[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] ab4.若α,β∈[－,],且cos α>cos β,则下列结论中必定成立的是( )[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc[C] >[D] (a－c)(b－c)[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2[A] 1[C] －4(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.[针对训练]1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[A] 若ab=1,则a+b≥2[B] 若<,则a>b[C] 若a>b,则ln(a－b)>0[D] 若a>b>0,则a+>b+2.(角度2)(多选题)已知6[A] ∈(,4) [B] a+b∈(21,78)[C] a－b∈(－9,42) [D] ∈(,)(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )[A] 若>,则a>b[B] 若ac2≥bc2,则a>b[C] 若<,则ac[D] 若a2.已知0[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)4.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )[A] c2[C] ac05.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )[A] < [B] a2b>ab2[C] a2>ab>b2 [D] a>>b6.(多选题)(2025·湖北襄阳模拟)19世纪戴德金利用他提出的分割理论,从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理,那么在证明有理数的不完备性时,经常会用到以下两个式子,已知正有理数p,满足p2<2,q=p－,则下列说法正确的是( )[A] pq[C] q< [D] q>7.(5分)如果x<0,08.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>010.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥213.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.第3节 等式性质与不等式性质（解析版）[课程标准要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a>b(a,b∈R),a－b=0 a=b(a,b∈R),a－b<0 a2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么b=a;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么=.3.不等式的性质性质1 对称性:a>b b性质2 传递性:a>b,b>c a>c;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5 同向可加性:a>b,c>d a+c>b+d;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ac>bd>0;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).1.与倒数有关的结论:(1)a>b,ab>0 <.(2)a<0(3)a>b>0,0.(4)02.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则(1)<<(b－m>0).(2)<<(b－m>0).1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] M【答案】 A【解析】 因为M－N=(2a2+5a+4)－(a+1)(a+3)=a2+a+1=(a+)2+>0,所以M>N.故选A.2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果a[A] < [B] <[C] < [D] >【答案】 C【解析】 如果a－b>0,>,故A错误;=>0,即>,故B错误;=<0,即<,故C正确;=<0,即<,故D错误.故选C.3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)【答案】 A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知2【答案】 (2,7) (－1,－)【解析】 因为－2由2考点一 比较数与式的大小1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定【答案】 B【解析】 由题意可知M=,N=,P===,则P－M==,因为x0,z－y>0,可得P－M=>0,即M2.若P=+,Q=+(a>－5),则P,Q的大小关系为( )[A] P[C] P>Q [D] 不能确定【答案】 C【解析】 P2=2a+13+2,Q2=2a+13+2,因为(a+6)(a+7)－(a+5)(a+8)=a2+13a+42－(a2+13a+40)=2>0,所以(a+6)(a+7)>(a+5)(a+8),所以>,所以P2>Q2,所以P>Q.故选C.3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] ab【答案】 C【解析】 因为=aa－b>a0=1,所以ab综上可知,ab4.若α,β∈[－,],且cos α>cos β,则下列结论中必定成立的是( )[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|【答案】 D【解析】 令f(x)=cos x,x∈[－,],f(x)为偶函数,且f(x)=cos x在x∈[0,]上单调递减,在x∈[－,0]上单调递增.所以当0≤|α|<|β|≤时,f(α)>f(β),反之也成立.故选D.比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc[C] >[D] (a－c)(b－c)[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.【答案】 AD【解析】 a+b+c=0且a>b>c,则a>0,c<0,则a+b=－c>0,A正确;因为a>b,c<0,所以ac因为a>b>c,a－b>0,b－c>0,(a－b)－(b－c)=a+c－2b=－3b,当b>0时,0,当b<0时,a－b>b－c>0,则<,当b=0时,a－b=b－c,则=,故C错误;因为(a－c)(b－c)－c2=(a－c)(－a－2c)－c2=－a2－ac－c2=－(a+c)2≤0,当且仅当a=－c时,等号成立,此时由a+b+c=0可得b=－c=a,不符合a>b>c,所以－(a+c)2=0不成立,故－(a+c)2<0,即(a－c)(b－c)判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2[A] 1[C] －4【答案】 ABD【解析】 因为a=(a+b)+(a－b),2所以1<(a+b)<,0<(a－b)<,故1因为b=(a+b)－(a－b),2因为a－2b=－(a+b)+(a－b),2所以－<－(a+b)<－1,0<(a－b)<,所以－因为2a－b=(a+b)+(a－b),20(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.[针对训练]1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[A] 若ab=1,则a+b≥2[B] 若<,则a>b[C] 若a>b,则ln(a－b)>0[D] 若a>b>0,则a+>b+【答案】 D【解析】 当a=－1,b=－1时,满足ab=1,但a+b=－2,所以A错误;当a<0,b>0时,满足<,但a当a=2,b=1时,ln(a－b)=0,所以C错误;若a>b>0,则>>0,则a+>b+成立,所以D正确.