2.2 直线与圆的位置关系 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1

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名称 2.2 直线与圆的位置关系 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-03 23:18:34

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2.2 直线与圆的位置关系
2.2.1 直线与圆的位置关系(1)
1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系.
2. 依据直线和圆的方程,能熟练求出它们的交点坐标.
3. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长.
活动一 直线与圆位置关系的判断
思考1
直线与圆有哪几种位置关系?又如何去判断呢?
例1 求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点坐标,并判断它们的位置关系.
例2 求实数m的取值范围,使得直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:
(1) 相交;
(2) 相切;
(3) 相离.
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
几何法 d与r的大小 d>r d=r d代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ=0 方程组 仅有一组解 Δ>0 方程组有 两组不同的解
活动二 求直线和圆相切的切线方程与切线长
例3 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
 在例3中,当点A的坐标为(3,1)时,求切线l的方程.
 在例3的条件下,求切线长.
思考2
过平面内一点 P 可作几条圆的切线?
思考3
设切线方程要注意什么?
直线和圆相切的几何性质:
(1) d=r;
(2) 圆心、切点、切线上一点构成直角三角形;
(3) 切线垂直于过切点的半径.
1. (2024灌云一中期末)以点(3,-2)为圆心,且与直线3x-4y-12=0相切的圆的方程是(  )
A. (x-3)2+(y+2)2=1 B. (x+3)2+(y-2)2=1
C. (x+3)2+(y-2)2=10 D. (x-3)2+(y+2)2=10
2. 若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(  )
A. [-3,-1] B. [-1,3]
C. [-3,1] D. (-∞,-3]∪[1,+∞)
3. (多选)(2025天一中学期末改编)已知直线l:mx+y-m=0与圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,则下列结论中正确的是(  )
A. 直线l过定点(0,1) B. 圆C的半径为3
C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆心C到直线l的最大距离是2
4. (2024盐城五校期末联考)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=2,直线l过点A(3,4)且与圆C相切,若直线l与两坐标轴交点分别为P,Q,则PQ=________.
5. 已知直线l:x+y-1=0和圆心为C的圆x2+y2-2x-4y+1=0,判断直线与圆的位置关系.
2.2.2 直线与圆的位置关系(2)
1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题.
2. 理解直线与圆相交的弦长问题.
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用.
活动一 直线与圆相切的综合问题
例1 已知圆x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
探究:已知圆O:x2+y2=r2(r>0),当点M(x0,y0)在圆上、圆外时,研究直线l:x0x+y0y=r2与圆O的位置.
1. 过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
2. 过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.
例2 已知圆C过两点A(-2,0),B(2,4),且圆心C在直线2x-y-4=0上.
(1) 求圆C的方程;
(2) 过点P(6,4)作圆C的切线,求切线的方程.
活动二 直线与圆相交的综合问题 
例3 求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
思考
如何求直线被圆截得的弦长?
 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.
直线和圆相交的几何性质:d例4 已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1) 当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2) 当弦AB的长为4时,求直线l的方程.
1. (2024宿迁期中)直线y=-x+1与曲线x=的交点个数为(  )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知圆C:x2+y2=1,过圆C外一点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B.若∠APB=120°,则AB的长为(  )
A. B. 1 C. D.
3. (多选)(2024泰安第二中学期末)设m为实数,若方程x2+y2-2mx-2y+1=0表示圆,则下列结论中正确的是(  )
A. m>0
B. 该圆必过定点(0,1)
C. 若直线x-y+2=0被该圆截得的弦长为2,则m=3或m=-1
D. 当m=-1时,该圆上的点到直线x-y=2的距离的最小值为2-1
4. (2024盐城八校期末联考)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且S△ABO=(其中O是坐标原点),则实数k的值为________.
5. (2024南京五校联盟期末)已知直线l:x-y+1=0和圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.
(1) 判断直线l与圆C的位置关系;若相交,求直线l被圆C截得的弦长;
(2) 求过点(4,-1)且与圆C相切的直线方程.
