第2节 常用逻辑用语
[课程标准要求]
1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 x∈M,p(x) x∈M,p(x)
否定 x∈M,﹁p(x) x∈M, ﹁p(x)
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件,则A B;
(2)若p是q的充分不必要条件,则A B;
(3)若p是q的必要不充分条件,则B A;
(4)若p是q的充要条件,则A=B.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
1.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T6改编)在△ABC中,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
[A] 一次函数都不是单调函数
[B] 非一次函数都不是单调函数
[C] 有些一次函数是单调函数
[D] 有些一次函数不是单调函数
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T6改编)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
[A] x∈R,x2－x+≥0
[B] 所有的正方形都是矩形
[C] x∈R,x2+2x+2≤0
[D] 至少有一个实数x,使x3+1=0
4.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A=(－∞,a],B=(－∞,5),且x∈A是x∈B
的充分不必要条件,则a的取值范围为 .
5.(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)若“ x∈[－1,2],x2－m≤1”为真命题,则实数m的最小值为 .
考点一 充分、必要条件的判断
1.(2025·天津模拟)“a>b”是“a>|b|+1”的( )
[A] 必要不充分条件
[B] 充分不必要条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
2.(2025·广东湛江模拟)“1
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
3.(2025·北京模拟)已知a>0,b>0,则“a2+b2>2”是“a+b>2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.
考点二 充分、必要条件的应用与探求
[例1] (1)(2025·四川绵阳模拟)若x>m2－3是1[A] (－2,2) [B] [－2,2]
[C] [－3,3] [D] [2,3]
(2)若a,b∈R且ab≠0,则>成立的一个充分不必要条件是( )
[A] a>b>0 [B] b>a
[C] b根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
[针对训练] (1)(2025·广西钦州模拟)已知p:>1,q:x>m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是( )
[A] [0,+∞) [B] [1,+∞)
[C] (－∞,0] [D] (－∞,1]
(2)使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是( )
[A] a+b>0 [B] a－b>0
[C] ab>1 [D] >1
考点三 全称量词命题与存在量词命题
角度1 含量词命题的否定
[例2] 命题“ x>－1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是( )
[A] x>－1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
[B] x≤－1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
[C] x>－1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
[D] x>－1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论.
角度2 全称量词命题与存在量词命题真假的判定
[例3] 下列命题中,是真命题的有( )
[A] x∈R,sin2()+cos2()=
[B] x∈(0,π),sin x>cos x
[C] x∈R,x2+x=－2
[D] x∈R,ln(x－1)2≥0
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
角度3 含参数的全称量词命题、存在量词命题
[例4] (2025·陕西宝鸡模拟)若命题“ x∈R,ax2+2ax+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,并且原命题与其否定的真假性相反,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·四川绵阳模拟)命题“ x∈R,1[A] x∈R,1[B] x R,1[C] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
[D] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
2.(角度2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则( )
[A] p和q都是真命题
[B] ﹁p和q都是真命题
[C] p和﹁q都是真命题
[D] ﹁p和﹁q都是真命题
3.(角度3)(2025·河南开封模拟)已知命题“ x∈[－1,1],－x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－2) [B] (－∞,4)
[C] (－2,+∞) [D] (4,+∞)
(分值:85分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山西吕梁模拟)设命题p:对任意的等比数列{an},{an+an+1}也是等比数列,则命题p的否定﹁p为( )
[A] 对任意的非等比数列{an},{an+an+1}是等比数列
[B] 对任意的等比数列{an},{an+an+1}不是等比数列
[C] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}是等比数列
[D] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}不是等比数列
2.(2025·天津模拟)已知a≠0,命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,命题q:a+b+c=0,则p是q的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
3.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.(2025·福建漳州模拟)若 α∈[0,+∞),cos α[A] m≥1 [B] m>1
[C] m≥－1 [D] m>－1
5.(多选题)下列命题中的真命题是( )
[A] x∈R,lg x=0 [B] x∈R,tan x=1
[C] x∈R,x2>0 [D] x∈R,3x>0
6.(2025·山东聊城模拟)“a+b<－2,且ab>1”是“a<－1,且b<－1”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
7.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知命题p: x∈[－1,1],x2>a,则﹁p为 .