故选D.2.(角度2)(多选题)已知6[A] ∈(,4) [B] a+b∈(21,78)[C] a－b∈(－9,42) [D] ∈(,)【答案】 AB【解析】 因为66+15于是=+1∈(,5),故A,B正确,C,D错误.故选AB.(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )[A] 若>,则a>b[B] 若ac2≥bc2,则a>b[C] 若<,则ac[D] 若a【答案】 C【解析】 若>,当c<0时,根据不等式性质得a若ac2≥bc2,当c=0时,a,b大小无法确定,故B错误;若<,则c≠0,又c2>0,不等式两边同时乘c2,得ac若ab2,故D错误.故选C.2.已知0[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定【答案】 C【解析】 已知00,b>0,所以M－N=()－()=+==>0,因此,M>N.故选C.3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)【答案】 B【解析】 因为－4故选B.4.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )[A] c2[C] ac0【答案】 AD【解析】 对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则a－c=3,b－d=3,所以a－c=b－d,故B错误;对于C,因为a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则ac=－2,bd=－2,所以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<<,又因为0>c>d,则0<－c<－d,由不等式的同向皆正可乘性得,－<－,故>0,故D正确.故选AD.5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )[A] < [B] a2b>ab2[C] a2>ab>b2 [D] a>>b【答案】 D【解析】 由于a>b,取a=1,b=－1,则==,a2b=－1取a=0,b=－2,则a2=0,ab=0,b2=4,无法得到a2>ab>b2,C错误;由于a>b,则2a>b+a>2b,所以a>>b,D正确.故选D.6.(多选题)(2025·湖北襄阳模拟)19世纪戴德金利用他提出的分割理论,从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理,那么在证明有理数的不完备性时,经常会用到以下两个式子,已知正有理数p,满足p2<2,q=p－,则下列说法正确的是( )[A] pq[C] q< [D] q>【答案】 AC【解析】 因为p－q=p－p+=,而p2<2,p>0,所以<0,即p因为q=p－=>0,q2－()2==<0,所以q2<()2,即q<,故C正确,D错误.故选AC.7.(5分)如果x<0,0【答案】 <<【解析】 法一(作商法) 因为三个式子的值很明显都是负数,且=y<1,所以>;同理=y<1,所以>.综上,<<.法二(作差法) 因为=>0,所以>,因为=>0,所以>,所以>>.8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.【解】 (1)a2+b2－(ab+a+b－1)=(2a2+2b2－2ab－2a－2b+2)=[(a2+b2－2ab)+(a2－2a+1)+(b2－2b+1)]=[(a－b)2+(a－1)2+(b－1)2],因为(a－b)2≥0,(a－1)2≥0,(b－1)2≥0,当且仅当a=b=1时,三等号同时成立,所以a2+b2－(ab+a+b－1)≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a2+b2≥ab+a+b－1.(2)==.①当0即<;②当a>1时,>0,即>.故当0当a>1时,>.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>0【答案】 C【解析】 由于=,其中y－x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;当x=π,y=时tan x－tan y=0－1=－1<0,所以B不正确;由函数f(x)=()x在R上为单调递减函数,且x>y,得()x<()y,即()x－()y<0,所以C正确;当x=2,y=－3,此时ln |x|－ln |y|=ln 2－ln 3=ln <0,所以D不正确.故选C.10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz【答案】 A【解析】 由x>y>z,a故ax+by+cz0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)【答案】 B【解析】 由题意,2由条件得2<－2y<6,<<,所以<－<3,所以<1－<4,所以<<.故选B.12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥2【答案】 ABD【解析】 由题意a=2－=>0,b>0,所以b>,故A正确;==－(－1)2+1,因为b>,所以0<<2,所以0<≤1,故B正确;令a=b=1,则+b=2<3,故C错误;因为0<≤1,所以a2+=(a+)2－=4－≥2,故D正确.故选ABD.13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 【答案】 [15,19]【解析】 因为x+y=4－z,2x－y=5－z,故x=3－,y=1－,由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4(3－)+3(1－)+5z=+15∈[15,19].14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 【答案】 32【解析】 =()3,因为3≤≤4,所以27≤()3≤64,因为2≤xy2≤3,所以≤≤,根据不等式的性质得9≤()3≤32,即的最大值为32,当且仅当即时取到.15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B(2)【证明】 设商品原价格为a.方案一 经过两次降价后,价格变为a(1－m)(1－n);方案二 经过两次降价后,价格变为a(1－n)(1－m);方案三 经过两次降价后,价格变为a(1－)2,显然方案一、二的降价幅度相同,因为a(1－)2－a(1－n)(1－m)=a[1－m－n+()2－(1－m－n+mn)]=a[(m+n)2－mn]=(m－n)2,因为n≠m,所以(m－n)2>0,可得a(1－)2－a(1－n)(1－m)>0,即a(1－)2>a(1－n)(1－m),所以A=B(第13页)(共58张PPT)第3节 等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.[课程标准要求]知识梳理1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a b(a,b∈R),a－b=0 a b(a,b∈R),a－b<0 a b(a,b∈R).>=<2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么 ;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 ;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么 .知识梳理b=aa=c3.