG，PG＝EG＝，
∴AG＝，
∴AC＝2AG＝．
4.（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【题型6 尺规作图与四边形的综合】
1.（1）解：图形如图所示：
（2）证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴____．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴______，
∴．
∴_____，
∴四边形是菱形．
故答案为：；；；．
2.（1）①②③图形如图所示：
．
（2）①证明：，，
，
，
四边形是平行四边形；
②解：，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
矩形的面积．
3.（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴点是的中点，
同理:是的中点，
连接，
则是三角形的中位线，是三角形的中位线，
∴，
，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图3四边形为所求作的菱形，如图4四边形为所求作的菱形.
4.解：（1）如图，OM即为所求；
（2）如图，连接BE、BF，
∵△ABE以AB为底，高是平行四边形AB边的高，
∴S△ABE＝S平行四边形ABCD，
同理S△BCF＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABE＝S△BCF，
作BG⊥OC于点G，BH⊥OA于点H，
∴S△ABE＝AE BH，
S△BCF＝CF BG，
∵S△ABE＝S△BCF，AE＝CF，
∴BH＝BG，
∵BG⊥OC，BH⊥OA，
∴点B在∠AOC的平分线上，
即OM一定经过B点．
【题型7 四边形中的折叠问题】
1.解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）选择①：
垂直平分线段，
，，，
由折叠的性质可知，
，
，
，
由折叠性质可知，
，
，
在中，，
，
；
选择②：，
四边形是矩形，垂直平分线段，
，
，
由折叠的性质可知，
，
为等边三角形；
（3）连接，
由折叠的性质得，
，
为等边三角形，
，
，
为的中点，
，
延长至点，使得，连接，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
．
2.（1）解：，
，
，
如图，取的中点O，连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：30；
（2）①四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
，
，
，，
同法（1）可得：，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
，
，
故答案为：15，；
②，理由如下：
，，
，
；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
；
当点Q在点F的上方时，如图，
，，
，
由（2）可知，，
设
即，
解得：，
，
综上所述，或
3.解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．
4.解：（1）GF＝GC．
理由如下：如图1，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，
在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝．
∴GC＝，DG＝4﹣＝；
（3）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图2，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵矩形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，
∴∠ECD＝∠EFG，
∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴FG＝CG；
即（1）中的结论仍然成立．
【题型8 四边形中的旋转问题】
1.（1）解：∵四边形是正方形，
，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，，理由如下，
证明：∵在中， M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
（3）解：结论仍然成立．
理由：如图，连接，设交于O，交于G，
∵四边形是正方形，
，
∴，，
又∵，即，
∴，
∴，，
∵在中，M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
2.解：（1）四边形是菱形，证明如下：
由图1可知，是矩形的对角线，，，
，
在图2中，由旋转知，，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
（2）是正方形，证明如下：
图1中，四边形是矩形，
，
，，
，
在图3中，由旋转知，，
，
，
∵点在同一条直线上，
，
由旋转知，，
∵点F是的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是菱形，
又，
∴菱形是正方形；
（3）在中，，，
，，
由（2）结合平移知，，
在中，，
，
．
3.解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）（1）中的结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
．
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
综上所述，满足条件的的值为4或2．
故答案为：4或2．
4.（1）如图1，
，
；
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①如图1，
，，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
②如图2，延长至N，使，联结、，
在与中，
，
，
，；
，
是线段的线段垂直平分线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
；
四边形是平行四边形，
，
，
；
在与中，
，
，
，，
；
延长交于E，则，
，
，
四边形内角和为，，
，
在中，，
【题型9 四边形中的定值问题】
1.解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，，
，，
四边形的面积，
，
，
∴
四边形的面积
，
四边形的面积，
则当有最小值时，四边形的面积有最大值，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积，
故答案为；
（2）存在，
设，
，
，
，
的周长，
当时，的周长的最小值为；
（3）与的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的周长之和不是定值，
当时，与的周长之和的最小值为15．
2.（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
即：；
故答案为：．
（2）解：当点和点重合时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作于点，则有，，
又∵矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
即为定值，且这个值为1；
（4）解：①如图所示，当点在上时，
∵，，
在中，，
则 ，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
当 时，点在矩形内部，
∴符合题意；
②当点在上时，当，A重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
∴，
解得：，
当且时，点在矩形外部，不符合题意；
③当点在上，当，重合时，此时点与点重合，则是正方形，此时；
当时，点在矩形外部，不符合题意；
综上所述，或或．
3.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，
∴OB＝．
∴BD＝2BO＝2．
∴ABDE的周长为：2AB+2BD＝4+4，
ABDE的面积为：BD AO＝2×1＝2．
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，
∵C和A关于直线BD对称，
∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
当P在点B处时，AP+PE的值最大，如图2，
过E作EG⊥BD，交BD的延长线于G，
∵∠BDE＝150°，
∴∠EDG＝30°，
∵DE＝2，
∴EG＝1，DG＝，
Rt△PEG中，BG＝2+＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴AP+PE的最大值是：2+2，
∵P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），
∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；
（写对一边的范围给一分）
②S1+S2的值为定值，这个定值为；
理由是：S1+S2＝．
4.解：（1），
∴AC的长为2；
（2）如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
（3）的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
是定值．
【题型10 四边形中的最值问题】
1.（1），理由如下:
∵四边形是正方形，
∴ ，，
在等腰直角三角形中， ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①如图， 点在线段上，
∵，正方形的边长为，
∴，
∴，
在正方形中，，
，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴
；
②如图，点在延长线上，
∵，
∴ ，
在正方形中，，
，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴
；
综上，的长为或
（3）如图，过点作交的延长线于点，在直线上截取，
由（1）知，
∴，
在正方形中,
，
∴，
∴,
∴，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴,
当、三点不共线时，，当、三点共线时，，
∴当、三点共线时， 的值最小为，
在中，，，，
，
∴的最小值为，
故答案为：
2.解：（1）当在线段上时，最短，
此时．
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．
∵四边形是平行四边形，，，，
∴，∴，．
∵是的中点，∴，
∴，．
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点在线段上时，取最小值，即的最小值为．
（3）如图，过点作于点，过点作于点．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当在线段上时，取最小值．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形面积的最小值为．
3.解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AE；
故答案为：BE＝AE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB＝AE＝，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝，BC＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝×2＝6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