8.(5分)集合A={x|－19.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则( )
[A] t是p的必要不充分条件
[B] t是q的充要条件
[C] p是s的充要条件
[D] q是s的充要条件
10.(多选题)已知命题p: x∈[0,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,命题q: x∈[1,3],不等式x2－ax+4≤0,则下列说法正确的是( )
[A] 命题p的否定是“ x∈[0,1],不等式2x－2[B] 命题q的否定是“ x∈[1,3],不等式x2－ax+4≥0”
[C] 当命题p为真命题时,1≤m≤2
[D] 当命题q为假命题时,a<4
11.(2025·浙江宁波模拟)已知p:a∈D,q: x∈R,x2－ax－a≤－3,若p是q成立的必要不充分条件,则区间D可以为( )
[A] (－∞,－6]∪[2,+∞)
[B] (－∞,－4)∪(0,+∞)
[C] (－6,2)
[D] [－4,0]
12.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
[A] a－b>0 [B] ea>eb
[C] ab>ba [D] ln a>ln b>0
13.(5分)已知命题p: x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若命题p,q中至少有一个为假命题,则实数m的取值范围为 .
14.(5分)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端,大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的 .(选填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
15.(12分)已知集合M={(x,y)|的子集个数为a.
(1)求a的值;
(2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,证明:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2－2(b+c)=bc－4.
第2节 常用逻辑用语（解析版）
[课程标准要求]
1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 x∈M,p(x) x∈M,p(x)
否定 x∈M,﹁p(x) x∈M, ﹁p(x)
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件,则A B;
(2)若p是q的充分不必要条件,则A B;
(3)若p是q的必要不充分条件,则B A;
(4)若p是q的充要条件,则A=B.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
1.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T6改编)在△ABC中,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 在△ABC中,若△ABC为直角三角形,推不出∠B=90°,所以AB2+BC2=AC2不一定成立.若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形.综上,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的必要不充分条件.故选B.
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
[A] 一次函数都不是单调函数
[B] 非一次函数都不是单调函数
[C] 有些一次函数是单调函数
[D] 有些一次函数不是单调函数
【答案】 D
【解析】 命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D.
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T6改编)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
[A] x∈R,x2－x+≥0
[B] 所有的正方形都是矩形
[C] x∈R,x2+2x+2≤0
[D] 至少有一个实数x,使x3+1=0
【答案】 C
【解析】 对于A,该命题的否定为 x∈R,x2－x+<0,是全称量词命题,又x2－x+=(x－)2≥0,故为假命题;对于B,该命题为全称量词命题,故其否定为存在量词命题;对于C,该命题的否定为 x∈R,x2+2x+2>0,是全称量词命题,又x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故为真命题;对于D,存在实数x=－1,使x3+1=0,故该命题为真命题,则其否定为假命题.故选C.
4.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A=(－∞,a],B=(－∞,5),且x∈A是x∈B
的充分不必要条件,则a的取值范围为 .
【答案】 (－∞,5)
【解析】 由题意知,x∈A x∈B,x∈Bx∈A,即A B,所以a<5.
5.(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)若“ x∈[－1,2],x2－m≤1”为真命题,则实数m的最小值为 .
【答案】 3
【解析】 因为“ x∈[－1,2],x2－m≤1”为真命题,
所以m≥x2－1对x∈[－1,2]恒成立,即m≥(x2－1)max=3.
考点一 充分、必要条件的判断
1.(2025·天津模拟)“a>b”是“a>|b|+1”的( )
[A] 必要不充分条件
[B] 充分不必要条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 取a=－1,b=－2,满足a>b,而a<|b|+1,反之,a>|b|+1,则a>|b|≥b,
所以“a>b”是“a>|b|+1”的必要不充分条件.故选A.
2.(2025·广东湛江模拟)“1[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 点B(0,b)在圆C:(x－1)2+(y－2)2=2内 (0－1)2+(b－2)2<2 1由于(1,2) (1,3),
所以“13.(2025·北京模拟)已知a>0,b>0,则“a2+b2>2”是“a+b>2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 设a=1.5,b=0.4,
此时满足a2+b2=2.25+0.16>2,
但不满足a+b>2,充分性不成立;
a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4,
由基本不等式得2ab≤a2+b2,当且仅当a=b时,等号成立,
故a2+b2>4－2ab≥4－(a2+b2),解得a2+b2>2,必要性成立,故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B.
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.
