第4节 基本不等式
[课程标准要求]
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
(3)叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数.
2.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大);
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和 x+y取得小值2(简记:积定和最小).
几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)+≥2(a,b同号);
(3)ab≤()2(a,b∈R);
(4)()2≤(a,b∈R).
1.下列函数中,y的最小值为4的是( )
[A] y=x+
[B] y=ex+4e－x
[C] y=sin x+(0
[D] y=
2.已知a>0,b>0,若+=1,则ab的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] 4 [D] 8
3.已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值是( )
[A] [B] 4 [C] 1 [D]
4.(人教A版必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2.
5.(人教A版必修第一册P48习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>3)在x=a处取最小值b,则a+b= .
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用基本不等式求最值
[例1] (2025·山东聊城模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 3 [D] 2
若已知条件中的变量满足(或变形后满足)“积为定值”或“和为定值”,且变量均为正数,在保证等号成立的前提下,可以直接利用基本不等式求最值.
角度2 配凑法求最值
[例2] (1)函数y=(x<－1)的最大值为( )
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] －1
(2)已知－3配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.一般地,形如 cx+d+或ax(c－bx)(b≠0)的形式,常用配凑法求最值.
角度3 常值代换法求条件最值
[例3] (2025·江苏扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为( )
[A] 4 [B] 4 [C] 6 [D] 2+3
常值代换法主要解决以下最值问题
利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值.一般地,以下两种情形:形如或可化为已知+=k(k≠0),求ma+nb(mn≠0)的最值;或已知a+b=k(k≠0),求+(mn≠0)的最值.
角度4 消元法
[例4] 已知正实数x,y满足x2+3xy－1=0,则x+y的最小值是( )
[A] [B] 1 [C] [D]
已知条件中含多元变量且有二次有一次,常利用代换消元变为单变量式子,对于有些高次可以因式分解,然后再代入,达到消元的目的.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·河南开封模拟)已知a>0,b>0,则2++的最小值是( )
[A] 2 [B] 4
[C] 4 [D] 6
2.(角度3)(2025·甘肃金昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为( )
[A] 6 [B] 9 [C] 4 [D] 8
3.(角度4)(2025·浙江嘉兴模拟)若正数x,y满足x2－2xy+2=0,则x+y的最小值是( )
[A] [B] [C] 2 [D] 2
4.(角度2)(2025·天津模拟)函数y=(x>－1)的最小值为 .
考点二 利用基本不等式求参数的范围问题
[例5] 若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的取值集合为 .
求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
[针对训练] (2025·北京模拟)若关于x的不等式ax2－2x+a≤0在区间[0,4]上有解,则实数a的取值范围是 .
考点三 基本不等式的实际应用
[例6] 如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛,造价为2 100元/m2;在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪,造价为
210元/m2;在两个三角形DEM和CFN上铺草坪,造价为40元/m2.设总造价为S(单位:元),
AD长为x(单位:m).
(1)设AH长为y(单位:m),写出y关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,S最小 并求出这个最小值.
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
[针对训练] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大
微点培优1 三元基本不等式与柯西不等式
1.三元基本不等式:当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时等号成立.三元基本不等式的使用条件与二元基本不等式≥是一样的,即“一正、二定、三相等”.
2.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)一般的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立.
类型一 三元基本不等式
[典例1] (多选题)判断下列不等式成立的有( )
[A] 若x>0,则x2+≥3
[B] 若0[C] 若x>0,则2x+≥3
[D] 若0类型二 柯西不等式
[典例2] (1)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为( )
[A] 1 [B] [C] [D]
(2)已知x>0,y∈R,且x+y=6,则+ 的最大值为( )
[A] [B] [C] 2 [D] 3
[拓展演练] (1)已知a≥0,b≥0,a+b=5,则+ 的最大值为( )
[A] 18 [B] 9 [C] 2 [D] 3
(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为( )
[A] [B] [C] [D]
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(－6[A] 9 [B] [C] 3 [D]
2.(2025·四川成都模拟)若正实数a,b满足a2+b2=m,则a+b的最大值为( )
[A] [B] m [C] 2 [D] 2m
3.(2025·广西南宁模拟)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( )
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
4.下列函数中最小值为4的是( )
[A] y=x2+2x+4
[B] y=|sin x|+
[C] y=2x+22－x
[D] y=ln x+
5.(2025·山西临汾模拟)已知a>0,函数y=+(x>2)有最小值,则a等于( )
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
6.(5分)若存在实数x>0,使不等式x3+5x2+4x≤ax2成立,则实数a的取值范围是 .