由折叠的性质得：CE＝CB＝2，
即EF＝2；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S△EKF＝KF AH≤HF AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF BH≤HF BH＝S矩形BCFH，
∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤S矩形ABCD＝3，
即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，
此时，DF＝CD＝，点E与点A重合，BEF的面积为3，
∴EF＝＝；
综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为2或．
4.（1）证明：连接,则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴在和中，
，
∴
∴．
（2）解：由（1）得，
则．
故，是定值．
作于点，
则，
；
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形的边与垂直时，边最短．
故的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，
又，则的面积就会最大．
由（2）得，，
．
【题型11 动点函数图像】
1.解：（1）由图可知：
在0~4分钟内，李大爷离出发点 O 的距离在增大；
在 4~10 分这个时间段内，李大爷离出发点 O 的距离不变，即李大爷在AB路段上运动；
李大爷从点 O 出发到回到点 O 一共用了17分钟，
故答案为：0~4分钟；AB；17；
（2）∵在0~4分钟内，李大爷在OA段上运动，
则120÷4=30米/分，
∴扇形栈道的半径是120米，李大爷的速度为30米/分，
故答案为：120；30；
（3）由图像可知：李大爷在BO段买的报纸，
∵在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，如图，点C为报刊亭，
则OC=75，BC=120-75=45，
45÷30=1.5分，即李大爷从点B到C用时1.5分，
10+1.5=11.5分，所以李大爷是在第11.5分到达报刊亭，
而OC=75，75÷30=2.5分，
则李大爷买完报纸后又用时2.5分回到圆心O，
17-11.5-2.5=3分，
∴李大爷在报刊亭停留了3分钟，
故答案为：11.5；3.
2.解：（1）根据表格可知，从0开始，而且不断增大，则DG是自变量；
和随着DG的变化而变化，则AE和DF都是DG的函数；
故答案为：，，.
（2）函数图像，如图所示：
（3）∵为等腰三角形，则可分为：
AE=DF或DF=DG或AE=DG，三种情况；
根据表格和函数图像可知，
①当AE=DG=时，为等腰三角形；
②当AE=时，DF=DG=5.00，为等腰三角形；
③当AE=DF=时，为等腰三角形；
故答案为：或或.
3.（1）解：在长方形ABCD中，CD=AB=12cm，AD=BC=10cm
当P在BC上时，△APD的面积=是定值
由图3可知，Q从D到A共计用时28秒
故答案为：BC；28；
（2）解：由图2可知，P到B所用时间为秒
∴a+6（7-a）=12
解得a=6
∵2×6=12=CD
∴此时Q恰好到达C
∴Q从C到A所用时间为28-6=22秒
∴22b=10+12
解得b=1
综上可知：a=6，b=1；
（3）解：当x>6时，
y1=1×6+6（x-6）=6x-30
y2=2×6+（x-6）=x+6
（4）解：当x>6时，y1=6x-30，y2=x+6
当两个动点所走过的路程比为时，得
（6x-30）：（x+6）=1∶2或（x+6）：（6x-30）=1∶2
解得x=6(舍去)或x=10.5
当0y1：y2=1：2
∴0综上可知：当或时，两动点的路程比为1：2．
4.（1）解：由图象知，8秒时，相遇，
此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇，
设正方形的边长为，则
由图2知，，解得：，
故答案为4；
（2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则，
图3：，解得：
∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动
∴
同理，
当点在段时，
当点Q在段时，
则
，
当点在段时，
；
综上，
（3）解：由题意得：，
相遇前：
当Q在上，点P在上时，此时
当，则（舍去）；
当Q在上，点P在上时，此时
当，则
相遇后：当点在段时，如图，
设的面积为，梯形的面积为，
则正方形的面积为，
，
当点在段时，
；
当时，
令，，；
当时，
令，，（舍去）；
综上：或
【题型12 一次函数的应用】
1.（1）解：根据题意即可得出y=100和y=x；
故答案为：①100，②x+50
（2）设=0.8x，=x-100，
∵由0.8x=x-100得x=500，此时=；
当400≤x＜500时＞；
当500＜x＜600时＜；
∴当x=500时，两种方式一样合算；
当400≤x＜500时，选第二种方式合算；
当500＜x＜600时，选第一种方式合算；
（3）设第一次购买花了m元，第二次花了n元，
当400≤m＜600，n≥600时，100+n=800，得n=2800，
W=m+n-50=m+2750，
∵400≤m＜600，
∴3150≤W＜3350，
∴W至少为3150元．
2.（1）解：
（2）解：由题意得：，
∴，
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，(元)．
（3）解：∵，
∴，
由题意得：
．
∵，
∴当时，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，符合题意．
当时，， 不合题意．
当时，， y随x的增大而减小．
∴当时，， ∴，不合题意，舍去．
综上，．
3.（1）解：设所在直线的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴所在直线的函数解析式为；
（2）解：由，可知，当时，小狗距离乙，
设小狗速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴小狗速度为，
由，可知，当时，甲距离乙0，
设甲的速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴甲的速度为，
设，
由题意知，当时，甲和小狗出发后第一次相遇，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，，，
同理（1），直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
∴小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，离乙的路程与离甲的路程相等时，分两种情况：
①，即，解得；
②，即，解得．
综上所述，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为或时，它离乙的路程与离甲的路程相等．
4.（1）解：设每个A型货架的原价为元，则每个型货架的原价为元．
根据题意得:，解得．
则．
答：每个型货架的原价为150元，每个型货架的原价为200元．
（2）解：设购买A型货架个，则购买型货架个．
由题意，得，解得．
设线下购买所需费用为元，则．
∵，
∴随的增大而减小，
又∵，且为整数．
∴当时，取最小值，最小值为．
设线上购买所需费用为元，则．
同理，当时，取最小值，最小值为．
此时．
∵．
∴花费最少的购买方案为线上购买6个型货架，14个型货架．
【题型13 一次函数与几何综合】
1.（1）解：∵，，，
∴，，解得：，，
∴，，
∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，，
∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位，
将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：，
故答案为：，，，
（2）解：设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
设点横坐标为，
分别过点、作轴的垂线，分别交轴于点、，，，，
，，
∵，
当在线段上时，如图：
，即：，解得：，
当时，，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
当在线段延长线上时，如图：
，即：，解得：，
代入，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
故答案为：；或，
（3）解：过点作轴的垂线，交轴于点，
，，
在轴上取点，设点，当时，
，，即：，
过点作直线， 当点在直线上时，，，即：，
当点在线段上时，，，
∵，即：，解得：，
当点在线段延长线上时，，，
∵，即：，解得：，
∴或，
∵，与轴交于点，
∴直线解析式为：或，
将点代入，得：或，整理得：或，
故答案为： 或．
2.（1）解：当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵，，，
∴过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点坐标为，
∴，
根据（1）中结论，四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在
∵点在轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴轴且，
根据（1），点，
∴，解得：，
∴点，
∴，
①点在点的左边时，，
∴点的坐标为，
②点在点的右边时，，
∴点的坐标为，
③作关于的对称点，则也符合，点的坐标为，
综上所述：或或．
3.（1）解在中，当时，；
当时，；
，；
点在直线上，
，
又点也在直线上，
，
解得：；
（2）解：在中，当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过作于，如图1所示：
则，
∴，
②存在，理由如下：
过作于，如图1所示：
则，，
，
；
、当时，，
，
；
、当时，如图2所示：
则，
，，
，或；
、当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
与重合，，
，
；
综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8．
4.（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
点的坐标为，的值是2；
（2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
由（1）知，
直线解析式为，
在中，令得，
，，
，
∴，，，
∴，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为；
②当的对应点在轴正半轴时，如图：
，
，
与重合，即，
此时的解析式为；
综上所述，所在直线解析式为或；
（3）解：在直线上存在点，使得，理由如下：
当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∴，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
由，可得直线解析式为，
解得，
；
当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
由，可得解析式为，
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
【题型14 新定义问题】
1.解：（1）①错误，例如根式，，，
∴原命题错误；
②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确；
③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则，
，故原命题错误；
故答案为：②；
（2）=，则共轭根式为：；
=，则共轭根式为：；