考点二 充分、必要条件的应用与探求
[例1] (1)(2025·四川绵阳模拟)若x>m2－3是1[A] (－2,2) [B] [－2,2]
[C] [－3,3] [D] [2,3]
(2)若a,b∈R且ab≠0,则>成立的一个充分不必要条件是( )
[A] a>b>0 [B] b>a
[C] b[溯源探本]本例题(1)源于人教A版必修第一册P23习题1.4 T4.
【答案】 (1)B (2)C
【解析】 (1)因为x>m2－3是1所以(1,6] (m2－3,+∞),所以m2－3≤1,
解得－2≤m≤2.故选B.
(2)当a>b>0时,a2>b2,则<,故A错误;当b>a时,设b=1,a=－2,不满足>,故B错误;当b,反过来,>时,a2成立的一个充分不必要条件,故C正确;当ab(a－b)<0时,设a=2,b=－1,不满足>,故D错误.故选C.
根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
[针对训练] (1)(2025·广西钦州模拟)已知p:>1,q:x>m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是( )
[A] [0,+∞) [B] [1,+∞)
[C] (－∞,0] [D] (－∞,1]
(2)使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是( )
[A] a+b>0 [B] a－b>0
[C] ab>1 [D] >1
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)由>1可得x(x－1)<0,解得0m},
若p是q的充分条件,则A B,所以m≤0.故选C.
(2)因为a>0,b>0 a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a－b>0,ab>1,>1.故选A.
考点三 全称量词命题与存在量词命题
角度1 含量词命题的否定
[例2] 命题“ x>－1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是( )
[A] x>－1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
[B] x≤－1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
[C] x>－1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
[D] x>－1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
【答案】 C
【解析】 命题“ x>－1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是“ x>－1,ln(1+x)>x或 ln(1+x)<”.
故选C.
一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论.
角度2 全称量词命题与存在量词命题真假的判定
[例3] 下列命题中,是真命题的有( )
[A] x∈R,sin2()+cos2()=
[B] x∈(0,π),sin x>cos x
[C] x∈R,x2+x=－2
[D] x∈R,ln(x－1)2≥0
【答案】 D
【解析】 x∈R,sin2()+cos2()=1,故A是假命题;当x=时,sin x全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
角度3 含参数的全称量词命题、存在量词命题
[例4] (2025·陕西宝鸡模拟)若命题“ x∈R,ax2+2ax+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [0,1)
【解析】 命题“ x∈R,ax2+2ax+1≤0”的否定为“ x∈R,ax2+2ax+1>0”.
因为原命题为假命题,则其否定为真命题.当a<0时显然不成立;当a=0时,1>0恒成立;当a>0时,只需Δ=4a2－4a<0,解得0综上有a∈[0,1).
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,并且原命题与其否定的真假性相反,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·四川绵阳模拟)命题“ x∈R,1[A] x∈R,1[B] x R,1[C] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
[D] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
【答案】 C
【解析】 由于存在量词命题的否定是全称量词命题,则命题“ x∈R,12”.故选C.
2.(角度2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则( )
[A] p和q都是真命题
[B] ﹁p和q都是真命题
[C] p和﹁q都是真命题
[D] ﹁p和﹁q都是真命题
【答案】 B
【解析】 对于p,取x=－1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,﹁p是真命题,
对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,﹁q是假命题,
综上,﹁p和q都是真命题.故选B.
3.(角度3)(2025·河南开封模拟)已知命题“ x∈[－1,1],－x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－2) [B] (－∞,4)
[C] (－2,+∞) [D] (4,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为命题“ x∈[－1,1],－x2+3x+a>0”为真命题,
所以命题“ x∈[－1,1],a>x2－3x”为真命题,
所以x∈[－1,1]时,a>.
因为y=x2－3x=(x－)2－,
所以当x=1时,ymin=－2,
所以x∈[－1,1]时,a>=－2,
即实数a的取值范围是(－2,+∞).
故选C.
(分值:85分)
选题明细表
知识点、方法 题号
全称量词与存在量词 1,4,5,7,10,13
充分、必要条件 2,3,6,8,9,12,14
综合应用 11,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山西吕梁模拟)设命题p:对任意的等比数列{an},{an+an+1}也是等比数列,则命题p的否定﹁p为( )
[A] 对任意的非等比数列{an},{an+an+1}是等比数列
[B] 对任意的等比数列{an},{an+an+1}不是等比数列
[C] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}是等比数列
[D] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}不是等比数列
【答案】 D
【解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题,可得﹁p:存在一个等比数列{an},使{an+an+1}不是等比数列.故选D.