7.(12分)已知实数a>0,b>0,满足a+b=4.
(1)求证:a2+b2≥24.
(2)求的最小值.
8.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)已知a>0,b>0,a+b=ab,则( )
[A] a>1且b>1 [B] ab≥4
[C] a+4b≤9 [D] +>1
9.(2025·安徽蚌埠模拟)已知m>0,n>0,则下列选项中,能使m+2n取得最小值18的为( )
[A] mn=32 [B] m+8n=mn
[C] m2+8n=68 [D] m2+4n2=162
10.(2025·河南安阳模拟)已知正实数a,b满足 a+b≥+,则a+b的最小值为( )
[A] 5 [B] [C] 5 [D]
11.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2－xy=1,则( )
[A] x+y≤1 [B] x+y≥－2
[C] x2+y2≤2 [D] x2+y2≥1
12.(5分)已知实数a>0,b>2,且+=,则2a+b的最小值是 .
13.(5分)若不等式+－m≥0对x∈(0,)恒成立,则实数m的最大值为 .
14.(13分)已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥49.
15.(13分)某公益团队联系某运动会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15－0.1x)万套,为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大 最大值是多少元
第4节 基本不等式（解析版）
[课程标准要求]
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
(3)叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数.
2.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大);
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和 x+y取得小值2(简记:积定和最小).
几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)+≥2(a,b同号);
(3)ab≤()2(a,b∈R);
(4)()2≤(a,b∈R).
1.下列函数中,y的最小值为4的是( )
[A] y=x+
[B] y=ex+4e－x
[C] y=sin x+(0[D] y=
【答案】 B
【解析】 y=x+中x可以为负数,所以A错误;y=ex+4e－x≥2=4,当且仅当
ex=4e－x,x=ln 2时等号成立,所以B正确;当0而sin x=时,sin x=2,不符合,所以C错误;y==+≥2=2,而=,x2+2=0,无解,所以D错误.故选B.
2.已知a>0,b>0,若+=1,则ab的最小值为( )
[A] [B] 2
[C] 4 [D] 8
【答案】 D
【解析】 由基本不等式可得+=1≥2,整理得ab≥8,当且仅当==,即a=2,b=4时,等号成立.所以ab的最小值为8.
故选D.
3.已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值是( )
[A] [B] 4 [C] 1 [D]
【答案】 C
【解析】 因为正实数a,b满足a+b=4,可得(a+b)=1,
所以+=(+)·(a+b)=(2++)≥(2+2)=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,
所以+的最小值是1.故选C.
4.(人教A版必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2.
【答案】 25
【解析】 设矩形场地的一边长为x m,则另一边长为(10－x) m.则矩形场地的面积为
x·(10－x)≤()2=25,当且仅当x=10－x,即x=5时,等号成立,即矩形场地面积的最大值为25 m2.
5.(人教A版必修第一册P48习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>3)在x=a处取最小值b,则a+b= .
【答案】 12
【解析】 因为x>3,
所以f(x)=x+=(x－3)++3≥2+3=7,
当且仅当x－3=,即x=5时,等号成立.
故a=5,b=7.
所以a+b=12.
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用基本不等式求最值
[例1] (2025·山东聊城模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 3 [D] 2
【答案】 A
【解析】 因为x>0,y>0,且x+2y=1,
所以3x+9y≥2=2=2,当且仅当即时,等号成立,
所以3x+9y的最小值为2.故选A.
若已知条件中的变量满足(或变形后满足)“积为定值”或“和为定值”,且变量均为正数,在保证等号成立的前提下,可以直接利用基本不等式求最值.
角度2 配凑法求最值
[例2] (1)函数y=(x<－1)的最大值为( )
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] －1
(2)已知－3[溯源探本]本例题(2)源于人教A版必修第一册P48习题2.2 T1(2).
【答案】 (1)D (2)－
【解析】 (1)因为x<－1,所以－(x+1)>0,
所以y===－[－(x+1)+]+1≤－2+1=－1,
当且仅当x+1=,
即x=－2时,等号成立.
故选D.
(2)因为－3当且仅当9－x2=x2,
即x=－时,等号成立,
所以y=x的最小值为－.
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.一般地,形如 cx+d+或ax(c－bx)(b≠0)的形式,常用配凑法求最值.
