8.1.2 三角形内角和与外角和 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
华东师大版数学七年级下册
第8章 三角形
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
8.1.2 三角形内角和与外角和
8.1 与三角形有关的边和角
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.
第贰章节
新课导入
新课导入
我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。
3
1
1
2
2
2
1
3
3
还有折叠的方法
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
第叁章节
新知探究
新知探究
三角形的内角和
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC.
则 ，
所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°.
又
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
1
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其他的方法推出这个结论吗？
知识要点
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为3x°，
∠C 为 (x＋15)°， 从而有
3x＋x＋(x＋15)＝ 180.
解得 x＝33.
所以 3x＝99 ， x＋15＝48.
答：∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
典例精析
例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，
得∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD 中，
∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD
= 180° - 75° - 20°
= 85°.
典例精析
问题 ：如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B +
∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
直角三角形的内角性质
2
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
知识要点
解：在Rt△ABD 中，
∵∠1 +∠B = 90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠B = 90°－∠1(等式性质). 又∵∠1 = 45°(已知)，
∴∠B = 90°－45° = 45°(等量代换).
在△ABC 中，
∵∠B +∠C + ∠BAC = 180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠BAC = 180°－∠B－∠C(等式性质).
又∵∠B = 45°(已求)，∠C = 65°(已知)，
∴∠BAC = 180°－45°－65° = 70°(等量代换).
例3 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45°，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数.
典例精析
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
由三角形的内角和等于 180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
归纳总结
问题 1　在右图中，外角 ∠ACD 与它不相邻的内角∠A，∠B 之间有什么大小关系？
可以利用“三角形的内角和等于 180° ”的结论.
三角形的外角的性质
3
外角
相邻内角
不相邻内角
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
因为 ∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以 ∠ACD - ∠A - ∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是 ∠ACD =∠A +∠B.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
如图，∠CAD = 100°，∠B = 30°，求∠C 的度数.
解：因为∠B +∠C =∠CAD，
所以∠C =∠CAD - ∠B，
所以∠C = 100° - 30° = 70°.
做一做
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
问题 2 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ，
∠CBF +∠2 = 180°②，
∠ACD +∠3 = 180°③，
又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
①+ ②+ ③得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
三角形的外角和等于 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
= 2(∠1+ ∠2+ ∠3) = 360°.
要点归纳
例 4 (一题多解法)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
典例精析
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：延长 CD 交 AB 于点 F (解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC = ∠1+ ∠2+ ∠3.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1. 在一个三角形中，有两个内角度数分别是 25°和 55°，则这个三角形是（ ）
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
无法确定
B
【教材P86练习 第1题】
1
A
C
B
2
4
3
D
E
分析：
∠1 +∠2 =∠3 +∠4 = 180°–∠A = 180°– 40° = 140°
2. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____.
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 140° + 140° = 280°
280°
【教材P86练习 第2题】
3. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C = 2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数.
解：∵∠A +∠B = 80°，
∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°.
∴∠A = 80°–∠B = 30°.
∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°.
【教材P86练习 第3题】
4. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数.
解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°，
∴∠C = ∠A + 60°.
∴∠A = 30°.
∵∠A +∠B + ∠C = 180°，
∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°.
∴∠B =∠A + 30° = 60°，∠C =∠A + 60° = 90°.
【教材P86练习 第4题】
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形.
解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°.
又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE，
在△BDE 中，∵∠D +∠DBE +∠E = 180°，
∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE).
∴△BDE 是直角三角形.
A
C
B
D
E
∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°.
6. 一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或锐角吗？为什么？
【教材P88练习 第1题】
解：一个三角形不可以有两个内角都是直角，不可以有两个内角都是钝角，可以且一定有两个内角都是锐角. 当一个三角形中有两个直角或钝角时，三个内角之和会大于 180°，这与三角形的内角和等于 180°矛盾.
【教材P88练习 第2题】
7. 说出下列各图中∠1 的度数.
30°
60°
1
①
45°
50°
1
②
35°
120°
1
③
∠1 = 90°
∠1 = 95°
∠1 = 85°
8. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD = 35°.
（1）求∠EBC 的度数；
（2）求∠A 的度数.
【教材P89练习 第3题】
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.
C
B
D
E
A
C
B
D
E
A
解：(1)∵ CD⊥AD（已知），
∴∠CDB = ________.
∵∠EBC = ∠CDB +∠BCD
（________________________
_________________________），
∴∠EBC =_______+ 35°=_______
（等量代换）.
90°
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
90°
125°
C
B
D
E
A
(2)∵ ∠EBC =∠A +∠ACB
（________________________
__________________________），
∴∠A =∠EBC –∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB = 90°（已知），
∴∠A =_______– 90°=_______
（等量代换）.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
125°
35°
你还能用其
他方法解决这一问题吗？
C
B
D
E
A
解：∵ ∠BCA =∠BCD +∠DCA，
∴∠DCA =∠BCA –∠BCD.
∵∠BCA = 90°，∠BCD = 35°，
∴∠DCA = 90°– 35°=55°.
∵∠A + ∠DCA = 90°，
∴∠A = 90°–∠DCA = 90°– 55°= 35°.
∴∠EBC =∠BCA +∠A = 90°+ 35°= 125°.
可以利用直角三角形的两个锐角互余先求∠A，再利用三角形外角的性质求∠EBC.
9. 如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解：∵∠AFG =∠B +∠D，
∠AGF =∠C +∠E，
∠A +∠AFG +∠AGF =180°，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°.
F
G
第伍章节
课堂小结
课堂小结
三角形的内角
三角形的内角和定理
证明
添加平行线，将三角形的三个角转化成一个平角
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
内容
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
华东师大版数学七年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
谢谢观看