不等式的性质性质1 对称性:a>b ;性质2 传递性:a>b,b>c ;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;性质5 同向可加性:a>b,c>d ;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).知识梳理ba>cac>bcaca+c>b+dac>bd>0重要结论1.与倒数有关的结论:重要结论2.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则对点自测1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] MA对点自测2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果aC对点自测对点自测3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.对点自测(2,7)1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定考点一 比较数与式的大小BC[A] P[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] abCD[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.题后悟通[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假AD解题策略判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2ABD解题策略(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[针对训练]D2.(角度2)(多选题)已知6AB选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15基础巩固练1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )C[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定C3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)B【解析】 因为－4所以－34.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )AD5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )DAC8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.综合运用练9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )C10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+czA【解析】 由x>y>z,a(a－c)<0,故ax+by+cz(x－z)(c－b)>0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+czBABD13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . [15,19]3215.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(2)证明你的结论.
q[C] q< [D] q>7.(5分)如果x<0,08.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>010.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥213.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.第3节 等式性质与不等式性质（解析版）[课程标准要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a>b(a,b∈R),a－b=0 a=b(a,b∈R),a－b<0 a2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么b=a;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么=.3.不等式的性质性质1 对称性:a>b b性质2 传递性:a>b,b>c a>c;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5 同向可加性:a>b,c>d a+c>b+d;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ac>bd>0;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).1.与倒数有关的结论:(1)a>b,ab>0 <.(2)a<0(3)a>b>0,0.(4)02.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则(1)<<(b－m>0).(2)<<(b－m>0).1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] M【答案】 A【解析】 因为M－N=(2a2+5a+4)－(a+1)(a+3)=a2+a+1=(a+)2+>0,所以M>N.故选A.2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果a[A] < [B] <[C] < [D] >【答案】 C【解析】 如果a－b>0,>,故A错误;=>0,即>,故B错误;=<0,即<,故C正确;=<0,即<,故D错误.故选C.3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)【答案】 A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知2【答案】 (2,7) (－1,－)【解析】 因为－2由2考点一 比较数与式的大小1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定【答案】 B【解析】 由题意可知M=,N=,P===,则P－M==,因为x0,z－y>0,可得P－M=>0,即M2.若P=+,Q=+(a>－5),则P,Q的大小关系为( )[A] P[C] P>Q [D] 不能确定【答案】 C【解析】 P2=2a+13+2,Q2=2a+13+2,因为(a+6)(a+7)－(a+5)(a+8)=a2+13a+42－(a2+13a+40)=2>0,所以(a+6)(a+7)>(a+5)(a+8),所以>,所以P2>Q2,所以P>Q.故选C.3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] ab【答案】 C【解析】 因为=aa－b>a0=1,所以ab综上可知,ab4.若α,β∈[－,],且cos α>cos β,则下列结论中必定成立的是( )[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|【答案】 D【解析】 令f(x)=cos x,x∈[－,],f(x)为偶函数,且f(x)=cos x在x∈[0,]上单调递减,在x∈[－,0]上单调递增.所以当0≤|α|<|β|≤时,f(α)>f(β),反之也成立.故选D.比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc[C] >[D] (a－c)(b－c)[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.