角度3 常值代换法求条件最值
[例3] (2025·江苏扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为( )
[A] 4 [B] 4 [C] 6 [D] 2+3
【答案】 D
【解析】 因为x>0,y>0,且2x+y=1,
所以=+=(+)(2x+y)=++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=－1时取等号.故选D.
常值代换法主要解决以下最值问题
利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值.一般地,以下两种情形:形如或可化为已知+=k(k≠0),求ma+nb(mn≠0)的最值;或已知a+b=k(k≠0),求+(mn≠0)的最值.
角度4 消元法
[例4] 已知正实数x,y满足x2+3xy－1=0,则x+y的最小值是( )
[A] [B] 1 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为正实数x,y满足x2+3xy－1=0,所以y=,则x+y=x+=+≥,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,所以x+y的最小值为.故选C.
已知条件中含多元变量且有二次有一次,常利用代换消元变为单变量式子,对于有些高次可以因式分解,然后再代入,达到消元的目的.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·河南开封模拟)已知a>0,b>0,则2++的最小值是( )
[A] 2 [B] 4
[C] 4 [D] 6
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,所以2++≥2+≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
故选B.
2.(角度3)(2025·甘肃金昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为( )
[A] 6 [B] 9 [C] 4 [D] 8
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,且a+2b=ab,
所以=+=1,
因为2a+b=(2a+b)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=3时,等号成立,所以2a+b的最小值为9.故选B.
3.(角度4)(2025·浙江嘉兴模拟)若正数x,y满足x2－2xy+2=0,则x+y的最小值是( )
[A] [B] [C] 2 [D] 2
【答案】 A
【解析】 由x2－2xy+2=0,可得y=+,
所以x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=时,等号成立,此时y=>0符合题意.所以x+y的最小值为.故选A.
4.(角度2)(2025·天津模拟)函数y=(x>－1)的最小值为 .
【答案】 9
【解析】 因为x>－1,则x+1>0,
所以y=
=
=(x+1)++5
≥2+5=9,
当且仅当x+1=,
即x=1时等号成立,所以函数的最小值为9.
考点二 利用基本不等式求参数的范围问题
[例5] 若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的取值集合为 .
【答案】 (0,4]
【解析】 因为+≥4,
则+≥4－,
原题等价于+≥4－对任意x>2恒成立,
由a>0,x>2,则>0,>0,
可得+≥2=,
当且仅当=,
即x=2+时取得等号,
所以解得0故正实数a的取值集合为(0,4].
求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
[针对训练] (2025·北京模拟)若关于x的不等式ax2－2x+a≤0在区间[0,4]上有解,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－∞,1]
【解析】 因为x∈[0,4],所以由ax2－2x+a≤0得a≤.
因为关于x的不等式ax2－2x+a≤0在区间[0,4]上有解,
所以只需a小于等于的最大值即可.
当x=0时,=0,
当x≠0时,=≤1,当且仅当x=1时,等号成立,故的最大值为1,所以a≤1,即实数a的取值范围为(－∞,1].
考点三 基本不等式的实际应用
[例6] 如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛,造价为2 100元/m2;在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪,造价为
210元/m2;在两个三角形DEM和CFN上铺草坪,造价为40元/m2.设总造价为S(单位:元),
AD长为x(单位:m).
(1)设AH长为y(单位:m),写出y关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,S最小 并求出这个最小值.
【解】 (1)由题意得4xy+x2=100,
解得y=,
由x>0,y>0,得0所以y=(0(2)由题意得AH=y=(0所以S=2 100x2+2x××210+2×()2×40=2 000x2++9 500≥
2+9 500=29 500,
当且仅当2 000x2=,即x=时,等号成立.
所以当x=时,S最小,且S最小=29 500元.
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
[针对训练] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大
【解】 (1)设矩形花园的长为y m,
因为矩形花园的总面积为750 m2,
所以xy=750,
可得y=,又因为阴影部分是宽度为1 m的小路,可得2a+3=,可得a=,
即a关于x的关系式为a=,3(2)由(1)知,a=,则
S=(x－2)a+(x－3)a=(2x－5)a=(2x－5)×()=－(3x+)≤－2=,
当且仅当3x=,即x=25时,等号成立,所以当x=25时,才能使鲜花种植的总面积最大,最大面积为 m2.
微点培优1 三元基本不等式与柯西不等式
1.三元基本不等式:当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时等号成立.三元基本不等式的使用条件与二元基本不等式≥是一样的,即“一正、二定、三相等”.
