1.4　两条直线的交点 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

1．4　两条直线的交点
1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2. 会根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．
3. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系．
活动一 探究两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系
问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．
问题2：如果两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交于一点A，若点A的坐标为(m，n)，则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系？
思考1
如何求两相交直线的交点坐标？
思考2
如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？
问题3：如果方程组只有一组公共解，那么对应的两条直线的位置关系如何？如果方程组无解、有无数组解，那么两直线的位置关系又如何？
1. 利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．
2. 两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置关系之间是对应的．
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
活动二　判断两直线的位置关系　
例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们交点的坐标.
(1) l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2) l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3) l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
例2　设a为实数，直线l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0.若l1∥l2，求a的值．
两条直线的位置关系
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交 垂直
活动三　求直线的方程
例3　已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点.
(1) 若直线l的斜率为1，求直线l的方程；
(2) 若直线l与直线x－2y－1＝0垂直，求直线l的方程．
思考3
求直线方程需要哪些条件？
思考4
经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两条直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2).
　求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
1. 已知直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：3x＋y＋6＝0的交点在x轴上，则直线l1的斜率为(　　)
A. B. C. － D. －
2. 过两条直线l1：x－y＋3＝0与l2：2x＋y＝0的交点，且倾斜角为的直线方程为(　　)
A. x－y＋＋2＝0 B. x－3y＋＋6＝0
C. x－y－－4＝0 D. x－3y－－12＝0
3. (多选)(2024徐州期末)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－1＝0}，且A∩B＝ ，则实数a的值为(　　)
A. －4 B. 4 C. －2 D. 2
4. (2024盐城五校期末)直线l1：2x－y＝1与直线l2：－3x＋2y＝1的交点坐标为________．
5. 在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2).
(1) 求点A的坐标；
(2) 求直线BC的方程；
(3) 求点C的坐标．
1．4　两条直线的交点
【活动方案】
问题1：不平行，联立方程组解得所以其交点坐标为(1，1).
问题2：公共点同时在两条直线上，同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解．
思考1：先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．
思考2：不是，当且仅当这两个二元一次方程只有一组公共解时，以这组解为坐标的点是直线l1和l2的交点．
问题3：如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．
例1　(1) 因为方程组的解为
所以直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2) 因为方程组有无数组解，
所以直线l1和l2重合．
(3) 因为方程组无解，
所以直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
例2　方法一：因为l1∥l2，
所以方程组
无解．
由②×2－①，得(2a－5)y＝－5.③
从而③无解，即2a－5＝0.
解得a＝.
方法二：由直线l1的方程可知，它的斜率k1＝－.
因为l1∥l2，所以直线l2的斜率存在，设为k2，则k2＝－.
又由直线l2的方程可知，它的斜率k2＝－，
所以－＝－，解得a＝.
小结：略
例3　(1) 解方程组得交点坐标为(－2，2).
因为直线l的斜率为1且过交点(－2，2)，
所以直线l的方程为x－y＋4＝0.
(2) 由题意可设直线l的方程为2x＋y＋m＝0，将点(－2，2)代入，解得m＝2，所以直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
思考3：两个独立条件：两个点坐标或一点一方向．
思考4：无数条，它们的方程可表示为3x＋4y－2＋λ(x－y＋4)＝0(λ为任意实数).
跟踪训练　由方程组解得
因为所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率为－3.
根据直线的点斜式方程可得所求直线方程为
y－(－)＝－3[x－(－)]，
即15x＋5y＋16＝0.
【检测反馈】
1. D　在直线方程3x＋y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－2，即直线3x＋y＋6＝0与x轴的交点为(－2，0).因为点(－2，0)在直线ax＋3y＋4＝0上，所以－2a＋3×0＋4＝0，解得a＝2，所以直线l1：2x＋3y＋4＝0，即y＝－x－，所以直线l1的斜率为－.
2. A　由解得则两直线的交点坐标为(－1，2)，故所求直线方程为y－2＝(x＋1)，即x－y＋2＋＝0.
3. BD　由＝4，得4x－y－5＝0(x≠2).因为集合B＝{(x，y)|ax－y－1＝0}，A∩B＝ ，所以直线4x－y－5＝0(x≠2)与直线ax－y－1＝0没有交点．当直线ax－y－1＝0过点(2，3)时，有2a－3－1＝0，解得a＝2，此时直线4x－y－5＝0(x≠2)与直线2x－y－1＝0不重合，满足题意；当直线4x－y－5＝0(x≠2)与直线ax－y－1＝0平行时，有解得a＝4.综上，a＝2或a＝4.故选BD.
4. (3，5)　联立解得故交点的坐标为(3，5).
5. (1) 直线x－2y＋1＝0和直线y＝0的交点是(－1，0)，即点A的坐标为(－1，0).
(2) 因为直线x－2y＋1＝0为BC边上的高，则由垂直关系，得kBC＝－2，
所以直线BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0.
(3) 因为角A的平分线所在直线的方程为y＝0，点A(－1，0)，B(1，2)，
所以kAC＝－kAB＝－1.
设点C的坐标为(a，b)，
则＝－1，＝－2，
解得a＝5，b＝－6，
即点C的坐标为(5，－6).