【标题】第3章 复 数
【标题】3.1 复数的概念
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过方程x2＋1＝0的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义. 1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性. 2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点 复数的有关概念
1.复数的概念
把形如a＋bi（其中a，b∈R）的数称为 复数 ，其中a称为复数a＋bi的 实部 ，b称为复数a＋bi的 虚部 ，i称为 虚数单位 .
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}称为复数集.
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式称为 复数的代数形式 .
2.复数相等
若两个复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）的实部与虚部分别相等，则称这两个复数 相等 ，即：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.
3.复数的分类
（1）分类
对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是 实数 ；当且仅当a＝b＝0时，它是实数 0 ；当b≠0时，它叫作 虚数 ；当a＝0且b≠0时，它叫作 纯虚数 .
显然实数集R是复数集C的 子集 ，且由C中虚部为0的全体复数组成.
z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）Venn图表示
重点 理解
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.
2.复数概念的三点说明
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.
3.两个复数相等的条件
（1）在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
（2）利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
自我 排查
1.在2＋i，0，8＋5i，（1－）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ C ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：i，（1－）i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数.
2.若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ B ）
A.－1 B.1
C.±1 D.－1或－2
解析：∵（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，
∴∴x＝1，故选B.
3.复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为（ C ）
A.1 B.1或－4
C.－4 D.0或－4
解析：由复数相等的条件，知
所以a＝－4.故选C.
4.若复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z＜0，则m＝ －1 .
解析：∵z＜0，∴解得m＝－1.
＠课堂强研习
研习1 复数的概念和分类
[典例1] 下列命题中，正确命题的个数是（ A ）
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；
⑥若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①错.
②由于两个虚数不能比较大小，故②错.
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故③错.
④因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错.
⑤因为－1的平方根为±i，故⑤错.
⑥当a＝－1时，（a＋1）i是实数0，故⑥错.
巧归纳
利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虛部的取值范围求解.要特别注意复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[练习1] 已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？
解：（1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
（2）要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
（3）要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
研习2 复数相等的充要条件
[典例2] 在复数集C＝{a＋bi｜a，b∈R}中的两个数2＋bi与a－3i相等，则实数a，b的值分别为（ B ）
A.2，3 B.2，－3
C.－2，3 D.－2，－3
[解析] ∵2＋bi＝a－3i，∴故选B.
[答案] B
巧归纳
应用复数相等的充要条件时,要注意：
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组。
（2）利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
[练习2] 若关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
解：设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，a∈R，
所以
解得∴实数a的值为11或－.
＠课后提素养
1.（多选）下列命题中，是真命题的为（ ACD ）
A.自然数集是非负整数集
B.实数集与虚数集的交集为{0}
C.实数集与复数集的交集为实数集
D.纯虚数集与实数集的交集为空集
解析：由复数的分类知选ACD.
2.复数（2x2＋5x＋2）＋（x2＋x－2）i为虚数，则实数x满足（ D ）
A.x＝－
B.x＝－2或x＝－
C.x＝－2
D.x≠1且x≠－2
解析：∵（2x2＋5x＋2）＋（x2＋x－2）i为虚数，
∴x2＋x－2≠0，即（x－1）（x＋2）≠0，∴x≠1且x≠－2，故选D.
3.下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝2＋i的充要条件是x＝2，y＝1；
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
③若（z1－z2）2＋（z2－z3）2＝0，则z1＝z2＝z3.
真命题的个数是（ A ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①x，y∈C，x＋yi不一定是代数形式，故①错.②③错.故选A.
4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－（2＋i）x＋1＋mi＝0（m∈R）有一实根为n，则m＝ 1 .
解析：由关于x的方程x2－（2＋i）x＋1＋mi＝0（m∈R）有一实根为n，可得n2－（2＋i）n＋1＋mi＝0，即n2－2n＋1＋（m－n）i＝0，所以所以m＝n＝1.
5.若m为实数，z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m＋2＋（m3－5m2＋4m）i，那么使z1＞z2的m值的集合是什么？使z1＜z2的m值的集合又是什么？
解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0，1，4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，z1＝1，z2＝2.所以z1＞z2时m值的集合为空集，z1＜z2时m值的集合为{0}.
忽视判别式的使用条件而出错（误区警示）
[示例] 求实数k为何值时，使方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0至少有一个实根.
[错解] 判别式Δ＝（k＋2i）2－4（2＋ki）＝k2－12，
由k2－12≥0，解得k≥2或k≤－2，
故当k≥2或k≤－2时，方程至少有一个实根.
[易错分析] 实系数一元二次方程根的情况，可以用判别式来判断，但本题是复系数一元二次方程，判别式就不起作用了，必须遵循复数的运算法则及规律来处理.
[正解] 设方程的一个实根为a，则有a2＋（k＋2i）a＋2＋ki＝0，
由复数相等的定义，得
解得k＝±2，
因此当k＝±2时，原方程至少有一个实根.
[题后总结] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用Δ≥0，而应设出实根代入，然后利用复数相等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[类题试解]
已知a，b，c，d∈R，方程x2＋（a＋bi）x＋c＋di＝0，当a，b，c，d满足什么条件时，该方程有实数根？
解：原方程可整理为（x2＋ax＋c）＋（bx＋d）i＝0.
①当b＝d＝0时，方程变为x2＋ax＋c＝0，
当Δ＝a2－4c≥0时，方程有实数根.
②当b，d不全为0时，设x0是方程的实数根，
则（＋ax0＋c）＋（bx0＋d）i＝0，
∴
当b≠0时，x0＝－存在，则abd＝d2＋b2c.
综上可知，当b＝d＝0，且Δ＝a2－4c≥0或b≠0，且abd＝d2＋b2c时，方程x2＋（a＋bi）x＋c＋di＝0（a，b，c，d∈R）有实数根.
＠课时作业
一、选择题
1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（ B ）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.故选B.
2.（多选）下列命题正确的是（ AD ）
A.1＋i2＝0
B.若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D.两个虚数不能比较大小
解析：对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错误，D正确；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，但x≠y，故C错误.故选AD.
3.（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ BD ）
A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
C.－1没有平方根
D.当m＝4时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数
解析：取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误； a∈R，a2＋1＞0恒成立，所以（a2＋1）i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确.故选BD.
4.若sin 2θ－1＋i（cos θ＋1）是纯虚数，则θ的值为（ B ）
A.2kπ－（k∈Z） B.2kπ＋（k∈Z）
C.2kπ±（k∈Z） D.π＋（k∈Z）
解析：由题意，得
解得（k∈Z），
∴θ＝2kπ＋（k∈Z）.
5.已知集合M＝{1，2，（m2－3m－1）＋（m2－5m－6）i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为（ B ）
A.4 B.－1
C.－1或4 D.－1或6
解析：由M∩N＝{3}，得3∈M，
故（m2－3m－1）＋（m2－5m－6）i＝3，
因此得
解得
所以m的值为－1，故选B.
二、填空题
6.下列命题：
①若z＝a＋bi，则当且仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若z1，z2为复数，则z1与z2不能比较大小；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.
其中正确的命题有 0 个.
解析：在①中a，b不一定为实数，故①错误；在②中当z1与z2全为实数时可以比较大小，故②错误；在③中对实数集中的0，在纯虚数集中没有对应元素，故③错误.
7.已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝ .若z1＞z2，则a的取值集合为 {0} .
解析：由z1为纯虚数，得
∴a＝.
由z1＞z2，得解得a＝0，即a的取值集合为{0}.
三、解答题
8.已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－1）i，当m为何值时：（1）z是实数；（2）z是虚数；（3）z是纯虚数.
解：（1）∵z是实数，
∴m2＋2m－1＝0且m－1≠0，
解得m＝－1±且m≠1.
∴当m＝－1±时，z为实数.
（2）∵z是虚数，
∴m2＋2m－1≠0且m－1≠0，
解得m≠－1±且m≠1.
∴当m≠－1±且m≠1时，z为虚数.
