1.2.3　直线的一般式方程 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

1．2.3　直线的一般式方程
1. 掌握直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，能正确理解直线的一般式方程的含义．
2. 理解并掌握含参数的直线的一般式方程．
3. 会进行直线方程的五种形式之间的转化．
活动一 直线的一般式方程的推导
回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程：
思考1
(1) 这些方程分别适用于哪些情形？
(2) 直线与二元一次方程的关系是什么？
(3) 每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线吗？
结论：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
思考2
直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
活动二　求直线的方程　
例1　已知直线经过点A(6，－4)，且斜率为－，求直线的点斜式方程和一般式方程．
例2　求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴，y轴上的截距，并作图．
例3　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1) 斜率是－，且经过点A(8，－2);
(2) 经过点B(4，2)，且平行于x轴；
(3) 在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4) 经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
活动三　直线的一般式方程的应用　
例4　设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根据下列条件分别确定m的值．
(1) 直线l在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l的斜率是1.
例5　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值．
(1) 直线l的斜率为－1；
(2) 直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
1. (2024海门期末)直线x－y－1＝0的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
2. (2024重庆期末)已知直线l：ax＋2y－1＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3. (多选)已知直线l的方程是Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列结论中正确的是(　　)
A. A2＋C2≠0
B. 若C＝－A，则直线l过定点(1，0)
C. 若AB<0且BC>0，则直线l不过第二象限
D. 若AC>0，则直线l必过第二、三象限
4. 若直线x－y＋2m＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则实数m的取值范围为________________．
5. (2024连云港期末)设k为实数，若直线l的方程为(k＋1)x－2y＋2k＋4＝0，根据下列条件分别确定k的值：
(1) 直线l的斜率为2；
(2) 直线l与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
1．2.3　直线的一般式方程
【活动方案】
点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1.
思考1：(1) 点斜式与斜截式适用于不含垂直于x轴的直线；两点式适用于不含与坐标轴垂直的直线；截距式适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线．
(2) 直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
(3) 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线；当B＝0，A≠0时，它表示垂直于x轴的直线．因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．
思考2：优点：其他几种形式的直线方程都有适用范围，而直线的一般式方程对于平面直角坐标系中的直线都适用．
例1　由题意知直线的点斜式方程为y＋4＝－(x－6)，直线的一般式方程为4x＋3y－12＝0.
例2　直线l的方程可写成y＝－x＋3，所以直线l的斜率k＝－，则直线l在y轴上的截距为3，在x轴上的截距为5.作图略．
例3　(1) 由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2) 由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0.
(3) 由截距式方程，得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4) 由两点式方程，得＝，即x＋y－1＝0.
例4　(1) 由题意知直线l过点(－3，0)，
所以－3＋0－2m＋6＝0，解得m＝.
(2) 由题意知－＝1，解得m＝－1.
例5　(1) 因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2) 直线l的方程可化为＋＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
【检测反馈】
1. A　由题意，得直线的斜率为k＝.设直线的倾斜角为α，则tan α＝，因为α∈[0，π)，所以α＝.
2. D　显然a≠0，直线l：ax＋2y－1＝0的截距式为＋＝1，因为直线l：ax＋2y－1＝0在x轴和y轴上的截距相等，所以＝，解得a＝2.
3. BCD　对于A，若y＝0(x轴)，可得A＝C＝0，B≠0，则A2＋C2＝0，故A错误；对于B，若C＝－A，则Ax＋By－A＝A(x－1)＋By＝0，当x＝1，y＝0时，式子恒成立，所以直线l过定点(1，0)，故B正确；对于C，若AB<0，且BC>0，则y＝－x－，且－>0，－<0，即直线l的斜率大于0，纵截距小于0，所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确；对于D，若AC>0，则x＝－y－，且－<0，即直线l的斜率不为0，横截距小于0，所以直线l必过第二、三象限，故D正确．故选BCD.
4. (－∞，－2]∪[2，＋∞)　令x＝0，得y＝2m，令y＝0，得x＝－2m.由于直线x－y＋2m＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，故|2m|×|－2m|≥16，解得m≥2或m≤－2，故实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).
5. (1) 由题意，得直线l的斜率为 ＝2，解得k＝3.
(2) 由题意，得k＋1≠0，即k≠－1.
在直线l的方程中，令x＝0，得y＝k＋2；
令y＝0时，得x＝－，
所以直线l分别交x轴，y轴于点，(0，k＋2).
因为直线l与两坐标轴围成的三角形在第二象限，
所以解得k>－1.
由题意，得×·(k＋2)＝＝12，
整理，得k2－8k－8＝0，
因为k>－1，所以k＝4±2.