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第1章 平面向量及其应用
章末总结
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体系整体构建 知识宏观把握
网络 构建
核心 归纳
1. 平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概 念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常 与向量的平行的坐标形式结合考查，一些学生往往只求出一个而遗漏另一个.
2. 向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边 形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.同时 要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题.
3. 向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线 的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平 面内任意一个向量.
4. 平面向量的应用
（1）一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题；二是 能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等.
（2）掌握余弦定理、正弦定理，借助向量的运算，求解三角形问题.
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核心专题研究 要点纵横链接
专题1 基底向量表示其它向量
一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达 式，且表达式是唯一的.
[解] 如图，连接 AM 并延长交 BC 于点 D .
[练习1] 设 e 1， e 2是不共线的非零向量，且 a ＝ e 1－2 e 2， b ＝ e 1＋3 e 2.
（1）证明： a ， b 可以作为一组基底；
（2）以 a ， b 为基底，求向量 c ＝3 e 1－ e 2的分解式；
（3）若4 e 1－3 e 2＝λ a ＋μ b ，求λ，μ的值.
专题2 向量的共线问题
运用向量平行（共线）证明常用的结论有：
（1）向量 a ， b （ a ≠0）共线 存在唯一实数λ，使 b ＝λ a .
（2）向量 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2）共线 x 1 y 2＝ x 2 y 1.
（3）向量 a 与 b 共线 存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1 a ＋λ2 b ＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公 共点.
专题3 平面直角坐标系内的距离问题
向量模的计算公式、两点之间的距离公式及中点坐标公式，不但用于距离的计算、确 定点的坐标还能用于平面几何图形的判定等.
[典例3] 已知△ ABC 的顶点 A ， B ， C 的坐标分别是（2，－1），（4，1），（6， －3）.证明：△ ABC 是等腰三角形.
[练习3] 已知 a ＝（1，－3）， b ＝（3， m ），若 a ⊥ b ，求｜2 a ＋ b ｜的值.
专题4 向量的应用——解三角形问题
解三角形就是已知三角形中的几个元素，求其他元素的过程，共包括四种类型：
（1）已知三角形的两角和一边（一般先用内角和求角或用正弦定理求边）；
（2）已知两边及夹角（一般先用余弦定理求第三边）；
（3）已知三边（先用余弦定理求角）；
（4）已知两边和一边的对角（先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三 边，注意讨论解的个数）.
[典例4]如图，在公园内有一块边长为2 a 的等边三角形空地（记为△ ABC ），现修成 草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上.
（1）设 AD ＝ x （ x ≥ a ）， DE ＝ y ，求 x 与 y 之间的函数关系式；
（2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，那么 DE 的位置应该在哪里？如 果 DE 是参观线路，希望它最长，那么 DE 的位置又应该在哪里？请予以说明.
[练习4] 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC . 小区两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD ， DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50 m，求该扇形的半径 OA 的长（精确到1 m）.
解法二：如图，连接 AC ，过点 O 作 OH ⊥ AC ，交 AC 于 H .
由题意，得 CD ＝500 m， AD ＝300 m，∠ CDA ＝120°，
在△ ACD 中，
AC 2＝ CD 2＋ AD 2－2· CD · AD · cos 120°
故该扇形的半径 OA 的长为445 m.【标题】第1章 平面向量及其应用
【标题】1.1 向 量
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.了解平面相等向量，相反向量的含义. 1.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素，这一点必须注意. 2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意书写规范，等长且同向的有向线段表示同一个向量.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 数量与向量
1.数量
只有 大小 没有 方向 的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等都是数量.
2.向量
既有 大小 又有 方向 的量叫作向量，例如位移、力、速度、力矩、加速度等都是向量.
知识点2 向量的表示
1.几何表示
如图所示，向量可用一条有向线段来表示，有向线段的 长度 表示向量的大小，有向线段的 方向 表示向量的方向.
有向线段包含三个要素： 起点 、 方向 、 长度 .
2.字母表示
向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如.
知识点3 向量的有关概念
1.向量的模
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作｜｜.
2.零向量
长度为 0 的向量叫作零向量，记作0，约定，所有的零向量相等，零向量的方向是 任意的 .
3.相等向量
方向 相同 、长度 相等 的向量叫作相等向量.
向量a与b相等，记作a＝b.
4.相反向量
类似于相反数的定义，我们把长度 相等 、方向 相反 的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a.
（1）a和－a互为相反向量，于是－（－a）＝a.
（2）零向量的相反向量仍是零向量.
（3）任意向量与其相反向量的和是 零向量 ，即a＋（－a）＝（－a）＋a＝0.
重点 理解
1.对向量概念的认识
向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑向量数量的大小，又要考虑方向的影响.
2.有向线段与向量的区别和联系
区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量.在平面中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的
联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段
3.对于相反向量的两点说明
（1）相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，互为相反向量的两个向量必为平行向量.
（2）避免一个误区：将相反向量等同于方向相反的向量.相反向量是方向相反且模相等的向量.
自我 排查
1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.
其中，不是向量的个数是（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：质量、路程、功只有大小，没有方向，不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量.故选C.
2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（ D ）
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
解析：由向量的几何表示知，A，B，C正确，D不正确.故选D.
3.下列关于向量的说法中，正确的是（ C ）
A.长度相等的两向量必相等
B.两向量相等，其长度不一定相等
C.向量的大小与有向线段的起点无关
D.向量的大小与有向线段的起点有关
解析：长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错误；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错误；向量的大小与有向线段的起点无关，故C正确，D错误.
4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量的关系是（ B ）
A. B.｜｜＝｜｜
C. D.
解析：｜｜与｜｜表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
5.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则下图所示的向量中，相等向量有（ A ）
A.一组 B.二组 C.三组 D.四组
解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.
＠课堂强研习
研习1 向量的概念
[典例1] （1）（多选）下列各量中不是向量的是（ ACD ）
A.时间 B.加速度 C.面积 D.长度
（2）给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④由于0方向不确定，故0不能相等.
其中正确的是 ②③ .（填正确说法的序号）
巧归纳
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
关键看它是否具备向量的两要素：
(1)有大小；(2)有方向.两个条件缺一可
2.理解零向量应注意的问题
零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.
[练习1] 下列说法中正确的是（ D ）
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
研习2 向量的表示
[典例2] 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
（1）试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
（2）画一个以C为起点的向量c，使｜c｜＝，说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹.
[思路点拨] （1）结合向量相等的定义，在已知起点的情况下，只需根据长度和方向便可确定向量b的终点；（2）根据勾股定理，先找到一个以C为端点且长为的线段即可.
[解] （1）根据相等向量的定义，所作向量b所在直线与a所在直线平行，且长度相等方向相同，如图.
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，如图所示.
巧归纳
向量表示方法的作用
（1）用几何表示法表示向量，便于用几何法研究向量远算,为用向量处理几何问题打下了基础.
（2）用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
提醒：有向线段是向量的表示，不能说向量就是有向线段。
[练习2] 一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点D.
（1）作出向量；
（2）求｜｜.
解：（1）向量，如图所示.
（2）由题意，易知方向相反，
又｜｜＝｜｜，∴在四边形ABCD中，AB CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴.｜｜＝｜｜＝200 km.
研习3 相等向量
[典例3] 如图所示，在四边形ABCD中，，N，M分别是AD，BC上的点，且.求证：.
[思路点拨] 证明两向量相等，需证明它们的长度相等且方向相同.
[证明] 因为，
所以｜｜＝｜｜且AB∥DC.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以｜｜＝｜｜且DA∥CB.
又因为的方向相同，所以.
又，同理可证四边形CNAM是平行四边形，
所以.
因为｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，
所以｜｜＝｜｜，又DN∥MB，且的方向相同，
所以的模相等且方向相同，所以.
巧归纳
1.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向成反向即可
2.利用向量相等判断平行、相等问题时的常用结论：
（1）若A，B，C，D四点不共线，且，则AB∥CD且AB＝CD；
（2）若A，B，C三点共线，且，则A，B，C共线且AB＝BC（即B是线段AC的中点）.
[练习3] 以边长为2的正方形A1B1C1D1的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a，b，c，d，e，f，g，h.
试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量.
解：作出图形如图，由已知，得
｜a｜＝｜c｜＝｜e｜＝｜g｜＝1，
｜b｜＝｜d｜＝｜f｜＝｜h｜＝，而在正方形ABCD中，
｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，
｜｜＝｜｜＝，
又已知两正方形对应边平行，
所以＝a，＝c，＝e，＝g，＝b，＝f，＝d，＝h.