2.(2025·天津模拟)已知a≠0,命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,命题q:a+b+c=0,则p是q的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 对于命题p,x=1为方程的根,则a+b+c=0,充分性成立;
对于命题q,a+b+c=0且a≠0,则x=1必是题设方程的一个根,必要性成立;
所以p是q的充要条件.故选C.
3.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】 B
【解析】 当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0,即“sin2α+sin2β=1”推不出
“sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(－cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
4.(2025·福建漳州模拟)若 α∈[0,+∞),cos α[A] m≥1 [B] m>1
[C] m≥－1 [D] m>－1
【答案】 D
【解析】 若 α∈[0,+∞),cos α则m>(cos α)min.
因为cos α在[0,+∞)上的最小值为－1,
所以m>－1.故选D.
5.(多选题)下列命题中的真命题是( )
[A] x∈R,lg x=0 [B] x∈R,tan x=1
[C] x∈R,x2>0 [D] x∈R,3x>0
【答案】 ABD
【解析】 当x=1时,lg 1=0,故A选项为真命题;当 x=时,tan=1,故B选项为真命题.当x=0时,x2=0,不满足x2>0,故C选项为假命题.根据指数函数的性质知,D选项为真命题.
故选ABD.
6.(2025·山东聊城模拟)“a+b<－2,且ab>1”是“a<－1,且b<－1”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 若a<－1,且b<－1,根据不等式的加法和乘法法则可得a+b<－2,且ab>1,即必要性成立;当a=－3,b=－时,满足a+b<－2,且ab>1,但是b=－>－1,故充分性不成立,所以“a+b<－2,且ab>1”是“a<－1,且b<－1”的必要不充分条件.故选B.
7.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知命题p: x∈[－1,1],x2>a,则﹁p为 .
【答案】 x∈[－1,1],x2≤a
【解析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题可得﹁p为 x∈[－1,1],x2≤a.
8.(5分)集合A={x|－1【答案】 [2,+∞)
【解析】 A={x|－1因为x∈B的充分条件是x∈A,所以A B,
则m≥2.
9.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则( )
[A] t是p的必要不充分条件
[B] t是q的充要条件
[C] p是s的充要条件
[D] q是s的充要条件
【答案】 ABD
【解析】 因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,
所以q t s,且s q,则q t s,所以B,D正确.因为q t s,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.
10.(多选题)已知命题p: x∈[0,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,命题q: x∈[1,3],不等式x2－ax+4≤0,则下列说法正确的是( )
[A] 命题p的否定是“ x∈[0,1],不等式2x－2[B] 命题q的否定是“ x∈[1,3],不等式x2－ax+4≥0”
[C] 当命题p为真命题时,1≤m≤2
[D] 当命题q为假命题时,a<4
【答案】 ACD
【解析】 命题p的否定是“ x∈[0,1],不等式2x－20”,故B错误;若命题p为真命题,则当x∈[0,1]时,(2x－2)min≥
m2－3m,即m2－3m+2≤0,解得1≤m≤2,故C正确;若命题q为假命题,则 x∈[1,3],不等式
x2－ax+4>0为真命题,即a11.(2025·浙江宁波模拟)已知p:a∈D,q: x∈R,x2－ax－a≤－3,若p是q成立的必要不充分条件,则区间D可以为( )
[A] (－∞,－6]∪[2,+∞)
[B] (－∞,－4)∪(0,+∞)
[C] (－6,2)
[D] [－4,0]
【答案】 B
【解析】 命题q: x∈R,x2－ax－a≤－3,
则x2－ax－a+3≤0,
所以Δ=a2－4(－a+3)≥0,
解得a≤－6或a≥2,
又p是q成立的必要不充分条件,
所以(－∞,－6]∪[2,+∞) D,
所以区间D可以为(－∞,－4)∪(0,+∞).故选B.
