定义命题公理与证明

定义与命题（第一课时）
【教学目标】
1、知识与技能：了解定义是对于一个概念的特征性质的描述，理解所学过的定义.
2、过程与方法：经历公理化方法的得出过程.
3、情感态度与价值观：在探究问题中，发展自主意识，体会数学及自身的价值，树立自信心.
【教学重点、难点】
重点：命题的概念．
难点：命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果…那么…”困难，是本节课的难点．
【教学过程】
一、创设情景，导入新课
1、
（1）阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导：
神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射，……神舟六号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务．按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道．
要读懂这段报导，你认为要知道哪些名称和术语的含义
（2）什么叫做平行线？（在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线）．
什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）．
二、合作交流，探求新知
1．定义概念的教学
从以上两个问题中引入定义这个概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．
象问题（1）中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定，即需要给出定义．
完成做一做
请说出下列名词的定义：
(1)无理数；(2)直角三角形；(3)一次函数；(4)频率；
2．命题概念的教学
判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等；
(4)，两条直线平行吗 (5)鸟是动物； (6)若，求的值；
(7)若，则．
答案：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．
在此基础上归纳出命题的概念：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．象句子(1)(3)(5)(7)都是命题；句子(2)(4)(6)都不是命题．
说明：讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．
3．命题的结构的教学
现阶段我们在数学上学习的命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．如“两直线平行，同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行，那么同位角相等”．
三、师生互动 运用新知
介绍如何找出一个命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．
例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；
(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；
(4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180°；
(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．
分析：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去．
（1）命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
（2）学生可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”．教学时可作这样引导：“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等，`然后提问学生，一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？这个命题的条件是什么？结论是什么？
值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）启发：对顶角指两个角的关系，相等指两个角相等．把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；
(6) 如果“一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．
例2 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题
(1)若a(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；
(6)1＋2≠3．
答案：（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
例3
（1） 请给下列图形命名，，并给出名称的定义：
① ②
答案：略
（2）观察下列这些数，找出它们的共同特征，给以名称，并作出定义：
－52，－2，0，2，8，14，20，…
答案：能被2整除的整数是偶数．
四、应用新知 体验成功
课内练习：
P.36页的练习是为定义这个概念配置的；P.39页的练习是为命题这个概念配置的，都可以通过同伴或同桌的合作交流完成．
五、总结回顾，反思内化
学生自由发言，这节课学了什么？教师做补充．
三个内容：
六、布置作业 巩固新知
课本P37第1题.
七、教学后记
定义与命题（第二课时）
【教学目标】
知识目标：理解真命题、假命题、公理和定义的概念
能力目标：会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。
情感目标：通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。
【教学重点、难点】
重点：判断一个命题的真假是本节的重点。
难点：公理、命题和定义的区别。
【教学过程】
（一）：合作学习：
１：复习命题的概念，思考下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1） 边长为a（a＞0）的等边三角形的面积为√3/4ａ２　．
（2） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
（3） 对于任何实数ｘ，ｘ２　＜０．　
提问：上述命题中，哪些正确？哪些不正确？
２：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
３：把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题
（二）：举例：判断下列命题是真命题还是假命题
（1） x=1是方程x2-2x-3=0 的解。
（2） x=2是方程 （x2 –4）/（x2 -3x+2）＝０的解。
（3） 如图，若∠1=∠2，则∠３=∠４。
（4） 一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。
（三）讲述公理和定义
１：公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。
例如：“两点之间线段最短”　，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”　，然后提问学生：你所学过的还有那些公理
２：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
３：举例
请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性：“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“
　
（四）：课内练习：
课本P40练习：第1题和第3题.
（五）：作业：
课本P40习题A 2.2第1题和第3题.　
