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第十一章 立体几何初步
章末知识梳理与能力提升
教材内主干知识回顾
[本章知识结构——建体系]
[核心知识点拨——握重难]
1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
2. 点、直线、平面间的位置关系
（1）点与直线、点与平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点 A 在直线 l 上 A ∈ l
点 A 在直线 l 外 A l
点 A 在平面α内 A ∈α
点 A 在平面α外 A α
（3）直线与平面之间的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个 1个 0个
符号表示 a α a ∩α＝ A a ∥α
图形表示
（4）平面与平面之间的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 α∥β 0个
两平面相交 α∩β＝ l 无数个点（共线）
3. 多面体、旋转体的几何特征与表面积和体积
名 称 定义 图形 侧面积 体积
多
面
体 棱
柱 有两个面互相平行， 其余各面都是四边 形，并且每相邻两个 四边形的公共边都互 相平行 S侧＝ Ch ， C 为底面 的周长， h 为高 V ＝ Sh
名 称 定义 图形 侧面积 体积
多
面
体 棱
锥 有一个面是多边形， 其余各面都是有一个 公共顶点的三角形 V ＝
棱
台 用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部 分
名 称 定义 图形 侧面积 体积
旋
转
体 圆
柱 以矩形的一边所在直 线为旋转轴，其余三 边旋转形成的面所围 成的旋转体 S侧＝ ， r 为底面半径， l 为母 线长 V ＝ Sh ＝
圆
锥 以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋 转轴，其余两边旋转 形成的面所围成的旋 转体 S侧＝ ， r 为 底面半径， l 为母线 长
2π rh
π r2 h
π rl
名 称 定义 图形 侧面积 体积
旋
转
体 圆
台 用平行于圆锥底面的 平面去截圆锥，底面 和截面之间的部分 S侧＝π（ r1＋ r2） l ， r1， r2为底面半径， l 为母线长
名 称 定义 图形 侧面积 体积
旋
转
体 球 以半圆的直径所在直 线为旋转轴，半圆面 旋转一周形成的旋转 体 S球面＝ ，
R 为球的半径 V ＝
4π R2
4. 平面的基本事实与推论
基本事实1：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
推论 内容 图形表示 符号表示
推论1 经过一条直线和这条直线 外一点，有且只有一个平 面 A a 有且只有一个平 面α，使 A ∈α， a α
推论2 经过两条相交直线，有且 只有一个平面 a ∩ b ＝ P 有且只有一 个平面α，使 a α， b α
推论3 经过两条平行直线，有且 只有一个平面 a ∥ b 有且只有一个平 面α，使α α， b α
平行的判定与性质
（1）直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a ∩α＝ a α， b α， b ∥ a a ∥α a ∥α， a β， α∩β＝ b
结论 α∥α b ∥α a ∩α＝ a ∥ b
（2）面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a ∩β＝ a β， b β，
a ∩ b ＝ p ，
a ∥α， b ∥α a ∥β，α∩γ
＝ a ，β∩γ＝ b α∥β， a β
结论 α∥β α∥β a ∥ b a ∥α
（3）空间中的平行关系的内在联系
5. 垂直的判定与性质
（1）直线与平面垂直
图形 条件 结论
判定 a ⊥ b ， b α（ b 为α内的任意直线） a ⊥α
a ⊥ m ， a n ， m ， n α， m ∩ n ＝ O a ⊥α
a ∥ b ， a ⊥α b ⊥α
图形 条件 结论
性质 a ⊥α， b α a ⊥ b
a ⊥α， b ⊥α a ∥ b
（2）平面与平面垂直的判定与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
性 质 定 理 如果两个平面互相垂直，那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面
（3）空间中的垂直关系的内在联系
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
6. 空间角
（1）异面直线所成的角
①定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a '∥ a ， b '∥ b ，把 a ' 与 b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a ， b 所成的角（或夹角）.
②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°＜θ≤90°.
（2）直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所 成的角.
②当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为 90°和0°.
（3）二面角的有关概念
①二面角：由一条直线和从这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
[题型分类突破——提素养]
题型一 柱体、锥体、台体的表面积和体积
[解] 设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm.
∴ V圆柱＝ Sh ＝π r2 h ＝π×52×10＝250π（cm3）.
∴圆柱体积为250π cm3.
通性通法
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应 注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要 注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.
[变式训练]
1. 正四棱柱的体对角线长为3 cm，它的表面积为16 cm2，求它的体积.
题型二 与几何体有关的最值问题
[例2] 如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
通性通法
有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线 距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量 的二次函数的形式，然后利用二次函数的知识求最值.
[变式训练]
2. 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD （如图所示），由 题意知 BC ＝3π cm， AB ＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度.
题型三 几何体中共点、共线、共面问题
[例3] 如图所示，空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别为 AB ， AD 的中点， G ， H 分 别在 BC ， CD 上，且 BG ∶ GC ＝ DH ∶ HC ＝1∶2.
求证：（1） E ， F ， G ， H 四点共面；
（2） GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.
[证明] （1）∵ BG ∶ GC ＝ DH ∶ HC ，
∴ GH ∥ BD . 又 EF ∥ BD ，∴ EF ∥ GH ，
∴ E ， F ， G ， H 四点共面.
通性通法
1. 证明共面问题
证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余 元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.
2. 证明三点共线问题
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某 两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个 平面的交线上.
3. 证明三线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这 点，把问题转化为证明点在直线上的问题.
[变式训练]
3. 如图， O 是正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1上底面 ABCD 的中心， M 是正方体对角线 AC1和截面 A1 BD 的交点.
求证： O ， M ， A1三点共线.
证明：∵ O ∈ AC ，
AC 平面 ACC1 A1，
∴ O ∈平面 ACC1 A1.
∵ M ∈ AC1， AC1 平面 ACC1 A1，
∴ M ∈平面 ACC1 A1.
又已知 A1∈平面 ACC1 A1.
即有 O ， M ， A1三点都在平面 ACC1 A1上，又 O ， M ， A1三点都在平面 A1 BD 上，所 以 O ， M ， A1三点都在平面 ACC1 A1与平面 A1 BD 的交线上，
所以 O ， M ， A1三点共线.
题型四 空间中的平行关系
[例4] 如图， E ， F ， G ， H 分别是正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1的棱 BC ， CC1， C1 D1， AA1的中点.
求证：（1） GE ∥平面 BB1 D1 D ；
（2）平面 BDF ∥平面 B1 D1 H .
∴ OG ∥ BE ，四边形 BEGO 为平行四边形.
∴ OB ∥ GE .
∵ OB 平面 BDD1 B1， GE 平面 BDD1 B1，
∴ GE ∥平面 BDD1 B1.
（2）由正方体性质得 B1 D1∥ BD ，
∵ B1 D1 平面 BDF ， BD 平面 BDF ，
∴ B1 D1∥平面 BDF .
连接 HB ， D1 F ，
易证 HBFD1是平行四边形，得 HD1∥ BF .
∵ HD1 平面 BDF ， BF 平面 BDF ，
∴ HD1∥平面 BDF .
∵ B1 D1∩ HD1＝ D1，
∴平面 BDF ∥平面 B1 D1 H .
通性通法
1. 判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的， 判定线面平行的两种方法：
（1）利用线面平行的判定定理.