＠课后提素养
1.有下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（ D ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：①⑥⑦⑧都不是向量.
2.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ D ）
A. B.
C. D.
解析：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，又的方向相同，∴.
3.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，｜｜＝2，｜｜＝3，｜｜＝1.则｜｜＝ .
解析：由三角形内角平分线的性质，得｜｜∶｜｜＝｜｜∶｜｜，故｜｜＝.
4.七巧板，也称“七巧图”“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具.原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具.现在的七
巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，试写出图中与模长相等的向量.
解：与长度相等的向量有：；与长度相等的向量有：.
对向量概念不清致误（误区警示）
[示例] 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
（1）在如图所示的坐标系中画出；
（2）求B地相对于A地的位移.
[错解] （1）根据题意，可在题目给出的坐标系中作图，向量如图所示：
（2）由题意得.所以AD与BC平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形，所以.
则B地相对于A地的位移为6千米.
[错因分析] 位移是既有大小，又有方向的量，因此第（2）问中B地相对于A地的位移为6千米说法是错误的，没有说明方向.
[正解] 第（2）中：B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”.
[题后总结] 1.准确画出向量的方法和注意事项
（1）方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点.
（2）注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可.
2.位移是既有大小，又有方向的量.
＠课时作业
一、选择题
1.把平面上所有单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ）
A.一条线段 B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
2.（多选）给出下列命题，正确的是（ AC ）
A.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
B.温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量
C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D.坐标平面上的x轴与y轴都是向量
解析：A.根据作用力与反作用力的概念
可知作用力与反作用力是一对共线向量；B.温度只有大小没有方向，所以不是向量；C.如图可知，是共线向量；D.x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量.所以只有A、C正确.
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是（ D ）
A.与相等的向量只有1个（不含）
B.与的模相等的向量有9个（不含）
C.的模恰好为的模的倍
D.不相等
解析：由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，因此选项A，B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴｜｜＝｜，故｜｜＝｜，因此选项C正确.由于，因此选项D错误，故选D.
4.（多选）给出下列说法中正确的是（ BC ）
A.若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜
解析：，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A不正确.在平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，平行且方向相同，所以，故B正确.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；若b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确.对于D，当a＝－b时，｜a｜＝｜b｜，得不到a＝b，故D不正确.
5.如图所示，向量是（ C ）
A.有相同起点的向量
B.相反向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：由题图可知，三向量方向不同，但长度相等.即这三个向量的模相等.
二、填空题
6.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若｜｜＝3，则向量的模等于 6 .
解析：在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵，∴，且有公共点D，∴E，D，C三点共线.
｜｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜＝6.
7.如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈回到A点，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为 a，e，d，c，b .
8.设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量相等的向量是 .
解析：因为K，L分别
是AB，BC的中点，连接AC，所以KL∥AC，KL＝AC，同理MN∥AC，MN＝AC，所以KL∥MN，KL＝MN，又的方向相同，所以.
9.在四边形ABCD中，若且｜｜＝｜｜，则四边形的形状为 菱形 .
解析：∵，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是菱形.
三、解答题
10.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在图中所表示出的向量中：
（1）试找出与大小相等、方向相反的向量；
（2）相等吗？
（3）相等吗？
解：（1）由正六边形的性质及向量的有关性质，可知与大小相等、方向相反的向量有.
（2）不相等，因为它们方向相反.
（3）相等，因为他们大小相等，方向相同.
11.在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标.
（1）｜a｜＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
（2）｜a｜＝4，a的方向与x轴的正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3）｜a｜＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
解：如图所示：
（1）a的终点坐标为（1，）.
（2）a的终点坐标为（2，－2）.
（3）a的终点坐标为（－4，－4）.
12.如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法.此图中，马走了“一步”，马可以从A处跳到A1处，用向量表示，也可以从A处跳到A2处，用向量表示.请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
解：如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走.
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜M，N∈S，且
M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.
解：由题意，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.
【标题】1.2 向量的加法
【标题】第1课时 向量的加法运算
[新课程标准] [新学法解读]
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义. 向量的加法运算可类比实数的加法运算，以位移合成、力的合成两个物理模型为背景来理解.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点 向量的加法运算
1.向量加法的定义
求向量和的运算称为向量的加法.
对于零向量与任意向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a.
2.向量加法的运算法则
（1）三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量称为a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝.
将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的 三角形 法则.
（2）平行四边形法则
如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，则以A为起点的向量（AC是 ABCD的对角线）就是向量a与b的和，即a＋b＝.
这种求向量和的方法叫作向量加法的 平行四边形 法则.
一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b方向 相同 时等号成立.
3.向量加法的运算律
（1）交换律：a＋b＝b＋a；
（2）结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c.
重点 理解
1.对向量加法的三角形法则的两点说明
（1）适用范围：任意向量.
（2）注意事项：
①两个向量一定首尾相连；
②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；
③当多个向量相加时，使用三角形法则更为方便.
2.对向量加法的平行四边形法则的三点说明
（1）适用范围：任意两个不共线的非零向量.
（2）注意事项：
①平移两个非零向量使其有相同的起点；
②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量.
（3）方法与步骤：
第一步：先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点；
第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
第三步：连接a，b所夹的对角线，则其为a，b的和向量.
3.向量加法交换律的运用
向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
自我 排查
1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于（ D ）
A. B. C. D.
解析：.故选D.
2.（多选）下列等式中正确的是（ ABD ）
A.a＋0＝a
B.a＋b＝b＋a
C.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
D.
解析：当a与b方向不同时，｜a＋b｜≠｜a｜＋｜b｜，故选ABD.
3.已知正方形ABCD的边长等于1，则｜｜等于（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.
解析：原式＝2｜｜＝2.故选B.
4.＝ .
解析：.
5.在矩形ABCD中，＝ .
解析：根据向量加法的平行四边形法则知，.
＠课堂强研习
研习1 向量的加法及几何意义
[典例1] 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.
[思路点拨] a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任意向量都是共线的.利用三角形法则或平行四边形法则作图.
[解] 解法一（三角形法则）：如图①所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，
则＝（a＋b）＋c，即＝a＋b＋c.
解法二（平行四边形法则）：∵a，b，c不共线，∴如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
以为邻边作 OADB，则对角线＝a＋b，
再作＝c，以为邻边作 OCED，
则＝a＋b＋c.
巧归纳
利用向量的两种加法法则作图的方法
法则 作法
三角形法则 ①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的重点重合，即用同一个字母来表示）； ②由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段就表示这两个向量和
平行四边形法则 把两个已知向量的起点平移到同一点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； 对角线上的向量就是这两个已知向量的和
提醒：当两个向量方向不相同，不相反时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中
利用三角形法则更为简便
[练习1] （1）（多选）向量a，b都是非零向量，下列说法中正确的是（ ABD ）
A.向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
B.向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
C.向量a与b反向，且｜a｜＜｜b｜，则向量a＋b与a的方向相同
D.向量a与b反向，且｜a｜＞｜b｜，则向量a＋b与a的方向相同
解析：向量a与b反向，且｜a｜＜｜b｜时，向量a＋b与b的方向相同.
（2）已知＝a，＝b，｜｜＝3，｜｜＝3，∠AOB＝90°，则｜a＋b｜＝ 3 .
解析：∵｜｜＝｜｜且∠AOB＝90°，
∴｜a＋b｜为以为邻边的正方形的对角线的长，
∴｜a＋b｜＝3.
研习2 向量的加法运算
[典例2] （1）在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝ 2a＋b ，＝ 2a＋2b ，＝ 2a＋2b .（用含a，b的式子表示）
[思路点拨] 结合图形，正确运用三角形或平行四边形法则进行求解.
[解析] 如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得到四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形.
根据向量的平行四边形法则，有＝a＋b.
在平行四边形ABCO中，＝a＋a＋b＝2a＋b.＝2 ＝2a＋2b.
而＝a＋b，
由三角形法则，得＝b＋a＋b＝a＋2b.
（2）化简下列各式：
①；
②（）＋.
[思路点拨] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.
[解] ①＋（）＝＝0.
②（）＋＝（）＋（）＝.
巧归纳
利用向量加法求解及化简的技巧
（1）借助几何图形，根据向量加法的三角形法则平行四边形法则进行化简。
（2）从代数角度,依据向量加法的三角形法则的实质“首尾顺次连接”,借助向量加法的交换律调换各向量相加的位置，构造“首尾相连”，然后借助结合律调整向量相加的顺序.有时需要灵活地将一个向量拆成两个向量相加．
（3）多个向量相加时，可按照任意的顺序组合进行计算.