2.2.3 直线与圆的位置关系(3)
1. 综合运用直线与圆的位置关系解决复杂的问题.
2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用.
活动一 求圆的方程 
例1 已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切.
(1) 求圆C的标准方程;
(2) 求直线l:x-2y+2=0与圆C相交的弦长.
例2 (2024通州、启东、如东期末)已知圆C关于直线y=x+1对称,且(1,-1),(4,2)两点在圆C上.
(1) 求圆C的标准方程;
(2) 直线l经过点(3,1),且与圆C交于A,B两点,若△ABC的面积为,求直线l的方程.
活动二 线与圆位置关系的综合应用 
例3 已知圆C:x2+y2-2y-2=0,直线l:mx-y+1+m=0,点P(-1,1).
(1) 判断直线l与圆C的位置关系,并证明;
(2) 设直线l与圆C交于不同的两点A,B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3) 在(2)的条件下,若=2,求直线l的方程.
例4 已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1) 求圆C的方程;
(2) 设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
1. 设P为圆x2+y2-2x-4y-4=0上的一点,则点P到直线 3x-4y=0距离的取值范围是(  )
A. [2,4] B. [0,4] C. [1,2] D. [0,9]
2. (2024泰安第二中学期末)在平面直角坐标系内,已知点A(-3,4),B(-3,1),动点P(x,y)满足PA=2PB,则(x-1)2+(y-t)2(t∈R)的最小值是(  )
A. B. 2 C. 4 D. 16
3. (多选)(2024南京一中期末)已知实数x,y满足y=,则下列结论中正确的是(  )
A. 2x+1的最小值为-5 B. x2+y2的最大值为9
C. 的最大值为 D. 的最小值为-
4. (2024南京五校联盟期末)若圆x2+y2=16上恰有两个点到直线l:y=x+a的距离为1,则正实数a的取值范围为________.
5. (2023龙岩期中)已知圆C的半径为2,且圆心在直线y=x上,点A(2,4)在圆C上,点B(0,2)在圆C外.
(1) 求圆C的圆心坐标;
(2) 若点D在圆C上,求BD的最大值与最小值.
2.2 直线与圆的位置关系
2.2.1 直线与圆的位置关系(1)
【活动方案】
思考1:直线与圆有三种位置关系,即相离、相切和相交
方法一:几何法
圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d方法二:方程法
将直线方程和圆的方程联立方程组,方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系.若方程组无解,即直线与圆没有公共点,则直线与圆相离;若方程组只有一组解,即直线与圆只有一个公共点,则直线与圆相切;若方程组有两组不同的解,即直线与圆有两个公共点,则直线与圆相交.
例1 直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组的解.
解这个方程组,得
所以公共点的坐标为(10,0),(,).
因为直线4x+3y=40和圆x2+y2=100有两个公共点,所以直线和圆相交.
例2 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,
故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d=,圆的半径为r=2.
(1) 若直线与圆相交,则d<r,即<2,
解得m<-2或m>2.
(2) 若直线与圆相切,则d=r,即=2,
解得m=2或m=-2.
(3) 若直线与圆相离,则d>r,即>2,
解得-2<m<2.
例3 当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件;
当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+(k+4)=0.
因为直线与圆相切,
所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径,
故=1,
解得k=0或k=-,
故所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.
跟踪训练1 当直线l垂直于x轴时,直线方程为x=3,满足题意;
当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
因为直线l与圆相切,
所以=1,解得k=-,
所以所求的直线方程为3x+4y-13=0.
综上,直线l的方程为x=3或3x+4y-13=0.
跟踪训练2 因为圆心C为(2,3),
所以AC==,
则切线长为==3.
思考2:当点P在圆内时,切线不存在;当点P在圆上时,只能作一条圆的切线;当点P在圆外时,可作两条圆的切线.
思考3:设切线方程时要注意斜率是否存在,切记切线的斜率不存在的情况,不要漏解.