（六）：教学后记
证明（第一课时）
【教学目标】
知识与技能：
1、 认识证明的必要性，初步了解证明的基本步骤和书写格式。
2、 培养学生的推理意识，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理。
3、 掌握证明是从已知条件出发，根据推理得出结论的过程。
过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，能进行简单的证明。
情感、态度与价值观：体验数学学习活动充满着探索与创造，感受证明的必要性，养成对教学的好奇心、求知欲和探索创造精神。
【教学重点、难点】
重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
【教学过程】
1、 新课引入
教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度。
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性
2、 新课教学
1、 合作学习：板书教科书P46：例题1
先分清条件和结论，并动手验证
2、 证明的引入 教材P46例题2：
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。
教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。
（2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求
补充讲解例3、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等是真命题。
分析：首先根据需要画出图形，再用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。然后推理证明，书写证明过程。
证明过程的具体表述 （略）
3、 课堂小结：
证明几何命题的表述格式
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程。
（3）练习：P47课内练习3
4、 课堂练习：
已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。
求证： AB∥CD （证明略）
5、 练习巩固
P47 课内练习第1、2题。
6、 小结
（1） 证明的含义
（2） 真命题证明的步骤和格式
（3） 思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
7、 作业布置
8、 教学后记
证明（第二课时）
【教学目标】
知识与能力：
１．进一步体会证明的含义；
　２．探索并理解三角形内角和定理的几何证明；
　３．进一步熟练证明的方法和表述；
　４．让学生体验从实验几何向推理几何的过渡．
过程与方法：利用三角形全等来证明角平分线的性质定理。
情感、态度与价值观：让学生进一步体验数学活动充满着探索与创造，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。
【教学重点、难点】
重点：探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述．
难点：例１是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，是本节的难点．
【教学过程】
1、 复习证明的一般格式和表述，导入新课．
通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己的语言进行表述．
（1）求证：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
设问：①如何写出已知、求证，并画出图形
②如何进行证明（可由学生口述）
（2）根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式：
①按题意画出图形；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③在“证明”中写出推理过程．
2、 合作交流，探究新知
（一）通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。
命题：求证：三角形任何两边之和大于第三边．
（1）让学生回顾七年级对此命题的说明过程
（2）教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题，
并板书论证过程．
（二）探究新知
问题：三角形内角和定理是什么？
出示命题：
求证：三角形三内角和等于180°．
分析：（1）这个命题的条件和结论是什么？并根据条件和结论画出图形，写出已知，求证．
（2）请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的．（可请成绩较好的同学回答）
（3）请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）
根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线）
（4）师生共同完成推理过程．
启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程：
可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E．
证明：∵PD∥AB（已知）
∴ ∠DPC=∠B
∠CDP=∠A (两直线平行，同位角相等)
又 ∵ PE∥AC
∴ ∠EPB=∠C (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° (等量代换)
设问：三角形内角和外角之间有什么关系？
（学生讨论，自己试着给出证明过程）
3、 运用新知，体验成功
如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断
（可让学生自行完成，并口述过程，老师作点评）
4、 拓展提高，综合运用
例１ 已知：如图，AD是∠BAC的角平分线，BC⊥AD于点O，
AC⊥DC于点C．
求证：（1）⊿ABC是等腰三角形；
（2）∠D=∠B．
（一）启发诱导，形成思路
（1）要证明⊿ABC是等腰三角形，只需证明什么？
（AB=AC或∠B=∠ACB）
（2）证明两边相等或两角相等常用的方法是什么？
（三角形全等）
图中能否找到以AB，AC为对应边的全等三角形？⊿ABO与⊿ACO全等吗？应该满足什么条件？
（3）要证明∠D=∠B，你能找到合适的全等三角形吗？
根据已知AC⊥DC，能得到∠D与三角形中哪个角互余？
根据已知BC⊥DA，能得到∠B与三角形中哪个角互余？
（二）指导学生完成证明过程；
（三）指明此题是由结论出发寻求解题思路，这是常用的一种数学方法――分析法．
五、疏理全过程，形成小结
（1）本节课你的最大收获是什么？
（可根据学生的回答大概归纳为：三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；
常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分析法．）
6、 布置作业
7、 教学反思
证明（第三课时）
【教学目标】
知识与能力：
1、能够用综合法证明相关的内何问题，体会严谨证明的必要性
2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。
过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力，体会在证明过程中的证明方法。
情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性、创造性，感受证明过程的严谨性及结论的确定性。
　【教学重点、难点】
重点：本节教学重点是如何分析证明的途径．
难点：难点是例6的证明，要用逆向思维的思考方法．
【教学过程】
教师活动 教学内容 学生活动
一、引例 显示引例 在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D。 和老师一起读题，并要求能根据题意准确画图。