12.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
[A] a－b>0 [B] ea>eb
[C] ab>ba [D] ln a>ln b>0
【答案】 D
【解析】 由a－b>0,推不出a>b>0,a>b>0能推出a－b>0,所以“a－b>0”是“a>b>0”的必要不充分条件,故A错误;
若ea>eb,则a>b,但不能得出a>b>0,所以“ea>eb”不是“a>b>0”的充分不必要条件,故B错误;
若a=1,b=－1,则满足ab>ba,但不能得出a>b>0,所以“ab>ba”不是“a>b>0”的充分不必要条件,故C错误;
由ln a>ln b>0可得a>b>1,能推出a>b>0,反之不能推出,所以“ln a>ln b>0”是“a>b>0”的充分不必要条件,故D正确.故选D.
13.(5分)已知命题p: x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若命题p,q中至少有一个为假命题,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (－∞,－2]∪(－1,+∞)
【解析】 根据题意,若p是假命题,必有m+1>0,解得m>－1;若q是假命题,必有Δ=m2－4≥0,解得m≤－2或m≥2,若命题p,q中至少有一个为假命题,则m≤－2或m>－1,故实数m的取值范围为(－∞,－2]∪(－1,+∞).
14.(5分)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端,大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的 .(选填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
【答案】 必要不充分条件
【解析】 由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分,故“小故”是逻辑中的必要不充分条件.
15.(12分)已知集合M={(x,y)|的子集个数为a.
(1)求a的值;
(2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,证明:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2－2(b+c)=bc－4.
(1)【解】 由方程组
解得
所以M={(1,1)},则M只有1个元素,
所以M有2个子集,即a=2.
(2)【证明】 ①充分性.
法一 由(1)得a=2,所以b2+c2－2(b+c)=bc－4可化为b2+c2－a(b+c)=bc－a2,
即a2+b2+c2=ab+ac+bc,
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
则(a－b)2+(b－c)2+(a－c)2=0,所以a－b=b－c=a－c=0,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性得证.
法二 因为b2+c2－2(b+c)=bc－4,所以(b+c)2－2(b+c)=3bc－4≤3·()2－4,
所以(b+c)2－8(b+c)+16≤0,
即(b+c－4)2≤0,所以b+c=4,
当且仅当b=c=2时,等号成立,即a=b=c,△ABC为等边三角形,充分性得证.
②必要性.因为△ABC为等边三角形,所以a=b=c,由(1)得a=2,
所以a=b=c=2,
则b2+c2－2(b+c)=0,bc－4=0,所以b2+c2－2(b+c)=bc－4,必要性得证.
故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2－2(b+c)=bc－4.
(
第
14
页
)(共64张PPT)
第2节 常用逻辑用语
1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
[课程标准要求]
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的 条件,q是p的 条件.
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
知识梳理
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 x∈M,p(x)
否定 x∈M,﹁p(x)
3.全称量词命题和存在量词命题
知识梳理
x∈M,p(x)
x∈M,﹁p(x)
释疑
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
重要结论
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件,则A B;
(2)若p是q的充分不必要条件,则A B;
(3)若p是q的必要不充分条件,则B A;
(4)若p是q的充要条件,则A=B.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T6改编)在△ABC中,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
B
【解析】 在△ABC中,若△ABC为直角三角形,推不出∠B=90°,所以AB2+BC2=AC2不一定成立.若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形.综上,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的必要不充分条件.
故选B.
对点自测
对点自测
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
[A] 一次函数都不是单调函数
[B] 非一次函数都不是单调函数
[C] 有些一次函数是单调函数
[D] 有些一次函数不是单调函数
D
【解析】 命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D.
对点自测
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T6改编)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
C
[B] 所有的正方形都是矩形
[C] x∈R,x2+2x+2≤0
[D] 至少有一个实数x,使x3+1=0
对点自测
4.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A=(－∞,a],B=(－∞,5),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为 .
对点自测
(－∞,5)
5.(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)若“ x∈[－1,2],x2－m≤1”为真命题,则实数m的最小值为 .
【解析】 因为“ x∈[－1,2],x2－m≤1”为真命题,
所以m≥x2－1对x∈[－1,2]恒成立,即m≥(x2－1)max=3.
对点自测
3
1.(2025·天津模拟)“a>b”是“a>|b|+1”的( )
[A] 必要不充分条件
[B] 充分不必要条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
考点一 充分、必要条件的判断
A
【解析】 取a=－1,b=－2,满足a>b,而a<|b|+1,反之,a>|b|+1,则a>|b|≥b,
所以“a>b”是“a>|b|+1”的必要不充分条件.故选A.