（2）利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行 于另一平面.
2. 判断面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的判定定理.
（2）面面平行的传递性（α∥β，β∥γ α∥γ）.
（3）利用线面垂直的性质（ l ⊥α， l ⊥β α∥β）.
证明：在四棱锥 P － ABCD 中，
∵ E ， F 分别为 PC ， PD 的中点，
∴ EF ∥ CD .
∵ AB ∥ CD ，∴ EF ∥ AB .
∵ EF 平面 PAB ， AB 平面 PAB ，
∴ EF ∥平面 PAB .
同理 EG ∥平面 PAB .
又∵ EF ∩ EG ＝ E ， EF 平面 EFG ， EG 平面 EFG ，
∴平面 EFG ∥平面 PAB .
∵ AP 平面 PAB ，∴ AP ∥平面 EFG .
题型五 空间中的垂直关系
[例5] 如图所示，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ，∠ ABC ＝60°， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点.
求证：（1） CD ⊥ AE ；
（2） PD ⊥平面 ABE .
[证明] （1）在四棱锥 P － ABCD 中，
∵ PA ⊥底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，
∴ PA ⊥ CD . ∵ AC ⊥ CD ， PA ∩ AC ＝ A ，
∴ CD ⊥平面 PAC .
而 AE 平面 PAC ，∴ CD ⊥ AE .
（2）由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝60°，可得 AC ＝ PA .
∵ E 是 PC 的中点，∴ AE ⊥ PC .
由（1），知 AE ⊥ CD ，且 PC ∩ CD ＝ C ，
∴ AE ⊥平面 PCD .
而 PD 平面 PCD ，∴ AE ⊥ PD .
∵ PA ⊥底面 ABCD ，∴ PA ⊥ AB .
又∵ AB ⊥ AD 且 PA ∩ AD ＝ A ，
∴ AB ⊥平面 PAD ，而 PD 平面 PAD ，
∴ AB ⊥ PD . 又∵ AB ∩ AE ＝ A ，
∴ PD ⊥平面 ABE .
通性通法
空间垂直关系的判定方法
（1）判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）；
②线面垂直的性质（若 a ⊥α， b α，则 a ⊥ b ）.
（2）判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；
②线面垂直的判定定理（ a ⊥ b ， a ⊥ c ， b α， c α， b ∩ c ＝ M a ⊥α）；
③平行线垂直平面的传递性质（ a ∥ b ， b ⊥α a ⊥α）；
④面面垂直的性质（ a ⊥β，α∩β＝ l ， a β， a ⊥ l a ⊥α）；
⑤面面平行的性质（ a ⊥α，α∥β a ⊥β）；
⑥面面垂直的性质（α∩β＝ l ，α⊥γ，β⊥γ l ⊥γ）.
（3）面面垂直的判定方法：
①根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°）；
②面面垂直的判定定理（ a ⊥β， a α α⊥β）.
（2）当△ ADB 转动时，是否总有 AB ⊥ CD ？证明你的结论.
解：（2）当△ ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB ⊥ CD .
证明如下：①当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC ＝ BC ， AD ＝ BD ，
所以 C ， D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB ⊥ CD .
②当 D 不在平面 ABC 内时，由（1）知 AB ⊥ DE .
又因为 AC ＝ BC ，所以 AB ⊥ CE . 又 DE ， CE 为相交直线，所以 AB ⊥平面 CDE ，由 CD 平面 CDE ，得 AB ⊥ CD .
综上所述，总有 AB ⊥ CD .
题型六 空间角问题
[例6] 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ，∠ ABC ＝60°， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点.
（1）求 PB 和平面 PAD 所成角的大小；
（2）证明： AE ⊥平面 PCD ；
（3）求二面角 A － PD － C 的正弦值.
[解] （1）在四棱锥 P － ABCD 中，
因为 PA ⊥底面 ABCD ， AB 平面 ABCD ，
故 PA ⊥ AB . 又 AB ⊥ AD ， PA ∩ AD ＝ A ，
所以 AB ⊥平面 PAD ，
故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ，
从而∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角.
在Rt△ PAB 中， AB ＝ PA ，故∠ APB ＝45°.
所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为45°.
（2）证明：在四棱锥 P － ABCD 中，
因为 PA ⊥底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，
故 CD ⊥ PA . 又 CD ⊥ AC ， PA ∩ AC ＝ A ，
所以 CD ⊥平面 PAC .
又 AE 平面 PAC ，所以 AE ⊥ CD .
由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝60°，
可得 AC ＝ PA .
因为 E 是 PC 的中点，所以 AE ⊥ PC .
又 PC ∩ CD ＝ C ，所以 AE ⊥平面 PCD .
通性通法
1. 求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.
2. 求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.
3. 二面角的平面角的作法有三种：（1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法.
[变式训练]
6. 如图，正方体的棱长为1， B ' C ＝ BC '＝ O ，求：
（1） AO 与 A ' C '所成角的度数；
（2） AO 与平面 ABCD 所成角的正切值；
（3）平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数.
解：（3）∵ OC ⊥ OA ， OC ⊥ OB ， OA ∩ OB ＝ O ，
∴ OC ⊥平面 AOB .
又∵ OC 平面 AOC ，
∴平面 AOB ⊥平面 AOC ，
即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为90°.第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课程标准 素养目标
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的几何体. 2.掌握斜二测画法的作图规则. 3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图. 1.在本节学习中，依据实际生活中的实例，直观认识各种几何体. 2.借助斜二测画法，培养学生直观想象核心素养.
[自我排查]
1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的（ ）
答案：C
解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
2.下列几何体分别是 、 、 .
答案：球 圆柱 圆锥
解析：（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥.
3.如图所示的几何体是 .
答案：五棱柱
解析：该几何体是五棱柱.
4.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'∥y'轴，B'C'∥x'轴，则△ABC是 三角形.
答案：直角
解析：∵A'B'∥y'轴，B'C'∥x'轴，
∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.
[系统归纳]
1.空间几何体
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
3.立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x'O'y'垂直的轴O'z'，且平行于O'z'的线段长度不变，其他同平面图形的画法.
研习一 空间几何体
[例1] 观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.
[解] （1）其主体结构是四棱台.（2）其主体结构是四棱锥.（3）其主体结构是四棱柱.（4）其主体结构是五棱柱.
通性通法
从底面多边形的形状、侧面的形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度进行判断.
[变式训练]
1.下列几何体中棱柱有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
答案：D
研习二 水平放置的平面图形的直观图
[例2] 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.
[解] （1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝2 cm，在y'轴上截取O'A'＝OA，连接A'B'，A'C'，则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
通性通法
此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点，使整个作图变得简便.
[变式训练]
2.将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中的还一样吗？
解：（1）如图1所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴.
（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.在x'轴上截取O'A'＝OA，在y'轴上截取O'B'＝O'C'＝OC＝1 cm，连接A'B'，A'C'，则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图，如图2所示.
显然与例2中的不一样.
研习三 空间几何体的直观图
[例3] 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A'B'C'D'的直观图.
[解] 画法：（1）画轴.如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.
（4）成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图（如图2）.
通性通法
画空间图形的直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直.
（2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的二分之一.
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
[变式训练]
3.如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
解：（1）画轴.如图1，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO'，使OO'等于三视图中相应高度，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.