[练习2] （1）下列式子不能化简为的是（ D ）
A.（）＋
B.（）＋（）
C.
D.
解析：对于A，有（）＋；
对于B，有（）＋（）＝＋（）＝＋0＝；
对于C，有；
对于D，，
不能化为.
（2）已知在平行四边形ABCD中（如图），对角线AC，BD交于点O，则
①＝ ；
②＝ ；
③＝ ；
④＝ 0 .
解析：①.
②.
③.
④＝0.
研习3 向量加法的应用
[典例3] （1）如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小分别是 150 N，150 N .
[思路点拨] 结合向量加法的几何意义，利用解三角形的观点进行求解.
[解析] 如图，作 OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，所以∠OAC＝90°，
则｜｜＝｜｜cos 30°＝300×＝150，
｜｜＝｜｜sin 30°＝300×＝150，
所以｜｜＝｜｜＝150，
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
（2）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且.求证：四边形ABCD是平行四边形.
[思路点拨] 结合题目给出的已知条件判断，进而得出要证明的结论.
[证明] ∵，
又，∴，
∴AB∥DC，且｜｜＝｜｜.
∴四边形ABCD是平行四边形.
巧归纳
（1）用向量证明几何问题的一般步骤：
①要把几何问题中的边转化成相应的向量；
②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系,进而通过向量间的关系得到几何问题的解。
（2）解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：
[练习3] （1）在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE＝DF（如图），用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形.
证明：∵，
又，
∴，即AE，FC平行且相等，
故四边形AECF是平行四边形.
（2）在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶，速度大小为｜v1｜＝2 km/h，河水流动的速度大小为｜v2｜＝2 km/h，试求小船过河实际行驶速度的大小和方向.
解：如图，设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，以为邻边作 OACB，则就是小船实际航行的速度.
在Rt△OBC中，
｜｜＝｜｜＝｜v1｜＝2，｜｜＝｜v2｜＝2，
所以｜｜＝＝4.
因为tan∠BOC＝，
所以∠BOC＝60°，所以小船实际行驶速度的大小为4 km/h，方向与水流方向夹角为60°.
＠课后提素养
1.在平行四边形ABCD中，下列式子：
①；②；
③；④；
⑤；⑥.
其中，不正确的个数是（ A ）
A.1 B.2 C.4 D.6
解析：，故⑥不正确.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，＝ .
解析：由题图可知，正六边形ABCDEF的中心为O，则△OAB，△OEF，△OAF，△OED都是等边三角形，于是四边形OAFE是菱形，所以，则.
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，则｜a＋b｜的取值范围是 [1，5] .
解析：｜a｜－｜b｜＝3－2＝1，｜a｜＋｜b｜＝3＋2＝5，又｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，则有1≤｜a＋b｜≤5.
4.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
（1）小船在河水中行驶的实际速度大小的最大值与最小值分别是多少？
（2）如果小船在河南岸M处，在M处北偏东30°方向的对岸岸边有一码头N，小船的航向如何确定才能沿直线到达对岸码头？（河水自西向东流）
解：（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的.
（2）如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度.
设MC⊥MA，｜｜＝｜｜＝10，∠CMN＝30°.
∵，
∴四边形MANB为菱形，则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形.
在△MNB中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝10，
∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，
∴∠CMB＝30°，
∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
忽略特殊情形而致误（误区警示一）
[示例1] 下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＝0；
③若＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜一定相等.
其中真命题的个数为（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
[错解] D（易将①③判断为真命题）
[错因分析] ①中，当a＋b＝0时，命题不成立，因此①是假命题；②是真命题；③中，当A，B，C三点共线时，也可以有＝0，因此③是假命题；④中，只有当a与b为同向向量时，｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜才相等，其他情况下均为｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜，因此④是假命题.故真命题的个数为1个.
[正解] B
[题后总结] 在进行向量的加法运算时，应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等.特别是判断一些相关命题的真假时，一定要考虑到这些特殊的情况，如果忽略这些就容易出现错误.
以偏概全而致误（误区警示二）
[示例2] 对于任意给定的向量a，b，试判断｜｜a｜－｜b｜｜，｜a＋b｜，｜a｜＋｜b｜的关系.
[错解] ｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
[错因分析] 错解没有考虑a，b的所有可能情形，只就a与b不共线时，用三角形的性质得出结论，以偏概全导致错误.
[正解] （1）当a，b中有零向量时，可得
｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.
（2）当a，b均为非零向量时，作＝a，＝b，则＝a＋b.
①当a，b共线时，若同向，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；若反向，则｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜.
②若a，b不共线时，结合三角形的有关性质，则有错解中的结论.
综上所述，对于任意给定的向量a，b而言，总有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.
＠课时作业
一、选择题
1.（多选）已知＝a，且b是非零向量，则下列结论正确的是（ AC ）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析：∵＝0，∴a为零向量.∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A，C正确，B，D错误.
2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（ C ）
A. B.
C. D.
解析：设a＝，利用向量加法的平行四边形法则作出向量a，再平移即可发现a＝.
3.如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则｜｜等于（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.2
4.在平行四边形ABCD中，若｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（ B ）
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
又｜｜＝｜｜，∴｜｜＝｜｜，
∴该平行四边形ABCD为矩形.
二、填空题
5.某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，则此人实际沿 与水流方向成60° 的方向前进，速度大小为 8 km/h .
解析：如图所示，
∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度大小为8 km/h.
6.设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值分别为 20，4 .
7.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
（1）a＋b＋c＝ .
（2）b＋d＋c＝ .
8.设O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，则＝ 0 .
解析：∵分别互为相反向量，∴＝0，＝0，＝0，
∴＝0.
9.若P为△ABC的外心，且，则∠ACB＝ 120° .
解析：由，知四边形ACBP为平行四边形，又P为△ABC外心，∴四边形ACBP为菱形，且PA＝PC＝AC，∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°.
三、解答题
10.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算，用图中有向线段表示下列向量的和：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，∴.
（2）∵BC∥AD∥FE，BC＝FE＝AD，
∴，
∴.
（3）∵｜｜＝｜｜，反向，
∴＝0.
11.如图，已知G是△ABC所在平面内一点.求证：G是△ABC的重心的充要条件是＝0.
证明：（充分性）如图，以GB，GC为邻边作 GBEC，连接GE，交BC于点M，
则M是BC的中点，也是GE的中点.
因为，又＝0，所以.
于是可得点G在线段AM上，且AG＝2GM，
又AM是△ABC的边BC上的中线，所以G是△ABC的重心.
（必要性）如图，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG＝2GD.
延长GD到E'，使DE'＝GD，连接E'B，E'C，则四边形GBE'C是平行四边形，
所以＝－，故＝0.
综上，G是△ABC的重心的充要条件是＝0.
12.如图，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
（2）设｜a｜＝2，e为单位向量（模为1的向量），求｜a＋e｜的最大值.
解：（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
（2）在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝，
因为e是单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，即O，A，B1三点共线时｜a＋e｜最大，
所以｜｜即｜a＋e｜的最大值是3.
13.如图，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，a1＝，ai＝（i＝1，2，…，7），bj＝（j＝1，2，…，8），试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：∵＝0，
∴a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝
＝（）＋（）＋
＝
＝＝b6.
14.在某次大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，用向量法求此时直升飞机与A地的相对位置.
解：如图所示，设分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，
即，
在Rt△ABD中，｜｜＝20 km，
｜｜＝20 km，在Rt△ACD中，｜｜＝＝40（km），∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处.
【标题】第2课时 向量的减法运算
[新课程标准] [新学法解读]
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义. 向量的减法运算是通过类比实数的减法运算来引入的，可依物理上力的分解为背景来理解掌握.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点 向量的减法运算
1.向量减法的定义
已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的 减法 .
2.向量减法的几何意义
如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝ a－b ，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
注意：，即“共起点，后指前”.
重点 理解
对向量减法的三点说明
（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－，就可以把减法转化为加法.
（2）两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
（3）向量减法满足三角形法则.在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
自我 排查
1.下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a－0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0.正确的个数是（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确.a＋（－a）＝0，故⑥错误.故选C.
2.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝（ D ）
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
解析：＝a－b.故选D.
3.化简所得的结果是（ C ）
A. B. C.0 D.
解析：＝0.故选C.
4.在平行四边形ABCD中，＝（ A ）
A. B. C. D.
解析：在平行四边形ABCD中，，所以.故选A.
5.在四边形ABCD中，若，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD的形状是（ B ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析：如图，∵，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴.
由已知｜｜＝｜｜.
∴｜｜＝｜｜.
又∵对角线相等的平行四边形为矩形.
