华二东校2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷5
2025.5
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知集合,则 .
2.已知(其中为虚数单位),则 .
3.某圆锥底面半径为4,届为3,则此圆锥的侧面积为 .
4.已知知的终边过点,则 .
5.等差数列的前项和为,若,则 .
6.一个总体分为两层,其个体数之比为4:1,应分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体个数为 .
7.已知实数满足,则的最小值是 .
8.设,若,
则 .
9.设函数,若对任意的实数都成立,则的最小取值等于 .
10.已知平面向量与满足,且,若向量满足,则的取值范围为 .
11.如图,公路一侧有一块空地,其中.市政府拟在中间开挖一个人工湖,其中都在边上(不与重合,在之间),且.为节省投入资金,人工湖的面积尽可能小,设,则的最小面积为 .
12.已知定义在正整数集上的严格增函数,对于任意的正整数,都有也是正整数,且恒成立,则 .
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,13-14每题4分,15-16每题5分).
13.已知是空间中两条不同的直线,平面是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ).
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
14.下列说法不正确的是( ).
A.一组数据的第60百分位数为14
B.若随机变量服从正态分布,且,则
C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关程度越越
D.对具有线性相关关系的变量,且回归方程为,若样本点的中心为,则实数的值是-4
15.设等比数列的前项和为,设甲:,甲:是严格增数列,则甲是甲的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.定义:如果曲线段可以一笔画出,那么称曲线段为单轨道曲线,比如圆、椭圆都是单轨道曲线;如果曲线段由两条单轨道曲线构成,那么称曲线段为双轨道曲线.
对于曲线有如下命题:
存在常数,使得曲线为单轨道曲线;:存在常数,使得曲线为双轨道曲线.则下列判断正确的是( ).
A.和均为真命题 B.和均为假命题
C.为真命题,为假命题 D.为假命题,为真命题
三、解答题(本大题共5题,满分78分).
17.(本题满分14分,共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.)
设常数,函数.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)若函数在时有零点,求实数的取值范围.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直,是线段上一点.
(1)设为的中点,求证:;
(2)设,若直线和平面所成角的正弦值为,求的值.
19.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分5分.
某人下午5:00下班,他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间,如下表所示:
以频率估计概率,每天乘坐地铁还是公交相互独立,到家时间也相互独立.
(1)某天下班,他乘坐公交回家,试估计他不迟于5:49到家的概率;
(2)他连续三天乘坐地铁回家,记这三天中他早于5:50回家的天数为,求的分布及数学期望;
(3)某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交,结果他是5:48到家的,试求他是乘地铁回家的概率.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线的右顶点,离心率,且斜率为1的直线交于、两点.
(1)在双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若双曲线上一点若直线与两条渐近线相交,交点为,且分别在第一象限和第四象限,若,求面积的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于定义在区间上,且图像为连续曲线的函数,当时,时表示函数在集合上的最小值,表示函数在集合上的最大值.若使得对任意成立,则称函数在区间上有"-性质".
(1)若,直接写出的表达式;
(2)设,若函数在上有"3-性质",求m的取值范围;
(3)已知,且对任意,函数在区间上具有"-性质",在区间上具有"-性质".证明:对任意,都有.
华二东校2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷5
2025.5
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知集合,则 .
【答案】
【解析】.故答案为:.
2.已知(其中为虚数单位),则 .
【答案】-1
3.某圆锥底面半径为4,届为3,则此圆锥的侧面积为 .
【答案】
4.已知知的终边过点,则 .
【答案】
5.等差数列的前项和为,若,则 .
【答案】14
6.一个总体分为两层,其个体数之比为4:1,应分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体个数为 .
【答案】40
7.已知实数满足,则的最小值是 .
【答案】9
8.设,若,
则 .
【答案】31
【解析】令,则,
令,可得,令,可得,
所以.故答案为:31
9.设函数,若对任意的实数都成立,则的最小取值等于 .