（3）画正四棱锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'等于三视图中相应的高度.
（4）成图.连接PA'，PB'，PC'，PD'，A'A，B'B，C'C，D'D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图2.
研习四 直观图的还原和计算问题
[例4] 如图所示，梯形A1B1C1D1是一个平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积.
[解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2，
所以面积为S＝×2＝5.
通性通法
1.由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
2.直观图的面积与原图形的面积的关系为S直观图＝S原图形.
[变式训练]
4.如图所示，将水平放置的直观图A'B'C'D'还原为平面图形.
解：（1）如下图1，在水平放置的直观图中延长D'A'交O'x'轴于点E'.
（2）如下图2，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O'E'.
过点E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A'E'，DE＝2D'E'，然后分别过A，D作AB∥Ox，DC∥Ox，并使AB＝DC＝A'B'.
（3）连接BC，得直观图A'B'C'D'是还原图形.
综上可知，此水平放置的直观图是矩形.
[误区警示] 作图不规范致误
[示例] 用斜二测画法画出如图四边形OABC的直观图（图中部分数据已经给出）.
[错解] 以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图①.作∠C'O'B'＝45°，其中O'B'是水平的，O'B'＝4，O'D'＝3，O'C'＝1，过D'作∠B'D'A'＝90°，使A'D'＝1，顺次连接O'A'，A'B'，B'C'，所得四边形O'A'B'C'即为四边形OABC的直观图，如图②.
[正解] 如图所示，作∠C'O'B'＝45°，
其中O'B'是水平的，O'B'＝4，O'D'＝3，O'C'＝1，过点D'作∠B'D'A'＝135°，使A'D'＝1，顺次连接O'A'，A'B'，B'C'，所得四边形即为四边形OABC的直观图.
[防范措施] 1.坐标轴上的点O，B，C画的正确，点A的直观位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A'的位置.
2.直观图与实际图形比较，某些量（如长度、角度、面积等）在视觉上可能有些改变，但必须认为它们仍是原图中的那些量，同时，如两线间的平行关系、两三角形的全等、相似关系、线段的中点位置等，在直观图中仍保持不变，解题时不能被直观图所迷惑.
课时作业（九） 空间几何体与斜二测画法
一、选择题
1.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形ABC中（ ）
A. AB与AC相等
B. AD的长度大于AC的长度
C. AB的长度大于AD的长度
D. BC的长度大于AD的长度
答案：AC
解析：因为A'D'∥y'轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选AC.
2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（ ）
A.＋ B.2＋
C.＋ D.＋
答案：B
解析：作AH⊥BC于点H，则BH＝，∴BC＝1＋.在原平面图形中，∠ABC＝90°，AD∥BC，即原平面图形是直角梯形，上、下底的边长分别为1和1＋，高为2，∴平面图形的面积S＝×2＝2＋.故选B.
3.（多选）如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图是全等三角形的是（ ）
答案：ABD
解析：A，B选项中两三角形摆放相同，直观图全等；选项D，只是顶点反放，直观图全等；选项C，位置摆放不一致.
4.如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
答案：D
解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，即·OB·h＝2××2×O'B'，∵OB＝O'B'，∴h＝4.
5.如图，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，直角边O'B'＝1，则这个平面图形的面积是（ ）
A.2 B.1 C. D.4
答案：C
解析：∵O'B'＝1，∴O'A'＝.
∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2，
∴S△AOB＝×1×2＝，故选C.
二、填空题
6.如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是 .
答案：20
解析：由斜二测直观图画法规则知，该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高CB为4，故面积为×（6＋4）×4＝20.
7.平面直角坐标系xOy中的点M（4，4）在直观图中对应点M'，则M'在坐标系x'Oy'下的坐标是 .
答案：（4，2）
解析：由斜二测画法知，M'的横坐标为4，纵坐标为2，故M'的坐标为（4，2）.
8.若一个几何体的平行投影是一个矩形，则这个几何体可能是 （至少写出两种），如果一个几何体的平行投影是一个圆，则此几何体可能是 （至少写出两种）.
答案：长方体、三棱柱、圆柱 球、圆柱、圆锥、圆台
三、解答题
9.如图，四边形A'B'C'D'是用斜二测画法所作的边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A'B'C'D'的原图形，如图所示.
易知四边形ABCD为平行四边形.
∵AD＝2，AC＝，
∴S ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.
10.用斜二测画法画出如图所示的四边形OABC的直观图.
解：（1）建系：画出x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图.
（2）定点：在x'轴上取点B'，使O'B'＝OB＝4，
过点E（1，0）和点F（2，0）作y'轴的平行线，并截取A'E＝1，C'F＝.
（3）连线成图：连接O'A'，A'B'，B'C'，C'O'，得四边形OABC的直观图.
11.小昆和小鹏两人站成一列，背对着墙，面朝着太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处.如果小昆身高为1.6 m，离墙距离为3 m，小鹏的身高为1.5 m，离墙的距离为5 m，则小鹏的影子是否在小昆的脚下，请通过计算说明.
解：设小鹏的影长为x m，
根据太阳光平行的特征有＝，x≈2.81.2.81 m＋3 m＝5.81 m＞5 m，
所以小鹏的影子会在小昆的脚下.
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D'，如图，其中对角线A'C'在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A'C'在水平位置，A'B'C'D'为正方形，
∴∠D'A'C'＝∠A'C'B'＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D'A'＝2，AC＝A'C'＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课程标准 素养目标
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系. 3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系. 1.通过对一些空间图形的观察、理解，培养直观想象的核心素养. 2.借助对点、直线、平面位置关系的理解，培养学生的逻辑推理的核心素养.
[自我排查]
1.“点A在直线l上，l在平面α外”用符号语言可以表示为 .
答案：A∈l，l α
解析：点A在直线l上，记为A∈l，l在平面α外，记为l α，
∴“点A在直线l上，l在平面α外”用符号语言可以表示为A∈l，l α.
2.若A∈α，B α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有 个公共点.
答案：1
解析：∵A∈a，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l 平面α或直线l∩平面α＝A.下面用反证法证明直线l不可能在平面α内.假设直线l 平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件“B α”矛盾，故“直线l 平面α”不能成立，∴直线l∩平面α＝A，直线l与平面α有唯一公共点.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为 .（填“平行”、“相交”、“异面”）
答案：异面
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D∩平面ABCD＝D，AC 平面ABCD，D AC，∴面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为异面.
4.长方体和正方体都有 个顶点， 条棱， 个面.
答案：8 12 6
解析：长方体和正方体都有8个顶点，12条棱，6个面.
[系统归纳]
1.空间中点与直线、点与平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
2.从集合角度理解点、线、面之间的关系
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示.
3.空间两条直线的三种位置关系
空间两条直线的位置关系有三种：
4.直线与平面之间的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个 1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
如果直线a与平面α相交于一点A，且对平面a内任意一条过点A的直线m，都有a⊥m称直线a与平面α垂直，记作a⊥α.
5.平面与平面之间的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 α∥β 0个
两平面相交 α∩β＝l 无数个点 （共线）
6.空间距离
（1）过平面α外一点A作平面α的的垂线，垂足为B，称B为A在平面α内的射影（投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.