，∵，则共轭根式为：；
=，=1，则共轭根式为：；
故答案为：；；；；
（3）的一个共轭根式为：，
验证：
=
=
=4.
故验证正确.
2.（1）解：如图所示，
∴四边形即为所求
（2）证明：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴
∴
即
在中，
∴
∴；
∴四边形是等对四边形；
（3）解：如图3，分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点．
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，，
∵，
∴
∴
∴
延长交于点，如图所示，
则
∴
∴，，
∴
在中，．
3.（1）解：点是关于的正比例函数的点，
，
，
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
故答案为：；；
（2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
．
综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或；
（3）由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
设为关于的一次函数的图象的“阶和点”，
，
当在第一象限时，，
，
，
，
，，
，符合题意，
当在第一象限时，；
当在第三象限时，，
，
，
，
，
，
；
当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
，
，
．
当在第四象限时，．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
以上三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足不满足时，；
当满足不满足时，；
当满足不满足时，的值不存在，
综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或．
4.（1）解：如图2，
是等边三角形，
关于的互补三角形是；
故答案为：；
（2）与是关于互补三角形，
在长方形中，，
∴，
，
，
设，则，
，解得：，
；
（3）如图，当时，设，连接，
，
在中，
，，
，
，
解得：
；
如图，当时，设，
同法可得，
在中，则有
，
解得：
；
综上所述，满足条件的的值为或．
【题型15 阅读理解问题】
1.（1）解： ，
即
两个方程相加可得：
解得： 经检验符合题意．
（2）
∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示：
即 ，
所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小，
最小值为：
设直线EF为
解得：
EF为：
2.（1）证明：延长到E，使得，连接、，如图2所示：
是斜边上的中线，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
，
，
；
（2）解：由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A；
（3）解：过点A在上方作，过点D作于H，过点B在上方作，过点E作于R，连接、、，延长交于Q，如图3所示：
则四边形、四边形、四边形都为矩形，
∴四边形、四边形均为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∵点F，G分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形，
∴点F，G分别是和的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
3.（1）解：
；
（2），，
，，，
，
，
，
；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
4.（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和，
故答案为或；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和，
故答案为：．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，
∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，，
∴ ，
∴代数式的最小值为10．
【题型16 规律探究问题】
1.解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
2.（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为
故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方
故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：
（4）
归纳类推得：
当时，
则
．
3.解：【跟进练习】
，
当时，；当时，
故答案为：；
【结论理解】直线与直线互相垂直
故答案为：；
【灵活运用】 ，
直线的解析式为：
设直线的解析式为：
将代入得，
由得
；
【延伸拓展】直线经过点
得
与轴的交点
，，为顶点的三角形是直角三角形
如图，
当，点C在y轴上时，点坐标是，
当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C，
点C在y轴上时，点坐标是，
点C在x轴上时，点坐标是，
当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C，
点C在x轴上时，点坐标是，
综上所述：点坐标可以是以下各点：
，，，．
4.（1）∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵，，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
（2）由（）得：四边形是正方形，
∵四边形是正方形，
∴设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）不变，理由：
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过作于点，过作交于点
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
易得：，
∴，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）四边形是正方形，理由：
由（）得：，
∴，
∵点，，分别是，，的中点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形．
【题型1 利用二次根式比较大小】
1.像(+2)(﹣2)＝1、 ＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与， +1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
2.阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
3.已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算： ；
(3)比较与的大小，并说明理由．
4.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
【题型2 复合二次根式的化简】
1.先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
2.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空： + ；
(2)的算术平方根为 ；
(3)化简： ．(n为正整数)
3.先阅读下列解答过程，然后再解答
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使得a+b＝m，ab＝n，（）2+（）2＝m；＝，便有＝＝＝（a＞b＞0）例如：
＝＝＝，仿照上述方法化简下列各式
（1）；
（2）．
4.先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【题型3 勾股定理的证明】
1.（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：
② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．
2.把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
3.综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
4.【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．
(1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
=[（__________）2（__________）2]-[（__________）2-（__________）2]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
(3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
【题型4 利用勾股定理格点作图】
1.在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；
、 、 、 、 、 、 、；
（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是 ．
A． 勾股定理 B． 勾股定理逆定理
（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．
2.如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
3.问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是 ．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
4.综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】
1.如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接．
(1)求的面积和线段的长；
(2)如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离．
2.阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
3.如图，△ABC和都是等边三角形，求:（1）AE长；（2）∠BDC的度数：（3）AC的长．
4.如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【题型6 尺规作图与四边形的综合】
1.如图，在平行四边形中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴_____________．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴____________，
∴．
∴____________，
∴四边形是菱形．
2.实践与操作：如图，已知，在中，．
(1)①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段的垂直平分线，垂足为；
②连接，并延长到点，使得，连接、；
③分别在、的延长线上取点、，使，连接、、、．
推理与运用：
(2)①求证：四边形是平行四边形：
②若，，当四边形是矩形时求它的面积．
3.请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形.