（3）∵z是纯虚数，
∴＝0且m2＋2m－1≠0，
解得m＝0或m＝－2且m≠－1±且m≠1.
∴当m＝0或－2时，z为纯虚数.
9.已知z＝sin A＋（ksin A＋cos A－1）i，A为△ABC的一个内角.若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围.
解：∵z总是虚数，∴ksin A＋cos A－1≠0，
∵A为△ABC的内角，∴A∈（0，π），
∴sin A≠0，∴k≠.
解法一：＝tan，
其中A∈（0，π）.
∵当时，tan∈（0，＋∞），
∴的值域为（0，＋∞），
∴当k≤0时，≠k恒成立，
即当k≤0时，不论A为何值，ksin A＋cos A－1≠0恒成立，z总是虚数.
解法二：∵＝－，
而表示点（cos A，sin A）与点（1，0）连线的斜率.
又（cos A，sin A），A∈（0，π）在除去端点的半圆上，如图所示，利用数形结合，有∈（－∞，0），
∴∈（0，＋∞）.
∵k≠，∴k∈（－∞，0].
【标题】3.2 复数的四则运算
[新课程标准] [新学法解读]
掌握复数代数形式的四则运算法则. 类比实数的四则运算来学习复数的四则运算.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 复数的加、减运算
1.复数的加法
（1）复数的加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的和z1＋z2＝ （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i .
（2）复数加法的运算律
两个复数的和仍然是一个确定的复数.复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1 ， （z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3） .
2.复数的减法
复数减法是加法的逆运算，即复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi，记作复数（a＋bi）－（c＋di），（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i.（其中，a，b，c，d∈R）
知识点2 复数的乘、除运算
1.复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ （ac－bd）＋（bc＋ad）i .
（2）复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3）
乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
2.复数的乘方
（1）复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.
（2）复数乘方的运算律对任意复数z1，z2，z3及正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，（zm）n＝zmn，（z1·z2）n＝.
（3）规定：i0＝1.
3.复数的除法
（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的商（a＋bi）÷（c＋di）＝ i（c＋di≠0）.
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.在进行复数的除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式，再把分子与分母都乘复数c－di，化简后就得到上面的结果.
（2）一般地，称为z的倒数，若z＝a＋bi≠0，则i.
4.常用复数运算结论
（1）（1±i）2＝ ±2i ；（1＋i）（1－i）＝ 2 ；＝ －i ；＝ ；＝ i ；＝ －i .
（2）记ω＝－i，则ω2＝ －i .于是有①ω2＝ ，ω＝ ；
②｜ω｜＝ ｜ω2｜ ＝ 1 ；
③1＋ω＋ω2＝ 0 .
（3）i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i （n∈N）.
知识点3 复数范围内方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为：
（1）当Δ≥0时，x＝ ；
（2）当Δ＜0时，x＝ .
重点 理解
1.对复数的加法、减法运算应注意以下几点
（1）一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致.
（2）运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
（3）运算结果：两个复数的和（差）是唯一确定的复数.
2.对复数乘法的三点说明
（1）类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式的乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成－1）.
（2）运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
（3）常用结论
①（a±bi）2＝a2±2abi－b2（a，b∈R）；
②（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）；
③（1±i）2＝±2i.
3.对复数除法的两点说明
（1）实数化：分子、分母同乘复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
自我 排查
1.复数（1－i）－（2＋i）＋3i＝（ A ）
A.－1＋i B.1－i
C.i D.－i
解析：原式＝（1－2）＋（－1－1＋3）i＝－1＋i.
2.在复平面内，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为（ A ）
A.－1－5i B.－1＋5i
C.3－4i D.3＋4i
解析：＝（－2－3i）－（－1＋2i）＝－1－5i.
3.已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝（ C ）
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
解析：由＝1－ni，得i＝1－ni，
则＝1且－＝－n，故m＝2，n＝1.故选C.
4.i是虚数单位，复数z满足（1＋i）z＝2，则z的实部为 1 .
解析：因为（1＋i）z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
＠课堂强研习
研习1 复数的加、减运算
[典例1] 计算：（1）（－1＋i）＋｜i｜＋（1＋i）；
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]；
（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）.
[解] （1）原式＝（－1＋i）＋＋（1＋i）＝（－1＋i）＋1＋（1＋i）＝1＋2i.
（2）原式＝5i－（4＋i）＝－4＋4i.
（3）原式＝（a－2a）＋（b＋3b－3）i＝－a＋（4b－3）i.
巧归纳
复数加、减法运算的两种方法
（1）复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部,再将所有实部和虚部分别求和,最后将实部和作为实部,虚部和作为虚部，写出复数的代数形式．注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和。
（2）利用复数的结合律计算.
[练习1] （1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）＝ －2－i .
（2）已知x∈R，y∈R，（xi＋x）＋（yi＋4）＝（y－i）－（1－3xi），则x＝ 6 ，y＝ 11 .
（3）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则z1＋z2＝ 1－i .
解析：（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i.
（2）因为x＋4＋（x＋y）i＝（y－1）＋（3x－1）i，所以解得
（3）因为z1－z2
＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]
＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i
＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，
则z1＋z2＝1－i.
研习2 复数的乘、除运算
[典例2] 已知（1－i）2z＝3＋2i，则z＝（ B ）
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
[解析] 由已知得z＝，根据复数除法运算法则，即可求解.
（1－i）2z＝－2iz＝3＋2i，
z＝＝－1＋i.
故选B.
巧归纳
(1)复数的乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i2化为-1,最后把结果化简;复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘复数c—di.若分母是纯虚数,则只需同时乘i即可)
(2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果.
[练习2] 计算：
（1）；
解：原式＝
＝（2＋i）－
＝2＋i－i11＝2＋i－i3
＝2＋i＋i＝2＋2i.
（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）；
解：原式＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i）
＝2（12－3i－4i＋i2）＋（28－4i－21i＋3i2）
＝2（11－7i）＋25（1－i）
＝47－39i.
（3）.
解：原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·
＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
＠课后提素养
1.已知复数z满足z－（1－i）＝2i，则z＝（ A ）
A.1＋i B.－1－i
C.－1＋i D.1－i
解析：z＝2i＋（1－i）＝1＋i.
2.设f（z）＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝（ D ）
A.1－5i B.－2＋9i
C.－2－i D.5＋3i
解析：f（z1－z2）＝z1－z2－2i＝（3＋4i）－（－2－i）－2i＝5＋3i.故选D.
3.若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a＝ .
解析：由题意，[3a－8＋（6＋4a）i]，因为是纯虚数，故3a－8＝0，且6＋4a≠0，解得a＝.
4.已知复数z＝3＋bi（b∈R），且（1＋3i）·z为纯虚数.
（1）求复数z；
（2）若w＝，求复数w.
解：（1）由题意得，（1＋3i）·（3＋bi）＝（3－3b）＋（9＋b）i.
因为（1＋3i）·z为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0，
所以b＝1，所以z＝3＋i.
（2）w＝i.
5.设m∈R，复数z1＝＋（m－15）i，z2＝－2＋m（m－3）i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.
解：因为z1＝＋（m－15）i，
z2＝－2＋m（m－3）i，
所以z1＋z2＝＋[（m－15）＋m（m－3）]i＝＋（m2－2m－15）i.
因为z1＋z2是虚数，
所以m2－2m－15≠0且m≠－2，
所以m≠5且m≠－3且m≠－2.
所以m的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，－2）∪（－2，5）∪（5，＋∞）.
对复数的概念理解不透致误（误区警示）
[示例] 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝a－bi，则z1－z2为（ ）
A.实数 B.纯虚数
C.0 D.零或纯虚数
[错解] ∵z1－z2＝（a＋bi）－（a－bi）＝2bi，
∴z1－z2为纯虚数，故选B.
[易错分析] 本题错误在于忽略了a，b的取值范围，对复数概念理解不透，凭想象认为b≠0，导致错选B.