2.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)一般的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立.
类型一 三元基本不等式
[典例1] (多选题)判断下列不等式成立的有( )
[A] 若x>0,则x2+≥3
[B] 若0[C] 若x>0,则2x+≥3
[D] 若0【答案】 AC
【解析】 因为x>0,所以x2+=x2++≥3=3,
当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,A正确;
因为0当且仅当x=2－2x,即x=时,等号成立,B错误;
因为x>0,则2x+=x+x+≥3=3,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立,C正确;
因为0当且仅当2x=1－x,即x=时,等号成立,D错误.故选AC.
类型二 柯西不等式
[典例2] (1)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为( )
[A] 1 [B] [C] [D]
(2)已知x>0,y∈R,且x+y=6,则+ 的最大值为( )
[A] [B] [C] 2 [D] 3
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)由柯西不等式(x+y+z)2≤(2x2+3y2+z2)(++1),得2x2+3y2+z2≥,
当且仅当==,即x=,y=,z=时,等号成立.故选C.
(2)因为x+y=6,
所以+=+=+·.
由x>0,2－x≥0可得0由柯西不等式得(+·)2≤[12+()2]·[()2+()2]=24,
所以+·≤2,
当=,即x=时,等号成立.
所以+的最大值为2.故选C.
[拓展演练] (1)已知a≥0,b≥0,a+b=5,则+ 的最大值为( )
[A] 18 [B] 9 [C] 2 [D] 3
(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)因为(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),
令x1=,y1=1,x2=,y2=,
又a≥0,b≥0,a+b=5,
所以(+)2=(·+1·)2≤[()2+12]·(a+1+b+3)=27,
当且仅当·=1·,
即a=5,b=0时等号成立,即+≤3.故选D.
(2)由于a,b,c∈R+,且a+b+c=1,
所以0所以(1－a)(1－b)(1－c)≤
[]3=()3=,
当且仅当1－a=1－b=1－c,
即a=b=c=时,原式取得最大值.
故选C.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用基本不等式求最值 1,2,4,10,12,13
基本不等式的综合应用 5,6,7,8,9,11,14
基本不等式的实际应用 3,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(－6[A] 9 [B] [C] 3 [D]
【答案】 B
【解析】 因为－60,a+6>0,则由基本不等式可知,
≤=,当且仅当3－a=a+6,即a=－时,等号成立.故选B.
2.(2025·四川成都模拟)若正实数a,b满足a2+b2=m,则a+b的最大值为( )
[A] [B] m [C] 2 [D] 2m
【答案】 A
【解析】 因为a2+b2=m,a>0,b>0,
所以≤,
即a+b≤·=,
当且仅当a=b=时,等号成立,
所以a+b的最大值为.
故选A.
3.(2025·广西南宁模拟)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( )
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
【答案】 C
【解析】 由题意该设备年平均费用
y==++(x∈N*),
因为x>0,则y=++≥2+=,
当且仅当=,即x=9∈N*时,等号成立,所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C.
4.下列函数中最小值为4的是( )
[A] y=x2+2x+4
[B] y=|sin x|+
[C] y=2x+22－x
[D] y=ln x+
【答案】 C
【解析】 选项A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=－1时,y取得最小值,且ymin=3,所以选项A不符合题意;
选项B,因为y=|sin x|+≥2=4,所以y≥4,当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时,等号成立,但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立,因此可知y>4,所以选项B不符合题意;
选项C,因为y=2x+22－x≥2=4,当且仅当2x=22－x,即x=2－x,即x=1时,等号成立,
所以ymin=4,所以选项C符合题意;
选项D,当0故选C.
5.(2025·山西临汾模拟)已知a>0,函数y=+(x>2)有最小值,则a等于( )
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
【答案】 B
【解析】 y=++≥2+=,令=t(t>0),则4t2+4t－3=0,所以t=或－(舍),所以=,所以a=4.故选B.
6.(5分)若存在实数x>0,使不等式x3+5x2+4x≤ax2成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [9,+∞)
【解析】 当x>0,不等式x3+5x2+4x≤ax2能成立,即≤a能成立,
只需满足a≥()min,
因为x>0,
所以=x++5≥2+5=9,
当且仅当x=,
即x=2时,等号成立.
故实数a的取值范围是[9,+∞).
7.(12分)已知实数a>0,b>0,满足a+b=4.
(1)求证:a2+b2≥24.
(2)求的最小值.