善思小组分享的方法是：如图2，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
4.如图，E、F两点分别在平行四边形ABCD的边CD、AD上，AE＝CF，AE、CF相交于点O．
（1）用尺规作出∠AOC的角平分线OM（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：OM一定经过B点．
【题型7 四边形中的折叠问题】
1.【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点．
【问题解决】
（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）：
【拓展变式】
（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；
（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积．
2.如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
(2)【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
3.综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
4.（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．
（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；
（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型8 四边形中的旋转问题】
1.如图1所示，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边，上，连接、．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)图2取的中点M，的中点为N，连接，，请判断线段与的关系，并证明；
(3)将图2中的直角三角板，绕点C旋转，如图3所示，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
2.综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得．
【操作发现】
（1）将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，与相交于点H，如图4所示，连接，直接写出线段的长度．
3.【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
4.已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)M是延长线上一点，联结，且．
①若，求证：；
②如图2，若，，联结、，求证：．
【题型9 四边形中的定值问题】
1.问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
2.如图①，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求的值；
(3)当点P在边上运动时，如图②，求证：为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线的对称点F，连接、，当四边形和矩形的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
4.如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【题型10 四边形中的最值问题】
1.如图1：正方形的边长为3，E是直线上一动点，连接，在的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，．
(1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，连接，则的最小值为______．
2.问题提出
（1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
3.在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个 三角形；
②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．
4.如图，在菱形中，，为正三角形，在菱形的边上．
(1)证明：．
(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形)，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
(3)在(2)的情况下，请探究的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
【题型11 动点函数图像】
1.李大爷在如图 1 所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心 O 出发，沿O→A→B→O 匀速运动，最后回到点 O，其中路径 AB 是一段长 180 米的圆弧．李大爷离出发点 O 的直线距离 S（米）与运动时间 t（分）之间的关系如图 2 所示．
（1）在 时间段内，李大爷离出发点 O 的距离在增大；在 4~10 分这个时间段内，李大爷在 路段上运动（填 OA，AB 或 OB）；李大爷从点 O 出发到回到点 O 一共用了 分钟；
（2）扇形栈道的半径是 米，李大爷的速度为 米/分；
（3）在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第 分到达报刊亭，他在报刊亭停留了 分钟．
2.如图，在正方形中，，点在正方形边上沿运动（含端点），连接，以为边，在线段右侧作正方形，连接、.
小颖根据学习函数的经验，在点运动过程中，对线段、、的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点在、边上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
在、和的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象：
（3）结合函数图像，解决问题：
当为等腰三角形时，的长约为
3.如图1，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为6cm/s，点Q的速度变为bcm/s．图2是点P出发x秒后，△APD的面积（）与x（s）的函数关系图像；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积（）与x（s）的函数关系图像．
(1)动点P在线段___上运动时，的面积保持不变；动点Q到达点A时，x的值为___；
(2)求a，b的值；
(3)设点P离开点A所走的路程为（cm），点Q离开点D所走的路程为（cm），当时，分别求出，与x的函数关系式；
(4)当两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围．
4.如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象．
(1)正方形的边长是__________；
(2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式；
(3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
【题型12 一次函数的应用】
1.五一期间，某电器商城推出了两种促销方式,且每次购买电器时只能使用其中一种方式：第一种是打折优惠，凡是在该商城购买家用电器的客户均可享受八折优惠；第二种方式是：赠送优惠券，凡在商城三天内购买家用电器的金额满400元且少于600元的，赠优惠券100元（优惠券在购买该物品时就可使用）；不少于600元的，所赠优惠券是购买电器金额的，另再送50元现金.