【答案】 AD【解析】 a+b+c=0且a>b>c,则a>0,c<0,则a+b=－c>0,A正确;因为a>b,c<0,所以ac因为a>b>c,a－b>0,b－c>0,(a－b)－(b－c)=a+c－2b=－3b,当b>0时,0,当b<0时,a－b>b－c>0,则<,当b=0时,a－b=b－c,则=,故C错误;因为(a－c)(b－c)－c2=(a－c)(－a－2c)－c2=－a2－ac－c2=－(a+c)2≤0,当且仅当a=－c时,等号成立,此时由a+b+c=0可得b=－c=a,不符合a>b>c,所以－(a+c)2=0不成立,故－(a+c)2<0,即(a－c)(b－c)判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2[A] 1[C] －4【答案】 ABD【解析】 因为a=(a+b)+(a－b),2所以1<(a+b)<,0<(a－b)<,故1因为b=(a+b)－(a－b),2因为a－2b=－(a+b)+(a－b),2所以－<－(a+b)<－1,0<(a－b)<,所以－因为2a－b=(a+b)+(a－b),20(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.[针对训练]1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[A] 若ab=1,则a+b≥2[B] 若<,则a>b[C] 若a>b,则ln(a－b)>0[D] 若a>b>0,则a+>b+【答案】 D【解析】 当a=－1,b=－1时,满足ab=1,但a+b=－2,所以A错误;当a<0,b>0时,满足<,但a当a=2,b=1时,ln(a－b)=0,所以C错误;若a>b>0,则>>0,则a+>b+成立,所以D正确.故选D.2.(角度2)(多选题)已知6[A] ∈(,4) [B] a+b∈(21,78)[C] a－b∈(－9,42) [D] ∈(,)【答案】 AB【解析】 因为66+15于是=+1∈(,5),故A,B正确,C,D错误.故选AB.(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )[A] 若>,则a>b[B] 若ac2≥bc2,则a>b[C] 若<,则ac[D] 若a【答案】 C【解析】 若>,当c<0时,根据不等式性质得a若ac2≥bc2,当c=0时,a,b大小无法确定,故B错误;若<,则c≠0,又c2>0,不等式两边同时乘c2,得ac若ab2,故D错误.故选C.2.已知0[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定【答案】 C【解析】 已知00,b>0,所以M－N=()－()=+==>0,因此,M>N.故选C.3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)【答案】 B【解析】 因为－4故选B.4.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )[A] c2[C] ac0【答案】 AD【解析】 对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则a－c=3,b－d=3,所以a－c=b－d,故B错误;对于C,因为a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则ac=－2,bd=－2,所以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<<,又因为0>c>d,则0<－c<－d,由不等式的同向皆正可乘性得,－<－,故>0,故D正确.故选AD.5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )[A] < [B] a2b>ab2[C] a2>ab>b2 [D] a>>b【答案】 D【解析】 由于a>b,取a=1,b=－1,则==,a2b=－1取a=0,b=－2,则a2=0,ab=0,b2=4,无法得到a2>ab>b2,C错误;由于a>b,则2a>b+a>2b,所以a>>b,D正确.故选D.6.(多选题)(2025·湖北襄阳模拟)19世纪戴德金利用他提出的分割理论,从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理,那么在证明有理数的不完备性时,经常会用到以下两个式子,已知正有理数p,满足p2<2,q=p－,则下列说法正确的是( )[A] pq[C] q< [D] q>【答案】 AC【解析】 因为p－q=p－p+=,而p2<2,p>0,所以<0,即p因为q=p－=>0,q2－()2==<0,所以q2<()2,即q<,故C正确,D错误.故选AC.7.(5分)如果x<0,0【答案】 <<【解析】 法一(作商法) 因为三个式子的值很明显都是负数,且=y<1,所以>;同理=y<1,所以>.综上,<<.法二(作差法) 因为=>0,所以>,因为=>0,所以>,所以>>.8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.【解】 (1)a2+b2－(ab+a+b－1)=(2a2+2b2－2ab－2a－2b+2)=[(a2+b2－2ab)+(a2－2a+1)+(b2－2b+1)]=[(a－b)2+(a－1)2+(b－1)2],因为(a－b)2≥0,(a－1)2≥0,(b－1)2≥0,当且仅当a=b=1时,三等号同时成立,所以a2+b2－(ab+a+b－1)≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a2+b2≥ab+a+b－1.(2)==.①当0即<;②当a>1时,>0,即>.故当0当a>1时,>.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>0【答案】 C【解析】 由于=,其中y－x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;当x=π,y=时tan x－tan y=0－1=－1<0,所以B不正确;由函数f(x)=()x在R上为单调递减函数,且x>y,得()x<()y,即()x－()y<0,所以C正确;当x=2,y=－3,此时ln |x|－ln |y|=ln 2－ln 3=ln <0,所以D不正确.故选C.10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz【答案】 A【解析】 由x>y>z,a故ax+by+cz0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)【答案】 B【解析】 由题意,2由条件得2<－2y<6,<<,所以<－<3,所以<1－<4,所以<<.故选B.12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥2【答案】 ABD【解析】 由题意a=2－=>0,b>0,所以b>,故A正确;==－(－1)2+1,因为b>,所以0<<2,所以0<≤1,故B正确;令a=b=1,则+b=2<3,故C错误;因为0<≤1,所以a2+=(a+)2－=4－≥2,故D正确.故选ABD.13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 【答案】 [15,19]【解析】 因为x+y=4－z,2x－y=5－z,故x=3－,y=1－,由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4(3－)+3(1－)+5z=+15∈[15,19].14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 【答案】 32【解析】 =()3,因为3≤≤4,所以27≤()3≤64,因为2≤xy2≤3,所以≤≤,根据不等式的性质得9≤()3≤32,即的最大值为32,当且仅当即时取到.15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B(2)【证明】 设商品原价格为a.