[正解] ∵z1－z2＝（a＋bi）－（a－bi）＝2bi，
又b∈R，
∴当b＝0时，z1－z2＝0；当b≠0时，z1－z2为纯虚数，故选D.
[答案] D
[题后总结] （1）对复数进行划分时要先将它整理成a＋bi（a，b∈R）的形式，判定某一复数是实数，仅根据虚部为零是不够的，还要保证实部有意义才行.（2）若两个复数不全是实数，则它们是不能比较大小的.（3）要熟练掌握复数的运算法则，防止将实数中的有关公式与复数运算相混淆，造成解题失误.
[类题试解]
已知z∈C，z＋2i，均为实数（i为虚数单位），求复数（z＋ai）2.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R），∴z＋2i＝x＋（y＋2）i，由题意得y＝－2.
（x－2i）（2＋i）
＝（2x＋2）＋（x－4）i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16＋8（a－2）i－（a－2）2＝（12＋4a－a2）＋8（a－2）i.
＠课时作业
一、选择题
1.已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（ C ）
A.－1 B.1 C.－3 D.3
解析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.
（1＋ai）i＝i＋ai2＝i－a＝－a＋i＝3＋i，
利用复数相等的充分必要条件可得－a＝3，∴a＝－3.
故选C.
2.满足＝i（i为虚数单位）的复数z＝（ B ）
A.i B.i
C.－i D.－i
解析：由题意，得z＋i＝zi，所以（1－i）z＝－i，解得z＝i，故选B.
3.复数＝（ A ）
A.－2i B.2i C.2 D.－2
解析：＝－2i.
故选A.
4.如果复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m等于（ B ）
A.1 B.－1 C. D.－
解析：（m2＋i）（1＋mi）＝m2＋m3i＋i－m＝（m2－m）＋（m3＋1）i.
∵复数为实数，
∴m3＋1＝0.∴m＝－1.
二、填空题
5.复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝ 2 .
解析：z1＋z2＝（－2mi）＋（－m＋m2i）＝（－m）＋（m2－2m）i.
∵z1＋z2＞0，
∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
6.（1－2i）＋（－2＋3i）＋（3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋（－2 012＋2 013i）＋（2 013－2 014i）＝ 1 007－1 008i .
解析：（1－2i）＋（－2＋3i）＝－1＋i，
（3－4i）＋（－4＋5i）＝－1＋i，…，
（2 011－2 012i）＋（－2 012＋2 013i）＝－1＋i.
则原式＝1 006（－1＋i）＋（2 013－2 014i）＝1 007－1 008i.
7.已知i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝ 1 ，b＝ － .
解析：把i代入方程，得
a（i）2＋b（i）＋1＝0，
即（a＋b＋1）＋（a＋b）i＝0，
所以
解得
8.已知复数＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a＋bi＝ －1＋2i .
解析：由＝1－bi，得2－ai＝i（1－bi）＝i－bi2＝b＋i.
所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2.
所以a＋bi＝－1＋2i.
三、解答题
9.计算：（1）；
解：原式＝i6＋
＝i2＋
＝－1＋i.
（2）.
解：解法一：原式＝
＝
＝－i.
解法二：∵＝1，
∴原式＝
＝
＝－i.
10.已知f（z）＝2z＋2－i（z∈C），z0＝1＋2i，f（z0－z1）＝6－3i，求复数z1，f（z0＋z1）.
解：由已知得f（z0－z1）＝2（z0－z1）＋2－i＝6－3i，
且z0＝1＋2i，
∴2＋4i－2z1＋2－i＝6－3i，
即4＋3i－2z1＝6－3i，
∴2z1＝（4＋3i）－（6－3i）＝（4－6）＋（3＋3）i＝－2＋6i，
∴z1＝－1＋3i.
∴z0＋z1＝（1＋2i）＋（－1＋3i）＝5i，
∴f（z0＋z1）＝f（5i）＝10i＋2－i＝2＋9i.
11.已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，且z1－z2＝i，求cos（α＋β）的值.
解：因为z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，
所以z1－z2＝（cos α－cos β）＋（sin α＋sin β）i＝i，
所以
两式平方相加，得（cos α－cos β）2＋（sin α＋sin β）2
＝2－2（cos αcos β－sin αsin β）
＝2－2cos（α＋β）＝＝1，
即2－2cos（α＋β）＝1，
所以cos（α＋β）＝.
【标题】3.3 复数的几何表示
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系. 3.通过向量的模表示复数的模. 4.了解共轭复数. 5.了解复数加减法的几何意义. 从“数”和“形”两个角度认识理解复数，由于复平面的建立，使得复数和复平面内的点和以原点为起点的向量具有一一对应关系，为研究复数问题提供了更加有力的工具.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 复数的几何意义
1.根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R），都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对（a，b）是一一对应的.而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 复平面 ，x轴叫作 实轴 ，y轴叫作 虚轴 .实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系.
复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）
2.在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用向量来表示复数.
如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi（a，b∈R），连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即
复数z＝a＋bi平面向量
知识点2 复数的模
1.复数的模
对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作｜z｜.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于｜a｜（a的绝对值）.由模的定义，可知｜z｜＝｜｜＝｜a＋bi｜＝ .
2.复数模的几何意义
｜z｜＝｜｜，即点Z（a，b）到原点O的距离.
一般地，｜z1－z2｜为复平面上点Z1到Z2的距离.
知识点3 共轭复数
1.对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.
2.复平面上两点P，Q关于x轴对称 它们对应的复数相互共轭.
知识点4 复数加减法的几何意义
1.复数加法的几何意义
设分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）对应，则＝（a，b），＝（c，d）.由平面向量的坐标运算法则，得＝（a＋c，b＋d）.
这说明两个向量的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如图），这就是复数加法的几何意义.
2.复数减法的几何意义
复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
重点 理解
1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应
（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示.
（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.
（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
2.复数几何意义的两个注意点
（1）复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）.
（2）复数与向量的对应：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个.
3.对复数模的三点说明
（1）数学上所谓大小的定义是：在（实）数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于数学上大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小.
（2）数的角度理解：复数a＋bi（a，b∈R）的模｜a＋bi｜＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.
（3）几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.｜z1－z2｜表示复数z1，z2在复平面上对应的点之间的距离.
4.复数加法、减法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
自我 排查
1.在复平面内，复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i对应的点在虚轴上，则a的值为（ A ）
A.a＝0或a＝2 B.a＝0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
解析：∵复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
2.在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0.所以复数z＝sin 2＋icos 2在复平面内对应的点位于第四象限.
3.（多选）下列不等式错误的是（ ABD ）
A.3i＞2i B.｜2＋3i｜＞｜1－4i｜
C.｜2－i｜＞2 D.i＞－i
解析：两虚数不能比较大小，A，D错误；
又｜2＋3i｜＝＜｜1－4i｜＝，B错误；
｜2－i｜＝＞2.故选ABD.
4.（多选）已知i为虚数单位，复数z＝，则以下命题为真命题的是（ AD ）
A.z的共轭复数为
B.z的虚部为
C.｜z｜＝3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
解析：z＝，故，故A正确；z的虚部为，故B错误；｜z｜＝≠3，故C错误；z在复平面内对应的点为（），在第一象限，故D正确.故选AD.
＠课堂强研习
研习1 复数与复平面内的点一一对应
[典例1] 写出如图所示的复平面内各点所表示的复数（每个正方形的边长均为1）.
[解] 如题图所示，点A的坐标为（4，3），则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H对应的复数分别为3－3i，－3＋2i，－2，5i，－5i.
巧归纳
确定复数对应的点在复平面内的位置，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部等于该点的横坐标，复数的虚部等于该点的纵坐标.
[练习1] 在复平面内，若复数z＝（m2－m－2）＋（m2－3m＋2）i对应的点：
（1）在第二象限；
（2）在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
解：复数z＝（m2－m－2）＋（m2－3m＋2）i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
（1）由题意得
∴
∴－1＜m＜1.