(1)以上两种促销方式中第二种方式，可用如下形式表达：设购买电器的金额为x（x≥400）元，优惠券金额为y元，则：①当x＝500时，y＝ ；②当x≥600时，y＝ ；
(2)如果小张想一次性购买原价为x（400≤x＜600）元的电器，可以使用优惠券，在上面的两种促销方式中，试通过计算帮他确定一种比较合算的方式？
(3)如果小张在促销期间内在此商城先后两次购买电器时都得到了优惠券（两次购买均未使用优惠券），第一次购买金额在600元以内，第二次购买金额超过600元，所得优惠券金额累计达800元，设他购买电器的金额为W元，W至少应为多少？（W＝支付金额－所送现金金额）
2.某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值．
3.甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线，分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程与甲行进时间x()之间的部分函数图象．
(1)求所在直线的函数解析式；
(2)小狗的速度为______；求点E的坐标；
(3) 小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？
4.为推进生态美、产业强，促进乡村全面振兴，河南西峡以香菇、猕猴桃、山茱萸为代表，形成了“菌果药”三大特色产业．某香菇种植大棚计划购买20个A，两种型号的货架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表．
型号 线下 线上
售价 运费 售价 运费（不超过20个）
九折 0 八折 110元
九折 八五折
若按原价购买，则购买10个A型货架和10个型货架共需3500元．已知每个A型货架的原价比每个型货架便宜50元
(1)求每个A，型号的货架的原价．
(2)若该香菇种植大棚选择线上或线下任意一种方式购买，且购买型货架的数量不少于A型货架数量的2倍，请求出花费最少的购买方案，并说明理由．
【题型13 一次函数与几何综合】
1.在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
(1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，则t的值为______，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标；
(3)如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程．
2.如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过A点，且与y轴交于D点．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)试说明：；
(3)若点M是直线上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．
(1)求m和b的值；
(2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
4.已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
(1)求点E的坐标和k的值；
(2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式；
(3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
【题型14 新定义问题】
1.定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式；
③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式．
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
________；________；________；________．
（3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性．
2.我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．
(1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
(2)推理：如图2，已知 中，以和为边在 的外侧分别作等边三角形 和 ，连接． 求证：四边形是等对四边形；
(3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长．
3.定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
(1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
(2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
(3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．
4.问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【题型15 阅读理解问题】
1.阅读下列两则材料，回答问题
材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值．
∵，∴
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC，
则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：，
∴可将的值看作点到点的距离．
(1)利用材料一，解关于x的方程：，其中；
(2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围．
2.阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(1)请你按材料中的分析写出证明过程；
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A．转化思想
B．类比思想
C．数形结合思想
D．从一般到特殊思想
(3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，，，则 ．
3.阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为
4.阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式+的最小值．
【题型16 规律探究问题】
1.（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
2.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，， ，计算出的值．
3.在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．
同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质：
对于一次函数（，为常数，且），
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________．
爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的．
这是一种巧合还是存在着某种联系？
沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论：
“若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论．
【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________．
【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．
【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标．
4.【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形 AB1C1D1是正方形；
（2）= ；
【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点；
（4）四边形是否是正方形 说明理由.
参考答案
【题型1 利用二次根式比较大小】
1.解：(1) 原式==；
（2）原式==；
（3）根据题意，，，
∵，
∴，
即．
2.（1）
（2）
，
，
，
故答案为：；
（3）
；
（4）
，
，
，
故．
3.（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）
．
故答案为：；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
又∵，
∴，
∴．
4.（1）解：∵c2=32，d2=28，
则c2>d2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m
∴m2=()2=26+4， n2＝()2=26+4，
∵<，
∴m2
∴
=2
=2+2
∵≥0
∴p≥1，
分情况讨论：
①若≤0，即1≤p≤2时，
原式=2+2，
=4；
②若>0，即p>2时，
原式=2+2，
=4
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4；
故答案为：4或4．
【题型2 复合二次根式的化简】
1.解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
2.（1）解：∵，
故答案为：21；4；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵
，
∴，
∴
，
∴原式化简结果为．
3.（1）原式＝＝＝﹣1；
（2）原式＝＝＝+.
4.解：（1）；
；
（2）；
（3） ==．
【题型3 勾股定理的证明】
1.解：（1）依题意得图1中阴影部分的面积为：
或，
，
故答案为：；
（2）依题意得图2中梯形的面积为：
或，
，
整理得：；
（3）①由（1）得
，
在直角中，，由（2）得，
，
；
②由（2）得，
，
因为直角中周长为n，
，
，
，
整理得：，
，
长方形的面积为：
，
当，
解得，
即当时，长方形的面积为定值．
2.
3.（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
4.（1）
故答案为：；
（2）在中，
由勾股定理的推论，可知：．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）如图2，设，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
∴，
∴．
【题型4 利用勾股定理格点作图】
1.（1）在所给的这列数中：
∵，，
∴，不是无理数；
∵2、5、8、10、15、20都是开平方开不尽的数
∴、 、 、 、 、 都是无理数，
取其中三个一组列举如下：
①、、；
②、、；
③、、；
④、、；
⑤、、；
……，共计20组；
对于第①组
∵
∴第①组各数不能构成直角三角形，用同样方法发现第②、③、④组的各数都不能构成直角三角形；
对于第⑤组
∵
∴第⑤组各数能构成直角三角形；
……
重复上述过程于全部的20组，可得只有如下这样的三组数能构成直角三角形：
、 、或、、或、、；
（2）解决（1）时，是计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方，若是则三角形为直角三角形，否则不是直角形．
故选：B(勾股定理逆定理)；
（3）∵15不能写成两个自然数的平方和的形式，
∴以网格的格点为端点的线段其长不可能为
∴、 、或、、不能作为直角三角形的三边画在网格中，使其顶点都在格点上；
∵ 、、
∴以网格的格点为端点的线段其长可以为、、，
∴、、为边的直角三角形可以画在网格中，使其顶点都在格点上，如下图所示：
2.（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝ ；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
（3）设点C到AB的距离是h．
由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
3.解：（1）如图1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，
S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，
故答案为，，，．
（2）△PMN如图所示．
S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
4.（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】
1.（1）∵，，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴；
过点A作于点M，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）根据题意，得，，，
设，则，
∴，
解得，
故，
过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故点到的距离为．
2.解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
3.解：（1）∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE＝DE＝2，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝；
（2）在△ADE中，∵，
∴DE2+AE2＝＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝150°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC＝150°；
（3）过C作CP⊥DE于点P，设AC与DE交于G，如图，
∵△CDE是等边三角形，
∴PE＝DE＝1，CP＝，
∴AE＝CP，
在△AEG与△CPG中，
∵∠AEG＝∠CPG＝90°，∠AGE＝∠CGP，AE＝CP，
∴△AEG≌△CPG，
∴AG＝CG，PG＝EG＝，
∴AG＝，
∴AC＝2AG＝．
4.（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【题型6 尺规作图与四边形的综合】
1.（1）解：图形如图所示：
（2）证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴____．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴______，
∴．
∴_____，
∴四边形是菱形．
故答案为：；；；．
2.（1）①②③图形如图所示：
．
（2）①证明：，，
，
，
四边形是平行四边形；
②解：，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
矩形的面积．
3.（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴点是的中点，
同理:是的中点，
连接，
则是三角形的中位线，是三角形的中位线，
∴，
，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图3四边形为所求作的菱形，如图4四边形为所求作的菱形.