方案一 经过两次降价后,价格变为a(1－m)(1－n);方案二 经过两次降价后,价格变为a(1－n)(1－m);方案三 经过两次降价后,价格变为a(1－)2,显然方案一、二的降价幅度相同,因为a(1－)2－a(1－n)(1－m)=a[1－m－n+()2－(1－m－n+mn)]=a[(m+n)2－mn]=(m－n)2,因为n≠m,所以(m－n)2>0,可得a(1－)2－a(1－n)(1－m)>0,即a(1－)2>a(1－n)(1－m),所以A=B(第13页)(共58张PPT)第3节 等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.[课程标准要求]知识梳理1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a b(a,b∈R),a－b=0 a b(a,b∈R),a－b<0 a b(a,b∈R).>=<2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么 ;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 ;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么 .知识梳理b=aa=c3.不等式的性质性质1 对称性:a>b ;性质2 传递性:a>b,b>c ;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;性质5 同向可加性:a>b,c>d ;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).知识梳理ba>cac>bcaca+c>b+dac>bd>0重要结论1.与倒数有关的结论:重要结论2.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则对点自测1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] MA对点自测2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果aC对点自测对点自测3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.对点自测(2,7)1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定考点一 比较数与式的大小BC[A] P[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] abCD[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.题后悟通[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假AD解题策略判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2ABD解题策略(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[针对训练]D2.(角度2)(多选题)已知6AB选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15基础巩固练1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )C[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定C3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)B【解析】 因为－4所以－34.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )AD5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )DAC8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.综合运用练9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )C10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+czA【解析】 由x>y>z,a(a－c)<0,故ax+by+cz(x－z)(c－b)>0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+czBABD13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . [15,19]3215.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(2)证明你的结论.
[C] P>Q [D] 不能确定【答案】 C【解析】 P2=2a+13+2,Q2=2a+13+2,因为(a+6)(a+7)－(a+5)(a+8)=a2+13a+42－(a2+13a+40)=2>0,所以(a+6)(a+7)>(a+5)(a+8),所以>,所以P2>Q2,所以P>Q.故选C.3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] ab【答案】 C【解析】 因为=aa－b>a0=1,所以ab综上可知,ab4.若α,β∈[－,],且cos α>cos β,则下列结论中必定成立的是( )[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|【答案】 D【解析】 令f(x)=cos x,x∈[－,],f(x)为偶函数,且f(x)=cos x在x∈[0,]上单调递减,在x∈[－,0]上单调递增.所以当0≤|α|<|β|≤时,f(α)>f(β),反之也成立.故选D.比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc[C] >[D] (a－c)(b－c)[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.【答案】 AD【解析】 a+b+c=0且a>b>c,则a>0,c<0,则a+b=－c>0,A正确;因为a>b,c<0,所以ac因为a>b>c,a－b>0,b－c>0,(a－b)－(b－c)=a+c－2b=－3b,当b>0时,0,当b<0时,a－b>b－c>0,则<,当b=0时,a－b=b－c,则=,故C错误;因为(a－c)(b－c)－c2=(a－c)(－a－2c)－c2=－a2－ac－c2=－(a+c)2≤0,当且仅当a=－c时,等号成立,此时由a+b+c=0可得b=－c=a,不符合a>b>c,所以－(a+c)2=0不成立,故－(a+c)2<0,即(a－c)(b－c)判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2[A] 1[C] －4【答案】 ABD【解析】 因为a=(a+b)+(a－b),2所以1<(a+b)<,0<(a－b)<,故1因为b=(a+b)－(a－b),2因为a－2b=－(a+b)+(a－b),2所以－<－(a+b)<－1,0<(a－b)<,所以－因为2a－b=(a+b)+(a－b),20(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.[针对训练]1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[A] 若ab=1,则a+b≥2[B] 若<,则a>b[C] 若a>b,则ln(a－b)>0[D] 若a>b>0,则a+>b+【答案】 D【解析】 当a=－1,b=－1时,满足ab=1,但a+b=－2,所以A错误;当a<0,b>0时,满足<,但a当a=2,b=1时,ln(a－b)=0,所以C错误;若a>b>0,则>>0,则a+>b+成立,所以D正确.故选D.2.