∴m的取值范围是{m｜－1＜m＜1}.
（2）由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，解得m＝2.
研习2 复数与平面向量的对应关系
[典例2] 已知在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
（1）求向量对应的复数；
（2）判断△ABC的形状.
[解] （1）由复数的几何意义，知
＝（1，0），＝（2，1），＝（－1，2），
∴＝（1，1），
＝（－2，2），
＝（－3，1），
∴对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
（2）∵｜｜＝，｜｜＝2，｜｜＝，
∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
巧归纳
根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即代表复数对应的向量.
[练习2] 已知复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋（2c－6）i（c∈R），在复平面内对应的向量分别是，若＜0，O为坐标原点，求c的取值范围.
解：由条件知Z1（3，4），Z2（0，0），Z3（c，2c－6），
所以＝（－3，－4），＝（c－3，2c－10）.
又＝－3（c－3）＋（－4）×（2c－10）＝49－11c＜0，
解得c＞，所以c的取值范围是.
研习3 复数的模及其应用
[典例3] 已知复数z1＝＋i，z2＝－i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小；
（2）设z∈C，满足条件｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z的轨迹是什么图形？
[解] （1）｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2，
｜z2｜＝＝1.
∴｜z1｜＞｜z2｜.
（2）由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜及（1）知1≤｜z｜≤2.
因为｜z｜的几何意义就是复平面内复数z对应的点到原点的距离，所以｜z｜≥1表示｜z｜＝1所表示的圆及其外部所有点组成的集合，｜z｜≤2表示｜z｜＝2所表示的圆及其内部所有点组成的集合.故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），即如图所示的阴影部分及圆周.
巧归纳
几种常用图形的复数方程
(1）线段的垂直平分线
复平面内,A(x1，y1)对应复数z1，B(x2，y2)对应复数z2，线段AB的垂直平分线的复数方程为｜z－z1｜＝｜z－z2｜
(2）圆
复平面内，圆心为P(a,b），半径为γ（γ＞0）的圆的复数方程为｜z－z0｜＝γ(其中圆心P对应复数z0）.特别地，当圆心为坐标原点时，圆的复数方程为｜z｜＝γ
（3）椭圆
复平面内，以2a为长轴长，坐标原点为中心且焦点在坐标轴上的椭圆的复数方程为｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝2a（其中椭圆的两个焦点F1和F2分别对应复数z1和z2）.
（4）双曲线
复平面内，以2a为实轴长，坐标原点为中心且焦点在坐标轴上的双曲线的复数方程为｜z－z1｜－｜z－z2｜＝±2a（其中双曲线的两个焦点F1和F2分别对应复数z1和z2）
[练习3] 已知复数z1＝x2＋i，z2＝（x2＋a）i对于任意x∈R均有｜z1｜＞｜z2｜成立，试求实数a的取值范围.
解：因为｜z1｜＞｜z2｜，
所以x4＋x2＋1＞（x2＋a）2，
所以（1－2a）x2＋（1－a2）＞0对x∈R恒成立.
当1－2a＝0，即a＝时，不等式恒成立；
当1－2a≠0，即a≠时，
需
所以－1＜a＜，
综上，a的取值范围是（－1，］.
研习4 共轭复数的求解与应用
[典例4] 设a，b互为共轭复数，且（a＋b）2－3abi＝4－6i，求a和b.
[解] 设a＝x＋yi，b＝x－yi（x，y∈R），则（a＋b）2－3abi＝（x＋yi＋x－yi）2－3（x＋yi）（x－yi）i＝4x2－3i（x2＋y2）＝4－6i.
所以解得
所以
巧归纳
共轭复数的求解与应用
（1）若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算，必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z=i（∈R)，则i,代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.
[练习4] 已知z＝2－i，则z（＋i）＝（ C ）
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
解析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
因为z＝2－i，故＝2＋i，故z（＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故选C.
研习5 复数加减法的几何意义
[典例5] 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
（2）平行四边形ABCD的面积.
[解] （1）设O为坐标原点，∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵，∴向量对应的复数为3－i，
即＝（3，－1）.
设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
（2）∵＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝.
∴sin B＝，
∴平行四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜·sin B＝＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
巧归纳
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数。注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数）.
[练习5] 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示为0，3＋2i，－2＋4i，求：
（1）表示的复数；
（2）对角线表示的复数；
（3）对角线表示的复数.
解：（1）因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
（2）因为，所以对角线表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3）因为对角线，所以对角线表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i.
研习6 复数加、减法几何意义的综合运用
[典例6] 若复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，求｜z＋i＋1｜的最小值.
[解] 设复数－i，i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图，
∵｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，｜Z1Z2｜＝2，
∴点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求｜ZZ3｜的最小值，由图可知｜Z1Z3｜的最小值为1.
巧归纳
｜z1－z2｜表示复平面内复数z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而利用数形结合的方法,把复数问题转化为几何图形问题求解.
[练习6] 已知复数z的模｜z｜＝2，求复数1＋i＋z的模的最大值和最小值.
解：由已知，复数z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心，2为半径的圆上，设w＝1＋i＋z，所以z＝w－1－i，所以｜z｜＝｜w－（1＋i）｜＝2，所以复数w对应的点在以（1，）为圆心，2为半径的圆上，此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值，圆上的点O对应的复数wO的模有最小值.如图所示，
故｜1＋i＋z｜max＝4，｜1＋i＋z｜min＝0.
＠课后提素养
1.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是（ D ）
A.z1＞z2 B.z1＜z2
C.｜z1｜＞｜z2｜ D.｜z1｜＜｜z2｜
解析：∵复数不能比较大小，∴A，B不正确；
又｜z1｜＝，
｜z2｜＝，
∴｜z1｜＜｜z2｜，故C不正确，D正确.
2.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则为（ B ）
A.－＋2i B.－－2i
C.－＋3i D.－－3i
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则
∴b＝2，∴z＝－＋2i，∴＝－－2i，故选B.
3.当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由＜m＜1，得
∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
4.在复平面内，表示复数z＝（m－3）＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为 9 .
解析：由表示复数z＝（m－3）＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，且m＞0，解得m＝9.
对复数加、减法几何意义理解有误（误区警示一）
[示例1] 设向量表示的复数是2＋3i（O为坐标原点），将向量向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到向量，求向量、点O1和向量分别表示的复数.
[错解] 表示的复数为（2－1）＋（3＋2）i＝1＋5i，
O1点对应的复数为（0－1）＋（0＋2）i＝－1＋2i.
∵＝－＝－（）＝－[（－1＋2i）＋（1＋5i）]＝－（0＋7i）＝－7i.
[题后总结] 正确理解任意一个向量与复平面内的点及相对的复数具有一一对应关系，因向量的平移没有改变原有向量的方向及模的长度，故应表示同一复数，的模相等而方向相反，结合图形，不难得出结果，错解中主要错在第一步的结果出错，导致后面的错误，其后面的思路是正确的.
[正解] 由题意得，向量对应的复数是2＋3i，O1点对应的复数是－1＋2i.
＝－＝－（）＝－[（－1＋2i）＋（2＋3i）]＝－1－5i.
故向量对应的复数为－1－5i.
[类题试解]
设z1＝1＋2ai，z2＝a－i，a∈R，A＝{z｜｜z－z1｜＜}，B＝{z｜｜z－z2｜≤2}，已知A∩B＝ ，求a的取值范围.
解：因为z1＝1＋2ai，z2＝a－i，
｜z－z1｜＜，即｜z－（1＋2ai）｜＜，
｜z－z2｜≤2，即｜z－（a－i）｜≤2，
由复数减法及模的几何意义知，集合A是以（1，2a）为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以（a，－1）为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝ ，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，解得a≤－2或a≥.故a的取值范围是{a｜a≤－2或a≥}.