4.解：（1）如图，OM即为所求；
（2）如图，连接BE、BF，
∵△ABE以AB为底，高是平行四边形AB边的高，
∴S△ABE＝S平行四边形ABCD，
同理S△BCF＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABE＝S△BCF，
作BG⊥OC于点G，BH⊥OA于点H，
∴S△ABE＝AE BH，
S△BCF＝CF BG，
∵S△ABE＝S△BCF，AE＝CF，
∴BH＝BG，
∵BG⊥OC，BH⊥OA，
∴点B在∠AOC的平分线上，
即OM一定经过B点．
【题型7 四边形中的折叠问题】
1.解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）选择①：
垂直平分线段，
，，，
由折叠的性质可知，
，
，
，
由折叠性质可知，
，
，
在中，，
，
；
选择②：，
四边形是矩形，垂直平分线段，
，
，
由折叠的性质可知，
，
为等边三角形；
（3）连接，
由折叠的性质得，
，
为等边三角形，
，
，
为的中点，
，
延长至点，使得，连接，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
．
2.（1）解：，
，
，
如图，取的中点O，连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：30；
（2）①四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
，
，
，，
同法（1）可得：，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
，
，
故答案为：15，；
②，理由如下：
，，
，
；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
；
当点Q在点F的上方时，如图，
，，
，
由（2）可知，，
设
即，
解得：，
，
综上所述，或
3.解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．
4.解：（1）GF＝GC．
理由如下：如图1，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，
在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝．
∴GC＝，DG＝4﹣＝；
（3）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图2，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵矩形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，
∴∠ECD＝∠EFG，
∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴FG＝CG；
即（1）中的结论仍然成立．
【题型8 四边形中的旋转问题】
1.（1）解：∵四边形是正方形，
，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，，理由如下，
证明：∵在中， M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
（3）解：结论仍然成立．
理由：如图，连接，设交于O，交于G，
∵四边形是正方形，
，
∴，，
又∵，即，
∴，
∴，，
∵在中，M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
2.解：（1）四边形是菱形，证明如下：
由图1可知，是矩形的对角线，，，
，
在图2中，由旋转知，，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
（2）是正方形，证明如下：
图1中，四边形是矩形，
，
，，
，
在图3中，由旋转知，，
，
，
∵点在同一条直线上，
，
由旋转知，，
∵点F是的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是菱形，
又，
∴菱形是正方形；
（3）在中，，，
，，
由（2）结合平移知，，
在中，，
，
．
3.解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）（1）中的结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
．
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
综上所述，满足条件的的值为4或2．
故答案为：4或2．
4.（1）如图1，
，
；
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①如图1，
，，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
②如图2，延长至N，使，联结、，
在与中，
，
，
，；
，
是线段的线段垂直平分线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
；
四边形是平行四边形，
，
，
；
在与中，
，
，
，，
；
延长交于E，则，
，
，
四边形内角和为，，
，
在中，，
【题型9 四边形中的定值问题】
1.解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，，
，，
四边形的面积，
，
，
∴
四边形的面积
，
四边形的面积，
则当有最小值时，四边形的面积有最大值，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积，
故答案为；
（2）存在，
设，
，
，
，
的周长，
当时，的周长的最小值为；
（3）与的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的周长之和不是定值，
当时，与的周长之和的最小值为15．
2.（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
即：；
故答案为：．
（2）解：当点和点重合时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作于点，则有，，
又∵矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
即为定值，且这个值为1；
（4）解：①如图所示，当点在上时，
∵，，
在中，，
则 ，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
当 时，点在矩形内部，
∴符合题意；
②当点在上时，当，A重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
∴，
解得：，
当且时，点在矩形外部，不符合题意；
③当点在上，当，重合时，此时点与点重合，则是正方形，此时；
当时，点在矩形外部，不符合题意；
综上所述，或或．
3.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，
∴OB＝．
∴BD＝2BO＝2．
∴ABDE的周长为：2AB+2BD＝4+4，
ABDE的面积为：BD AO＝2×1＝2．
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，
∵C和A关于直线BD对称，
∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
当P在点B处时，AP+PE的值最大，如图2，
过E作EG⊥BD，交BD的延长线于G，
∵∠BDE＝150°，
∴∠EDG＝30°，
∵DE＝2，
∴EG＝1，DG＝，
Rt△PEG中，BG＝2+＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴AP+PE的最大值是：2+2，
∵P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），
∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；
（写对一边的范围给一分）
②S1+S2的值为定值，这个定值为；
理由是：S1+S2＝．
4.解：（1），
∴AC的长为2；
（2）如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
（3）的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
是定值．
【题型10 四边形中的最值问题】
1.（1），理由如下:
∵四边形是正方形，
∴ ，，
在等腰直角三角形中， ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①如图， 点在线段上，
∵，正方形的边长为，
∴，
∴，
在正方形中，，
，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴
；
②如图，点在延长线上，
∵，
∴ ，
在正方形中，，
，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴
；
综上，的长为或
（3）如图，过点作交的延长线于点，在直线上截取，
由（1）知，
∴，
在正方形中,
，
∴，
∴,
∴，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴,
当、三点不共线时，，当、三点共线时，，
∴当、三点共线时， 的值最小为，
在中，，，，
，
∴的最小值为，
故答案为：
2.解：（1）当在线段上时，最短，
此时．
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．
∵四边形是平行四边形，，，，
∴，∴，．
∵是的中点，∴，
∴，．
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点在线段上时，取最小值，即的最小值为．
