1．3 两条直线的平行与垂直 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 1．3 两条直线的平行与垂直 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 22:39:06 | ||
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文档简介
1．3 两条直线的平行与垂直
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
1. 借助图形探究两条平行直线的斜率关系．
2. 掌握用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想．
活动一 探究两条直线平行的条件
1. 知识回顾
(1) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
(2) 直线方程：①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式．
2. 探究两条直线平行的条件
(1) 能否用直线的斜率刻画两条直线的平行关系？
(2) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，如其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
活动二 判断两直线平行
例1 证明：顺次连接A(2，－3)，B(5，－)，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．
例2 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
对于两条不重合的直线，若斜率存在，则这两条直线平行的充要条件是斜率相等．
已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为__________.
活动三 求直线方程
例3 (1) 求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程；
(2) 当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？
一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋λ＝0，其中λ待定．
(1) 求过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程；
(2) 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.若这两条直线平行，求k的值．
1. (2024海门中学期中)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是( )
A. －8 B. 0 C. 2 D. 10
2. (2024新乡三模)已知直线l1：2x＋my－1＝0，l2：(m＋1)x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024天一中学月考)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B. 若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C. 若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
4. (2024广州期末)经过点A(3，1)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程为________．
5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．
1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
1. 掌握两直线垂直与斜率的关系．
2. 会用代数的方法研究两直线垂直与斜率的关系，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，提高思维的严谨性、辩证性．
3. 会运用两直线垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．
活动一 探究两条直线垂直的条件
1. 知识回顾
如何利用斜率判断两条直线平行？
2. 探究两条直线垂直的条件
(1) 若两条直线垂直，它们的倾斜角之间有怎样的关系？
(2) 能否用斜率刻画两条直线的垂直关系？
(3) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考1
对任意的两条直线l1，l2，“l1⊥l2”的充要条件是“k1k2＝－1”吗？
思考2
对直线的斜率不存在的情况，如何判断两直线是否垂直？
例1 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1) l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2) l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3) l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2：y－3＝0.
活动二 判断两直线垂直
例2 (1) 已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2；
(2) 已知四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0，试判断四边形OPQR的形状．
若k1k2＝－1，则两条直线垂直，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在．若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，此时两直线也垂直．
已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
活动三 求直线方程
例3 已知三角形的三个顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在的直线方程．
与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋m＝0，其中m待定．
(2024连云港期末)过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为( )
A. x－2y－2＝0 B. x＋2y－2＝0
C. x－2y＋2＝0 D. x＋2y＋2＝0
例4 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在 x轴，y轴的正半轴上，O为坐标原点．
(1) 求OB所在直线的方程；
(2) 线段AB上是否存在一点P，使得 CP⊥OP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1. (2024灌云一中期末)已知直线l1：x＋(1－k)y＋1＝0与l2：2y＋3＝0垂直，则实数k的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
2. (2024通州、启东、如东期末)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：(a＋1)x＋ay－3＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024海门期末)已知直线l1：x－y＝1，直线l2：mx＋ny＝m(mn≠0)，则下列说法中正确的是( )
A. 直线l1在y轴上的截距为－1 B. 直线l2恒过点(0，1)
C. 当m－n＝0时，l1⊥l2 D. 当m＋n＝0时，l1∥l2
4. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为________．
5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(n－1，3)，C(－1，3－n).
(1) 若∠BAC是直角，求实数n的值；
(2) 求过坐标原点，且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程．
1．3 两条直线的平行与垂直
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
【活动方案】
1. (1) 由斜率的定义可知，当α在(0°，90°)的范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90°，180°)的范围内时，直线的斜率小于零；当α＝0°时，直线的斜率为零；当α＝90°时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系，且在[0°，90°)和(90°，180°)的范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然，因此，若需在[0°，90°)或(90°，180°)的范围内比较倾斜角的大小，则只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
(2) 点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1；一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0).
2. (1) 能 (2) k1＝k2
思考1：成立的前提是两条直线的斜率都存在，反之也成立．
思考2：如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以l1∥l2.
例1 因为kAB＝＝－，
kCD＝＝－，
所以kAB＝kCD，
从而AB∥CD.
又因为kBC＝＝－，
kDA＝＝－，
所以kBC≠kDA，
从而直线BC与DA不平行．
因此，四边形ABCD是梯形．
例2 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以l1与l2不重合，
从而l1∥l2.
(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，
所以k1≠k2，从而l1与l2不平行．
跟踪训练 0或1 当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，故MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.
例3 (1) 方法一：由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x＋3，
所以直线l的斜率为－.
因为直线l′与直线l平行，
所以直线l′的斜率为－.