对复数的模理解不到位而致错（误区警示二）
[示例2] 若复数z满足｜z｜2－｜z｜－2＝0，则复数z对应的点Z的轨迹是（ ）
A.2个点 B.1个圆
C.2个圆 D.4个点
[错解] 由｜z｜2－｜z｜－2＝0，可得（｜z｜＋1）（｜z｜－2）＝0，而｜z｜＋1＞0，所以｜z｜＝2，于是z＝±2，因此点Z的轨迹是2个点（－2，0）和（2，0），故选A.
[易错分析] 本题错解在于由｜z｜＝2得出z＝
±2，其实质是混淆了实数的绝对值与复数的模之间的区别，导致错误.
[答案] B
[正解] 由｜z｜2－｜z｜－2＝0，可得（｜z｜＋1）（｜z｜－2）＝0，而｜z｜＋1＞0，所以｜z｜＝2，由复数模的几何意义可知，复数z对应的点到原点的距离等于2，即点Z的轨迹是1个圆.故选B.
[题后总结] 解决此类问题时，要明确应求的是复数的模还是实数的绝对值.
＠课时作业
一、选择题
1.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为（ B ）
A.－2－i B.－2＋i
C.1＋2i D.－1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2），点A关于直线y＝－x的对称点为B（－2，1），所以对应的复数为－2＋i.
2.“a＝－3”是“复数z＝（a2－9）＋（a＋1）i（a∈R）为纯虚数”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：当a＝－3时，z＝－2i为纯虚数，但z＝（a2－9）＋（a＋1）i（a∈R）为纯虚数时，a＝±3，故选A.
3.（多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ AC ）
A.｜z｜＝
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为－1＋2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：｜z｜＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选AC.
4.向量＝（，1）按逆时针方向旋转60°所对应的复数为（ B ）
A.－＋i B.2i
C.1＋i D.－1＋i
解析：向量＝（，1），设其方向与x轴正方向夹角为θ，tan θ＝，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又｜｜＝2，∴旋转后对应的复数为2i.故选B.
5.（多选）已知复数z满足·z＋2＝3＋ai，a∈R，则实数a的值可能是（ ABC ）
A.1 B.－4 C.0 D.5
解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi，
∴由·z＋2＝3＋ai得x2＋y2＋2i（x－yi）＝3＋ai，
∴ y2＋2y＋－3＝0，
∴Δ＝4－4（－3）≥0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的值可能是1，－4，0.故选ABC.
6.已知复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则＋｜z2｜2＝（ C ）
A.10 B.25 C.100 D.200
解析：根据复数加减法的几何意义，由｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜知，以为邻边的平行四边形是矩形（对角线相等），即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点.
∵｜｜＝＝5，∴｜M1M2｜＝10.
∴｜z1｜2＋｜z2｜2＝｜｜2＋｜｜2＝＝100.
二、填空题
7.i是虚数单位，设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝ 1 ，｜x＋yi｜＝ .
解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，
∴x＝y＝1，
∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝.
8.在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则a－b＝ －4 .
解析：因为，所以2＋i＋（－b＋ai）＝－2a＋3i，所以解得
故a－b＝－4.
9.若复数z＝sin 2α－（1－cos 2α）i是纯虚数，则α＝ kπ＋（k∈Z） .
解析：由已知得，
2α＝（2k＋1）π，k∈Z，
∴α＝kπ＋（k∈Z）.
三、解答题
10.已知a∈R，则复数z＝（a2－2a＋4）－（a2－2a＋2）i在复平面内所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解：由a2－2a＋4＝（a－1）2＋3≥3，
－（a2－2a＋2）＝－（a－1）2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，
∴复数z在复平面内的对应点在第四象限.
设z＝x＋yi（x，y∈R），则
消去a2－2a，得y＝－x＋2（x≥3）.
∴复数z在复平面内的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2（x≥3）.
11.设全集U＝C，A＝{z｜｜｜z｜－1｜＝1－｜z｜，z∈C}，B＝{z｜｜z｜＜1，z∈C}，若z∈A∩（ UB），求复数z在复平面内对应的点的轨迹.
解：因为z∈C，所以｜z｜∈R，所以1－｜z｜∈R，
由｜｜z｜－1｜＝1－｜z｜，得1－｜z｜≥0，
即｜z｜≤1，所以A＝{z｜｜z｜≤1，z∈C}.
又因为B＝{z｜｜z｜＜1，z∈C}，
所以 UB＝{z｜｜z｜≥1，z∈C}.
因为z∈A∩（ UB）等价于z∈A，且z∈（ UB），
所以 ｜z｜＝1.由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆.
12.已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位.
（1）求复数z和｜z｜；
（2）若复数z1＝i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.
解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2i＝a＋（b＋2）i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2.
又i为实数，所以＝0，故a＝－2b.
又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以｜z｜＝＝2.
（2）z1＝i＝（4＋2i）＋i＝4＋＋（2－）i＝i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以解得－2＜m＜或1＜m＜.
故实数m的取值范围为（－2，）∪（1，）.
13.已知关于x的方程x2－（6＋i）x＋9＋ai＝0（a∈R）有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足｜－a－bi｜－2｜z｜＝0，求z为何值时，｜z｜有最小值，并求出｜z｜的最小值.
解：（1）∵b是方程x2－（6＋i）x＋9＋ai＝0（a∈R）的实数根，
∴（b2－6b＋9）＋（a－b）i＝0，
∴解得a＝b＝3.
（2）设z＝x＋yi（x，y∈R），由｜－3－3i｜＝2｜z｜，得
（x－3）2＋（y＋3）2＝4（x2＋y2），
即（x＋1）2＋（y－1）2＝8，
∴z点的轨迹是以O1（－1，1）为圆心，以2为半径的圆，如图所示.
当z点在OO1的连线上时，｜z｜有最大值或最小值，
∵｜OO1｜＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，｜z｜有最小值且｜z｜min＝.
【标题】*3.4 复数的三角表示
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 1.通过复习复数的几何意义，认识复数的三角表示，掌握复数代数形式与三角形式之间的联系. 2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上，从“形”上理解其几何意义，并能够熟练运用法则解题.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 复数的三角表示式
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r（cos θ＋isin θ）的形式.其中，r是复数z的 模 ；将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的 辐角 .r·（cos θ＋isin θ）称为复数z＝a＋bi的 三角表示式 ，简称 三角形式 .a＋bi叫作复数的代数表示式，简称代数形式.
2.辐角的主值
规定在 0≤θ＜2π 范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作 arg z ，即 0≤arg z＜2π .
注意：零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
3.代数形式与三角形式的互化
复数的代数形式z＝a＋bi（a，b∈R）与复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）的互化：
4.复数三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）的特点
（1）r≥0；
（2）实部为余弦，虚部为正弦；
（3）cos θ与isin θ之间用“＋”相连；
（4）角要统一.
知识点2 复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算
如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1·z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于 各复数的模的积 ，积的辐角等于各复数的 辐角的和 .简记为“ 模数相乘，辐角相加 ”.
2.复数三角形式的除法运算
设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），且z1≠z2，则[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为“ 模数相除，辐角相减 ”.
3.复数三角形式乘、除运算的几何意义
复数乘、除运算的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
重点 理解
1.复数三角表示式的特征
有三个特征：（1）r≥0；（2）相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；（3）cos θ与isin θ之间用“＋”号连接.
2.辐角和辐角主值的区别与联系
区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z在复平面内所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.
联系：θ＝2kπ＋argz，k∈Z.
3.复数乘法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2.
4.复数除法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量表示的复数就是商.
自我 排查
1.设复数z＝a＋bi＝r（cos θ＋isin θ），其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是（ D ）
A.r＞0，θ∈[0，2π） B.r≥0，θ∈（0，2π）
C.r∈R，θ∈（－π，π） D.r≥0，θ∈[0，2π）
解析：由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.故选D.
2.复数－2（cos＋isin）辐角的主值是（ C ）
A. B. C. D.
解析：∵－2（cos＋isin）＝2（cos＋isin），∴辐角的主值为，故选C.
3.设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为 2 .
解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为（－i）（cos 30°＋isin 30°）＝（－i）（i）＝2.
