试卷类型：A
广东实验中学2025届高三考前热身训练
数 学
本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。并在答题卡相应位置上填涂考生号。因笔试不考听力，试卷从第二部分开始，试题序号从“21”开始。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设复数（为虚数单位），共轭复数是，则
A. B. C. D.
2. 已知集合，则
A B. C. D.
3. 若函数为偶函数，则实数
A. 1 B. C. －1 D.
4. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为
A. B. C. D.
5. 已知向量满足：，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
6. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则
A．2 B． C． D．
7. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为
A． B． C．14 D．
8. 下图为函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的为
A．若，，且，则相互独立
B．若三个事件两两独立，则满足
C. 给定三个事件，且，则
D. 若事件，满足，，，则
10. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的
前项的和为. 则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11．设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若， ， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是
A．函数的图象关于对称 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中有理项的系数的和为 ．
13. 已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆上存在一点， 使得△为等腰三角形，且，则椭圆的离心率的取值范围____．
14. 一口袋装有形状、大小完全相同的3个小球，其中红球、黄球、黑球各1个．现从口
袋中先后有放回地取球次，且每次取1个球，表示次取球中取到红球
的次数，记，则的数学期望为_______．（用表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)
已知数列满足，，且对任意的，，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前350项和.
16.（15分）
为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.
（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
（2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布
（用样本平均数和标准差s分别作为，的近似值），
已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，
记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
（3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷不来自于同一区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，，.
17.（15分）
已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为、，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
18.（17分）
如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.
19.（17分）
已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
（1）判断是否是上的“函数”？请说明理由；
（2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
（3）已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，
当时，，求的最大值.广东实验中学2025届高三考前热身训练参考答案
数 学
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A B C D C ACD AD ACD
256 13. 14.
3.【解析】由函数为偶函数，可得，即，解之得，则，
，
故偶函数，符合题意.故选：D.
4.【解析】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得，设圆锥母线与底面所成角为，则，
所以圆锥母线与底面所成角的大小为.故选：A.
5.【解析】由题意可知：，因为，即，
可得，所以在上的投影向量为.故选：B.
6.【解析】设，，
因为，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，函数的图象在点处的切线方程为，即，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，由①可得，代入②得，因为，所以，所以，，
所以.故选：C．
7.【解析】由l：得，
由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，
所以点B的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H，则，
当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D.
8.【解析】设，则，故，
设，，则，故，
其中
，
则，解得，负值舍去，
即，故的纵坐标为.故选：C
9.【解析】对于A，因为，所以，
由条件概率公式得，得到，即相互独立，故A正确，对于B.，当三个事件两两独立时，一般不成立．
比如：设样本空间含有等可能的样本点，且，
则，，所以，
即三个事件两两独立，但是，故B错误；对C，当互斥时，；当不互斥时，，C正确；D：
因为，
因为，
所以，因此D正确.故选：ACD
10.【解析】选项A：因为为等差数列，所以，得，
因函数是上的奇函数，，所以是的必要条件，故A正确；
选项B：若，则时满足，此时，故不是的必要条件，故B错误；
选项C：若，满足，但，故不是的必要条件，故C错误；选项D：由且为等差数列
可得，因函数是上的奇函数，
所以，
故，∴是的必要条件，故D正确；故选：AD
11.【解析】因为，则，
因为，所以，
用去替x，所以有，所以有，
取代入得到则，故，
用换x，可得，函数的图象关于对称，故正确；
在上为奇函数，则过，图像向右移动两个单位得到过，
故图像关于对称，;，
而，所以有，则的周期;
又因为图像关于对称，；且函数的图象关于对称，
故，，故C正确.，是由的图像移动变化而来，故周期也为4，因为，所以，，所以，故B错误；，周期为4，所以，，，
故，
故D正确;故选：ACD
13.【解析】因为钝角，所以，又为等腰三角形，所以，在中，由余弦定理可得即，且，解之，得故答案为：．
14.【解析】由题知，
，
，
，
.
故答案为：.
15.（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，， ------------1
所以对任意的，，，即为定值，------------2
所以数列是公差为3的等差数列，------------3
据，，得，，------------4
所以，解得，故，------------5
所以 ------------6
（2）因为，，，------------9
所以，------------12
所以.------------13
16.（1）估计此次知识竞赛成绩的平均数为，由频率分布直方图可知：------------1，------------2
故此次知识竞赛成绩的平均数为分；------------3
（2）由题意可知，------------4
因为，即，
故，------------5
由题意知，抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，----------6
即，故X的数学期望.------------7
所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16人；------------8
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
按照分层抽样，抽取10份，其中分数在，应抽取份，------------9
分数在应抽取，------------10
记事件A：抽测的3份试卷不来自于同一区间；
事件B：取出的试卷有2份来自区间，------------11
则，------------12
，------------13
故.------------14
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.------------15
17.（1）由题知，得，------------1
或，得或，------------2
所以双曲线的方程为：或：．------------4
（2）由（1）知，当时，：，设点，，
联立直线与双曲线得：，------------5
，方程的两根为，，------------6
则，．------------7
而，，则：，：，------------8
因为直线，相交于点，
故，，------------9
消去，整理得：，------------10
即------------12
，------------13
因此，------------14
故点在定直线上．------------15
18.（1）取的中点，连接,------------1
因为，,且的中点，所以，
又平面，故平面，------------2
由于平面，故,------------3
（2）法一：当时，由则，取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，------------4
因为故，------------5
设到平面的距离为,到平面的距离为，
由等体积法可得
而------------6
由于故，
所以从而------------7
故到平面的距离为.------------8
法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，过点作平面的垂线，垂足为，
当时，由则，取的中点，
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为故，
所以由于故，
则，
则，
设平面的法向量
则,，
设到平面的距离为，则.
（3）法一：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，------9
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则,------------10
设平面的法向量为，则
，
取则，------------11
设平面的法向量
,
取则，------------12
设平面平面与的夹角为，
故,
,------------13
令，，
故，------------14
由于，故------------15
当且仅当即时取等号，------------16
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.------------17
法二：延长SE，过B作BM ,
由(1)可得，平面, 平面
平面SAC
平面
, 平面
为平面SAC与平面SBC夹角的平面角，记
设，则在中，
则，
在中，
设，则，
，使得，此时，
且当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
故当即时，有最大值，此时的最小值为.
故平面与平面夹角余弦值的最小值为.
19.（1）是上的“函数”， ------------1
理由如下：，.
，，
， ------------2
在恒成立，
是上的“函数”. ------------3
（2）是上的“函数”，
在上恒成立，------------4
设，则，
∴在上单调递增，且. ------------5
又，，即. ------------6
∵在上单调递增，，∴. ------------7
（3），.
∵是上的“函数”，
∴
在上恒成立，
即在上恒成立. -----------8
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；------------9
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；------------10
当时，恒成立，
设，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即. ------------11
综上所述，. ------------12
∵，当时，，
∴，即. ------------13
令，，
则由题意可知：存在，使得在上为增函数，
即存在，使得，------------14
即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立. ------------15
而函数在上单调递增，
所以，即. ------------16
另一方面，当，时，
，，
可知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6. ------------17