又因为直线l′过点(－1，3)，
所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
方法二：由直线l′与直线l平行，
可设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9，
所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2) 由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
跟踪训练 (1) 由l1：y＝－3x－5，得k1＝－3，由两直线平行知k2＝k1＝－3，又因为直线l2过点(0，2)，
所以所求直线的方程为y＝－3x＋2.
(2) 根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意，所以若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
【检测反馈】
1. A 由题意，得kAB＝＝－2，解得m＝－8.
2. C 当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2；当l1∥l2时，有kl1＝kl2，即－＝－，且≠，解得m＝2.综上，“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
3. BCD 根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等时，直线平行；当直线的倾斜角相等时，直线平行；当直线平行时，倾斜角必相等．故选BCD.
4. 2x＋y－7＝0 因为所求直线与直线2x＋y－5＝0平行，所以斜率k＝－2，所以所求直线的方程为y＝－2(x－3)＋1，即2x＋y－7＝0.
5. 设点D(m，n)，
由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
即解得
所以顶点D的坐标为(3，4).
1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
【活动方案】
1. l1∥l2 k1＝k2(k1，k2均存在)，这里l1，l2指不重合的两条直线．
2. (1) 两条直线的倾斜角之差为.
(2) 能
(3) k1·k2＝－1.
思考1：不是．若有一条直线的斜率不存在，则“l1⊥l2 k1k2＝－1”不正确．
思考2：两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
例1 (1) k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，所以l1与l2不垂直．
(2) k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，
所以l1⊥l2.
(3) l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；而l2∥x轴，所以l1⊥l2.
例2 (1) 由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝，从而k1k2＝×＝－1，所以l1⊥l2.
(2) 由题意，得直线OP的斜率kOP＝＝t；
直线QR的斜率kQR＝＝＝t；
直线OR的斜率kOR＝＝－；
直线PQ的斜率kPQ＝＝＝－，
显然kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
则在四边形OPQR中，有OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
所以四边形OPQR为矩形．
跟踪训练 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．
由斜率公式，得kAB＝＝；
kCD＝＝；
kAD＝＝－3；
kBC＝＝－，
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
例3 直线BC的斜率kBC＝＝－.
因为AD⊥BC，所以kAD＝.
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－4＝(x－2)，即3x－5y＋14＝0.
跟踪训练 A 设所求直线的方程为x－2y＋m＝0，将点(0，－1)代入，得2＋m＝0，解得m＝－2，故过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为x－2y－2＝0.
例4 (1) 由题意知O(0，0)，B(2，3)，
所以OB所在直线的斜率为＝，
所以OB所在直线的方程为y－0＝(x－0)，
即3x－2y＝0.
(2) 不存在点P，使得CP⊥OP，理由如下：
假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤a≤3)，使得CP⊥OP，
显然直线CP与直线OP的斜率都存在，分别记作kCP，kOP，
所以kCP·kOP＝－1.
又kCP＝＝，kOP＝＝，
所以·＝－1，即a2－3a＋4＝0，
Δ＝(－3)2－4×4<0，方程无解，
所以线段AB上不存在点P，使得CP⊥OP.
【检测反馈】
1. B 若直线l1：x＋(1－k)y＋1＝0与l2：2y＋3＝0垂直，则0＋2(1－k)＝0，解得k＝1.
2. A 当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：(a＋1)x＋ay－3＝0垂直时，a(a＋1)＋a＝0，即a2＋2a＝0，解得a＝－2或a＝0，所以“a＝－2”可以推出“l1⊥l2”，但“l1⊥l2”推不出“a＝－2”，故“a＝－2”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件．
3. AC 对于A，l1：x－y＝1，即y＝x－1，故直线l1在y轴上的截距为－1，故A正确；对于B，l2：mx＋ny＝m(mn≠0)，即m(x－1)＋ny＝0，令x－1＝0，y＝0，得x＝1，y＝0，即直线l2恒过点(1，0)，故B错误；对于C，当m－n＝0时，有1×m＋(－1)×n＝0，故l1⊥l2，故C正确；对于D，当 m＋n＝0时，令m＝1，n＝－1，此时直线l2：x－y＝1，与直线l1：x－y＝1重合，两直线不平行，故D错误．故选AC.
4. (0，1) 由题意，得kAB＝＝3，kCB＝＝－2.因为CD⊥AB，CB∥AD，所以直线CD与AD的斜率都存在．设点D的坐标为(x，y)，则kCD＝，kAD＝，所以解得故点D的坐标为(0，1).
5. (1) 当n＝2时，∠BAC不是直角，不符合题意；
当n≠2时，因为∠BAC是直角，
所以kAB·kAC＝－1，
即·＝－1，解得n＝.
综上，实数n的值为.
(2) 因为直线l与△ABC的高AD垂直，
所以直线l与直线BC平行或重合．
因为点B，C不重合，所以n≠0，
所以直线l的斜率k＝kBC＝＝1.