∴四边形ABCD为矩形，故选B.
＠课堂强研习
研习1 向量的减法运算
[典例1] （1）化简：＝（ B ）
A. B.0 C. D.
（2）（多选）下列式子中能化简为的是（ ABC ）
A.＋（）
B.（）＋（）
C.
D.
[思路点拨] 利用向量的加法、减法法则进行化简运算.
[解析] （1）原式＝＝0.
（2）A选项，＋（）＝；B选项，（）＋（）＝（）＋（）＝；C选项，＝－；D选项，.
巧归纳
满足下列两种形式的可以化简运算
(1)首尾相连且求和向量；
(2)起点相同且求差向量。
解决相关的问题时要观察是否具有这两种形式，同时要注意逆向运用，不可使思维僵化。
[练习1] 化简下列各式：
（1）（）－（）；
（2）（）－（）.
解：（1）（）－（）＝.
（2）（）－（）
＝＋（）
＝
＝
＝＋（）
＝＝0.
研习2 向量的减法及几何意义
[典例2] 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
[思路点拨] 首先寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，再灵活运用三角形或平行四边形法则表示即可.
[解] ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝c，＝b－a，
＝c－a，＝c－b，
∴＝b－a＋c.
巧归纳
1.用已知向量表示其他向量时要充分利用平面几何知识,灵活运用三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义．
2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；
②寻找或作相应的平行四边形或三角形；
③运用法则找关系，化简得结果.
[练习2] 如图，在正六边形ABCDEF中，O为其中心，若＝a，＝b，用向量a，b表示向量.
解：解法一：在 OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE起点相同，应用平行四边形法则，得
＝a＋b.
∵＝－，∴＝－a－b.
而＝－＝－b，＝－＝－a.
解法二：由正六边形的几何性质，得
＝－a，＝－b，＝－＝－a.
在△OBC中，＝－a－b.
解法三：由正六边形的几何性质，得
＝－b，＝－a.
在 OBCD中，＝－a－b.
研习3 向量加、减法的综合应用
[典例3] 如图，已知O为 ABCD内一点，＝a，＝b，＝c.求证：＝a－b＋c.
[思路点拨] 利用平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，可得对应的向量相等，即可证明结论成立.或者将要表示的向量放在一个三角形中，利用三角形法则进行求解，使问题得以论证.
[证明] ∵，
∴.
∴＝a－b＋c.∴原式得证.
巧归纳
向量加、减法运算几何意义之间的联系和应用向量減法应用三角形法则,世可视作向量加法中平行四边形的另一条对角线，在减法运算中可画有关的三角形或平行四边形来解答问题．常用结论如下
在 OACB中,＝a，＝b.
(1)若｜a｜＝｜b｜，则 OACB为菱形；
(2)若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则 OACB为矩形；
(3)若｜a｜＝｜b｜，｜a＋b｜＝｜a－b｜,则 OACB为正方形.
[练习3] 已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4.求｜a＋b｜的值.
解：如图.
设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则｜｜＝｜a＋b｜.
由于（＋1）2＋（－1）2＝42，
故｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，所以 OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等，有｜｜＝｜｜＝4，
故｜a＋b｜＝4.
＠课后提素养
1.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于（ A ）
A.a－b＋c B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c D.b－a＋c
解析：＝a－b＋c，故选A.
2.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，下列结论中正确的是（ D ）
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在直线上
D.P在△ABC的外部
解析：由，可得，
∴四边形PBCA为平行四边形.
可知点P在△ABC的外部，故选D.
3.已知｜a｜＝6，｜b｜＝14，｜c｜＝3，求｜a＋b＋c｜的最大值和最小值.
解：根据三角形法则，可知｜｜b｜－｜a｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，
∴｜a＋b＋c｜≤｜a＋b｜＋｜c｜≤｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝23.
且当a，b，c同向时，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜，此时｜a＋b＋c｜有最大值23.
又｜a＋b＋c｜≥｜｜a＋c｜－｜b｜｜＝5，
当a，c同向且与b异向时，｜a＋b＋c｜最小，此时｜a＋b＋c｜有最小值5.
∴｜a＋b＋c｜的最大值为23，最小值为5.
忽略特殊情况致误（误区警示一）
[示例1] 已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.问：表示向量a，b，c的有向线段能否一定构成三角形？
[错解] 在平面上任取一点A，作＝a，再以B为起点作＝b，则＝a＋b.
又a＋b＋c＝0，所以c＝－（a＋b）＝－，因而a＋b＋c＝0时，表示向量a，b，c的有向线段一定构成△ABC.
[错因分析] 条件中并未明确向量a，b，c是否共线，只是强调了a，b，c为非零向量，故错解中忽略了向量a，b，c共线时的情形.
[正解] ①当a，b不共线时，在平面上任取一点A，作＝a，再以B为起点作＝b，则＝a＋b.
又a＋b＋c＝0，所以c＝－（a＋b）＝－，因而a＋b＋c＝0时，表示向量a，b，c的有向线段一定构成△ABC.
②当a，b共线时，a＋b＋c＝0也可成立，此时不能构成三角形.
[题后总结] 利用向量减法解决平面几何问题时，要注意相反向量的应用，同时注意表示向量的有向线段所在直线平行或重合的情况.
对向量减法法则应用失误（误区警示二）
[示例2] 如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，试用a，b表示.
[错解] ∵＝a，＝b，
∴＝b－a.
[错因分析] 对向量减法的三角形法则理解不透，导致向量表示错误.将误写成.
[正解] ∵＝a，＝b，∴＝a－b.
[题后总结] 向量减法法则在应用三角形法则或平行四边形法则解题时，两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点，也可以视作平行四边形的另一条对角线，在应用中一定要留意这一点.
＠课时作业
一、选择题
1.化简＝（ D ）
A. B. C. D.0
2.（多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的是（ BCD ）
A.
B.｜｜＝｜｜
C.｜｜＝｜｜
D.｜｜＝｜｜
解析：易知向量的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为｜｜＝｜｜＝2｜｜，｜｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜｜＝｜｜，即C结论正确；因为｜｜＝｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，所以D结论正确.
3.（多选）下列结果为零向量的是（ BCD ）
A.－（）
B.
C.
D.
解析：A项，－（）＝＝2；B项，＝0；C项，＝0；D项，＝0.故选BCD.
4.在 ABCD中，若｜｜＝｜｜，则有（ C ）
A.＝0
B.＝0或＝0
C.四边形ABCD是矩形
D.四边形ABCD是菱形
5.若｜｜＝8，｜｜＝5，则｜｜的取值范围是（ C ）
A.[3，8] B.（3，8）
C.[3，13] D.（3，13）
二、填空题
6.已知＝a，＝b，若｜｜＝12，｜｜＝5，且∠AOB＝90°，则｜a－b｜＝ 13 .
解析：∵｜｜＝12，｜｜＝5，∠AOB＝90°，
∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴｜｜＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝，
∴｜a－b｜＝｜｜＝13.
7.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量有 ①④ .（填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
解析：因为四边形ACDF是平行四边形，
所以，
，
.
因为四边形ABDE是平行四边形，
所以.
综上，与相等的向量是①④.
三、解答题
8.如图，解答下列各题：
（1）用a，d，e表示；
（2）用b，c表示；
（3）用a，b，e表示；
（4）用d，c表示.
解：由题图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
故（1）＝d＋e＋a＝a＋d＋e.
（2）＝－＝－b－c.
（3）＝a＋b＋e.
（4）＝－＝－（）＝－c－d.
9.已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：
（1）｜a－b｜＝｜a｜；
（2）｜a＋（a－b）｜＝｜b｜.
证明：如图，在等腰直角三角形ABC中，因为M是斜边AB的中点，则｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜.
（1）在△ACM中，＝a－b.
由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a｜.
（2）因为＝a－b，
所以＝a－b＋a＝a＋（a－b）.
由｜｜＝｜｜得｜a＋（a－b）｜＝｜b｜.
10.已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，求证：.
证明：如图.
，①
.②
由①＋②得.
∵，
∴＝0，∴.
11.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状.
解：由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，易得其为菱形.
＝a＋c＝－b，
所以∠APC＝120°，
同理，∠APB＝∠BPC＝120°，
又因为｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，
所以△ABC为等边三角形.
12.某人在静水中游泳时，速度的大小为2 km/h，当他在水流速度的大小为2 km/h的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？（cos 55°≈）
解：（1）如图①，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作矩形OACB，则此人的实际速度为.
在Rt△AOC中，tan∠AOC＝，所以∠AOC＝60°，｜｜＝＝4，
故此人实际沿与水流方向成60°夹角的方向前进，实际前进速度的大小为4 km/h.