(角度2)(多选题)已知6[A] ∈(,4) [B] a+b∈(21,78)[C] a－b∈(－9,42) [D] ∈(,)【答案】 AB【解析】 因为66+15于是=+1∈(,5),故A,B正确,C,D错误.故选AB.(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )[A] 若>,则a>b[B] 若ac2≥bc2,则a>b[C] 若<,则ac[D] 若a【答案】 C【解析】 若>,当c<0时,根据不等式性质得a若ac2≥bc2,当c=0时,a,b大小无法确定,故B错误;若<,则c≠0,又c2>0,不等式两边同时乘c2,得ac若ab2,故D错误.故选C.2.已知0[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定【答案】 C【解析】 已知00,b>0,所以M－N=()－()=+==>0,因此,M>N.故选C.3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)【答案】 B【解析】 因为－4故选B.4.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )[A] c2[C] ac0【答案】 AD【解析】 对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则a－c=3,b－d=3,所以a－c=b－d,故B错误;对于C,因为a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=－1,d=－2,则ac=－2,bd=－2,所以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<<,又因为0>c>d,则0<－c<－d,由不等式的同向皆正可乘性得,－<－,故>0,故D正确.故选AD.5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )[A] < [B] a2b>ab2[C] a2>ab>b2 [D] a>>b【答案】 D【解析】 由于a>b,取a=1,b=－1,则==,a2b=－1取a=0,b=－2,则a2=0,ab=0,b2=4,无法得到a2>ab>b2,C错误;由于a>b,则2a>b+a>2b,所以a>>b,D正确.故选D.6.(多选题)(2025·湖北襄阳模拟)19世纪戴德金利用他提出的分割理论,从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理,那么在证明有理数的不完备性时,经常会用到以下两个式子,已知正有理数p,满足p2<2,q=p－,则下列说法正确的是( )[A] pq[C] q< [D] q>【答案】 AC【解析】 因为p－q=p－p+=,而p2<2,p>0,所以<0,即p因为q=p－=>0,q2－()2==<0,所以q2<()2,即q<,故C正确,D错误.故选AC.7.(5分)如果x<0,0【答案】 <<【解析】 法一(作商法) 因为三个式子的值很明显都是负数,且=y<1,所以>;同理=y<1,所以>.综上,<<.法二(作差法) 因为=>0,所以>,因为=>0,所以>,所以>>.8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.【解】 (1)a2+b2－(ab+a+b－1)=(2a2+2b2－2ab－2a－2b+2)=[(a2+b2－2ab)+(a2－2a+1)+(b2－2b+1)]=[(a－b)2+(a－1)2+(b－1)2],因为(a－b)2≥0,(a－1)2≥0,(b－1)2≥0,当且仅当a=b=1时,三等号同时成立,所以a2+b2－(ab+a+b－1)≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a2+b2≥ab+a+b－1.(2)==.①当0即<;②当a>1时,>0,即>.故当0当a>1时,>.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>0【答案】 C【解析】 由于=,其中y－x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;当x=π,y=时tan x－tan y=0－1=－1<0,所以B不正确;由函数f(x)=()x在R上为单调递减函数,且x>y,得()x<()y,即()x－()y<0,所以C正确;当x=2,y=－3,此时ln |x|－ln |y|=ln 2－ln 3=ln <0,所以D不正确.故选C.10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz【答案】 A【解析】 由x>y>z,a故ax+by+cz0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)【答案】 B【解析】 由题意,2由条件得2<－2y<6,<<,所以<－<3,所以<1－<4,所以<<.故选B.12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥2【答案】 ABD【解析】 由题意a=2－=>0,b>0,所以b>,故A正确;==－(－1)2+1,因为b>,所以0<<2,所以0<≤1,故B正确;令a=b=1,则+b=2<3,故C错误;因为0<≤1,所以a2+=(a+)2－=4－≥2,故D正确.故选ABD.13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 【答案】 [15,19]【解析】 因为x+y=4－z,2x－y=5－z,故x=3－,y=1－,由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4(3－)+3(1－)+5z=+15∈[15,19].14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 【答案】 32【解析】 =()3,因为3≤≤4,所以27≤()3≤64,因为2≤xy2≤3,所以≤≤,根据不等式的性质得9≤()3≤32,即的最大值为32,当且仅当即时取到.15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B(2)【证明】 设商品原价格为a.方案一 经过两次降价后,价格变为a(1－m)(1－n);方案二 经过两次降价后,价格变为a(1－n)(1－m);方案三 经过两次降价后,价格变为a(1－)2,显然方案一、二的降价幅度相同,因为a(1－)2－a(1－n)(1－m)=a[1－m－n+()2－(1－m－n+mn)]=a[(m+n)2－mn]=(m－n)2,因为n≠m,所以(m－n)2>0,可得a(1－)2－a(1－n)(1－m)>0,即a(1－)2>a(1－n)(1－m),所以A=B(第13页)(共58张PPT)第3节 等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.[课程标准要求]知识梳理1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a b(a,b∈R),a－b=0 a b(a,b∈R),a－b<0 a b(a,b∈R).>=<2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么 ;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 ;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么 .知识梳理b=aa=c3.不等式的性质性质1 对称性:a>b ;性质2 传递性:a>b,b>c ;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;性质5 同向可加性:a>b,c>d ;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).知识梳理ba>cac>bcaca+c>b+dac>bd>0重要结论1.与倒数有关的结论:重要结论2.