4.计算：8（cos＋isin）×（cos＋isin）＝ －4＋4i .
解析：原式＝8［cos（）＋isin（）］＝8（cos＋isin）＝－4＋4i.
＠课堂强研习
研习1 复数代数形式表示成三角形式
[典例1] （1）下列复数是复数三角形式表示的是（ D ）
A.（cos－isin）
B.－（cos＋isin）
C.（sin－icos）
D.cos＋isin
（2）复数2＋2i的三角形式为 4（cos＋isin） .
[解析] （1）选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0要求；选项C，不是cos＋isin的形式.故A，B，C均不是复数的三角形式.故选D.
（2）设复数的辐角主值为θ，则tan θ＝.∴θ＝，又∵r＝＝4.
∴复数2＋2i的三角形式为4（cos＋isin）.
巧归纳
复数代数形式表示成三角形式的方法
先由复数确定其在复平面内所对应的点(a，b）所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限,然后由tan θ＝确定θ角的大小.对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角,可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意.
[练习1] （1）复数z＝isin 10°的三角形式是（ C ）
A.cos 10°＋isin 10°
B.isin 10°
C.sin 10°（cos 90°＋isin 90°）
D.sin 10°（cos 0°＋isin 0°）
解析：z＝isin 10°＝sin 10°（0＋i）
＝sin 10°（cos 90°＋isin 90°）.
（2）复数的三角形式（cos＋isin）转化为代数形式.
解：（cos＋isin）
＝［cos（π＋）＋isin（π＋）］
＝（－cos－isin）
＝i）＝1－i.
研习2 复数三角形式的概念
[典例2] （1）复数－i的辐角主值为（ D ）
A. B. C. D.
[解析] ∵－i＝2（i）
＝2（cos＋isin），
又∵∈[0，2π），故－i的辐角主值为.
（2）已知z＝1＋i，求复数ω＝的模和辐角主值，并写出复数的三角形式.
[解] ∵z＝1＋i，
∴ω＝＝1－i，
∴｜ω｜＝，1－i对应的点在第四象限且tan θ＝－1，
∴ω的辐角主值为，
∴复数ω的三角形式为ω＝（cos＋isin）.
巧归纳
明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数三角形式的乘、除运算法则是解题的关键.
[练习2] 已知z＝1＋cos θ＋isin θ（π＜θ＜2π），求arg z.
解：z＝1＋cos θ＋isin θ
＝2cos2＋（2×sincos）i
＝2cos（cos＋isin）
＝－2cos［cos（π＋）＋isin（π＋）］.
∵π＜θ＜2π，
∴＜π，
∴cos＜0，＜π＋＜2π，
∴arg z＝π＋.
研习3 复数三角形式乘法运算及其几何意义
[典例3] 已知复数z1＝2（cos＋isin），z2＝（cos＋isin），求z1z2.
[解] z1z2＝2（cos＋isin）×（cos＋isin）＝2×［cos（）＋isin（）］＝（cos＋isin）＝－i.
巧归纳
涉及两个复数积的运算,应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行,要注意辐角主值的范国.
[练习3] 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值.
解：∵z1＝4＋4i＝4（cos＋isin），
z2＝－1－i＝（cos＋isin），
∴θ1＝，θ2＝，
∴θ1＋θ2＝.
研习4 复数三角形式除法运算及其几何意义
[典例4] 计算：.
[解]
＝
＝2（cos＋isin）
＝1＋i.
巧归纳
在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数代数形式化为三角形式,再按除法法则进行运算,当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.
[练习4] 计算：2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］.
解：原式＝2［cos（－）＋isin（－）］÷［（cos＋isin）］
＝2［cos（－）＋isin（－）］
＝2［cos（－）＋isin（－）］＝－2i.
＠课后提素养
1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（ B ）
A.z＝（sin 45°＋icos 45°）
B.z＝（cos 45°＋isin 45°）
C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]
D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]
解析：依题意得r＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B.
2.已知i为虚数单位，z1＝（cos 60°＋isin 60°），z2＝2（sin 30°－icos 30°），则z1·z2＝（ D ）
A.4（cos 90°＋isin 90°）
B.4（cos 30°＋isin 30°）
C.4（cos 30°－isin 30°）
D.4（cos 0°＋isin 0°）
解析：∵z2＝2（sin 30°－icos 30°）＝2（cos 300°＋isin 300°），∴z1·z2＝（cos 60°＋isin 60°）·2（cos 300°＋isin 300°）＝4（cos 360°＋isin 360°）＝4（cos 0°＋isin 0°）.故选D.
＠课时作业
一、选择题
1.若a＜0，则a的三角形式为（ C ）
A.a（cos 0＋isin 0）
B.a（cos π＋isin π）
C.－a（cos π＋isin π）
D.－a（cos π－isin π）
解析：因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C.
2.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是 （ B ）
A.sin 30°＋icos 30°
B.cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30°
D.sin 160°＋icos 160°
解析：（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）
＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）
＝cos 160°＋isin 160°.故选B.
3.（多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（ AD ）
A.p q B.p / q
C.q p D.q / p
解析：当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p q，q / p.故选AD.
4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ A ）
A.i B.－i
C.－i D.i
解析：i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos＋isini.
5.2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝（ B ）
A.i B.i
C.i D.i
解析：2÷2（cos 60°＋isin 60°）
＝2（cos 0°＋isin 0°）÷2（cos 60°＋isin 60°）
＝cos（0°－60°）＋isin（－60°）
＝i.故选B.
6.如果θ∈（，π），那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值是（ B ）
A.θ＋ B.θ＋
C.θ－ D.θ＋
解析：（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝（cos＋isin）·（cos θ＋isin θ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］.
∵θ∈（，π），∴θ＋∈（），
∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.
二、填空题
7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝ 1＋i .
解析：由题意知，z＝2（cos＋isin）＝1＋i.
8.复数cos＋isin的辐角主值是 .
解析：原式＝cos（2π＋）＋isin（2π＋）＝cos＋isin，故其辐角主值为.
9.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝ i .
解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝i.
10.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是i和2，则点C所表示的复数为 2＋i .
解析：A，B所表示的复数分别是i和2，所表示的复数为i，把逆时针旋转60°得到对应的复数为（i）（cos 60°＋isin 60°）＝i，i＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.
11.设z＝1＋i，则复数的代数形式为 1－i ，三角形式是 （cos＋isin） .
解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝1－i
＝（cos＋isin）.
三、解答题
12.计算：
（1）2（cos＋isin）×（cosπ＋isinπ）；
解：原式＝2×［cos（π）＋isin（π）］＝（cosπ＋isinπ）＝－i.
（2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］.
解：原式＝2［cos（－）＋isin（－）］÷［（cos＋isin）］＝2［cos（－）＋isin（－）］＝2［cos（－）＋isin（－）］＝－2i.
13.设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin＋icos，求的值.
解：∵z1＝＋i＝2（cos＋isin），
z2＝1－i＝（cos＋isin），
∴＝
＝
＝4［cos（）＋isin（）］＝4［cos（5π＋）＋isin（5π＋）］
＝－2－2i.
14.设复数z1＝＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1·在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式.
解：因为z1＝＋i＝2（cos＋isin），
设z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π），
所以z1·＝2（cos＋isin）×4（cos 2α＋isin 2α）
＝8［cos（2α＋）＋isin（2α＋）］.
由题设知2α＋＝2kπ＋（k∈Z），
所以α＝kπ＋（k∈Z）.
又α∈（0，π），所以α＝，
所以z2＝2（cos＋isin）＝－1＋i.
【标题】章末总结
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专题1 复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
[典例1] 实数k分别为何值时，复数（1＋i）k2－（3＋5i）k－2（2＋3i）满足下列条件？
（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.
[解] （1＋i）k2－（3＋5i）k－2（2＋3i）＝（k2－3k－4）＋（k2－5k－6）i.
（1）当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数.
（2）当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数.