（2）如图②，设此人的实际速度为，水流速度为，则此人游泳的速度为.
在Rt△AOD中，｜｜＝2，｜｜＝2，所以｜｜＝＝2，
cos∠DAO＝，所以∠DAO≈55°，
故此人应沿与水流方向约为125°夹角的方向前进，实际前进速度的大小为2 km/h.
【标题】1.3 向量的数乘
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算法则及其运算律，理解其几何意义. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 1.与实数乘法的运算类似，向量数乘也有“结合律”“分配律”.运用向量的数乘运算时，要注意其几何意义. 2.向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以用于判断几何中三点共线和两直线平行等问题. 3.注意向量共线与线段共线的不同.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 向量的实数倍
1.向量的数乘
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.当λ≠0且a≠0时，λa的方向当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0，求向量的实数倍的运算称为向量的 数乘 .
注意：（1）实数和向量可以求积，但不能求和或求差.
（2）λ＝0或a＝0 λa＝0.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.
知识点2 共线向量
1.共线向量
当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b 共线 ，也称a，b 平行 ，并且用符号“∥”来表示它们 共线（或平行） ，记作a∥b.
规定：零向量与所有向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
2.共线（平行）向量定理
两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b 存在实数λ，使得 b＝λa或a＝λb .
3.向量的夹角
如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角，记作＜a，b＞，取值范围规定为[0，π].在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并有＜a，b＞＝＜b，a＞.
①当θ＝0时，a，b方向相同；当θ＝π时，a，b方向相反，这两种情形下a，b所在直线重合，即a，b共线.
②当0＜θ＜π时，a，b所在直线相交于点O，即a，b不共线，特别地，当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b.
③设a为任一向量，则规定0∥a，0⊥a.
④向量夹角保证共起点.
4.共线向量的运算
（1）单位向量：我们把长度为1的向量称为单位向量.
（2）由实数a，b代表的共线向量的加、减，数乘运算，法则为：ae±be＝（a±b）e，a（be）＝（ab）e.
知识点3 数乘运算律
一般地，设a，b为任意向量，x，y是任意实数，则满足如下运算律：
（1）对实数加法的分配律：（x＋y）a＝xa＋ya.
（2）对实数乘法的结合律：x（ya）＝（xy）a.
（3）对向量加法的分配律：x（a＋b）＝xa＋xb.
重点 理解
1.从两个角度理解向量数乘
（1）代数角度
实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；
λa＝0 λ＝0或a＝0.
（2）几何角度
｜λ｜＞1 λ＞1 方向不变，长度伸长到原来的λ倍
λ＜－1 方向相反，长度伸长到原来的－λ倍
0＜｜λ｜＜1 0＜λ＜1 方向不变，长度缩短到原来的λ倍
－1＜λ＜0 方向相反，长度缩短到原来的－λ倍
2.对相等向量与共线向量的理解
（1）理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
（2）共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：①方向相同且模相等；②方向相同且模不等；③方向相反且模相等；④方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
（3）向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量.
3.关于向量的线性运算
向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号.共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
4.关于向量共线定理
当向量a，b同向时，λ＞0；当向量a，b反向时，λ＜0；当a，b中至少有一个为0时，λ∈R.
自我 排查
1.下列运算中正确的个数是（ C ）
①（－3）·2a＝－6a；②2（a＋b）－（2b－a）＝3a；③（a＋2b）－（2b＋a）＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：根据向量数乘运算和加减运算法则知①②正确；③（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.故选C.
2.若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：
①｜a｜＞｜b｜；②a∥b；③｜a｜＞0；④｜b｜＝±1；⑤＝b.
其中正确的是（ B ）
A.①④⑤ B.③
C.①②③⑤ D.②③⑤
解析：｜a｜＞0，但｜a｜不一定大于1，｜b｜＝1，∴①④不正确，③正确；a与b不一定平行，故②不正确；是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确.
3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于（ C ）
A.（a－b） B.－（a－b）
C.（a＋b） D.－（a＋b）
解析：因为M是BC的中点，所以（a＋b）.
故选C.
4.已知a与b共线，且方向相同，若｜a｜＝8｜b｜，则a＝ 8 b.
解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb（λ＞0）.
∴｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.又｜a｜＝8｜b｜，
∴｜λ｜＝8，∴λ＝8，∴a＝8b.
＠课堂强研习
研习1 向量的线性运算
[典例1] （1）化简：［（4a－3b）＋b－（6a－7b）］.
[解] 原式＝（4a－3b＋b－a＋b）
＝［（4－）a＋（－3＋）b］
＝a－b）＝a－b.
（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，
求（a－b）－（a－b）＋（2b－a）.（用含i，j的式子表示计算结果）
[思路点拨] 将各式子中的括号去掉，合并同类项进行化简.
[解] 原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝（－1－1）a＋（－1＋＋2）b
＝－a＋b＝－（3i＋2j）＋（2i－j）
＝（－5＋）i＋（－）j＝－i－5j.
巧归纳
1. 向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性运算．形式上类似于实数加、减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.
[练习1] 已知向量a，b.
（1）计算：6a－[4a－b－5（2a－3b）]＋（a＋7b）；
（2）把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来.
解：（1）原式＝6a－（4a－b－10a＋15b）＋a＋7b＝6a－（－6a＋14b）＋a＋7b
＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.
（2）
①×4＋②×3，得
（12x－8y）＋（－12x＋9y）＝4a＋3b.
即y＝4a＋3b，代入①式，
得x＝（a＋2y）＝（a＋8a＋6b）＝3a＋2b，
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
研习2 用已知向量表示未知向量
[典例2] 如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
[思路点拨] 先用向量a，b表示出向量，进而表示，而，问题得解.
[解] ∵）＝（a－b），
∴＝b＋a－b＝a＋b.
∵，
∴
＝）＝（a＋b）.
∴（a＋b）－a－b＝a－b.
巧归纳
1.向量数乘运算的几何意义是沿向量a的方向或相反方向伸长或缩短,此时要注意入的取值情况λ＞0时与a方向相同,λ＜0时与a方向相反．
2.由已知量表示未知量时,要善于利用三角形法则、平行四边形法则,以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用.
[练习2] （1）（多选）设a是非零向量，λ是非零实数，则下列命题中正确的为（ CD ）
A.a与－λa的方向相反
B.｜－λa｜≥｜a｜
C.a与λ2a方向相同
D.｜－2λa｜＝2｜λ｜·｜a｜
解析：A错误.当λ＞0时命题成立，当λ＜0，a与－λa方向相同.
B错误.当λ≥1或λ≤－1时，｜－λa｜≥｜a｜；当－1＜λ＜1且λ≠0时，｜－λa｜＜｜a｜.
C正确.因为λ2＞0恒成立.
D正确.由数乘向量的定义易知.故选CD.
（2）如图所示，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示.
解：由三角形中位线定理，知DEBC，
故，即a.
∴
＝－a＋b＋a＝－a＋b，
＝－a－b＋a＝a－b.
研习3 向量的夹角
[典例3] 如图，已知△ABC是等边三角形.
（1）求向量与向量的夹角；
（2）若E为BC的中点，求向量的夹角.
[思路点拨] 平移向量，使它们的起点相同，再根据向量夹角的定义及几何图形的性质进行求解.
[解] （1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∴∠DBC为向量的夹角.
∵∠DBC＝120°，
∴向量的夹角为120°.
（2）∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴的夹角为90°.
巧归纳
1.明确两向量夹角的定义,实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
2.求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[练习3] 若两向量a，b为非零向量，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角为（ B ）
A.60° B.30° C.45° D.90°
解析：由向量运算的几何意义知，a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线.
如图，令＝a，＝b，
∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角为30°.故选B.
研习4 共线向量定理
[典例4] 已知非零向量e1和e2不共线.
（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3（e1－e2），求证：A，B，D三点共线；
（2）如果ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
[思路点拨] （1）欲证A，B，D三点共线，只需找到一个实数λ使＝λ即可；（2）由向量共线，则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），列出关于e1，e2的等式，即可求出k与λ的值.
[解] （1）证明：∵＝e1＋e2，
＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5（e1＋e2）＝5，
∴共线，且有公共点B.
∴A，B，D三点共线.
（2）∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，
由于e1与e2不共线，
∴只能有则k＝±1.
巧归纳
利用共线向量定理常解决的三种题型为：①证明三点共线;②利用共线求待定系数;③判断向量是否共线．在理解应用时要注意以下几点：
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa（a≠0)，则a与b共线;反之，若a（a≠0)与b共线，则必存在一个实数λ，使b=λa.