2.(2025·广东湛江模拟)“1( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
A
【解析】 点B(0,b)在圆C:(x－1)2+(y－2)2=2内 (0－1)2+(b－2)2<2 1由于(1,2) (1,3),
所以“1故选A.
3.(2025·北京模拟)已知a>0,b>0,则“a2+b2>2”是“a+b>2”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
B
【解析】 设a=1.5,b=0.4,
此时满足a2+b2=2.25+0.16>2,
但不满足a+b>2,充分性不成立;
a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4,
由基本不等式得2ab≤a2+b2,当且仅当a=b时,等号成立,
故a2+b2>4－2ab≥4－(a2+b2),解得a2+b2>2,必要性成立,
故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B.
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.
题后悟通
考点二 充分、必要条件的应用与探求
[例1] (1)(2025·四川绵阳模拟)若x>m2－3是1则实数m的取值范围是( )
[A] (－2,2) [B] [－2,2]
[C] [－3,3] [D] [2,3]
B
【解析】 (1)因为x>m2－3是1所以(1,6] (m2－3,+∞),所以m2－3≤1,
解得－2≤m≤2.故选B.
C
[A] a>b>0 [B] b>a
[C] b根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
解题策略
C
[A] [0,+∞) [B] [1,+∞)
[C] (－∞,0] [D] (－∞,1]
A
(2)使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是( )
考点三 全称量词命题与存在量词命题
角度1 含量词命题的否定
C
解题策略
一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论.
角度2 全称量词命题与存在量词命题真假的判定
[例3] 下列命题中,是真命题的有( )
D
[B] x∈(0,π),sin x>cos x
[C] x∈R,x2+x=－2
[D] x∈R,ln(x－1)2≥0
解题策略
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
[例4] (2025·陕西宝鸡模拟)若命题“ x∈R,ax2+2ax+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
角度3 含参数的全称量词命题、存在量词命题
[0,1)
【解析】命题“ x∈R,ax2+2ax+1≤0”的否定为“ x∈R,ax2+2ax+1>0”.
因为原命题为假命题,则其否定为真命题.当a<0时显然不成立;当a=0时,1>0恒成立;当a>0时,只需Δ=4a2－4a<0,解得0综上有a∈[0,1).
解题策略
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,并且原命题与其否定的真假性相反,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.
1.(角度1)(2025·四川绵阳模拟)命题“ x∈R,1[A] x∈R,1[B] x R,1[C] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
[D] x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
[针对训练]
C
【解析】 由于存在量词命题的否定是全称量词命题,则命题“ x∈R,
12”.故选C.
2.(角度2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.
则( )
[A] p和q都是真命题
[B] ﹁p和q都是真命题
[C] p和﹁q都是真命题
[D] ﹁p和﹁q都是真命题
B
【解析】 对于p,取x=－1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,﹁p是真命题,
对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,﹁q是假命题,
综上,﹁p和q都是真命题.故选B.
3.(角度3)(2025·河南开封模拟)已知命题“ x∈[－1,1],－x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
[A] (－∞,－2) [B] (－∞,4)
[C] (－2,+∞) [D] (4,+∞)
C
基础巩固练
1.(2025·山西吕梁模拟)设命题p:对任意的等比数列{an},{an+an+1}也是等比数列,则命题p的否定﹁p为( )
[A] 对任意的非等比数列{an},{an+an+1}是等比数列
[B] 对任意的等比数列{an},{an+an+1}不是等比数列
[C] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}是等比数列
[D] 存在一个等比数列{an},使{an+an+1}不是等比数列
D
【解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题,可得﹁p:存在一个等比数列{an},使{an+an+1}不是等比数列.故选D.
2.(2025·天津模拟)已知a≠0,命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,命题q:a+b+c=0,则p是q的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
C
【解析】 对于命题p,x=1为方程的根,则a+b+c=0,充分性成立;
对于命题q,a+b+c=0且a≠0,则x=1必是题设方程的一个根,必要性成立;
所以p是q的充要条件.故选C.
3.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
4.(2025·福建漳州模拟)若 α∈[0,+∞),cos α[A] m≥1 [B] m>1
[C] m≥－1 [D] m>－1
D
【解析】 若 α∈[0,+∞),cos α则m>(cos α)min.