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则对点自测1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] MA对点自测2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果aC对点自测对点自测3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.对点自测(2,7)1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定考点一 比较数与式的大小BC[A] P[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] abCD[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.题后悟通[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假AD解题策略判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2ABD解题策略(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[针对训练]D2.(角度2)(多选题)已知6AB选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15基础巩固练1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )C[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定C3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)B【解析】 因为－4所以－34.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )AD5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )DAC8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.综合运用练9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )C10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+czA【解析】 由x>y>z,a(a－c)<0,故ax+by+cz(x－z)(c－b)>0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+czBABD13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . [15,19]3215.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(2)证明你的结论.
q[C] q< [D] q>【答案】 AC【解析】 因为p－q=p－p+=,而p2<2,p>0,所以<0,即p因为q=p－=>0,q2－()2==<0,所以q2<()2,即q<,故C正确,D错误.故选AC.7.(5分)如果x<0,0【答案】 <<【解析】 法一(作商法) 因为三个式子的值很明显都是负数,且=y<1,所以>;同理=y<1,所以>.综上,<<.法二(作差法) 因为=>0,所以>,因为=>0,所以>,所以>>.8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.(2)已知a>0,试比较与的大小.【解】 (1)a2+b2－(ab+a+b－1)=(2a2+2b2－2ab－2a－2b+2)=[(a2+b2－2ab)+(a2－2a+1)+(b2－2b+1)]=[(a－b)2+(a－1)2+(b－1)2],因为(a－b)2≥0,(a－1)2≥0,(b－1)2≥0,当且仅当a=b=1时,三等号同时成立,所以a2+b2－(ab+a+b－1)≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a2+b2≥ab+a+b－1.(2)==.①当0即<;②当a>1时,>0,即>.故当0当a>1时,>.9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )[A] <0[B] tan x－tan y>0[C] ()x－()y<0[D] ln |x|－ln |y|>0【答案】 C【解析】 由于=,其中y－x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;当x=π,y=时tan x－tan y=0－1=－1<0,所以B不正确;由函数f(x)=()x在R上为单调递减函数,且x>y,得()x<()y,即()x－()y<0,所以C正确;当x=2,y=－3,此时ln |x|－ln |y|=ln 2－ln 3=ln <0,所以D不正确.故选C.10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+cz【答案】 A【解析】 由x>y>z,a故ax+by+cz0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+cz11.(2025·河南郑州模拟)已知2[A] (,) [B] (,)[C] (,1) [D] (,2)【答案】 B【解析】 由题意,2由条件得2<－2y<6,<<,所以<－<3,所以<1－<4,所以<<.故选B.12.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正数a,b满足a+=2,则( )[A] b> [B] 0<≤1[C] +b≥3 [D] a2+≥2【答案】 ABD【解析】 由题意a=2－=>0,b>0,所以b>,故A正确;==－(－1)2+1,因为b>,所以0<<2,所以0<≤1,故B正确;令a=b=1,则+b=2<3,故C错误;因为0<≤1,所以a2+=(a+)2－=4－≥2,故D正确.故选ABD.13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . 【答案】 [15,19]【解析】 因为x+y=4－z,2x－y=5－z,故x=3－,y=1－,由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4(3－)+3(1－)+5z=+15∈[15,19].14.(5分)设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 . 【答案】 32【解析】 =()3,因为3≤≤4,所以27≤()3≤64,因为2≤xy2≤3,所以≤≤,根据不等式的性质得9≤()3≤32,即的最大值为32,当且仅当即时取到.15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;方案三:第一次降价百分率为,第二次降价百分率为.其中0%(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(2)证明你的结论.(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B(2)【证明】 设商品原价格为a.方案一 经过两次降价后,价格变为a(1－m)(1－n);方案二 经过两次降价后,价格变为a(1－n)(1－m);方案三 经过两次降价后,价格变为a(1－)2,显然方案一、二的降价幅度相同,因为a(1－)2－a(1－n)(1－m)=a[1－m－n+()2－(1－m－n+mn)]=a[(m+n)2－mn]=(m－n)2,因为n≠m,所以(m－n)2>0,可得a(1－)2－a(1－n)(1－m)>0,即a(1－)2>a(1－n)(1－m),所以A=B(第13页)(共58张PPT)第3节 等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.