【答案】2
10.已知平面向量与满足,且,若向量满足,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】易知的夹角为,则以为坐标原点,分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系,,设.
由于,即,
化简得,即对应的点在以为圆心,半径为的圆上,而表示圆上的点到原点的距离.
圆心到原点的距离为,故的取值范围是.
11.如图,公路一侧有一块空地,其中.市政府拟在中间开挖一个人工湖,其中都在边上(不与重合,在之间),且.为节省投入资金,人工湖的面积尽可能小,设,则的最小面积为 .
【答案】
【解析】
在中,,
在中,,
,
因为,所以时面积最小,最小值为.
12.已知定义在正整数集上的严格增函数,对于任意的正整数,都有也是正整数,且恒成立,则 .
【答案】54
【解析】由题意,,意,
若,则,不合题意,舍.
若,则,符合题意.
若,则,由单调性可知,,
故,与已知矛盾.所以,,同理:.
则有,
由单调性及,可知,,
则应有,
下证:当时,,显然成立.假设,
则,
由归纳法可知,对都成立,
当时,,
而,
当时,,,
综上:,
∵.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,13-14每题4分,15-16每题5分).
13.已知是空间中两条不同的直线,平面是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ).
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】若,则或,故错误;
若,则或,故错误;
若,则,又,∴存在直线且,则,得,故正确;
若,则或与相交,故错误.
14.下列说法不正确的是( ).
A.一组数据的第60百分位数为14
B.若随机变量服从正态分布,且,则
C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关程度越越
D.对具有线性相关关系的变量,且回归方程为,若样本点的中心为,则实数的值是-4
【答案】A
【解析】对A:因为,所以第60百分位数为,A错误;
对B:若随机变量服从正态分布,且,
则,则,B正确;
对C:若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越强,C正确;
对于D,样本点的中心为,所以,
因为满足线性回归方程,所以,所以,D正确.故选:A
15.设等比数列的前项和为,设甲:,甲:是严格增数列,则甲是甲的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】不妨设,则,满足,但是严格减数列,充分性不成成,
当时,是严格增数列,但,必要性不成成,
故甲是乙的既不充分也不必要条件.故选:D
16.定义:如果曲线段可以一笔画出,那么称曲线段为单轨道曲线,比如圆、椭圆都是单轨道曲线;如果曲线段由两条单轨道曲线构成,那么称曲线段为双轨道曲线.
对于曲线有如下命题:
存在常数,使得曲线为单轨道曲线;:存在常数,使得曲线为双轨道曲线.则下列判断正确的是( ).
A.和均为真命题 B.和均为假命题
C.为真命题,为假命题 D.为假命题,为真命题
【答案】A
【解析】记,
易得,
因此曲线关于轴,轴成轴对称,关于原点成中心对称,
从几何上讲,曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹,
由可得,因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象,这两个函数图象在轴上有公共点(方程的解相同),
由得,
时,或,
所以曲线与轴有公共点,曲线是在轴两侧的两个曲线构成,是双轨道曲线,
当时,,结合对称性知,曲线是一个封闭曲线,是单轨道曲线,(实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可)命题均正确,故选:A.
三、解答题(本大题共5题,满分78分).
17.(本题满分14分,共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.)
17.设常数,函数.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)若函数在时有零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)的值为-1. (2)
【解析】(1)【法1】函数的定义域为.
因为函数是奇函数,所以.
设,则得,即,即,代入,
得,解得.此时.
又因为,即,
所以是奇函数.因此所求实数的值为-1.
【法2】函数的定义域为.
因为函数是奇函数,所以.即,
即,即,即对任意都成数,所以,解得.因此所求实数的值为-1.
(2)设,即关于的方程在区间上有实数解.
设,因为,所以,
于是原问题等价于关于的方程在区间上有实数解.
当时,方程不成数,所以,于是方程可化为,
即函数与函数的图像有公共点.
因为函数为增函数,则得该函数的值域为,
所以,解得,即所求的实数的取值范围是.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直,是线段上一点.