(1)【证明】 由a>0,b>0,a+b=4得48=(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2),
当且仅当a=b=2时,等号成立,
所以a2+b2≥24.
(2)【解】 由已知a>0,b>0,则ab>0,则
=
=
=
=ab+－2≥2－2=12,
当且仅当
即a,b一个为2+,一个为2时,等号成立,
所以的最小值是12.
8.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)已知a>0,b>0,a+b=ab,则( )
[A] a>1且b>1 [B] ab≥4
[C] a+4b≤9 [D] +>1
【答案】 ABD
【解析】 因为a>0,b>0,且a+b=ab,则a=>0,故b>1,同理可得a>1,A正确;
因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2,
所以ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,B正确;
因为a>0,b>0,a+b=ab,则+=1,
则a+4b=(a+4b)(+)=1+++4≥5+2=9,
当且仅当
即a=3,b=时取等号,C错误;
由于b>0,故+=+=b－1+≥2－1=1,
当且仅当b=1时取等号,而b>1,故+>1,
D正确.故选ABD.
9.(2025·安徽蚌埠模拟)已知m>0,n>0,则下列选项中,能使m+2n取得最小值18的为( )
[A] mn=32 [B] m+8n=mn
[C] m2+8n=68 [D] m2+4n2=162
【答案】 B
【解析】 对于A,由m>0,n>0可知,m+2n≥2=16,
当且仅当m=2n时,等号成立,最小值不是18,故选项A不正确;
对于B,若m+8n=mn,两边除以mn得+=1,则m+2n=(m+2n)(+)=10++≥10+2=18,当且仅当==4,即m=12,n=3时,等号成立,故m+2n的最小值是18,故选项B正确;对于C,由m2+8n=68,得n=－m2+,故m+2n=m+2(－m2+)=－m2+m+17,由二次函数的性质,可知当m=2时,m+2n的最大值为18,故选项C不正确;对于D,因为m2+4n2=162,则当m=3,n=6时,m+2n=12+3<18,故m+2n不能取得最小值18,故选项D不正确.故选B.
10.(2025·河南安阳模拟)已知正实数a,b满足 a+b≥+,则a+b的最小值为( )
[A] 5 [B] [C] 5 [D]
【答案】 D
【解析】 由已知可得,a>0,b>0,a+b>0.
因为(+)(a+b)=+2++≥
2+=6+=,
当且仅当=,即2a=3b时,等号成立.
所以(a+b)2≥(+)(a+b)≥,
当且仅当即时,两个等号同时成立.
所以a+b≥.故选D.
11.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2－xy=1,则( )
[A] x+y≤1 [B] x+y≥－2
[C] x2+y2≤2 [D] x2+y2≥1
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,B,由x2+y2－xy=1,
得(x+y)2－3xy=1,
又xy=,
所以(x+y)2－3[]=1,
即1=+≥,
所以－2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;
对于选项C,D,由x2+y2－xy=1,
得x2+y2－1=xy≤,
当且仅当x=y时,取等号,
所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选BC.
12.(5分)已知实数a>0,b>2,且+=,则2a+b的最小值是 .
【答案】 24
【解析】 因为a>0,b>2,
且+=,
所以+=1,
所以2a+b=[2(a+1)+(b－2)](+)=6+6++≥12+2=24,
当且仅当=,
即b－2=2(a+1),
即a=5,b=14时,等号成立.
13.(5分)若不等式+－m≥0对x∈(0,)恒成立,则实数m的最大值为 .
【答案】 9
【解析】 将不等式转化为+≥m,只需当 x∈(0,)时,(+)min≥m即可,
由+=(+)(4x+1－4x)=4+++1≥5+2=5+4=9,当且仅当x=时,等号成立,故m≤9,故m的最大值为9.
14.(13分)已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥49.
【证明】 (1)因为(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2≥0,
所以2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
因为a,b,c为正数,
且满足a+b+c=1,
所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
所以1≥3(ab+bc+ac),
即ab+bc+ca≤.
(2)因为a+b+c=1,
所以++=(++)(a+b+c)
=21+(+)+(+)+(+)
≥21+2+2+2=21+16+8+4=49,
当且仅当a=,b=,c=时,上式等号成立.
15.(13分)某公益团队联系某运动会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15－0.1x)万套,为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大 最大值是多少元
【解】 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,销售量为15－0.1×100=5(万套),
供货单价为50+=52(元),
总利润为5×(100－52)=240(万元).