（2）当a∥α时，A∈a，点A到平面α的距离称为这条直线a到平面α的距离.
（3）当α∥β时，A∈α，点A到平面β的距离称为两平行平面之间的距离.
研习一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
[例1] 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
[解] 在（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在（2）中，α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P. c∥a，c∩b＝ 且c与b不平行.
通性通法
借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握.
[变式训练]
1.若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为（ ）
A. M∈α，a∈α B. M∈a，a α
C. M α，a α D. M α，a∈α
答案：B
解析：点与直线的关系为元素与集合的关系，要用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，要用“ ”不能用“∈”.
研习二 直线与平面的位置关系
[例2] 给出下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线α∥b，b 平面α，则a∥α；
③若直线a与平面α有且只有一个公共点，则直线a与平面α相交；
④若直线a垂直于平面α内的无数条直线，那么a⊥α.
其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误.对于②，∵直线a∥b，b 平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误.
对于③，由a与a有且只有一个公共点，由定义知，a与α相交，③正确.
对于④，若直线垂直于平面α内的无数条直线，α可能垂直于α，也可能在平面α内或a∥α，④错误.
[答案] B
通性通法
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形.
[变式训练]
2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是 （ ）
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不相交
答案：B
解析：因为棱台的侧棱延长后交于一点，所以侧棱所在的直线与不舍这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是相交.故选B.
研习三 平面与平面的位置关系
[例3] α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（ ）
A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
[解析] A、B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D项α，β一定无公共点，即α∥β.
[答案] D
通性通法
判断面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断.
[变式训练]
3.两平面α，β平行，a α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：a不能与β内的所有直线平行，而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误，②正确；直线a与β内的无教条直线垂直，故③错误；根据定义a与β无公共点，④正确.
研习四 空间距离
[例4] （多选）下列说法正确的是（ ）
A.已知点P l，A∈l，线段PA的长度就是点P到直线l的距离
B.已知点P α，过点P作直线l⊥α，垂足为B，线段PB的长度就是点P到平面α的距离
C.已知l∥α，P∈l，那么点P到平面α的距离就是直线l到平面α的距离
D.已知α∥β，任一点P∈α，则点P到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离
[解析] 对于A，直线l外一点P到直线l的距离应是过点P向直线l作垂线，垂足为O，PO的长度才是点P到直线l的距离，本选项中点A为l上任意一点，点A与点O不一定重合，故A错误；由点面距、线面距、面面距的定义可知，B、C、D均正确.
[答案] BCD
通性通法
空间距离包含空间两点间的距离，空间点与直线间的距离；直线与平面问的距离；平面与平面间的距离；这些距离最终都转化为两点间的距离，即空间问题的解决最终要转化为平面问题.
[特别提醒] 线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的，同理面与面之间的距离也是建立在两平面平行的基础上.
[变式训练]
4.棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A1到平面ABCD的距离是 ，直线B1C1到平面ABCD的距离是 .
答案：a a
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为直线A1A⊥平面ABCD，点A为点A1在平面ABCD的投影，所以线段A1A的长为点A1到平面ABCD的距离，A1A＝a.因为直线B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1上任一点到平面ABCD的距离都是直线到平面ABCD的距离，又因B1∈直线B1C1，且B1点到平面ABCD的距离为a，所以直线B1C1到平面ABCD的距离为a.
课时作业（十） 构成空间几何体的基本元素
一、选择题
1.如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（ ）
答案：C
2.下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线其中一条直线的平面中有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
3.（多选）以下四个命题中，不正确的是（ ）
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D.平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行
答案：AB
4.如果两个平面内各有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.既不平行也不相交
答案：C
5.已知直线a在平面α外，则（ ）
A. a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C. a∩α＝A
D.直线a与平面α至多有一个公共点
答案：D
6.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
答案：D
7.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
答案：CD
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C，D正确.故选CD.
二、填空题
8.若三个平面两两相交，则它们交线的条数为 .
答案：1或3
9.下列命题中不正确的是 .（填序号）
①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；
②如果两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；
③直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面.
答案：①②③
10.互不重合的三个平面最多可以把空间分成 个部分.
答案：8
11.在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有 组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有 个.
答案：4 6
解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系.
三、解答题
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？请说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？请说明理由.
解：（1）不是异面直线.理由：
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1.
又A1A D1D，而D1D C1C，
所以A1A C1C.
所以四边形A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC，得到MN∥AC.所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.
（2）是异面直线.证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1.
而BC⊥平面CC1D1，BC 平面CC1D1，
所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
13.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.
解：（1）如图所示，连接DM并延长交D1A1的延长线于点Q，连接QN，直线QN即为直线l.
（2）QN∩A1B1＝P，
由已知得△MA1Q≌△MAD，
所以A1Q＝AD＝a＝A1D1，
所以A1是QD1的中点，
又A1P∥D1N，
所以A1P＝D1N＝C1D1＝a，
所以PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
14.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.
（1）证明：M，N，C，D1四点共面；
（2）平面MNCD1将此正方体分为两都分，求这两部分的体积之比.
解：（1）延长D1M，交DA的延长线于点F，延长CN，交DA的延长线于点F'，
由题意可知，＝，
∴FA＝1，FD＝4.
同理可得F'A＝1，F'D＝4.
故F与F'重合，
∴D1M∩CN＝F，
故M，N，C，D1四点共面.
（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，
所以V1＝＋＋
＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D＝××3＋××3＋××3＝.
从而V2＝－V1＝27－＝，
所以＝，
所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为或.
11.1.3 多面体与棱柱
课程标准 素养目标
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱的几何结构特征. 1.通过对物体形状的观察、辨识、抽象，理解多面体的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.借助对棱柱的认识，提升学生的直观想象及数学抽象的核心素养.
[自我排查]
1.下列几何体中，多面体是（ ）
答案：B
解析：选项A中的几何体是球，它是旋转体，故A错误；选项B中的几何体是三棱柱，它是多面体，故B正确；选项C中的几何体是圆柱，它是旋转体，故C错误；选项D中的几何体是圆锥，它是旋转体，故D错误.故选B.
2.连接正十二面体各面中心得到一个（ ）
A.正六面体 B.正八面体
C.正十二面体 D.正二十面体
答案：D
解析：正十二面体的每一个面为正五边形，连接每个面的中心共12个点，构成的几何体每个面为正三角形，故得到一个正二十面体，故选D.
3.下列说法错误的是 （ ）
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
答案：D
解析：三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是 .
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.
答案：①③
解析：①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
[系统归纳]
1.多面体
（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线.
（2）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形，称为这个几何体的截面.
2.棱柱的定义、分类、图示及其表示
棱柱 图形及表示
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图，棱柱可记作： 棱柱ABCDEF－A'B'C'D'E'F'
相关概念： 底面（底）：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类1： ①依据：底面多边形的边数 ②类例：三棱柱（底面是三角形）、四棱柱（底面是四边形）…… 分类2： ①依据：侧棱与底面是否垂直 ②类例：直棱柱（侧棱与底面垂直）、斜棱柱（侧棱与底面不垂直）……
3.特殊的棱柱
（1）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱.
（2）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱是平行六面体.
（3）直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体.
研习一 棱柱的结构特征
[例1] 下列关于棱柱的说法：
（1）所有的面都是平行四边形；
（2）每一个面都不会是三角形；
（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；
（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是 .
