2025年中考考前最后一卷
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）我国古代诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯 （或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“四边形的内角和是”是必然事件
5．（本题3分）若点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（本题3分）【热点·跨学科】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
8．（本题3分）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
9．（本题3分）如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为．
①拋物线与直线有没有交点；
②若点、点、点在该函数图象上，则；
③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）分解因式： ．
12．（本题3分）已知方程的两根为，求的值为 ．
13．（本题3分）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留）
14．（本题3分）在中，，，，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，若和分别是直线和轴上的点．并且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是 ．
16．（本题3分）如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为 ．
解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）（1）计算：；
（2）先化简分式，然后、0、1、2中选择一个你认为合适的a的值，代入求值．
18．（本题6分）如图，在中，，点P是的中点．
(1)尺规作图：以线段为直径作，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：是的切线．
19．（本题7分）【时事热点问题】2025年中国航天将发射载人飞船、货运飞船、天问二号等，“神舟二十号”载人飞船最快将于4月发射．为了解学生对航空航天知识的掌握情况，某校组织开展了一次航空航天知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用x表示）分为A，B，C，D四个等级，分别是A：，B：，C：，D：，绘制了下列统计图、表．
抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
抽取的八年级C等级的学生的竞赛成绩：87，81，86，83，88，82，89．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩综合统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 a 59.66
八年级 85.2 b 91 58.76
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________．
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条即可）
(3)若该校七年级有名学生参加知识竞赛，八年级有名学生参加知识竞赛，请估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于分）的学生共有多少人．
20．（本题7分）【时事热点问题】国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套，其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚，分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满欣喜，如图，小组利用邮票图案设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D共四张卡片．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．
(1)从中随机抽取一张卡片，抽到卡片C“欧拉公式”的概率是______；
(2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张卡片的图案恰好是卡片A“圆周率”和卡片D“莫比乌斯带”的概率．
21．（本题8分）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，．
(1)求旋转角的度数；
(2)若，求的长度．
22．（本题8分）如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为．
(1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；
(3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）．
23．（本题8分）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动．
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______；
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围．
24．（本题10分）如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示：
… 0 1 3 4 5 …
… 0 3 4 3 0 …
(1)直接写出_____，_____，_____；
(2)记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值；
(3)如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
25．（本题12分）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”，为主题开展数学活动，如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．
【操作发现】
（1）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到图②的，过点C作，与的延长线交于点E，四边形的形状是______；
（2）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点F，连接，并延长至点G，使，连接，，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图④，平行四边形是一个花园的初步设计图，其中有四个三角形和一个四边形，其中和是分别将和绕平行四边形的中心对称点旋转得到的．为了让花园看起来更加和谐美观，要令四边形为菱形，且，若，．求这个平行四边形花园面积的最大值．2025年中考考前最后一卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D D A D A C A C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．5或7
15．
16．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）
【详解】解：（1）
；（2分）
（2）
，（4分）
∵，，
∴a的值不能能取，0，1，只能取2，（5分）
当时，原式．（6分）
18．（本题6分）
【详解】（1）解：如图所示，，为所求
（3分）
（2）证明：如图，连接，，
为直径，
，（4分）
点为斜边上的中线，
，
，（5分）
，
，
，
，
是的切线．（6分）
19．（本题7分）
【详解】（1）解：七年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的是分，
；
由扇形统计图可知，八年级学生的竞赛成绩中A、B等级的人数为，
将抽取的八年级C等级的学生成绩按从小到大排列为：、、、、、、，
抽取的名八年级学生排名第和名的成绩为、，
；
；
故答案为：，，；（3分）
（2）八年级学生的竞赛成绩更好，理由：因为两个年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，且方差小于七年级，所以八年级学生的竞赛成绩更好；（5分）
（3）
（人）（7分）
答：估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有人．
20．（本题7分）
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片C“欧拉公式”的结果有1种，
∴抽到卡片C“欧拉公式”的概率为；（2分）
（2）解：利用表格列出所有可能的结果：（5分）
A B C D
A —
B —
C —
D —
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取卡片A和D的有2种，（6分）
∴所求的概率为．（7分）
21．（本题8分）
【详解】（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，；（3分）
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．（4分）
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．（5分）
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，（6分）
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，（7分）
∴．（8分）
所以，的长度为．
22．（本题8分）
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴在中，，，
∴，，
∴，，
∴，；（4分）
（2）解：依题意，列表：
0 1 2 5 6
0
10 5 2
描点，连线，函数图象如图所示，
（6分）
（3）解：由图象得，当时的取值范围为．（8分）
23．（本题8分）
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；（2分）
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），（4分）
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，（5分）
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，（7分）
解得．（8分）
24．（本题10分）
【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等，
∴，，
由表格可知，当时，，
∴，
∴，
故答案为：，，．（3分）
（2）证明：由（1）可知，，，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，即，解得，（4分）
在中，，即，解得，（5分）
∵，
∴，（6分）
∴为定值．
（3）解：由（2）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，（7分）
∴的面积为
，（8分）
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2，
∴此时，，
又∵，
∴，（9分）
∴，即点与点重合，
∴此时点的坐标为，
综上，面积的最大值2，此时点的坐标为．（10分）
25．（本题12分）
【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下：
证明：在图②中，∵是矩形的对角线，
∴，，
∴，
由旋转的性质知，，，
，
，
∴，．
又∵，
四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．（2分）
（2）四边形是正方形．理由如下：
∵点F是的中点，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．（3分）
由旋转可知，
∴四边形是菱形．（4分）
∵，
∴．
∴四边形是正方形．（5分）
（3）如图④，分别过点A、点C作的垂线，垂足分别为P，M，过点E作于点Q．
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴．
∴，
∴，
∴．（6分）
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．（7分）
∵，
∴．
∴．
∴．（8分）
∵，
∴，（9分）
∵，
∴．（10分）
∴．（11分）
∵，
∴当时，平行四边形花园ABCD的面积有最大值，最大值为平方米．（12分）