【检测反馈】
1. A 因为点(3,-2)到直线3x-4y-12=0的距离是d=,所以圆的半径为1,所以圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1.
2. C 由题意,得圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离d≤,即≤,解得-3≤a≤1,即实数a的取值范围为[-3,1].
3. BCD 对于A,由mx+y-m=0,得m(x-1)+y=0,则直线l过定点(1,0),故A错误;对于B,圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,则圆C的圆心坐标为C(1,2),半径为3,故B正确;对于C,因为点(1,0)与点C(1,2)的距离d=2<3,所以点(1,0)在圆C的内部,所以直线l与圆C一定相交,故C正确;对于D,设直线l过定点D(1,0),则CD=2,当CD⊥l时,圆心C到直线l的距离最大,最大距离为CD=2,故D正确.故选BCD.
4. 7 由题意,得圆心为C(2,3),半径为r=.因为(3-2)2+(4-3)2=2,所以点A在圆C上,由圆的几何性质可知,AC⊥l,kAC==1,所以直线l的斜率为-1,故直线l的方程为y-4=-(x-3),即y=-x+7,直线l交x轴于点P(7,0),交y轴于点Q(0,7),所以PQ==7.
5. 方法一:联立消去y并整理,得x2=1,解得x1=-1,x2=1,
所以直线与圆有两个公共点,
所以直线l与圆C相交.
方法二:将圆C的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,
则圆心C的坐标为(1,2),半径为2,
所以圆心C到直线l的距离d==<2,
所以直线l与圆C相交.
2.2.2 直线与圆的位置关系(2)
【活动方案】
例1 当点M不在坐标轴上时,由x2+y2=r2,可知圆心为原点(0,0),
所以直线OM的斜率k=.
因为所求切线与直线OM垂直,
所以切线的斜率为-,
所以经过点M的切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=r2;
当点M在坐标轴上时,验证可知上面的方程同样适用.
综上,所求的切线方程为x0x+y0y=r2.
探究:①当点M(x0,y0)在圆上时,即x+y=r2,
所以圆O的圆心O(0,0)到直线l的距离为d===r,故此时直线l与圆O相切.
②当点M(x0,y0)在圆外时,即x+y>r2,
所以圆O的圆心O(0,0)到直线l的距离为d==例2 (1) 因为圆C过两点A(-2,0),B(2,4),
所以圆心C在AB的垂直平分线上.
设AB的中点为M,则M(0,2).
因为kAB==1,所以AB的中垂线方程为y-2=-(x-0),即x+y-2=0.
联立解得
所以圆心C(2,0),半径r=BC=4,
故圆的方程为(x-2)2+y2=16.
(2) 当过点P的切线的斜率不存在时,此时直线 x=6与圆C相切;
当过点P的切线斜率k存在时,设切线方程为 y-4=k(x-6),
即kx-y+4-6k=0,(*)
由圆心C到切线的距离=4,
解得k=,
将k=代入(*),得切线方程为x-y+6=0.
综上,所求切线的方程为x=6或x-y+6=0.
例3 如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,
则OM⊥AB(O为坐标原点),
所以OM==,
所以AB=2AM=2=2=2.
思考:设直线l的方程为y=kx+b,圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,弦长的求法有几何法和代数法.
①几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB,则有()2+d2=r2,即AB=2.
②代数法:如图2,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两个交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则AB==|x1-x2|=|y1-y2| (直线l的斜率k存在).
图1 图2
跟踪训练 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,将x=-3代入圆方程,得y=2或 y=-6,所以截得的弦长为2-(-6)=8,不符合题意,舍去;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
圆x2+y2+4y-21=0化为标准方程为x2+(y+2)2=25,
所以圆心为(0,-2),半径为5,
所以圆心到直线l的距离为=.
因为直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,所以(2)2+()2=52,
解得k=2或k=-,
所以直线l的方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0.
综上,直线l的方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0.
例4 (1) 圆心坐标为(1,0),k==2,即y-0=2(x-1),整理得2x-y-2=0.
(2) 圆的半径为3,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),
即kx-y+(2-2k)=0,
则圆心到直线l的距离d==1=,
解得k=,
所以直线l的方程为3x-4y+2=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,经检验符合题意.