[课程标准要求]知识梳理1.两个实数大小比较的基本事实a－b>0 a b(a,b∈R),a－b=0 a b(a,b∈R),a－b<0 a b(a,b∈R).>=<2.等式的性质性质1 对称性:如果a=b,那么 ;性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 ;性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么 .知识梳理b=aa=c3.不等式的性质性质1 对称性:a>b ;性质2 传递性:a>b,b>c ;性质3 可加性:a>b a+c>b+c;性质4 可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;性质5 同向可加性:a>b,c>d ;性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).知识梳理ba>cac>bcaca+c>b+dac>bd>0重要结论1.与倒数有关的结论:重要结论2.两个重要不等式:若a>b>0,m>0,则对点自测1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为( )[A] M>N [B] M=N[C] MA对点自测2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果aC对点自测对点自测3.已知x<－2,y>4,则x2+y的取值范围是( )[A] (8,+∞) [B] [8,+∞)[C] [10,+∞) [D] (10,+∞)A【解析】 因为x<－2,所以－x>2,则x2=(－x)·(－x)>4,又y>4,所以x2+y>8.故选A.对点自测(2,7)1.(2025·辽宁大连模拟)设x,y,z的平均数为M,x与y的平均数为N,N与z的平均数为P.若x[A] M=P [B] M[C] M>P [D] 不能确定考点一 比较数与式的大小BC[A] P[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] abCD[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.题后悟通[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假AD解题策略判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2ABD解题策略(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[针对训练]D2.(角度2)(多选题)已知6AB选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15基础巩固练1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )C[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定C3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)B【解析】 因为－4所以－34.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )AD5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )DAC8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.综合运用练9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )C10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+czA【解析】 由x>y>z,a(a－c)<0,故ax+by+cz(x－z)(c－b)>0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+czBABD13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . [15,19]3215.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(2)证明你的结论.
[C] P>Q [D] 不能确定3.若正实数a,b,满足a[A] aa[C] abCD[A] α>β [B] α+β>0[C] α<β [D] |α|<|β|比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.一般地,若待比较的两个式子具有相同的特征或变形后具有相同的特征,则可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.题后悟通[例1] (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正确的是( )[A] a+b>0[B] ac>bc考点二 不等式的性质角度1 利用不等式的性质判断命题的真假AD解题策略判断不等式是否成立的方法综合利用不等式的性质进行推理论证,求解时常与比较大小以及利用特殊值判断相结合.角度2 利用不等式的性质求范围[例2] (多选题)(2025·江苏南通模拟)已知2ABD解题策略(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.1.(角度1)(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是( )[针对训练]D2.(角度2)(多选题)已知6AB选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号比较数与式的大小 2,6,7,8,10不等式的性质 1,3,4,5,11,13不等式性质的综合应用 9,12,14,15基础巩固练1.(2025·江西新余模拟)已知a,b,c为实数,则( )C[A] M=N [B] M[C] M>N [D] 不能确定C3.若1[A] (－3,0) [B] (－3,3)[C] (0,3) [D] (－3,5)B【解析】 因为－4所以－34.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )AD5.(2025·北京模拟)若a,b∈R,且a>b,则( )DAC8.(12分)(1)设a,b为实数,比较a2+b2与ab+a+b－1的大小.综合运用练9.(2025·河北承德模拟)已知x,y∈R,且x>y,则( )C10.(2025·湖北荆州模拟)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a[A] ax+by+cz [B] az+by+cx[C] ay+bz+cx [D] ay+bx+czA【解析】 由x>y>z,a(a－c)<0,故ax+by+cz(x－z)(c－b)>0,故ay+bz+cx>ay+bx+cz;ax+by+cz－(ay+bx+cz)=a(x－y)+b(y－x)=(x－y)(a－b)<0,故ax+by+czBABD13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是 . [15,19]3215.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(1)经过两次降价后,请把三种方案降价后的价格从大到小排列;(1)【解】 分别设方案一、方案二、方案三降价后的价格为A,B,C.两次降价后,三种方案降价后的价格从大到小排列为A=B15.(15分)某网店的某最新商品计划分两次降价促销,有三种方案:方案一:第一次降价百分率为m,第二次降价百分率为n;方案二:第一次降价百分率为n,第二次降价百分率为m;(2)证明你的结论.