[解析] （1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
（2）错误，棱柱的底面可以是三角形；
（3）正确，由棱柱的定义易知；
（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是（3）（4）.
[答案] （3）（4）
通性通法
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于使用反例排除.
[变式训练]
1.下列四个命题中，假命题为 （ ）
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
答案：A
解析：A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正确的.
研习二 多面体
[例2]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为 .
[解析] 取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知AD＝1，易知∠BAD＝∠CDA＝45°，设半正多面体的棱长为x，如图，过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，则BM＝AM＝CN＝ND＝x，AM＋MN＋ND＝x＋x＝1，解得x＝－1，故该半正多面体的所有棱长和为48（－1）.
[答案] 48（－1）
通性通法
对多面体概念的理解
（1）多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.一个多面体由几个面围成，就称为几面体.
（2）多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分.
[变式训练]
2.下列命题：①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体.其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：正多面体只有正四、六、八、十二、二十面体，所以①②正确；
表面经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体；
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.所以③④正确.
①②③④都正确.
研习三 多面体的平面展开图
[例3] 如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为 .
[解析] 将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，AD1＝＝.
[答案]
通性通法
1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
2.若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.
3.若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.
[变式训练]
3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A.1 B.2 C.快 D.乐
答案：B
解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.
11.1.4 棱锥与棱台
课程标准 素养目标
1.认识和把握棱锥、棱台的几何结构特征. 2.了解棱锥、棱台可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别. 3.会计算棱锥、棱台的一些基本量. 1.通过模型、情境理解棱锥、棱台的概念，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养. 2.借助棱锥、棱台的一些基本量运算，培养学生的逻辑推理及数学运算的核心素养.
[自我排查]
1.三棱锥的四个面中，下列说法不正确的是 （ ）
A.不能都是直角三角形
B.可能都是锐角三角
C.可能都是等腰三角形
D.可能都是钝角三角形
答案：A
解析：正方体的一个角构成的四面体的四个面中，都是直角三角形，故A不正确；正四面体，四个面中，都是等边三角形，故B、C正确；三棱锥的四个面中，可能都是钝角三角形，即D正确，故选A.
2.（2019·德州校级月考）下列条件能说明一个棱锥是正棱锥的是（ ）
A.各侧面都是等腰三角形
B.侧棱长度相等且底面是菱形
C.所有棱长都相等
D.底面是三角形且三条侧棱两两垂直
答案：C
解析：一个棱锥的所有棱长相等，即可得到该棱锥的侧棱长度相等，且底面是正多边形，故所有棱长都相等的棱锥是正棱锥.故C正确.
3.下面四个几何体中，是棱台的为（ ）
答案：C
解析：根据图形，A是棱柱，B是棱锥，C是棱台，D不是棱台，故选C.
4.下列多面体是棱台的是 （ ）
A.两底面是相似多边形的多面体
B.侧面是梯形的多面体
C.两底面平行的多面体
D.两底面平行且相似，且侧棱延长后交于一点的多面体
答案：D
解析：根据棱台的定义知，棱台是用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面间的部分叫做棱台，所以棱台的两底面平行且相似，侧棱延长后交于一点.故选D.
[系统归纳]
1.棱锥的定义、分类、图形及表示
棱锥 图形及表示
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 相关概念：棱锥的底面（底）：多边形面 棱锥的侧面：有公共顶点的各个三角形面 棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边 棱锥的顶点：各侧面的公共顶点 分类：①依据：底面多边形的边数 ②举例：三棱锥（底面是三角形）、四棱锥（底面是四边形）…… 如图，棱锥可记作： 棱锥S－ABCD
2.棱台的定义、分类、图形及表示
棱台 图形及表示
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 相关概念：上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 分类：①依据：由几棱锥截得 ②举例：三棱台（由三棱锥截得）、四棱台（由四棱锥截得）…… 如图，棱台可记作：棱台ABCD－A'B'C'D'
研习一 棱锥的结构特征
[例1] 如图，几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.
[解]（1）∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱.
（2）在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1－EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
通性通法
认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.
[变式训练]
1.试从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥.
解：（1）如图1所示，三棱锥A1－AB1D1（答案不唯一）.
（2）如图2所示，三棱锥B1－ACD1（答案不唯一）.
研习二 棱锥中的计算
[例2] 平面内有一个正六边形ABCDEF，它的中心是O，边长是2 cm，OS⊥α，OS＝4 cm.求：点S到这个正六边形顶点和边的距离.
[解] 如图所示，作BC的中点H，连接OH，OB，OS，因为OS⊥面ABCDEF，所以△SOB，△SOH为直角三角形，正六边形ABCDEF的边长是2，OS＝4，在直角三角形中，由勾股定理得SB＝2，SH＝.
通性通法
棱锥中的计算常用策略
将空间问题平面化，利用高，侧棱，底面多边形的外接圆的半径，或是高，斜高，底面底面多边形的内切圆的半径，构造直角三角形求解.
[变式训练]
2.正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则的取值范围为（ ）
A.（，＋∞） B.（，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（2，＋∞）
答案：B
解析：设棱锥的高为h，则l2＝h2＋（）2，
∴h2＝l2－＞0，即l2＞a2，
∴＞，即＞.故选B.
研习三 棱台的结构特征
[例3] 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②棱台所有侧棱长相等；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[解析]①中的平面不一定平行于底面，故①错；②棱台的侧棱长不一定相等，只有当棱台为正棱台时，侧棱长才相等；③可用反例去检验，如图所示，故②③错.
[答案] A
通性通法
一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据.
[变式训练]
3.试判断下列说法是否正确：
（1）由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；
（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.
解：（1）不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；（2）不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.
研习四 棱台中的计算
[例4] 已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.
[解]如图所示，在正三棱台ABC－A1B1C1中，两底面边长分别为AB＝30 cm，A1B1＝20 cm.
∴侧面积为S侧＝3××（30＋20）·DD1，
两底面积之和为S底＝×（302＋202），
∵S侧＝S底，∴·DD1＝×1 300，
解得DD1＝，
∴O＝（）2－（×30×－×20×）2＝48.
∴OO1＝4，
即棱台的高为4.
通性通法
将空间问题平面化，利用高，侧棱，斜高，构造直角三角形求解.
[变式训练]
4.已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4，8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为，求四棱台的高.
解：如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝，A1C1＝4，AC＝8，过A1作A1E⊥AC交AC于点E.
在Rt△A1EA中，AE＝（8－4）＝2，A1A＝，
∴A1E＝＝＝3，
即四棱台的高为3.
课时作业（十一） 多面体与棱柱 棱锥与棱台
一、选择题
1.（多选）正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值可以是（ ）
A. B. C.1 D.
答案：BC
解析：正方形对角线的一半，小于正四棱锥的侧棱长，故侧棱长是底面边长的k倍，k＞，故满足条件的k值可以是，1.选BC.
2.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C.四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面
D.棱锥的各侧棱长相等
答案：AC
解析：由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错.故选AC.
3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
答案：A
解析：倾斜一个小角度后将得到一个底面为梯形的四棱柱.
4.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（ ）
答案：B
解析：由于选项B中上下底有五条边，而侧面有四个，不能构成棱柱，故选B.