（3）当即k＝4时，该复数为纯虚数.
（4）当即k＝－1时，该复数为0.
[练习1] 已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
（2）求证：对于任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程没有纯虚数根.
解：（1）设方程的实根为a，
则a2－（tan θ＋i）a－（2＋i）＝0，
即a2－atan θ－2－（a＋1）i＝0.
∵a，tan θ∈R，∴
∴a＝－1且tan θ＝1.
又θ为锐角，∴θ＝.
（2）证明：若方程存在纯虚数根，设为bi（b∈R，b≠0）.
则（bi）2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，
即－b2＋b－2－（btan θ＋1）i＝0，
则
此方程组无实数根，
∴对于任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程没有纯虚数根.
专题2 复数的四则运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：
（1）设ω＝－i，则ω2＝＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω（n∈N*）等.
（2）＝－1.
（3）（1＋i）2＝2i；（1－i）2＝－2i.
（4）i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈Z.
[典例2] 计算：
（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）；
[解] （1＋i）（1－i）＋（－1＋i）
＝1－i2＋（－1＋i）
＝2－1＋i
＝1＋i.
（2）（1＋i）；
[解]（1＋i）
＝（1＋i）
＝（1＋i）
＝i
＝－i.
（3）（－2＋3i）÷（1＋2i）；
[解]（－2＋3i）÷（1＋2i）＝
＝i.
（4）.
[解]解法一：
＝
＝＝2i.
解法二：＝i＋i＝2i.
[练习2] 计算：（1）；
解：＝
－＝2＝－1＋i.
（2）.
解：＝i－＝i－i＝0.
专题3 共轭复数与模
共轭复数是复数除法实现分母“实数化”的重要手段.若z＝a＋bi（a，b∈R），它的共轭复数＝a－bi，则：z·＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2＝｜z｜2；z＋＝2a，z－＝2bi.
[典例3] 已知z∈C，解方程z·－3＝1＋3i.
[解] ∵z·＝｜z｜2，
把方程变形为＝－1＋i. ①
两边取模，得｜｜2＝｜z｜2＝1＋.
整理得｜z｜4－11｜z｜2＋10＝0.
解得｜z｜2＝1或｜z｜2＝10.
将其代入①，得＝－1或＝－1－3i.
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
[练习3] 已知复数z＝是z的共轭复数，则z·＝（ A ）
A. B. C.1 D.2
解析：解法一：｜z｜＝.
∴z·＝｜z｜2＝，故选A.
解法二：z＝
＝.
则＝－i，
z·.
故选A.
专题4 复数的几何意义
1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题.
2.任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）与复平面内一点Z（a，b）对应，而任意一点Z（a，b）又可以与以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意｜z｜，｜z－a｜的几何意义——距离.
3.复数加、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则.
由减法的几何意义知｜z－z1｜表示复平面上两点Z，Z1间的距离.
4.复数形式的基本轨迹
（1）当｜z－z1｜＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆可用｜z｜＝1表示.
（2）当｜z－z1｜＝｜z－z2｜，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.
[典例4] 已知集合M＝{z｜｜z－1｜≤1，z∈C}，N＝{z｜｜z－1－i｜＝｜z－2｜，z∈C}，集合P＝M∩N.
（1）指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
（2）求P中复数模的最大值和最小值.
[解] （1）由｜z－1｜≤1可知集合M在复平面内所对应的点集是以点E（1，0）为圆心，1为半径的圆的内部和边界；由｜z－1－i｜＝｜z－2｜可知集合N在复平面内表示的图形是以点（1，1）和（2，0）为端点的线段的垂直平分线l.因此集合P是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
（2）圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1，
解方程组
解得
∴A，B，
∴｜OA｜＝，
｜OB｜＝.
又∵点O到直线l的距离为，且过点O向直线l引垂线，垂足在线段BE上，而，
∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.
[练习4] 已知复数z1＝i（1－i）3.
（1）求｜z1｜；
（2）若｜z｜＝1，求｜z－z1｜的最大值.
解：（1）z1＝i（1－i）（1－i）2＝2－2i，｜z1｜＝＝2.
（2）如图所示，由｜z｜＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O（0，0）的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1（2，－2）.
所以｜z－z1｜的最大值可以看成是点Z1（2，－2）到圆上的点的距离的最大值.
由图知｜z－z1｜max＝｜z1｜＋r＝2＋1（r为圆的半径）.
专题5 复数的三角表示
复数的三角表示是复数的一种重要表示形式.复数的三角形式本身是代数符号表示，但其推导具有几何意义，有效沟通代数与几何的关系，在进行复数的三角表示时，要掌握好相关概念及公式，还应关注复数的三角表示以及复数的乘、除运算与平面向量、三角函数的联系.
[典例5] 计算：12（cos＋isin）÷［6（cos＋isin）］＝ －＋i .
[解析] 原式＝2［cos（）＋isin（）］＝2（cos＋isin）＝－＋i.
[练习5] 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）－2（cos＋isin）；
解：不是.
－2（cos＋isin）＝2（－cos－isin）＝2［cos（π＋）＋isin（π＋）］
＝2（cos＋isin）.
（2）sin＋icos.
解：不是.
sin＋icos＝cos（）＋isin（）＝cos（－）＋isin（－）.
【标题】综合微评（三）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数z＝（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的点位于（ C ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为z＝＝－i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.
2.设复数z满足（z－2i）（2－i）＝5，则z＝（ A ）
A.2＋3i B.2－3i
C.3＋2i D.3－2i
解析：由题知（z－2i）（2－i）＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
3.i是虚数单位，复数＝（ A ）
A.1－i B.－1＋i
C.i D.－i
解析：根据复数的除法法则进行计算.＝1－i.
4.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ D ）
A.5－4i B.5＋4i
C.3－4i D.3＋4i
解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i.
5.复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于（ B ）
A. B. C. D.
解析：∵，∴它在复平面上的对应点为B（，－），而复数2＋i在复平面上的对应点是A（2，1），显然｜AO｜＝，｜BO｜＝，｜AB｜＝.由余弦定理得cos∠AOB＝.
∵∠AOB∈[0，π]，∴∠AOB＝.故选B.
6.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“（a＋bi）2＝2i”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝1时，（a＋bi）2＝（1＋i）2＝2i，反之，若（a＋bi）2＝2i，则则有a＝b＝－1或a＝b＝1，故选A.
7.定义复数的一种运算z1*z2＝（等式右边为普通运算），若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为（ B ）
A. B. C. D.
解析：z*.
又∵ab≤（）2＝，
∴－ab≥－，
∴z*.
8.定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为（ A ）
A.3－i B.1＋3i
C.3＋i D.1－3i
解析：由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.若复数z＝（m2－9）＋（m2＋2m－3）i是纯虚数，其中m∈R，则（ BCD ）
A.m＝3或－3
B.｜z｜＝12
C.＝－12i
D.复数z对应的向量＝（0，12）
解析：由题意得
解得
∴m＝3，∴z＝12i，∴＝－12i，｜z｜＝12，复数z对应的向量＝（0，12）.
10.复数z满足z＋2＝9＋4i（i为虚数单位），则（ AC ）
A.｜z｜＝5 B.z＝3＋4i
C.z＝3－4i D.＝－3＋4i
解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋2＝9＋4i，所以x＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，化为3x－yi＝9＋4i，所以3x＝9，－y＝4，解得x＝3，y＝－4.所以z＝3－4i，｜z｜＝＝5.
11.已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ BC ）
A.（1－i）（1＋i） B.
C. D.（1－i）2
解析：根据题意，M＝{m｜m＝in，n∈N}中，
n＝4k（k∈N）时，in＝1；
n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；
n＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1；
n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i.
∴M＝{－1，1，i，－i}.
选项A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；
选项B中，＝－i∈M；
选项C中，＝i∈M；
选项D中，（1－i）2＝－2i M.故选BC.