(2)若a,b不共线，且λa＝μb,则必有λ＝μ＝0.
[练习4] （1）已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k的值是 －2 .
解析：∵a与b是共线向量，∴存在实数λ使a＝λb成立，∴2e1－e2＝λ（ke1＋e2）＝λke1＋λe2，
∴（2－λk）e1＝（λ＋1）e2，∵e1与e2不共线，
∴解得∴k＝－2.
（2）已知是不共线的两个向量，设＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.求证：M，A，B三点共线.
证明：∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ，
∴＝λ＋（1－λ）＝λ－λ.
∴＝λ（），即＝λ（λ∈R）.
∴共线.
又∵有公共点B，∴B，A，M三点共线.
＠课后提素养
1.将[2（2a＋8b）－4（4a－2b）]化简成最简式为（ B ）
A.2a－b B.2b－a
C.a－b D.b－a
解析：原式＝（4a＋16b－16a＋8b）
＝[（4－16）a＋（16＋8）b]
＝（－12a＋24b）＝2b－a.
2.已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则（ D ）
A.λ＝0 B.e2＝0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1＝0
解析：当e1＝0时，显然有a∥b；
当e1≠0时，b＝2e1≠0.又a∥b，
∴存在实数μ，使a＝μb，即e1＋λe2＝2μe1，
∴λe2＝（2μ－1）e1.
又λ≠0，∴e1∥e2.
3.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＋λ（），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 内心 .
解析：设上的单位向量，上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0，＋∞），
∴λ（）的方向与的方向相同.
∵＋λ（），
∴＝λ（），
即＝λ（），
∴点P在∠BAC的平分线所在的直线上移动.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
4.如图，在平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点.求证：M，N，C三点共线.
证明：在△ABD中，
∵＝a，＝b，∴＝b－a.
∵点N是BD上靠近B的三等分点，
∴（b－a）.
∵＝b，
∴（b－a）－b＝－a－b.①
∵M为AB的中点，∴a，
∴＝－＝－（）
＝－（a＋b）＝－a－b.②
由①②可得.
由共线向量定理知，
又∵有公共点C，
∴C，M，N三点共线.
对向量有关概念理解不清致误（误区警示一）
[示例1] 给出下列四个命题：
①若｜a｜＝0，则a＝0；
②若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－b；
③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜；
④a∥b，b∥c，则a∥c.
其中，正确的命题有（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
[错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，不一定得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[正解] A（根据以上分析可得正确结论）.
[题后总结] 1.正确区别0与0
解题时，牢记向量是既有大小又有方向的量，如本例由｜a｜＝0可知a＝0，并不是a＝0，之所以出现这个错误，是因为对零向量的概念理解不清.
2.正确理解向量的模
解题时，注意向量模相等与实数相等的区别，如本例，模相等只能说明它们的长度相等，但并不意味着它们的方向相同或相反.
3.正确理解向量平行
解题时，两向量平行或共线，也就是两个向量的方向相同或相反，但它们的模的关系并不能确定，如本例，若不能正确理解两向量平行的意义，将会出现判断失误.
4.正确理解零向量
解决有关向量的平行或共线问题时要注意审清限制条件，我们规定零向量与任意向量平行或共线，如本例，若忽略了b＝0，则会出现判断失误.
忽略限制条件致误（误区警示二）
[示例2] 下列命题正确的是（ ）
A.向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B.在△ABC中，＝0
C.不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜中两个等号不可能同时成立
D.向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[错解] 错解一：因为a，b共线，所以必然有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A.
错解二：首尾相连，始终如一.在△ABC中，围成了一个封闭图形，故＝0，故选B.
错解三：当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立；当两个向量不共线时，两个等号都不成立.故两个等号不可能同时成立，故选C.
[错因分析] 错解一：忽视了a≠0这一条件；错解二：忽视了0与0的区别，＝0；错解三：忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立.
[正解] ∵向量a与b不共线，
∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量.
若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，
使a＋b＝λ（a－b），
即（λ－1）a＝（1＋λ）b，
∴λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不平行，故选D.
[题后总结] （1）书写向量的时候一定不要忘记向量符号.要注意0的特殊性，即0的方向是任意的，它与任意向量共线.
（2）解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
（3）判断两向量是否共线，只需看是否存在实数λ使b＝λa（a≠0）即可，如本题中的D选项，只需令a＋b＝λ（a－b），若可求出λ，则共线，求不出λ，则不共线.
＠课时作业
一、选择题
1.（多选）已知实数m，n和向量a，b，下列结论中正确的是 （ ABD ）
A.m（a－b）＝ma－mb
B.（m－n）a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b
D.若ma＝na（a≠0），则m＝n
解析：易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得（m－n）a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确.
2.在△ABC中，，则＝（ B ）
A. B. C. D.2
解析：因为，所以，即，所以＝2，所以，故选B.
3.（多选）如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是（ ABC ）
A.
B.＝0
C.｜＋2｜＝0
D.
解析：对于A，，所以A正确；
对于B，＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以，即＝－，所以｜＋2｜＝｜｜＝｜0｜＝0，所以C正确；对于D，）＝＋2）＝，所以D不正确.故选ABC.
4.（多选）在下列结论中，正确的结论为（ ACD ）
A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件
B.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件
D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件
解析：若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以B错.
5.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于（ C ）
A. B.
C. D.
解析：如图，
）＝×2.
6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（ D ）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：如图所示，∵△DEF∽△BEA，
∴，
∴DF＝AB＝DC，
∴.
∵＝a，＝b，联立得：（a－b），（a＋b），∴（a＋b）＋（a－b）＝a＋b.
二、填空题
7.已知在△ABC中，点M满足＝0，若存在实数m使得＝m成立，则m＝ 3 .
解析：∵＝0，∴点M是△ABC的重心.∴＝3，∴m＝3.
8.已知a，b是不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b（λ1，λ2∈R）.若A，B，C三点共线，则λ1λ2＝ 1 .
解析：若A，B，C三点共线，则共线，
所以存在实数λ使得＝λ，
即a＋λ2b＝λ（λ1a＋b），
（1－λλ1）a＋（λ2－λ）b＝0，
由于a，b不共线，所以1＝λλ1，且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.
9.已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ＝ －1 .
解析：因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以（a＋λb）∥（b＋λa），即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m（b＋λa），即（1－mλ）a＝（m－λ）b.因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.
10.已知在四边形ABCD中，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝2，则该四边形内切圆的面积是 .
解析：由知四边形ABCD为平行四边形，由｜｜＝｜｜＝｜｜知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝｜sin 60°＝，所以S圆＝πr2＝π×（）2＝.
三、解答题
11.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.
解：
＝）
＝
＝－
＝－a＋b.
12.设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？说明你的理由.
解：因为d＝λ（2e1－3e2）＋μ（2e1＋3e2）＝（2λ＋2μ）e1＋（3μ－3λ）e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝kc，
即（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2＝2ke1－9ke2.
由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.
13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝a，＝b.
（1）用a，b表示向量；
（2）求证：B，E，F三点共线.
解：（1）如图，延长AD到G，
使，连接BG，CG，得到 ABGC，
∴＝a＋b，
（a＋b），
（a＋b），
b，
（a＋b）－a＝（b－2a），
b－a＝（b－2a）.
（2）证明：由（1）可知，，∴共线，又有公共点B，所以B，E，F三点共线.
14.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
（1）用a，b表示；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设＝p＝q，求证：＝1.
解：（1）设＝ma＋nb，
则＝（m－1）a＋nb，
＝－＝－a＋b.
∵点A，M，D共线，∴共线，
令＝λ，整理可得，
∴m＋2n＝1.①
同理，＝（m－）a＋nb，
＝－＝－a＋b.
∵点C，M，B共线，∴共线，
∴，
∴4m＋n＝1.②
联立①②，可得m＝，n＝，
∴a＋b.
（2）证明：如图，
由题意，可得＝（－p）a＋b，
＝－pa＋qb，
∵共线，∴，
∴q－pq＝－p，显然pq≠0，故＝1.
【标题】1.4 向量的分解与坐标表示
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标形式进行平面向量的加、减运算与数乘运算. 1.平面向量基本定理是本节的重点又是难点.为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任意一个向量都可以由这个平面内不共线的两个向量来表示. 2.向量的正交分解实际上是平面向量基本定理的特例. 3.向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.