5.（多选）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱分别是（ ）
A.三棱柱：AA1P－DD1Q
B.三棱柱：BB1E－CC1F
C.四棱柱：ABEP－DCFQ
D.四棱柱：ABB1P－DCC1Q
答案：ABC
二、填空题
6.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是 .（写出所有正确结论的序号）
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案：①③④⑤
解析：如图.①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1B1CD为矩形；③正确，如四面体A1－ABD；④正确，如四面体A1－C1BD；⑤正确，如四面体B1－ABD；则正确的说法是①③④⑤.
7.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
三、解答题
8.如图棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，试判断：
（1）截面B1BDD1是什么形状？面积是多少？
（2）截面A1BD是什么形状？面积是多少？
（3）几何体C1－A1BD是什么形状？
解：（1）截面B1BDD1是矩形，且B1B＝a，BD＝a，其面积为a2.
（2）截面A1BD是边长为a的正三角形，其面积为×（a）2＝a2.
（3）几何体C1－A1BD是棱长为a的正四面体.
9.直平行六面体的侧棱长是100 cm，底面相邻边长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的长度比为2∶3，求它的两个对角面的面积.
解：如图所示，已知AC1是直平行六面体，所以两个对角面都是矩形，其侧棱AA1是矩形的高.又AB＝23 cm，AD＝11 cm，AA1＝100 cm，且BD∶AC＝2∶3，设BD＝2x，则AC＝3x，
由平行四边形对角线的性质，得BD2＋AC2＝2（AB2＋AD2），
即（2x）2＋（3x）2＝2×（232＋112），
化简得13x2＝1 300，
则x＝10，
∴对角线BD＝2x＝20（cm），
AC＝3x＝30（cm），
故对角面BDD1B1的面积为
BD×BB1＝20×100＝2 000（cm2），
对角面ACC1A1的面积为
AC×AA1＝30×100＝3 000（cm2）.
10.如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，一个侧面等腰梯形的面积为，O1，O分别为上、下底面的中心，D1D是棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长.
解：∵AB＝10，
∴AD＝AB＝5，OD＝AD＝.
设上底面的边长为x，则O1D1＝x.
∵∠D1DA＝60°，
∴OD－O1D1＝D1D·cos 60°，
即－x＝D1D，
∴D1D＝2（－x），
∵＝（BC＋B1C1）·D1D
＝（10＋x）×2（－x）＝，
解得x＝2.
∴上底面的边长为2.
11.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：（1）如图折起后的几何体是三棱锥.
（2）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
12.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发，沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
（1）若将C1D1剪开，使平面AB1与平面A1C1共面，
可求得AC1＝＝4.
（2）若将AD剪开，使平面AC与平面BC1共面，
可求得AC1＝＝＝3.
（3）若将CC1剪开，使平面BC1与平面AB1共面，
可求得AC1＝＝.
比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
11.1.5 旋转体
课程标准 素养目标
1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体. 2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征. 1.通过观察、辨识各种各样的旋转体，培养学生的直观想象素养. 2.借助圆柱、圆锥、圆台、球体的几何特征，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
[自我排查]
1.圆锥的母线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
答案：D
解析：由圆锥母线的定义可知有无数条.
2.下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
答案：A
解析：题图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到.
3.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是 .
答案：圆锥
解析：根据等腰三角形的对称性可知，一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称为圆锥.
4.已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为 .
答案：12π
解析：圆柱的底面圆半径为r＝2，高为h＝3，
则该圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝2π×2×3＝12π.
[系统归纳]
1.圆柱的结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱可表示为：圆柱O'O
相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 图中圆锥可表示为：圆锥SO
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
圆台 图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台 图中圆台可表示为：圆台O'O
相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.球的结构特征
球 图形及表示
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球可表示为：球O
相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径 球面：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆 球的小圆：不经过球心的平面截得的圆球的表面积：S＝4πR2
研习一 旋转体的结构特征
[例1] 给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径.其中说法正确的序号是 .
[解析] （1）不正确，因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；
（2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
（3）正确，如图1所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；
（4）正确，如图2所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍（即直径）.
[答案] （2）（3）（4）
通性通法
1.判断简单旋转体结构特征的方法
（1）明确由哪个平面图形旋转而成.
（2）明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
（1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
（2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[变式训练]
1.给出下列说法：（1）圆柱的底面是圆面；（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；（4）夹在圆柱的两个截面问的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是 .
答案：（1）（2）
解析：（1）正确，圆柱的底面是圆面；
（2）正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）不正确，圆台的母线延长后相交于一点；
（4）不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
研习二 圆柱、圆锥、圆台中的计算问题
[例2] 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.
[解] 设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.根据相似三角形的性质得，＝.根据相似所以圆台的母线长为9 cm.
通性通法
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）解答.
[变式训练]
2.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
解：将圆台还原为圆锥，如图所示. O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则
所以即h1∶h2＝2∶1.
研习三 球中的计算问题
[例3] 已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm.
[解析]如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.
由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，
所以d＝＝＝8（cm）.
[答案] 8
通性通法
球的截面问题的解题技巧
（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
（2）解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[变式训练]
3.甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离为 .
答案：R
解析：由已知得∠POA＝45°，∠BPA＝90°，所以AP＝BP＝R，所以AB＝R，所以在△AOB中，OA＝OB＝AB＝R，所以∠AOB＝，
所以甲、乙两地的球面距离为R.
课时作业（十二） 旋转体
一、选择题
1.（多选）下列关于球体的说法正确的是（ ）
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
答案：BC
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
2.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（ ）
A.2 B.2π
C.或 D.或
答案：C
解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.故选C.
3.（多选）下列说法错误的是（ ）
A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C.圆柱不是旋转体
D.圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
答案：ABC
解析：A中应强调绕梯形的“直角腰”旋转，B中应强调绕其“直角边”旋转而成，圆柱是旋转体.
4.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（ ）
A.10 cm B.20 cm
C.20 cm D.10 cm
答案：A
解析：圆锥的高即为轴截面等腰三角形的高，腰为20 cm，顶角的一半为30°，∴h＝20cos 30°＝10（cm）.
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
答案：D
解析：当截面过圆锥顶点时，圆锥的截线是圆锥的母线，为直线，故图②错.当截面不过圆锥顶点时，圆锥的截线不可能是直线，故图③、图④错，故选D.
二、填空题
6.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是 .
答案：2
解析：设底面半径为r，高为h.∵圆锥的轴截面是等腰三角形，∴h＝.∵·2r·h＝8，∴r＝2，∴h＝＝2.
7.有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段；
②球的直径是连接球面上任意两点间的线段；
③球内任意一点，都可以叫做球心；
④球面与球等同.
则命题正确的是 .（填写所有正确命题的序号）
答案：①
解析：利用球的有关概念判断，①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为一个球只有一个球心；④不正确，因为球面仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的内部的空间.所以应填①.
8. P，Q是半径为R的球面上两点，它们的球面距离为R，则过P，Q两点的截面与球心的最大距离是 .
答案：R
解析：由P，Q两点间的球面距离为R，
得∠POQ＝90°，
如图，所求最大距离为
OO'＝＝R.
三、解答题
9.如图所示，已知圆锥的底面圆半径为2 cm，高为2 cm，其内部有一内接正方体（正方体上底面顶点在圆锥侧面上，下底面顶点在圆锥底面上）.求正方体的棱长.
