人教新课标A版选修4-5数学3.1二维形式的柯西不等式同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.1二维形式的柯西不等式同步检测
一、选择题
1. 已知x，y＞0，且xy＝1 ，则的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
答案：A
解析：解答：
，
当且仅当时等号成立.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
2. 函数的最大值是( )
A.3 B. C. D.4
答案：C
解析：解答：
，
当且仅当，
即时等号成立.
∴y的最大值为
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
3. 已知，x，y＞0，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.5
答案：A
解析：解答：由，
可得
.
当且仅当，即，时等号成立.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
4. 已知x＋y＝1，那么的最小值是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：
.
当且仅当，即，时等号成立.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.
5. 若，则2x＋y的最大值为( )
A.8 B.4 C. D.5
答案：C
解析：解答：.
∴，
当且仅当时等号成立，
即.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
6. 若a＋b＝1，则 http://www. 未#来脑教学#云平台的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
答案：C
解析：解答：.
∵，
∴，
又，
以上两个不等式都是当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时等号成立，取到最小值.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是首项展开所给式子，如何结合条件根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
7. 已知，则2x＋y的最大值是( )
A. B.2 C. D.3
答案：C
解析：解答：
当且仅当，
即时等号成立，即取到最大值.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
二、填空题
8.设xy＞0，则的最小值为__________.
答案：9
解析：解答：原式
.
当且仅当时等号成立，
即所求最小值为9.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
9. 函数的最大值为__________.
答案：5
解析：解答：∵
，
当且仅当，
即时等号成立.
∴函数y的最大值为5.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
10. 设实数x，y满足，则2x＋y的最大值为__________.
答案：
解析：解答：由柯西不等式得
.
当且仅当，即，时等号成立.
因此的最大值为.
分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
三、解答题
11. 如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？
答案：解：设这3段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，且3个正方形的面积和
.
因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，
等号当且仅当时成立，所以x2＋y2＋z2有最小值，从而S有最小值.
把绳子三等分后，这3段所围成的3个正方形的面积和最小.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给问题求得面积的表达式，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算求得其最小值即可.
12. 已知，，求证：.
答案：证明：由柯西不等式，得
.
当且仅当时等号成立.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
13. 设a，b，C为正数，
求证：.
答案：证明：由柯西不等式：
，
即，
同理：，
，
将上面三个同向不等式相加得：
，
∴.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.
14. 在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.
答案：解：如图，
设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长.
由柯西不等式得.
当且仅当，即时等号成立.
此时，.
即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给实际问题得到周长的表达式，然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
15. 设a，b＞0，且a＋b＝2.
求证：.
答案：证明：根据柯西不等式，有
.
∴.
当且仅当，
即时等号成立.
∴原不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值，因而需出现结构.把视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是.
16. 设a，b，c，b是4个不全为零的实数，求证：.
答案：证明：ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)
∴.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件.
17. 设a1，a2，a3为正数，求证：
答案：证明：因为，由柯西不等式得
，
于是.
故，
同理，
将以上三个同向不等式相加，即得
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.
18. 若3x＋4y＝2，求x2+y2的最小值
答案：解：由柯西不等式
(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2得
25(x2＋y2)≥4，所以.
当且仅当时等号成立，
由
得
因此，当，时，x2＋y2取得最小值，
最小值为.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值.
19. 已知a＞b＞c，求证：
答案：证明：原不等式可变形为.
又，
利用柯西不等式证明即可.
证明：
，
当且仅当，
即时等号成立.
∴原不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键对所给条件解析变换结合如何构造不等式计算即可
20. 已知且关于的不等式的解集为.
①求的值；
②若，均为正实数，且满足，求的最小值.
答案：解答：①因为，不等式可化为，
∴，即，
∵其解集为，∴，.
②由①知，
(方法一：利用基本不等式)
∵，
∴，∴的最小值为.
(方法二：利用柯西不等式)
∵，
∴，∴的最小值为.
(方法三：消元法求二次函数的最值)
∵，∴，
∴，
∴的最小值为.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)先利用求出不等式的解集，再结合解集的端点值进行求解；(2)解法一：根据两正数为定和，两边平方，借助进行求解；解法二：构造柯西不等式的形式进行求解；解法三：消元，将其转化为关于的二次函数进行求解．
21. 求证：点到直线Ax＋By＋C＝0的距离为
答案：证明：设是直线上任意一点，则.因为，，由柯西不等式，得
所以.
当且仅当时，取等号，取得最小值.
因此，点到直线 =0的距离为.
解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用二维形式的柯西不等式，取“＝”的条件是ad＝bc.因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a，b，c，d”的数或代数式，否则一般出错.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 2 页 （共 13 页） 版权所有@21世纪教育网