又直线l过坐标原点，
所以直线l的方程为x－y＝0.
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
1. 借助图形探究两条平行直线的斜率关系．
2. 掌握用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想．
活动一 探究两条直线平行的条件
1. 知识回顾
(1) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
(2) 直线方程：①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式．
2. 探究两条直线平行的条件
(1) 能否用直线的斜率刻画两条直线的平行关系？
(2) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，如其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
活动二 判断两直线平行
例1 证明：顺次连接A(2，－3)，B(5，－)，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．
例2 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
对于两条不重合的直线，若斜率存在，则这两条直线平行的充要条件是斜率相等．
已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为__________.
活动三 求直线方程
例3 (1) 求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程；
(2) 当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？
一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋λ＝0，其中λ待定．
(1) 求过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程；
(2) 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.若这两条直线平行，求k的值．
1. (2024海门中学期中)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是( )
A. －8 B. 0 C. 2 D. 10
2. (2024新乡三模)已知直线l1：2x＋my－1＝0，l2：(m＋1)x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024天一中学月考)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B. 若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C. 若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
4. (2024广州期末)经过点A(3，1)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程为________．
5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．
1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
1. 掌握两直线垂直与斜率的关系．
2. 会用代数的方法研究两直线垂直与斜率的关系，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，提高思维的严谨性、辩证性．
3. 会运用两直线垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．
活动一 探究两条直线垂直的条件
1. 知识回顾
如何利用斜率判断两条直线平行？
2. 探究两条直线垂直的条件
(1) 若两条直线垂直，它们的倾斜角之间有怎样的关系？
(2) 能否用斜率刻画两条直线的垂直关系？
(3) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考1
对任意的两条直线l1，l2，“l1⊥l2”的充要条件是“k1k2＝－1”吗？
思考2
对直线的斜率不存在的情况，如何判断两直线是否垂直？
例1 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1) l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2) l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3) l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2：y－3＝0.
活动二 判断两直线垂直
例2 (1) 已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2；
(2) 已知四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0，试判断四边形OPQR的形状．
若k1k2＝－1，则两条直线垂直，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在．若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，此时两直线也垂直．
已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
活动三 求直线方程
例3 已知三角形的三个顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在的直线方程．
与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋m＝0，其中m待定．
(2024连云港期末)过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为( )
A. x－2y－2＝0 B. x＋2y－2＝0
C. x－2y＋2＝0 D. x＋2y＋2＝0
例4 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在 x轴，y轴的正半轴上，O为坐标原点．
(1) 求OB所在直线的方程；
(2) 线段AB上是否存在一点P，使得 CP⊥OP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1. (2024灌云一中期末)已知直线l1：x＋(1－k)y＋1＝0与l2：2y＋3＝0垂直，则实数k的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
2. (2024通州、启东、如东期末)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：(a＋1)x＋ay－3＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024海门期末)已知直线l1：x－y＝1，直线l2：mx＋ny＝m(mn≠0)，则下列说法中正确的是( )
A. 直线l1在y轴上的截距为－1 B. 直线l2恒过点(0，1)
C. 当m－n＝0时，l1⊥l2 D. 当m＋n＝0时，l1∥l2
4. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为________．
5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(n－1，3)，C(－1，3－n).
(1) 若∠BAC是直角，求实数n的值；
(2) 求过坐标原点，且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程．
1．3 两条直线的平行与垂直
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
【活动方案】
1. (1) 由斜率的定义可知，当α在(0°，90°)的范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90°，180°)的范围内时，直线的斜率小于零；当α＝0°时，直线的斜率为零；当α＝90°时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系，且在[0°，90°)和(90°，180°)的范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然，因此，若需在[0°，90°)或(90°，180°)的范围内比较倾斜角的大小，则只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
(2) 点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1；一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0).
2. (1) 能 (2) k1＝k2
思考1：成立的前提是两条直线的斜率都存在，反之也成立．
思考2：如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以l1∥l2.
例1 因为kAB＝＝－，
kCD＝＝－，
所以kAB＝kCD，
从而AB∥CD.
又因为kBC＝＝－，
kDA＝＝－，
所以kBC≠kDA，
从而直线BC与DA不平行．
因此，四边形ABCD是梯形．
例2 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以l1与l2不重合，
从而l1∥l2.
(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，
所以k1≠k2，从而l1与l2不平行．
跟踪训练 0或1 当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，故MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.
例3 (1) 方法一：由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x＋3，
所以直线l的斜率为－.
因为直线l′与直线l平行，
所以直线l′的斜率为－.
又因为直线l′过点(－1，3)，
所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
方法二：由直线l′与直线l平行，
可设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9，
所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2) 由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
跟踪训练 (1) 由l1：y＝－3x－5，得k1＝－3，由两直线平行知k2＝k1＝－3，又因为直线l2过点(0，2)，
所以所求直线的方程为y＝－3x＋2.