二、回顾 图形中，有几个锐角 4个 回答问题
提问：通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系？ 两两分别相等 学生思考，然后个别提问
提出问题，提问学生时帮助总结证明方法。 问题：求证：∠ACD=∠A证明：∵∠ACB=Rt∠∴∠ACD+∠BCD=90°∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠BCD=∠A(其它证法亦可) 同学们思考，然后让一学生归纳方法。
板书：课题 §2.4证明（3）
三、新课讲解例5 1、指导学生，理解题意 已知：如图，AD是ΔABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：∠1=∠C 审题，认真思考并且积极回答老师的提问
2、思考：证明两个角相等的方法有哪些？ 证明两个角的方法较多，如两条直线平行，同位角相等或内错角相等，在本题总结的过程中帮助学生引导∠1和∠C在两个三角形有什么特点。 学生讨论，然后提问总结。
三、新课讲解例5 3、教师帮助总结 通过证明∠1与∠C所在的三角形全等 通过提问学生总结方法
4、问：如何证明？ 在全等的证明过程中，已知两条件：AD=BD，DE=DC通过AD是ΔABC的高，可证出∠ADC=∠BDE=Rt∠ 学生找已知条件和需证条件
5、给出解题步骤 证明：∵AD是ΔABC的高∴∠BDE=∠ADC=Rt∠又∵BD=AD（已知）DE=DC（已知）∴ΔBDE≌ΔADC（SAS）∴∠1=∠C（全等三角形的对应角相等） 学生口述证题过程
四、课堂练习一 学生完成练习一后，出示参考证明核对（略） 已知：如图，在ΔABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE 一学生在黑板上演示，其他学生在课本上完成练习。
新课讲解例6 显示例6（屏幕显示）问：证明两直线平行的方法有哪些？ 已知：AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC 审题后思考：证明两直线平行主要有哪些方法。
2、通过学生的回答，总结两直线平行的方法 平行的证法较多，有时无从着手，但联系本题，需引导学生从结论出发进行思考。 分组讨论，前面组回答，后面组补充总结
3、问，若在多条交流的河流下游发现河水被污染，该怎么找到污染源？ 总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源。 发挥学生的发散思维，让学生充分思考，尽情发挥。
4、联想本题，发生类比，从结论出发总结证明思路。 联系本题，让学生总结出逆流而上寻找证题思路。
5、出示证明过程 证明：因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与点D重合，所以EF是线段AD的对称轴。∴EF⊥AD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段）∵AD是ΔABC的高（已知）∴BC⊥AD（三角形的高的定义）∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两直线平行） 通过总结，完成证题
6、提出问题，让学生课外思考完成后上交。 问：审题从结论出发，还有其它的解法 让学生解一题多种，学生可以互相讨论。
六、课堂练习2 出示（屏幕显示） 已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证，ΔADC≌CBA请写出分析和证明过程 学生仔细审题
要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程 学生独立完成，互相讨论，总结方法。
七、课堂小结 问：这节我们学到了什么？ 1、会正确表述证明的过程2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向思维的必要性 学生自由回答
八、作业布置 1、完成课本“作业题”2、预习下一节 记录
九、教学反思
证明（第四课时）
【教学目标】
知识与能力
1、理解反例的意义和作用。
2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的
过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力，体会在证明过程中的证明方法。
情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性、创造性，感受证明过程的严谨性及结论的确定性。
【教学重点、难点】
重点：用反例证明一个命题是错误的．
难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．
【教学过程】
1、 情景引入
判断下列命题的真假
1、素数是奇数
2、黄皮肤、黑头发的人是中国人
3、在不同项点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形
我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题——反例与证明
2、 新课新授
1、讨论
（1）学生讨论1：如何去判断一个命题是假命题的方法？
学生分小组讨论，教师巡回指导，
师生总结：判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。
（2） 学生讨论2：怎么样反例才能判断一个命题是假命题？
学生分小组讨论，教师巡回指导，
师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子
如：可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.
（3）、让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题
2、例题讲解
例题、判断下列命题的真假，并给出证明
（1）若2 x + y = 0，则x = y = 0
(2)有一条边、两个角相等的两个三角形全等
解（1）是假命题。　
取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠A=∠B’
∠B=∠C’
AB=A’B’
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题
例题小结：
如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。
变式练习：
判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。
分析：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。本题可以从以下两方面考虑，（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。
解 这是一个假命题，证明如下：
如图4 – 4 – 4（1），在△ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。
则AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共边）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注 能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
3、 课堂练习
教材P52练习第1、2、3题。
4、 课堂小结：
1、如何去判断一个命题是假命题
2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题
5、 作业布置：
教材P52习题2。4 A组 第1、2、3题。
6、 板书设计
例6
七、教学后记
A
B
C
A
C
B
E
D
P
A
C
B
D
1
E
3
2
A
C
B
O
D
A
B
C
A`|
B`~`~
C`
A
C
D
E
A
B
C
（1）
（2）
图4 - 4 - 4