12.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述错误的是（ ABD ）
A.z－为纯虚数
B.z2n≥0（n∈Z）
C.对于任意的z∈C，｜z｜＝｜｜
D.满足＝－z的z仅有一个
解析：当z＝0时，z－＝0∈R，所以选项A错误；当z＝i，n＝1时，z2n＝i2＝－1＜0，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知｜z｜＝｜｜，所以选项C正确；当z＝i或－i时均满足＝－z，故选项D错误.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13.复数＝ －1 .
解析：＝－1.
14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R）且，则复数z在复平面内对应的点位于第 四 象限.
解析：∵a，b∈R且，
即，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i，∴z对应的点位于第四象限.
15.下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i（x∈R）是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小.
其中正确命题的序号是 ③ .
解析：当a＝－1时，（a＋1）i＝0，故①错误；若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则即x＝1，故②错误；两个虚数不能比较大小，故③正确.
16.在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是 2－i .
解析：设正方形的四个顶点A，B，C，D对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，a＋bi，O为复平面的原点，则＝（1，2），＝（－2，1），＝（－1，－2），＝（a，b），＝（－3，－1）.
又四边形ABCD为正方形，所以，即（－3，－1）＝＝（－1－a，－2－b），
所以所以
所以＝（2，－1）.即第四个顶点对应的复数是2－i.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）计算：.
解：原式＝＋0＝i＋（－i）1 602＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.
18.（本小题满分12分）已知复数z满足｜z｜＝1＋3i－z，求的值.
解：设z＝a＋bi（a，b∈R）.
因为｜z｜＝1＋3i－z，
所以－1－3i＋a＋bi＝0，
即
解得所以z＝－4＋3i，
所以＝3＋4i.
19.（本小题满分12分）虚数z满足｜z｜＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0），
由题意可得x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝（x＋yi）2＋2（x＋yi）＋＝（x2－y2＋3x）＋y（2x＋1）i.
∵y≠0，z2＋2z＋＜0，
∴
又x2＋y2＝1，③
由①②③得
∴z＝－i.
20.（本小题满分12分）已知复数z1＝sin 2x＋λi，z2＝m＋（m－cos 2x）i（λ，m，x∈R），且z1＝z2.
（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ＝f（x），
①求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
②已知当x＝α时，λ＝，求cos（4α＋）的值.
解：由z1＝sin 2x＋λi，z2＝m＋（m－cos 2x）i（λ，m，x∈R），且z1＝z2，
得
（1）若λ＝0且0＜x＜π，
则sin 2x＝cos 2x，即tan 2x＝，0＜2x＜2π，
所以2x＝，所以x＝.
（2）①λ＝f（x）＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－），
则f（x）的最小正周期T＝π.
由＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z得kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f（x）的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z.
②由题意得＝2sin（2α－），
所以sin（－2α）＝－，即cos（＋2α）＝－.
所以cos（4α＋）＝2cos2（＋2α）－1＝2×（－）2－1＝－.
21.（本小题满分12分）已知复数z1＝2＋i，2z2＝.
（1）求z2；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求｜u＋z2｜的取值范围.
解：（1）z2＝＝－i.
（2）在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列，
∴2B＝A＋C＝180°－B，
∴3B＝180°，即B＝60°，A＋C＝120°.
∵u＋z2＝cos A＋2icos2－i
＝cos A＋i＝cos A＋icos C，
∴｜u＋z2｜2＝cos2A＋cos2C＝
＝1＋（cos 2A＋cos 2C）＝1＋cos（A＋C）·cos（A－C）
＝1＋cos 120°cos（A－C）＝1－cos（A－C）.
∵－120°＜A－C＜120°，∴－＜cos（A－C）≤1，
∴≤1－cos（A－C）＜，
∴，即≤｜u＋z2｜＜.
22.（本小题满分12分）设i为虚数单位，复数z和ω满足zω＋2iz－2iω＋1＝0.
（1）若z和ω满足－z＝2i，求z和ω；
（2）求证：如果｜z｜＝，那么｜ω－4i｜的值是一个常数，并求这个常数.
解：（1）因为－z＝2i，所以z＝－2i.
代入zω＋2iz－2iω＋1＝0，
得（－2i）（ω＋2i）－2iω＋1＝0，
所以ω－4iω＋2i＋5＝0.
设ω＝x＋yi（x，y∈R），则上式可变为
（x＋yi）（x－yi）－4i（x＋yi）＋2i（x－yi）＋5＝0.
所以x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.
所以
所以
所以ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i.
（2）证明：由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得
z（ω＋2i）＝2iω－1，
所以｜z｜｜ω＋2i｜＝｜2iω－1｜.①
设ω＝x＋yi（x，y∈R），
则｜ω＋2i｜＝｜x＋（y＋2）i｜
＝.
｜2iω－1｜＝｜－（2y＋1）＋2xi｜
＝
＝.
又｜z｜＝，
所以①可化为3（x2＋y2＋4y＋4）＝4x2＋4y2＋4y＋1.
所以x2＋y2－8y＝11.
所以｜ω－4i｜＝｜x＋（y－4）i｜＝
＝＝3.
所以｜ω－4i｜的值是常数，且等于3.
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第3章 复 数
章末总结
网络 构建
专题1 复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数 的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
[典例1] 实数 k 分别为何值时，复数（1＋i） k 2－（3＋5i） k －2（2＋3i）满足下列 条件？
（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.
[解] （1＋i） k 2－（3＋5i） k －2（2＋3i）＝（ k 2－3 k －4）＋（ k 2－5 k － 6）i.
（1）当 k 2－5 k －6＝0，即 k ＝6或 k ＝－1时，该复数为实数.
（2）当 k 2－5 k －6≠0，即 k ≠6且 k ≠－1时，该复数为虚数.
[练习1] 已知关于 x 的方程 x 2－（tan θ＋i） x －（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
[典例2] 计算：
（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）；
[解] （1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）
＝1－i2＋（－1＋i）
＝2－1＋i
＝1＋i.
（3）（－2＋3i）÷（1＋2i）；
解得｜ z ｜2＝1或｜ z ｜2＝10.
C. 1 D. 2
A
专题4 复数的几何意义
1. 复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及 复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方 法，即通过几何图形来研究代数问题.
3. 复数加、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则.
由减法的几何意义知｜ z － z 1｜表示复平面上两点 Z ， Z 1间的距离.
4. 复数形式的基本轨迹
（1）当｜ z － z 1｜＝ r ，表示复数 z 对应的点的轨迹是以 z 1对应的点为圆心，半径 为 r 的圆；单位圆可用｜ z ｜＝1表示.
（2）当｜ z － z 1｜＝｜ z － z 2｜，表示以复数 z 1， z 2的对应点为端点的线段的垂直 平分线.
[典例4] 已知集合 M ＝{ z ｜｜ z －1｜≤1， z ∈C}， N ＝{ z ｜｜ z －1－i｜＝｜ z － 2｜， z ∈C}，集合 P ＝ M ∩ N .
（1）指出集合 P 在复平面内所对应的点集表示的图形；
[解] （1）由｜ z －1｜≤1可知集合 M 在复平面内所对应的点集是以点 E （1， 0）为圆心，1为半径的圆的内部和边界；由｜ z －1－i｜＝｜ z －2｜可知集合 N 在复平面内表示的图形是以点（1，1）和（2，0）为端点的线段的垂直平分线 l .因此集合 P 是圆 E 截直线 l 所得的一条线段 AB ，如图所示.
（2）求 P 中复数模的最大值和最小值.
[练习4] 已知复数 z 1＝i（1－i）3.
（1）求｜ z 1｜；
（2）若｜ z ｜＝1，求｜ z － z 1｜的最大值.
专题5 复数的三角表示
复数的三角表示是复数的一种重要表示形式.复数的三角形式本身是代数符号表示， 但其推导具有几何意义，有效沟通代数与几何的关系，在进行复数的三角表示时，要 掌握好相关概念及公式，还应关注复数的三角表示以及复数的乘、除运算与平面向 量、三角函数的联系.