(2) 根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意，所以若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
【检测反馈】
1. A 由题意，得kAB＝＝－2，解得m＝－8.
2. C 当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2；当l1∥l2时，有kl1＝kl2，即－＝－，且≠，解得m＝2.综上，“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
3. BCD 根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等时，直线平行；当直线的倾斜角相等时，直线平行；当直线平行时，倾斜角必相等．故选BCD.
4. 2x＋y－7＝0 因为所求直线与直线2x＋y－5＝0平行，所以斜率k＝－2，所以所求直线的方程为y＝－2(x－3)＋1，即2x＋y－7＝0.
5. 设点D(m，n)，
由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
即解得
所以顶点D的坐标为(3，4).
1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
【活动方案】
1. l1∥l2 k1＝k2(k1，k2均存在)，这里l1，l2指不重合的两条直线．
2. (1) 两条直线的倾斜角之差为.
(2) 能
(3) k1·k2＝－1.
思考1：不是．若有一条直线的斜率不存在，则“l1⊥l2 k1k2＝－1”不正确．
思考2：两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
例1 (1) k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，所以l1与l2不垂直．
(2) k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，
所以l1⊥l2.
(3) l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；而l2∥x轴，所以l1⊥l2.
例2 (1) 由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝，从而k1k2＝×＝－1，所以l1⊥l2.
(2) 由题意，得直线OP的斜率kOP＝＝t；
直线QR的斜率kQR＝＝＝t；
直线OR的斜率kOR＝＝－；
直线PQ的斜率kPQ＝＝＝－，
显然kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
则在四边形OPQR中，有OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
所以四边形OPQR为矩形．
跟踪训练 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．
由斜率公式，得kAB＝＝；
kCD＝＝；
kAD＝＝－3；
kBC＝＝－，
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
例3 直线BC的斜率kBC＝＝－.
因为AD⊥BC，所以kAD＝.
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－4＝(x－2)，即3x－5y＋14＝0.
跟踪训练 A 设所求直线的方程为x－2y＋m＝0，将点(0，－1)代入，得2＋m＝0，解得m＝－2，故过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为x－2y－2＝0.
例4 (1) 由题意知O(0，0)，B(2，3)，
所以OB所在直线的斜率为＝，
所以OB所在直线的方程为y－0＝(x－0)，
即3x－2y＝0.
(2) 不存在点P，使得CP⊥OP，理由如下：
假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤a≤3)，使得CP⊥OP，
显然直线CP与直线OP的斜率都存在，分别记作kCP，kOP，
所以kCP·kOP＝－1.
又kCP＝＝，kOP＝＝，
所以·＝－1，即a2－3a＋4＝0，
Δ＝(－3)2－4×4<0，方程无解，
所以线段AB上不存在点P，使得CP⊥OP.
【检测反馈】
1. B 若直线l1：x＋(1－k)y＋1＝0与l2：2y＋3＝0垂直，则0＋2(1－k)＝0，解得k＝1.
2. A 当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：(a＋1)x＋ay－3＝0垂直时，a(a＋1)＋a＝0，即a2＋2a＝0，解得a＝－2或a＝0，所以“a＝－2”可以推出“l1⊥l2”，但“l1⊥l2”推不出“a＝－2”，故“a＝－2”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件．
3. AC 对于A，l1：x－y＝1，即y＝x－1，故直线l1在y轴上的截距为－1，故A正确；对于B，l2：mx＋ny＝m(mn≠0)，即m(x－1)＋ny＝0，令x－1＝0，y＝0，得x＝1，y＝0，即直线l2恒过点(1，0)，故B错误；对于C，当m－n＝0时，有1×m＋(－1)×n＝0，故l1⊥l2，故C正确；对于D，当 m＋n＝0时，令m＝1，n＝－1，此时直线l2：x－y＝1，与直线l1：x－y＝1重合，两直线不平行，故D错误．故选AC.
4. (0，1) 由题意，得kAB＝＝3，kCB＝＝－2.因为CD⊥AB，CB∥AD，所以直线CD与AD的斜率都存在．设点D的坐标为(x，y)，则kCD＝，kAD＝，所以解得故点D的坐标为(0，1).
5. (1) 当n＝2时，∠BAC不是直角，不符合题意；
当n≠2时，因为∠BAC是直角，
所以kAB·kAC＝－1，
即·＝－1，解得n＝.
综上，实数n的值为.
(2) 因为直线l与△ABC的高AD垂直，
所以直线l与直线BC平行或重合．
因为点B，C不重合，所以n≠0，
所以直线l的斜率k＝kBC＝＝1.
又直线l过坐标原点，
所以直线l的方程为x－y＝0.