(2)设售价为x元,
则销售量为(15－0.1x)万套,
供货单价为(50+)元,
单套利润为x－50－=(x－50－)元,
因为15－0.1x>0,
所以0所以设单套利润为
y=x－50－
=－[(150－x)+]+100
≤100－2=80,
当且仅当150－x=10,即x=140时,等号成立,
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时,单套的利润最大,最大值为80元.
(
第
18
页
)(共81张PPT)
第4节 基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
[课程标准要求]
知识梳理
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 时,等号成立.
(3) 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数.
a>0,b>0
a=b
知识梳理
2.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 (简记:和定积最大);
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和 x+y取得小值 (简记:积定和最小).
重要结论
几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
对点自测
1.下列函数中,y的最小值为4的是( )
B
对点自测
D
对点自测
对点自测
C
对点自测
C
4.(人教A版必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2.
25
对点自测
12
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用基本不等式求最值
[例1] (2025·山东聊城模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为
( )
A
解题策略
若已知条件中的变量满足(或变形后满足)“积为定值”或“和为定值”,且变量均为正数,在保证等号成立的前提下,可以直接利用基本不等式求最值.
角度2 配凑法求最值
D
[A] 3 [B] 2 [C] 1 [D] －1
解题策略
角度3 常值代换法求条件最值
D
解题策略
常值代换法主要解决以下最值问题
角度4 消元法
C
[例4] 已知正实数x,y满足x2+3xy－1=0,则x+y的最小值是( )
解题策略
已知条件中含多元变量且有二次有一次,常利用代换消元变为单变量式子,对于有些高次可以因式分解,然后再代入,达到消元的目的.
B
[针对训练]
2.(角度3)(2025·甘肃金昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为
( )
[A] 6 [B] 9 [C] 4 [D] 8
B
3.(角度4)(2025·浙江嘉兴模拟)若正数x,y满足x2－2xy+2=0,则x+y的最小值是( )
A
9
考点二 利用基本不等式求参数的范围问题
(0,4]
解题策略
求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
[针对训练] (2025·北京模拟)若关于x的不等式ax2－2x+a≤0在区间[0,4]上有解,则实数a的取值范围是 .
(－∞,1]
[例6] 如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛,造价为2 100元/m2;在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2;在两个三角形DEM和CFN上铺草坪,造价为40元/m2.设总造价为S(单位:元),AD长为x(单位:m).
(1)设AH长为y(单位:m),写出y关于x的函数解析式;
考点三 基本不等式的实际应用
[例6] 如图,居民社区要建一个休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛,造价为2 100元/m2;在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2;在两个三角形DEM和CFN上铺草坪,造价为40元/m2.设总造价为S(单位:元),AD长为x(单位:m).
(2)当x为何值时,S最小 并求出这个最小值.
解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
[针对训练] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
[针对训练] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大
知识链接
2.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
题型演绎
类型一 三元基本不等式
[典例1] (多选题)判断下列不等式成立的有( )
AC
类型二 柯西不等式
[典例2] (1)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为( )
C
C
D
C
(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为( )
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
利用基本不等式求最值 1,2,4,10,12,13
基本不等式的综合应用 5,6,7,8,9,11,14
基本不等式的实际应用 3,15
基础巩固练
B
2.(2025·四川成都模拟)若正实数a,b满足a2+b2=m,则a+b的最大值为( )
A
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
C
4.下列函数中最小值为4的是( )
C
[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6
B
6.(5分)若存在实数x>0,使不等式x3+5x2+4x≤ax2成立,则实数a的取值范围是
.
[9,+∞)
(1)求证:a2+b2≥24.
8.(多选题)(2025·浙江绍兴模拟)已知a>0,b>0,a+b=ab,则( )
综合运用练
ABD
9.(2025·安徽蚌埠模拟)已知m>0,n>0,则下列选项中,能使m+2n取得最小值18的为( )
[A] mn=32 [B] m+8n=mn
[C] m2+8n=68 [D] m2+4n2=162
B
D
11.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2－xy=1,则( )
[A] x+y≤1 [B] x+y≥－2
[C] x2+y2≤2 [D] x2+y2≥1
BC
24
9
14.(13分)已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.证明:
【证明】 (1)因为(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2≥0,
所以2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
14.(13分)已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.证明:
15.(13分)某公益团队联系某运动会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15－0.1x)万套,为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元
15.(13分)某公益团队联系某运动会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15－0.1x)万套,为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价－供货价格.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大 最大值是多少元