(1)设为的中点,求证:;
(2)设,若直线和平面所成角的正弦值为,求的值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】(1)由题设知.
因为平面平面,平面平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为为等边三角形,是的中点,所以.
因为平面,所以平面.所以.
(2)取的中点的中点,连接,则.
由(1)知平面,所以平面,所以.
如图建立空间直角坐标系,则
所以,
设平面的法向量为,则即
令,则.于是.
因为直线和平面所成角的正弦值为,
所以,
整理得,解得或.因为,所以.
19.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分5分.
某人下午5:00下班,他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间,如下表所示:
以频率估计概率,每天乘坐地铁还是公交相互独立,到家时间也相互独立.
(1)某天下班,他乘坐公交回家,试估计他不迟于5:49到家的概率;
(2)他连续三天乘坐地铁回家,记这三天中他早于5:50回家的天数为,求的分布及数学期望;
(3)某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交,结果他是5:48到家的,试求他是乘地铁回家的概率.
【答案】(1) (2)分布列列解析,期望 (3)
【解析】(1)由表中数据可知,他乘坐公共汽车回家的20天内,
不迟于到家的天数有,
所以估计他乘坐公共汽车回家,不迟于5:49到家的概率为
(2)根据题意,他乘坐地铁回家,每天早于5:50回家的概率为
则随机变量可取值为,
可得;,则随机变量的分布如下:
所以.
(3)设事件:乘地铁回家,则:乘汽车回家,到家时间在5:45-5:49之间,则,
又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车,所以,
所以,
即他是乘地铁回家的概率为.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线的右顶点,离心率,且斜率为1的直线交于、两点.
(1)在双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若双曲线上一点若直线与两条渐近线相交,交点为,且分别在第一象限和第四象限,若,求面积的取值范围.
【答案】(1); (2)证明见解析; (3).
【解析】(1)∵,∴双曲线的方程为:;
(2)由已知可得,直线的方程为:,即,
联立,
设点设,则,
∵
,
∴为直角三角形;
(3)由题意可知,若直线有斜率则斜率不为0,故设直线方程为:,
设,∵,
∴,∵点在双曲线上,
∴,∴,
∴③,
又∵,
∴④,3分
联立⑤,⑥
∵分别在第一象限和第四象限,∴,
由④式得:,⑦,
将⑤⑥代入⑦得:,,
.6分
令,
由对勾函数性质可得在上单调递减,在上单调递增,
∴.8分
【解2】由题意可知,若直线有斜率则斜率不为0,故设直线方程为:,设,∵,
∴,∵点在双曲线上,
∴,∴
③,3分
又∵
④,
又,所以可以得到,即
所以.6分.
由对勾函数性质可得在上单调递减,在上单调递增,
∴.8分.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于定义在区间上,且图像为连续曲线的函数,当时,时表示函数在集合上的最小值,表示函数在集合上的最大值.若使得对任意成立,则称函数在区间上有"-性质".
(1)若,直接写出的表达式;
(2)设,若函数在上有"3-性质",求m的取值范围;
(3)已知,且对任意,函数在区间上具有"-性质",在区间上具有"-性质".证明:对任意,都有.
【答案】(1), (2) (3)见解析.
【解析】(2)因为,所以函数在上严格减,
在上严格增,从而当时,.
由题意,当时,,且当时,.
由此解得且,解因为,所以为所求.
(3)首先证明是上的增函数.因为在上具有-性质,所以.但是,
于是,即对任意,得证.
由单调性知,在区间上具有"-性质"等价于①对一切成立;
在区间上具有"-性质"等价于②对一切成立;
对任意,取,代入①,得.
由不等式的合比性质,得.
取,代入②,得.
由不等式的合比性质,得.
因此,.移项化简得.证毕.
【注:满满第3问条件的函数未必是凸函数.如使用求导或函数凹凸性证明本题,一律0分.】