＠课前精梳理
笔记 教材
知识点1 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么
（1）对于这一平面内的任一向量a都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）实数λ1，λ2由a＝λ1e1＋λ2e2唯一决定，也就是：如果a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1' e1＋λ2' e2，则λ1＝λ1'，λ2＝λ2' .若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的 一组基 .分解式a＝λ1e1＋λ2e2中的系数λ1，λ2组成的有序数组（λ1，λ2），称为a在这组基下的坐标.
推论：已知向量不共线，则A，B，C三点共线 存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
知识点2 平面向量的正交分解与坐标表示
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫作把向量正交分解.
2.标准正交基
平面上 相互垂直 的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.
3.平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫作向量a的坐标，记作a＝（x，y）. ①
其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，①叫作向量a的坐标表示.
显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.
在平面直角坐标系中，若A（x，y），O为坐标原点，则＝（x，y）；若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1）.因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
4.设单位向量e1，e2的夹角＜e1，e2＞＝90°，非零向量v的模｜v｜＝r且＜e1，v＞＝α，则v＝（rcos α，rsin α）.
知识点3 平面向量线性运算的坐标表示
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝（x1－x2，y1－y2），即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝（λx，λy），即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点4 平面向量共线的坐标表示
（1）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
（2）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当a∥b且x2y2≠0时，有，即两向量相应坐标成比例.
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），要证这三点共线，只需证明共线，又＝（x2－x1，y2－y1），＝（x3－x2，y3－y2），所以只需证明（x2－x1）（y3－y2）－（x3－x2）（y2－y1）＝0即可.
重点 理解
1.平面向量基本定理的作用
平面内任意一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
2.基的性质
（1）不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基.由于零向量与任意向量共线，所以零向量不可以作为基.
（2）不唯一性
对基的选取不唯一，平面内任意一个向量a都可被这个平面内的任意一组基{e1，e2}线性表示.
3.关于平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关.
（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标保持不变.
4.点的坐标与向量的坐标
（1）区别：
①表达形式：向量a＝（x，y），点A（x，y）；
②意义不同：点A（x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝（x，y）表示向量的大小、方向.
（2）联系：在平面直角坐标系中，当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同.
5.关于平面向量的坐标运算
（1）平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标.
（2）进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算.
6.要正确理解向量平行的条件
（1）a∥b 存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算.
（3）a∥b ，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
自我 排查
1.下列关于基的说法正确的是（ B ）
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；
②基中的向量可以是零向量；
③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于该基的线性分解形式也是唯一确定的.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
解析：由基的定义可知①③正确.故选B.
2.已知＝（2，3），则点N位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.不确定
解析：因为起点M的位置不确定，所以终点N的位置也不确定.故选D.
3.如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k等于（ C ）
A.±2 B.2 C.－2 D.0
解析：由a，b共线得k2＝4，所以k＝±2，又两个向量的方向相反，故k＝－2.故选C.
4.如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则＝（ A ）
A. B.
C. D.
解析：因为CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中点，所以）＋，又因为DC∥AB，DC＝AB，所以，所以.
5.如图，在△ABC中，，若＝λ＋μ，则＝（ B ）
A.－3 B.3 C.2 D.－2
解析：因为）.
又因为，
所以）＝，
所以＋（）＝，
又＝λ＋μ不共线，
所以λ＝，μ＝.则＝3.
＠课堂强研习
研习1 基概念的理解
[典例1] （多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ BC ）
A.λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个
C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ（λ2e1＋μ2e2）
D.若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
[思路点拨] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基e1，e2表示的唯一性求解.
[解析] 由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.对于C，当两向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个.故选BC.
巧归纳
对基的理解
(1)基具备两个主要特征：
①基是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基的条件。
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基.
(3)关于基的一个结论：设e1，e2是平面内的一组基，当λ1 e1＋λ2 e2＝0时,恒有λ1＝λ2＝0.
[练习1] 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基的是 ③ .（写出所有满足条件的序号）
解析：①设e1＋e2＝λe1，无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基；
②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0，
则无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基；
③∵e1－2e2＝－（4e2－2e1），
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基；
④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，
∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，
即e1＋e2与e1－e2可作为一组基.
研习2 平面向量基本定理及应用
[典例2] 已知｜｜＝1，｜｜＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n（m，n∈R），求的值.
[思路点拨] 根据已知条件，以为基表示，此时的m，n具有唯一性，进而可求解.
[解] 如图所示.
∵，不妨设｜｜＝2，过C作于D，于E，则四边形ODCE是矩形，
.
∵｜｜＝2，∠COD＝30°，∴｜｜＝1，｜｜＝.
又∵｜｜＝，｜｜＝1，故，
∴，
此时m＝，n＝，∴＝3.
巧归纳
1. 平面向量基本定理及应用
(1)用基表示向量．
(2)证明点共线问题。
(3)解决平面几何问题。
2. 用向量解决平面几何问题的一般步骤
（1）选取不共线的两个平面向量作为基
（2）将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题.
（3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解。
（4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解。
[练习2] 已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
（1）用a，b表示向量；
（2）若＝λ，求实数λ的值.
解：（1）∵A为BC的中点，
∴），∴＝2＝2a－b，
＝2a－b－b＝2a－b.
（2）∵＝λ，
∴＝λ＝λa－2a＋b＝（λ－2）a＋b.
∵共线，∴存在实数m，使得＝m，
即（λ－2）a＋b＝m（－2a＋b），
即（λ＋2m－2）a＋（1－m）b＝0.
∵a，b不共线，∴解得λ＝.
研习3 平面向量的坐标表示
[典例3] 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，分别计算出它们的坐标.
[思路点拨] 题目的图示中给出了向量a，b，c的方向及与坐标轴的夹角，要想求出向量的坐标，则需先将向量a，b，c正交分解成横、纵坐标的形式，进而再写出它们的坐标表示.
[解] 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），c＝（x3，y3）.
则x1＝｜a｜·cos 45°＝，y1＝｜a｜·sin 45°＝.
同理x2＝－，y2＝；x3＝2，y3＝－2.
所以a＝（），b＝（－），c＝（2，－2）.
巧归纳
1.向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来,从而使许多几何问题的证明转化为数量运算。
2.求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对手坐标原点的位置向量的坐标.
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标.
[练习3] 如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和的坐标.
解：由题意知，B，D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B（x1，y1），D（x2，y2），由三角函数的定义，
得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B（）；
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D（－）.
所以＝（），＝（－）.
研习4 平面向量的坐标运算
[典例4] 已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）.设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标.
[思路点拨] 先根据已知条件中点的坐标求出向量a，b，c的坐标，再利用向量坐标的运算法则进行计算求解.
[解] 由已知，得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.
（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.
（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n）＝a＝（5，－5），
∴解得
（3）设O为坐标原点，
∵＝3c，
∴＝3c＋＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20），
∴M（0，20）.
又∵＝－2b，
∴＝－2b＋＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），
∴N（9，2），∴＝（9，－18）.
巧归纳
向量的坐标运算主要是利用加、減、数乘运算法则进行.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
其主要运算法则为：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和差及数乘的运算法则进行
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,用终点坐标减去起点坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
[练习4] （1）已知平面向量a＝（0，1），b＝（－1，2），则向量2a－b等于（ D ）
A.（－） B.（，－）
C.（－，－） D.（）
（2）平面上有A（2，－1），B（1，4），D（4，－3）三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使｜｜＝｜，则点E的坐标为 （，－7） .
解析：（1）2a－b＝2（0，1）－（－1，2）＝（0，2）－（－）＝（）.
（2）∵，∴A为BC中点，
∴点C坐标为（3，－6），又｜｜＝｜，且E在DC的延长线上，∴＝－，
设E（x，y），则（x－3，y＋6）＝－（4－x，－3－y）.
∴解得
∴点E的坐标为（，－7）.
研习5 向量共线的坐标表示及运算
[典例5] （1）若向量a＝（，1），b＝（0，－2），则与a＋2b共线的向量可以是（ D ）
A.（，－1） B.（－1，－）
C.（－，－1） D.（－1，）
[思路点拨] 利用向量a，b的坐标计算出a＋2b的坐标，再结合选项给出正确答案.
[解析] 因为a＋2b＝（，1）＋2（0，－2）＝（，－3），
D选项，－（－1）×（－3）＝0，
所以（－1，）与a＋2b是共线的向量，D选项正确，经验证，ABC选项皆不满足题意，故选D.
（2）已知a＝（2，1），b＝（3，－4），当λ为何值时，满足λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
[思路点拨] 先求出λa－b与a＋2b的坐标表示，再根据向量平行条件构造关于λ的方程，求出λ的值，最后由λ与0的大小关系判断方向.
