人教新课标A版选修4-5数学3.3排序不等式同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.3排序不等式同步检测
一、选择题
1. 已知两组数，，其中，，，，，，，，，，将重新排列记为则的最大值和最小值分别是( )
A.132，6 B.304，212 C.22，6 D.21，36
答案：B
解析：
解答：因为，所以
的最大值为，最小值为，故选B
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式
分析计算即可.
2. 若，，其中，都是正数，则A与B的大小关系为( )
A.A＞B B.A＜B C. D.
答案：C
解析：解答：依序列的各项都是正数，不妨设，则，为序列的一个排列.依排序不等式，得，即
.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式
分析计算即可.
3. 已知a，b，c＞0，则的正负情况是( )
A.大于零 B.大于或等于零 C.小于零 D.小于或等于
答案：B
解析：解答：设，所以，
根据排序不等式，得.
又知，，
所以.
所以，
即.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式
分析计算即可.
4. 设为正数，，，则E，F的大小关系是( )
A.E＜F B. C.E＝F D.
答案：B
解析：解答：不妨设，于是，.
由排序不等式：顺序和≥乱序和，得，
即.∴.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是，不妨设，于是，
根据排序不等式分析计算即可.
5. 设a，b，c都是正数，则式子与0的大小关系是（ ）
A.
B.
C.M与0的大小关系与a，b，c的大小有关
D．不能确定
答案：A
解析：解答：不妨设，则，且，则.
又，且，
∴,.
∴.∴.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设，则，且然后根据排序不等式计算即可
二、填空题
6. 已知a，b，c都是正数，则__________.
答案：
解析：解答：设，所以.
由排序不等式，知
， ①
. ②
①＋②，得.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设
，所以.然后根据排序不等式的性质计算即可.
7. 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和3件，现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元和礼品，则至少要花__________元，最多要花_________元.
答案：19|25
解析：解答：因为，所以
不妨设，易知其最大值为25，最小值为19.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设
，易知其最大值为25，最小值为19
8. n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为__________
答案：n
解析：解答：设，则，则由排序不等式得：反序和≤乱序和≤顺序和.
∴最小值为反序和.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是，则，由排序不等式得：反序和≤乱序和≤顺序计算即可
9. x∈R，则的最大值为___
答案：2
解析：解答：，
∴.
当且仅当，即sin x＝0时取等号.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是排序不等式分析计算即可
三、解答题
10. 设a，b，c为正数，求证：.
答案：证明：由对称性，不妨设a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
.①
又因为a11≥b11≥c11，.
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得
.②
所以由①②得
.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明.
11. 设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，求证：·
答案：证明：设b1，b2，…bn－1是a1，a2，…，a n－1的一个排列，且b1＜b2＜…＜bn－1，c1，c2，…，cn-1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1＜c2＜…＜cn-1，
则且b1≥1，b2≥2，…，bn-1≥n-1，c1≤2，c2≤3，…，cn-1≤n.
利用排序不等式，有.
∴原不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.
12. 设a，b，c都是正实数，求证：
答案：证明：设，
则，而.
由不等式的性质，知.
根据排序不等式，知
.
又由不等式的性质，知，.
由排序不等式，得
.
由不等式的传递性，知
.
∴原不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设，得到，所以，然后由不等式的性质，知.结合排序不等式的性质计算证明即可.
13. 设a1，a2，a3为正数，求证：.
答案：证明：不妨设a1≥a2≥a3＞0，于是
，a3a2≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式：顺序和≥乱序和得
.
即.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设a1≥a2≥a3＞0，于是
，a3a2≤a3a1≤a1a2，然后根据排序不等式性质计算即可.
14. 设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn
答案：证明：一：当x≥1时1≤x≤x2≤…≤xn，
由排序原理：顺序和≥反序和，得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn
≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为x，x2，…，xn，1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1·x＋x·x2＋…＋xn-1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn-1·x＋xn·1，
得x＋x3＋…＋x2n-1＋xn≥(n＋1)xn.②
将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.
二：当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn，
但①②仍然成立，于是③也成立.
综合一、二，证毕.
解析：分析：考查排序不等式的应用.解答本题需要注意：题目中只给出了x＞0，但对于x≥1，x＜1没有明确，因此需要进行分类讨论.
15. 设a，b，c都是正数，求证：.
答案：证明：由题意不妨设，
由不等式的单调性，知，.
由排序不等式，知
，
即所证不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不等式的左边，可以分为数组ab，ac，bc和，，，排出顺序后，可利用排序不等式证明.
16. 设a，b，c都是正实数，求证：
答案：证明：不妨设，则，据排序不等式，有，
，
且，
以上三式相加整理，得
，
即.
故.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设，则，据排序不等式分组计算，然后相加即可证明
17. 已知，求证：
.
答案：证明：∵，且y＝sin x在为增函数，
y＝cos x在为减函数，
∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.
根据排序不等式得：乱序和＞反序和.
∴
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据，且y＝sin x在为增函数，得到0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.
然后根据乱序和＞反序和证明即可
18. 设a，b都是正数，求证：.
答案：证明：由题意不妨设.则，.所以.
根据排序不等式，知，即.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是由题意不妨设.则，.所以，然后根据排序不等式性质计算即可
19. 已知a，b，c为正数，a＞b＞c，求证：
①.
②.
答案：证明：①∵a≥b＞0，于是，
又c＞0，∴，从而.
同理，∵b≥c＞0，于是，
∵a＞0，∴，于是得.
从而.
②由①，于是由顺序和≥乱序和得，
(∵a2≥b2≥c2，)
.
解析：分析：本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解.
20. 设a，b，c为正数，求证：
.
答案：证明：不妨设，则.
，
由排序不等式：乱序和≤顺序和，得
①
②
将①②两式相加，得
，
将不等式两边除以2，得
.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨先设定，再利用排序不等式加以证明
21. 在△ABC中，试证：..
答案：解：不妨设，于是，由排序不等式，得：
，
，
.
相加，得，
得， ①
又由，，，
有
，
得. ②
综合①②得证.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明
22. 设a，b，c为正数，求证：
.
答案：解：设，
则，，
由顺序和≥乱序和，得
. ①
而.
由乱序和≥反序和，
得. ②
综合①②，可得原不等式成立.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设，
则，，由顺序和≥乱序和和≥反序和证明即可
23. 设a,b,c为正实数,且满足abc=1,试证明:++≥.
答案：解：由abc=1,得=,=,=,则原不等式等价于
++≥.
证法一：运用柯西不等式,有
(ab+bc+ca)2=(·+·+·)2
≤(++)(ca+cb+ab+ac+ab+bc),
于是,++≥(ab+bc+ca)≥·3=.
证法二：由基本不等式得
+≥2=bc.
+≥ac,+≥ab,
相加得
++≥(ab+ca+bc)≥·3=.
证法三：设s=·bc+·ac+·ab.
设a≤b≤c,则ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.
于是≥≥,由此推知s为顺序和,由排序不等式得
s≥·ac+·ab+·bc=++,
s≥·ab+·bc+·ac=++,
相加得
2s≥++≥3=3,所以s≥.
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设a≤b≤c,则ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.于是≥≥,由此推知s为顺序和,由排序不等式分析分组相加即可证明
24. 求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值.
答案：解：由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，
即，
当且仅当，即
，时，上式取等号.
故所求，
，
解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式性质计算即可
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 15 页 （共 15 页） 版权所有@21世纪教育网