（3）如图，过点作于点，过点作于点．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当在线段上时，取最小值．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形面积的最小值为．
3.解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AE；
故答案为：BE＝AE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB＝AE＝，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝，BC＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝×2＝6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
由折叠的性质得：CE＝CB＝2，
即EF＝2；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S△EKF＝KF AH≤HF AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF BH≤HF BH＝S矩形BCFH，
∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤S矩形ABCD＝3，
即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，
此时，DF＝CD＝，点E与点A重合，BEF的面积为3，
∴EF＝＝；
综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为2或．
4.（1）证明：连接,则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴在和中，
，
∴
∴．
（2）解：由（1）得，
则．
故，是定值．
作于点，
则，
；
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形的边与垂直时，边最短．
故的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，
又，则的面积就会最大．
由（2）得，，
．
【题型11 动点函数图像】
1.解：（1）由图可知：
在0~4分钟内，李大爷离出发点 O 的距离在增大；
在 4~10 分这个时间段内，李大爷离出发点 O 的距离不变，即李大爷在AB路段上运动；
李大爷从点 O 出发到回到点 O 一共用了17分钟，
故答案为：0~4分钟；AB；17；
（2）∵在0~4分钟内，李大爷在OA段上运动，
则120÷4=30米/分，
∴扇形栈道的半径是120米，李大爷的速度为30米/分，
故答案为：120；30；
（3）由图像可知：李大爷在BO段买的报纸，
∵在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，如图，点C为报刊亭，
则OC=75，BC=120-75=45，
45÷30=1.5分，即李大爷从点B到C用时1.5分，
10+1.5=11.5分，所以李大爷是在第11.5分到达报刊亭，
而OC=75，75÷30=2.5分，
则李大爷买完报纸后又用时2.5分回到圆心O，
17-11.5-2.5=3分，
∴李大爷在报刊亭停留了3分钟，
故答案为：11.5；3.
2.解：（1）根据表格可知，从0开始，而且不断增大，则DG是自变量；
和随着DG的变化而变化，则AE和DF都是DG的函数；
故答案为：，，.
（2）函数图像，如图所示：
（3）∵为等腰三角形，则可分为：
AE=DF或DF=DG或AE=DG，三种情况；
根据表格和函数图像可知，
①当AE=DG=时，为等腰三角形；
②当AE=时，DF=DG=5.00，为等腰三角形；
③当AE=DF=时，为等腰三角形；
故答案为：或或.
3.（1）解：在长方形ABCD中，CD=AB=12cm，AD=BC=10cm
当P在BC上时，△APD的面积=是定值
由图3可知，Q从D到A共计用时28秒
故答案为：BC；28；
（2）解：由图2可知，P到B所用时间为秒
∴a+6（7-a）=12
解得a=6
∵2×6=12=CD
∴此时Q恰好到达C
∴Q从C到A所用时间为28-6=22秒
∴22b=10+12
解得b=1
综上可知：a=6，b=1；
（3）解：当x>6时，
y1=1×6+6（x-6）=6x-30
y2=2×6+（x-6）=x+6
（4）解：当x>6时，y1=6x-30，y2=x+6
当两个动点所走过的路程比为时，得
（6x-30）：（x+6）=1∶2或（x+6）：（6x-30）=1∶2
解得x=6(舍去)或x=10.5
当0
∴0
4.（1）解：由图象知，8秒时，相遇，
此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇，
设正方形的边长为，则
由图2知，，解得：，
故答案为4；
（2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则，
图3：，解得：
∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动
∴
同理，
当点在段时，
当点Q在段时，
则
，
当点在段时，
；
综上，
（3）解：由题意得：，
相遇前：
当Q在上，点P在上时，此时
当，则（舍去）；
当Q在上，点P在上时，此时
当，则
相遇后：当点在段时，如图，
设的面积为，梯形的面积为，
则正方形的面积为，
，
当点在段时，
；
当时，
令，，；
当时，
令，，（舍去）；
综上：或
【题型12 一次函数的应用】
1.（1）解：根据题意即可得出y=100和y=x；
故答案为：①100，②x+50
（2）设=0.8x，=x-100，
∵由0.8x=x-100得x=500，此时=；
当400≤x＜500时＞；
当500＜x＜600时＜；
∴当x=500时，两种方式一样合算；
当400≤x＜500时，选第二种方式合算；
当500＜x＜600时，选第一种方式合算；
（3）设第一次购买花了m元，第二次花了n元，
当400≤m＜600，n≥600时，100+n=800，得n=2800，
W=m+n-50=m+2750，
∵400≤m＜600，
∴3150≤W＜3350，
∴W至少为3150元．
2.（1）解：
（2）解：由题意得：，
∴，
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，(元)．
（3）解：∵，
∴，
由题意得：
．
∵，
∴当时，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，符合题意．
当时，， 不合题意．
当时，， y随x的增大而减小．
∴当时，， ∴，不合题意，舍去．
综上，．
3.（1）解：设所在直线的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴所在直线的函数解析式为；
（2）解：由，可知，当时，小狗距离乙，
设小狗速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴小狗速度为，
由，可知，当时，甲距离乙0，
设甲的速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴甲的速度为，
设，
由题意知，当时，甲和小狗出发后第一次相遇，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，，，
同理（1），直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
∴小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，离乙的路程与离甲的路程相等时，分两种情况：
①，即，解得；
②，即，解得．
综上所述，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为或时，它离乙的路程与离甲的路程相等．
4.（1）解：设每个A型货架的原价为元，则每个型货架的原价为元．
根据题意得:，解得．
则．
答：每个型货架的原价为150元，每个型货架的原价为200元．
（2）解：设购买A型货架个，则购买型货架个．
由题意，得，解得．
设线下购买所需费用为元，则．
∵，
∴随的增大而减小，
又∵，且为整数．
∴当时，取最小值，最小值为．
设线上购买所需费用为元，则．
同理，当时，取最小值，最小值为．
此时．
∵．
∴花费最少的购买方案为线上购买6个型货架，14个型货架．
【题型13 一次函数与几何综合】
1.（1）解：∵，，，
∴，，解得：，，
∴，，
∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，，
∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位，
将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：，
故答案为：，，，
（2）解：设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
设点横坐标为，
分别过点、作轴的垂线，分别交轴于点、，，，，
，，
∵，
当在线段上时，如图：
，即：，解得：，
当时，，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
当在线段延长线上时，如图：
，即：，解得：，
代入，得：，解得：，
∴，点横坐标为：，
∴，
故答案为：；或，
（3）解：过点作轴的垂线，交轴于点，
，，
在轴上取点，设点，当时，
，，即：，
过点作直线， 当点在直线上时，，，即：，
当点在线段上时，，，
∵，即：，解得：，
当点在线段延长线上时，，，
∵，即：，解得：，
∴或，
∵，与轴交于点，
∴直线解析式为：或，
将点代入，得：或，整理得：或，
故答案为： 或．
2.（1）解：当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵，，，