[解] λa－b＝λ（2，1）－（3，－4）＝（2λ，λ）－（3，－4）＝（2λ－3，λ＋4），
a＋2b＝（2，1）＋2（3，－4）＝（2，1）＋（6，－8）＝（8，－7）.
∵（λa－b）∥（a＋2b），
∴8（λ＋4）＋7（2λ－3）＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝（－×2－3，－＋4）＝（－4，）＝－（a＋2b），
即λa－b＝－（a＋2b）.
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，且两向量方向相反.
巧归纳
1.向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0得出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1 y2－x2 y1＝0进行判断．
2.利用向量共线的坐标运算可证明三点共线问题及袋袋平行向題等。
[练习5] 已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b＝（ C ）
A.（－2，－4） B.（－3，－6）
C.（－4，－8） D.（－5，－10）
解析：由a∥b m＝－4，得b＝（－2，－4），
所以2a＋3b＝（－4，－8），故选C.
＠课后提素养
1.已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），c＝（11，7），若c＝ka＋lb，则k，l的值分别为（ D ）
A.－2，3 B.－2，－3
C.2，－3 D.2，3
解析：∵a＝（1，2），b＝（3，1），c＝（11，7），
∴（11，7）＝k（1，2）＋l（3，1）.
即解得k＝2，l＝3.
2.如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则（x，y）为（ C ）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
解析：设＝λ，∵E，D分别为AC，AB的中点，
∴＝－a＋b，
a－b，
＝（b－a）＋λ（a－b）
＝（λ－1）a＋（1－λ）b，
∵共线，
∴，∴λ＝，
∴＝b＋＝b＋a
－b）＝a＋b，故x＝，y＝.
3.已知向量a＝（1，2），b＝（－2，3）.若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为 λ＝u .
解析：∵a＝（1，2），b＝（－2，3），
∴a＋b＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），
λa＋ub＝λ（1，2）＋u（－2，3）＝（λ－2u，2λ＋3u）.
又∵（λa＋ub）∥（a＋b），
∴（－1）×（2λ＋3u）－5（λ－2u）＝0，
∴λ＝u.
4.平面内给定三个向量：a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）.
（1）求3a＋b－2c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m和n的值；
（3）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k的值.
解：（1）3a＋b－2c＝3（3，2）＋（－1，2）－2（4，1）＝（9，6）＋（－1，2）－（8，2）＝（9－1－8，6＋2－2）＝（0，6）.
（2）∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）.
∴解得∴m＝，n＝.
（3）a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2）.
又∵（a＋kc）∥（2b－a），
∴（3＋4k）×2－（－5）×（2＋k）＝0，∴k＝－.
对平面图形的情况考虑不全致误（误区警示一）
[示例1] 在平面内有三个向量，｜｜＝｜｜＝1，的夹角为120°，的夹角为30°，｜｜＝5，设＝m＋n（m，n∈R），则m＋n＝ .
[错解] 作如图所示的平行四边形OPCQ，
则∠COQ＝∠OCP＝90°，
在Rt△QOC中，因为∠QCO＝∠COA＝30°，所以2OQ＝QC，因为｜｜＝5，
则｜｜＝5，｜｜＝10，所以｜｜＝10，
又｜｜＝｜｜＝1，所以＝10＝5，所以＝10＋5，所以m＝10，n＝5，所以m＋n＝10＋5＝15.
[错因分析] 上述解法漏掉了向量在∠AOB外部的情形，考虑问题不周全致误.
[答案] 15或0
[正解] （1）当向量在∠AOB内部时，作如图1所示的平行四边形OPCQ，
则∠COQ＝∠OCP＝90°，∠QCO＝∠COP＝30°，在Rt△QOC中，｜｜＝5，
则｜｜＝5，｜｜＝10，所以｜｜＝10.
又｜｜＝｜｜＝1，所以＝10＝5，所以＝10＋5，所以m＝10，n＝5，所以m＋n＝10＋5＝15.
（2）当向量在∠AOB外部时，
如图2，作平行四边形OPCQ.
由题意知∠POC＝∠QOC＝30°，
则四边形OPCQ为菱形，所以PQ⊥OC，
因为｜｜＝5，所以｜｜＝｜｜＝5，
所以＝5－5，
所以m＝5，n＝－5，
所以m＋n＝5－5＝0.
综上可知m＋n＝15或0.
[题后总结] 解决与平面向量有关的问题时，平面图形有助于我们直观分析问题，但仍需要注意的是，我们不能由画出的图形误导了自己，还应考虑是否还有其他情形的图形.
利用向量共线证明线线平行（误区警示二）
[示例2] 已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且，求证：EF∥AB.
[条件分析] 欲证明结论中的EF∥AB需从两点入手：一是证明，二是强调EF与AB不共线.利用条件求出点E，F坐标，然后由向量共线的坐标运算x1y2－x2y1＝0，得.接着证明E，F，A三点不共线，则EF与AB不共线，得出结论EF∥AB.
[规范解答] 设E（x1，y1），F（x2，y2），
由题意，得＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1）.
∵，∴＝（）.
∵，∴＝（－，1）.
∵（x1＋1，y1）＝（），∴E（－）.
∵（x2－3，y2＋1）＝（－，1），∴F（，0）.
∴＝（，－），
又∵4×（－）－×（－1）＝0，∴.
又∵不存在实数λ，使得＝λ成立，
故A，E，F不共线，
∴EF与AB不共线，∴EF∥AB.
[题后总结] 1.注意区别向量平行与线线平行的联系与区别，两向量平行时，只有两向量所在的直线不共线时，才有两直线平行，应用此知识点时一定要细心.
2.有关向量的坐标运算一定要准确.熟练掌握和应用向量坐标的线性运算法则是解决好此类问题的前提.
＠课时作业
一、选择题
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基的是（ C ）
A.e1＝（2，2），e2＝（1，1）
B.e1＝（1，－2），e2＝（4，－8）
C.e1＝（1，0），e2＝（0，－1）
D.e1＝（1，－2），e2＝（－，1）
解析：选项C中，e1，e2不共线，可作为一个基.
2.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，5），＝（－1，2），则＝（ A ）
A.（－2，4） B.（4，6）
C.（－6，－2） D.（－1，9）
解析：在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝（1，5），＝（－3，－1），所以＝（－2，4），故选A.
3.如果将＝（）绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是（ D ）
A.（－） B.（，－）
C.（－1，） D.（－）
解析：设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为（x，y），则x＝｜｜cos（120°＋30°）＝－，y＝｜｜sin（120°＋30°）＝，由此可知B点坐标为（－），故的坐标是（－），故选D.
4.（多选）D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为（ ABC ）
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.a
解析：如图，＝－b＋＝－b－a＝－a－b，A正确；＝a＋b，B正确；＝－b－a，＝b＋（－b－a）＝b－a＝－a＋b，C正确；＝－a，D不正确.
5.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么（ A ）
A.k＝－1且c与d反向
B.k＝1且c与d反向
C.k＝－1且c与d同向
D.k＝1且c与d同向
解析：∵c∥d，∴存在实数λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ（a－b）＝λa－λb.
又a，b不共线.
∴∴λ＝k＝－1，c＝－d，故c与d反向.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量与x轴正半轴的夹角分别为，向量满足＝0，则与x轴正半轴夹角的取值范围是（ B ）
A.（0，） B.（）
C.（） D.（）
解析：∵＝0，
∴＝－，
如图①所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则＝－，
如图②固定的长度，的长度缩小，点C1向B靠近，
如图③固定的长度，的长度缩小，点C1向A靠近.
① ② ③
∵向量与x轴正半轴的夹角分别为，
∴与x轴正半轴夹角取值范围为（），
由的方向相反知，与x轴正半轴夹角取值范围为（）.
二、填空题
7.已知点A（1，－2），若线段AB的中点坐标为（3，1）且与向量a＝（1，λ）共线，则λ＝ .
解析：由题意，得点B的坐标为（3×2－1，1×2＋2）＝（5，4），则＝（4，6）.又与a＝（1，λ）共线，则4λ－6＝0，得λ＝.
8.对于任意的两个向量m＝（a，b），n＝（c，d），规定运算“ ”为：m n＝（ac－bd，bc＋ad），运算“ ”为：m n＝（a＋c，b＋d）.设m＝（p，q），若（1，2） m＝（5，0），则（1，2） m＝ （2，0） .
解析：由（1，2） m＝（5，0），可得
解得∴m＝（1，－2），∴（1，2） m＝（1，2） （1，－2）＝（2，0）.
9.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝ 1＋ ，y＝ .
解析：如图，作DF⊥AB交AB的延长线于点F，不妨设AB＝AC＝1，则BC＝