解：设正方体的棱长为x cm，如图作圆锥的轴截面SAB，恰好过正方体上底面的对角线CD，AO＝2 cm，SO＝2 cm，CD＝x cm，CO'＝EO＝x cm，CE＝x cm，
由△ASO∽△CSO'，得
＝，
所以4－2x＝2x，解得x＝.
所以正方体的棱长为 cm.
10.圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm，高为8 cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是3 cm和6 cm，求截面面积.
解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1. OO1为圆台的高，取AB，A1B1的中点C，C1，则OC＝6 cm，O1C1＝3 cm.
∴AB＝2＝16（cm），
A1B1＝2＝8（cm），
CC1＝
＝＝（cm）.
∴S截＝（AB＋A1B1）CC1
＝×（16＋8）×＝12（cm2）.
11.如图所示，一直角梯形ABCD，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转一周，画出所得几何体的大致形状，并指明它是由哪些简单的几何体组成的.
解：以AB为轴旋转所得几何体是一个圆台，如图①；以BC为轴旋转所得几何体是一个圆柱和一个圆锥拼接而成，如图②；以CD为轴旋转所得几何体是一个圆台挖去一个小圆锥后，再与一个大圆锥拼接而成，如图③；以DA为轴旋转所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥而成，如图④.
12.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
（1）若OA＝1，求圆M的面积；
（2）若圆M的面积为3π，求OA.
解：（1）若OA＝1，则OM＝，
故圆M的半径
r＝＝＝，
所以圆M的面积S＝πr2＝π.
（2）因为圆M的面积为3π，
所以圆M的半径r＝，则OA2＝（）2＋3，
所以OA2＝3，所以OA2＝4，所以OA＝2.
13.如图所示，圆台母线AB长为20 cm.上、下底面的半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值.
解：作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB'＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为（2π×10）（cm）.扇形OBB'的半径为OA＋AB＝20＋20＝40（cm），扇形OBB'所在圆的周长为2π×40＝80π（cm）.所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB'，所以在Rt△B'OM中，B'M2＝402＋302.
所以B'M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课程标准 素养目标
1.了解祖暅原理，会用祖暅原理求解几何体体积. 2.掌握柱体、锥体、台体、球体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积. 3.会求简单组合体的体积. 1.通过祖咂原理推导几何体的体积，培养数学抽象的核心素养. 2.借助计算柱体、锥体、台体、球体的体积，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
[自我排查]
1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 .
答案：1∶
解析：设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，
S底＝πr2，它的底面积与侧面积之比为1∶.
2.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 .
答案：60 cm3
解析：长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60（cm3）.
3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .
答案：π
解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r，则2πr＝×2π·2，
∴r＝1，则高h＝＝.
∴V圆锥＝πr2·h＝π×1×＝π.
4.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为 .
答案：100π
解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，
则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝（4r）2＋（4r－r）2，得r＝2，
故圆台的侧面积等于π（r＋4r）l＝π（2＋8）×10＝100π.
[系统归纳]
1.祖暅原理
祖暅原理又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面面积相等的两个同高立体图形，其体积也必然相等.幂势既同，则积不容异.
2.柱体、锥体、台体、球的体积公式
（1）柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为高）；
（2）锥体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为高）；
（3）台体的体积公式V＝（S'＋＋S）h（S'，S为上、下底面面积，h为高）；
（4）球的体积公式V＝πR3.
3.对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识
（1）等底、等高的两个柱体的体积相同.
（2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
（3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.
V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh.
研习一 柱体、锥体、台体的体积
[例1] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
[解]如图所示，在三棱台ABC－A'B'C'中，O'，O分别为上、下底面的中心，D，D'分别是BC，B'C'的中点，则DD'是等腰梯形BCC'B'的高，所以S侧＝3××（20＋30）×DD'＝75DD'.
又A'B'＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为
S上＋S下＝×（202＋302）＝325（cm2）.
由S侧＝S上＋S下，得75DD'＝325，
所以DD'＝（cm）.
又∵O'D'＝×20＝（cm），
OD＝×30＝5（cm），
∴棱台的高h＝O'O＝＝＝4（cm），
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝（S上＋S下＋）＝×（325＋×20×30）＝1 900（cm3）.
通性通法
求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题.
[变式训练]
1.已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
解：如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.
∵∠A1AB＝60°，∴AD＝，
即R－r＝3×，∴R－r＝.
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.
∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，
∴V圆台＝πh（R2＋Rr＋r2）＝π×3×[（2）2＋2×＋（）2]＝21π.
故圆台的体积为21π.
研习二 球的表面积与体积
[例2] （1）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是 .
（2）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .
[解析] （1）设圆锥的底面半径为R，
由题意知球的半径为，
V圆柱＝πR2h（h为圆锥的高），
V球＝π（）3＝πR3，
∴πR2h＝πR3.
∴h＝R，则圆锥的母线l＝＝R，
圆锥的侧面积为π×R×R＝πR2.
球的表面积为4π×（）2＝πR2.
∴圆锥的侧面积与球面面积之比为∶2.
（2）设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
[答案] （1）∶2 （2）3∶1∶2
通性通法
求球的体积与表面积的方法
（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
（2）半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
[变式训练]
2.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为 .
答案：33π
解析：由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S＝2π×32＋π×3×5＝33π.
研习三 组合体的表面积与体积
[例3] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 .
[解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
[答案] 14π
通性通法
1.正方体的内切球
球与正方体（正方体的边长为a）的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1.
2.球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图2.
3.长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为功r3＝，如图3.
4.正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
5.正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
[变式训练]
3.球的内接正方体问题
若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积.
解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝×2，所以R＝，所以V球＝×π×（）3＝4π.
4.球内切于正方体问题
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
5.球的内接正四面体问题
若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积.
解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.
6.球的内接圆锥问题
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
答案：
解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.
该圆锥的体积为×π×（r）2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球的体积的比值为＝.
7.球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
答案：B
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱长与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知
AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝（a）2＋（a）2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
课时作业（十三） 祖暅原理与几何体的体积（一）
一、选择题
1.如图，已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B－AB1C的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P－ABCD的体积为 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
3.（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A.棱柱的侧面积S等于底面周长乘侧棱长
B.在棱柱ABC－A'B'C中，VA'－ABC＝VB'－ABC
C.在正棱锥P－ABC中，S侧＝ch（其中c为底面周长，h为斜高）
D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一
答案：BC
解析：直棱柱的侧面积是底面周长乘侧棱长，选项A错误；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错误.故选BC.
4.如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积（ ）
A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
答案：D
5.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ）
A. B. C.2 D.
答案：D
6.（多选）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，则下列判断中，正确的是 （ ）
A.直三棱柱的侧面积是4＋2
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E－AA1O的体积为定值
D. AE＋EC1的最小值为2
答案：ACD
解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，∴三棱锥E－AA1O的高为定值，＝×2＝.∴＝××＝，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝＝2，故D正确.
二、填空题
7.已知三棱锥S－ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是 .
答案：
8.（2019·全国卷Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.
答案：118.8
9.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 .
答案：
10.正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的表面积为 .