因为cos α在[0,+∞)上的最小值为－1,
所以m>－1.故选D.
5.(多选题)下列命题中的真命题是( )
[A] x∈R,lg x=0 [B] x∈R,tan x=1
[C] x∈R,x2>0 [D] x∈R,3x>0
ABD
6.(2025·山东聊城模拟)“a+b<－2,且ab>1”是“a<－1,且b<－1”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
B
7.(5分)(2025·山东潍坊模拟)已知命题p: x∈[－1,1],x2>a,则﹁p为
.
x∈[－1,1],x2≤a
【解析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题可得﹁p为
x∈[－1,1],x2≤a.
8.(5分)集合A={x|－1[2,+∞)
【解析】 A={x|－1因为x∈B的充分条件是x∈A,所以A B,
则m≥2.
综合运用练
9.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则( )
[A] t是p的必要不充分条件
[B] t是q的充要条件
[C] p是s的充要条件
[D] q是s的充要条件
ABD
【解析】 因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,
所以q t s,且s q,则q t s,所以B,D正确.因为q t s,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.
10.(多选题)已知命题p: x∈[0,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,命题q: x∈[1,3],不等式x2－ax+4≤0,则下列说法正确的是( )
[A] 命题p的否定是“ x∈[0,1],不等式2x－2[B] 命题q的否定是“ x∈[1,3],不等式x2－ax+4≥0”
[C] 当命题p为真命题时,1≤m≤2
[D] 当命题q为假命题时,a<4
ACD
11.(2025·浙江宁波模拟)已知p:a∈D,q: x∈R,x2－ax－a≤－3,若p是q成立的必要不充分条件,则区间D可以为( )
[A] (－∞,－6]∪[2,+∞)
[B] (－∞,－4)∪(0,+∞)
[C] (－6,2)
[D] [－4,0]
B
【解析】 命题q: x∈R,x2－ax－a≤－3,
则x2－ax－a+3≤0,
所以Δ=a2－4(－a+3)≥0,
解得a≤－6或a≥2,
又p是q成立的必要不充分条件,
所以(－∞,－6]∪[2,+∞) D,
所以区间D可以为(－∞,－4)∪(0,+∞).故选B.
12.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
[A] a－b>0 [B] ea>eb
[C] ab>ba [D] ln a>ln b>0
D
【解析】 由a－b>0,推不出a>b>0,a>b>0能推出a－b>0,所以“a－b>0”是“a>b>0”的必要不充分条件,故A错误;
若ea>eb,则a>b,但不能得出a>b>0,所以“ea>eb”不是“a>b>0”的充分不必要条件,故B错误;
若a=1,b=－1,则满足ab>ba,但不能得出a>b>0,所以“ab>ba”不是“a>b>0”的充分不必要条件,故C错误;
由ln a>ln b>0可得a>b>1,能推出a>b>0,反之不能推出,所以“ln a>ln b>0”是“a>b>0”的充分不必要条件,故D正确.故选D.
13.(5分)已知命题p: x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若命题p,q中至少有一个为假命题,则实数m的取值范围为 .
(－∞,－2]∪(－1,+∞)
【解析】 根据题意,若p是假命题,必有m+1>0,解得m>－1;若q是假命题,必有Δ=m2－4≥0,解得m≤－2或m≥2,若命题p,q中至少有一个为假命题,则m≤－2或m>－1,故实数m的取值范围为(－∞,－2]∪(－1,+∞).
14.(5分)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端,大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的 .(选填“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
必要不充分条件
【解析】 由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分,故“小故”是逻辑中的必要不充分条件.
(1)求a的值;
(2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,证明:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2－2(b+c)=bc－4.
(2)【证明】 ①充分性.
法一 由(1)得a=2,所以b2+c2－2(b+c)=bc－4可化为b2+c2－a(b+c)=bc－a2,
即a2+b2+c2=ab+ac+bc,
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
则(a－b)2+(b－c)2+(a－c)2=0,所以a－b=b－c=a－c=0,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性得证.
②必要性.因为△ABC为等边三角形,所以a=b=c,由(1)得a=2,
所以a=b=c=2,
则b2+c2－2(b+c)=0,bc－4=0,所以b2+c2－2(b+c)=bc－4,必要性得证.
故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2－2(b+c)=bc－4.