∴过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点坐标为，
∴，
根据（1）中结论，四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在
∵点在轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴轴且，
根据（1），点，
∴，解得：，
∴点，
∴，
①点在点的左边时，，
∴点的坐标为，
②点在点的右边时，，
∴点的坐标为，
③作关于的对称点，则也符合，点的坐标为，
综上所述：或或．
3.（1）解在中，当时，；
当时，；
，；
点在直线上，
，
又点也在直线上，
，
解得：；
（2）解：在中，当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过作于，如图1所示：
则，
∴，
②存在，理由如下：
过作于，如图1所示：
则，，
，
；
、当时，，
，
；
、当时，如图2所示：
则，
，，
，或；
、当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
与重合，，
，
；
综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8．
4.（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
点的坐标为，的值是2；
（2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
由（1）知，
直线解析式为，
在中，令得，
，，
，
∴，，，
∴，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为；
②当的对应点在轴正半轴时，如图：
，
，
与重合，即，
此时的解析式为；
综上所述，所在直线解析式为或；
（3）解：在直线上存在点，使得，理由如下：
当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∴，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
由，可得直线解析式为，
解得，
；
当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
由，可得解析式为，
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
【题型14 新定义问题】
1.解：（1）①错误，例如根式，，，
∴原命题错误；
②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确；
③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则，
，故原命题错误；
故答案为：②；
（2）=，则共轭根式为：；
=，则共轭根式为：；
，∵，则共轭根式为：；
=，=1，则共轭根式为：；
故答案为：；；；；
（3）的一个共轭根式为：，
验证：
=
=
=4.
故验证正确.
2.（1）解：如图所示，
∴四边形即为所求
（2）证明：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴
∴
即
在中，
∴
∴；
∴四边形是等对四边形；
（3）解：如图3，分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点．
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，，
∵，
∴
∴
∴
延长交于点，如图所示，
则
∴
∴，，
∴
在中，．
3.（1）解：点是关于的正比例函数的点，
，
，
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
故答案为：；；
（2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
．
综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或；
（3）由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
设为关于的一次函数的图象的“阶和点”，
，
当在第一象限时，，
，
，
，
，，
，符合题意，
当在第一象限时，；
当在第三象限时，，
，
，
，
，
，
；
当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
，
，
．
当在第四象限时，．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
以上三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足不满足时，；
当满足不满足时，；
当满足不满足时，的值不存在，
综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或．
4.（1）解：如图2，
是等边三角形，
关于的互补三角形是；
故答案为：；
（2）与是关于互补三角形，
在长方形中，，
∴，
，
，
设，则，
，解得：，
；
（3）如图，当时，设，连接，
，
在中，
，，
，
，
解得：
；
如图，当时，设，
同法可得，
在中，则有
，
解得：
；
综上所述，满足条件的的值为或．
【题型15 阅读理解问题】
1.（1）解： ，
即
两个方程相加可得：
解得： 经检验符合题意．
（2）
∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示：
即 ，
所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小，
最小值为：
设直线EF为
解得：
EF为：
2.（1）证明：延长到E，使得，连接、，如图2所示：
是斜边上的中线，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
，
，
；
（2）解：由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A；
（3）解：过点A在上方作，过点D作于H，过点B在上方作，过点E作于R，连接、、，延长交于Q，如图3所示：
则四边形、四边形、四边形都为矩形，
∴四边形、四边形均为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∵点F，G分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形，
∴点F，G分别是和的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
3.（1）解：
；
（2），，
，，，
，
，
，
；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
4.（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和，
故答案为或；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和，
故答案为：．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，
∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，，
∴ ，
∴代数式的最小值为10．
【题型16 规律探究问题】
1.解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
2.（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为
故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方
故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：
（4）
归纳类推得：
当时，
则
．
3.解：【跟进练习】
，
当时，；当时，
故答案为：；
【结论理解】直线与直线互相垂直
故答案为：；
【灵活运用】 ，
直线的解析式为：
设直线的解析式为：
将代入得，
由得
；
【延伸拓展】直线经过点
得
与轴的交点
，，为顶点的三角形是直角三角形
如图，
当，点C在y轴上时，点坐标是，
当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C，
点C在y轴上时，点坐标是，
点C在x轴上时，点坐标是，
当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C，
点C在x轴上时，点坐标是，
综上所述：点坐标可以是以下各点：
，，，．
4.（1）∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵，，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
（2）由（）得：四边形是正方形，
∵四边形是正方形，
∴设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）不变，理由：
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过作于点，过作交于点
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
易得：，
∴，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）四边形是正方形，理由：
由（）得：，
∴，
∵点，，分别是，，的中点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形．
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