答案：a2
解析：如图，在三棱锥S－ABC中，AB＝a，SO＝a，
于是OD＝×AB×sin 60°＝a，
从而SD＝＝，故三棱锥的表面积S＝3××a×＋×a×a＝a2.
11.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是 .
答案：8
三、解答题
12.已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.
解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝2，∠OPE＝30°，所以PE＝2OE＝4.
因此S侧＝4×PE×BC＝4××4×4＝32，
S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48.
13.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
解：如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
14.已知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.
解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.
连接OE，O1E1，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.
过E1作E1H⊥OE，
垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3.
所以S侧＝4××（B1C1＋BC）×E1E＝2×（6＋12）×3＝108.
15.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积.
解：如图所示，连接AB1，AC1.
设AA1＝h，因为B1E＝CF，
所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.
又因为四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
所以VA－BEFC＝＝.
又＝·h，
＝·h＝m，
所以＝，
所以＝－＝m.
所以VA－BEFC＝×m＝，
即四棱锥A－BEFC的体积是.
课时作业（十四） 祖暅原理与几何体的体积（二）
一、选择题
1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）
A.1∶2 B.1∶
C.1∶ D.∶2
答案：C
2.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ）
A. B.2π C. D.
答案：D
3.（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球面面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案：CD
解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，∴B错误；球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，∴D正确.故选CD.
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A.14斛 .22斛 .36斛 .66斛
答案：B
5.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是（ ）
A. S球＜S圆柱＜S正方体 B. S正方体＜S球＜S圆柱
C. S圆柱＜S球＜S正方体 D. S球＜S正方体＜S圆柱
答案：A
6.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为（ ）
A.81π B.100π C.168π D.169π
答案：C
7.（多选）如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D.下列说法正确的是（ ）
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
答案：AD
解析：以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，∴A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，∴C错误，D正确.故选AD.
二、填空题
8.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是 .
答案：12π
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .
答案：
解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
10.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的半径是 cm，表面积是 cm2.
答案：5 100π
三、解答题
11.已知Rt△ABC中，C＝90°，分别以AC，BC，AB所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1，V2，V.
求证：＝＋.
证明：如图，设AC＝b，BC＝a，
作CH⊥AB于H，
则AB＝.
由射影定理，得AH＝，BH＝，
CH2＝AH·BH＝.
三个几何体分别是两个圆锥和组合体（有公共底面的圆锥组合体），
依题意，得V1＝πS1h1＝πa2b，
V2＝S2h2＝πb2a，
V＝π·CH2·AB
＝π··
＝π·，
所以＋＝＝.
12.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥内切球的体积.
解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于☉O，而☉O1内切于△SAB.
设☉O的半径为R，则有πR3＝972π，
所以R3＝729，R＝9.所以SE＝2R＝18.
因为SD＝16，所以ED＝2.
连接AE，又因为SE是直径，
所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，
所以SA＝12.
因为AB⊥SD，
所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，
所以AD＝4.
所以S圆锥侧＝π×4×12＝96π.
（2）设内切球O1的半径为r，
因为△SAB的周长为2×（12＋4）＝32，
所以r×32＝×8×16，
所以r＝4.
所以内切球O1的体积V球＝πr3＝π.
13.已知轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
解：如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，
所以CD＝AC＝2，
所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，
所以＝，所以R＝.
所以V球＝πR3＝π·（）3＝.
所以球的体积等于.
14.已知一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
解：（1）圆锥的母线长为＝2（cm），
所以圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π（cm2）.
（2）画出圆锥的轴截面如图所示.
设圆柱的底面半径为r cm，由题意，
知＝，所以r＝，x∈（0，6），所以圆柱的侧面积S2＝2πrx＝（－x2＋6x）＝－[（x－3）2－9]，x∈（0，6），所以当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.
11.2 平面的基本事实与推论
课程标准 素养目标
1.掌握有关平面的三个基本事实及其推论. 2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系. 1.通过对实例的观察，理解，明确三个基本事实和推论，培养学生数学抽象的核心素养. 2.通过点、直线、平面位置关系的应用，提升学生的逻辑推理及直观想象的核心素养.
[自我排查]
1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则（ ）
A. C∈α B. C α
C. AB α D. AB∩α＝C
答案：A
解析：因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.
2.下列说法正确的是 （ ）
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
答案：D
解析：A选项中，三点若在同一直线上就不能确定个平面；B中，这一点在直线上不能确定一个平面；空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.
3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面 （ ）
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
答案：C
解析：若三个点在同一直线上，则两平面相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合.
4.下列对平面的描述语句：
①平静的太平洋面就是一个平面；
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集.
其中正确的是 .
答案：④
解析：
序号 正误 原因分析
① × 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③ × 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
[系统归纳]
1.平面的基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.三个基本事实的作用
基本事实1——判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据.
3.三个推论
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
研习一 点、线共面问题
[例1] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
[证明]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明1：（纳入平面法）
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
证法2：（辅助平面法）
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
通性通法
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.
[变式训练]
1.下列说法正确的是（ ）
①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
答案：C
解析：不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确.当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确.根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确.
研习二 三点共线问题
[例2] 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.
求证：P，Q，R三点共线.
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，P也在平面ABC与平面α的交线上，
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
通性通法
三点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
[变式训练]
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1 平面A1BCD1.
同理BD1 平面ABC1D1.
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C 平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.
研习三 三线共点问题
[例3] 如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点.
[证明] 因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
所以FH∥AC，从而FH∥GE.
故E，F，H，G四点共面.又因为GE＝AC，FH＝AC，
所以四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.
因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上.
这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点.
通性通法
证明三线共点的步骤
（1）首先说明两条直线共面且交于一点；
（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点.
[变式训练]
3.如图所示，在空间四边形的边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，求证：点P在直线BD上.
证明：∵EF∩HG＝P，
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF 平面ABD，GH 平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由基本事实3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上.
课时作业（十五） 平面的基本事实与推论
一、选择题
1.（多选）下列命题中错误的是（ ）
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
答案：ACD
解析：只有不共线三点才可确定一个平面，故A错；若A，B，C，D四点共线，则过这四个点的平面有无数个，故C错；空间四边形也可以四边都相等，D错.
2.（多选）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么对点M判断错误的是（ ）
A.点M一定在直线AC上
B.点M一定在直线BD上
C.点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上
答案：BCD
解析：点M一定在平面ABC和平面CDA的交线AC上.
3.如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
答案：A
解析：∵a 平面α，b 平面α，M∈a，N∈b，∴M∈平面α，N∈平面α.又∵M∈l，N∈l，∴l 平面α，故选A.
4.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ）
A. A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B. M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，且α与β不重合 α∩β＝MN
C. A∈α，A∈β，且α与β不重合 α∩β＝A
D. A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
答案：C
解析：由基本性质1知A正确；由基本性质3知B正确；由基本性质2知D正确；对于选项C，A∈α，A∈β且α与β不重合可知α与β相交于过点A的一条直线.故选C.
二、填空题
5.平面α∩平面β＝l，点A，B∈平面α，点C∈平面β且C l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝ .
答案：CR
解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.
6.给出以下命题：
①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；
②三条两两相交的直线在同一平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是 .
答案：0
解析：命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱；命题③错，这三个不同公共点可能在它们的交线上；命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.
三、解答题
7.按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线.
解：
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中