综上,直线l的方程为3x-4y+2=0或x=2.
【检测反馈】
1. C 联立直线方程和曲线方程可得则1-y=,即解得y=0或y=1,故方程组的解为或故直线y=-x+1与曲线x=有2个交点.
2. B 易知圆C的圆心坐标为C(0,0),半径为1,连接AC,BC,PC,如图.由∠APB=120°,得∠APC=60°.又PA⊥AC,所以∠ACP=∠BCP=30°,即∠ACB=60°.又AC=BC=1,所以△ABC为正三角形,所以AB=1.
3. BCD 对于A,由x2+y2-2mx-2y+1=0,得(x-m)2+(y-1)2=m2,由方程x2+y2-2mx-2y+1=0表示圆,得m2>0,则m≠0,故A错误;对于B,将点(0,1)代入方程x2+y2-2mx-2y+1=0,符合题意,故B正确;对于C,圆心为(m,1),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=.又直线x-y+2=0被该圆截得的弦长为2,所以m2-=12,解得m=3或m=-1,故C正确;对于D,若m=-1,则圆的半径为1,圆心到直线x-y=2的距离为=2,故该圆上的点到直线x-y=2的距离的最小值为2-1,故D正确.故选BCD.
4. ±1 方法一:易知圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为r=1,圆心到直线y=kx+1的距离为d=,弦长AB=2=2=2,所以S△ABO=AB·d=×2·=,解得k=±1.
方法二:由S△ABO=,得∠AOB=,得OA·cos =,则=,解得k=±1.
5. (1) 由圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,得圆心C(1,-2),半径r=3,
则圆心C(1,-2)到直线l:x-y+1=0的距离为d==2所以直线l与圆C相交,直线l被圆C截得的弦长为2=2.
(2) 若过点(4,-1)的直线斜率不存在,则方程为x=4,
此时圆心C(1,-2)到直线x=4的距离为4-1=3=r,满足题意;
若过点(4,-1)且与圆C相切的直线斜率存在,
则设切线方程为y+1=k(x-4),即kx-y-4k-1=0,
则圆心C(1,-2)到直线kx-y-4k-1=0的距离为=3,解得k=-,
所以切线方程为-x-y+=0,即4x+3y-13=0.
综上,过点(4,-1)且与圆C相切的直线方程为x=4或4x+3y-13=0.
2.2.3 直线与圆的位置关系(3)
【活动方案】
例1 (1) 由题意设圆C的方程为(x-a)2+y2=4(a>0).
因为圆C与直线3x+4y+4=0相切,
所以圆心C(a,0)到直线的距离d==2,
解得a=2或a=-(舍去),
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(2) 圆心C(2,0)到直线l:x-2y+2=0的距离
d1==,
所以弦长为2=.
例2 (1) 因为=1,点(1,-1)和点(4,2)的中点为,
所以以两点(1,-1),(4,2)为端点的线段的中垂线方程为y-=-,
整理,得y=-x+3,
联立解得
所以圆心为C(1,2),
所以半径r==3,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9.
(2) 因为△ABC的面积S=AC·BC·sin ∠ACB=sin ∠ACB=,
所以sin ∠ACB=1.
因为0<∠ACB<π,所以∠ACB=,
所以圆心C到直线l的距离为.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,
此时圆心C到直线l的距离为2,不符合题意,舍去;
若直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
则圆心C到直线l的距离d==,解得k=1或k=7,
所以直线l的方程为x-y-2=0或7x-y-20=0.
例3 (1) 因为直线l:mx-y+1+m=0过定点(-1,1),且(-1)2+12-2×1-2=-2<0,
所以点(-1,1)在圆C内,
所以直线l与圆C相交.
(2) 设M(x,y),当点M与点P不重合,即x≠-1时,连接CM,CP,则CM⊥MP,根据勾股定理得CM2+MP2=CP2,则x2+(y-1)2+(x+1)2+(y-1)2=1,化简,得x2+y2+x-2y+1=0(x≠-1);
当点M与点P重合时,x=-1,y=1也满足上式,
故弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2+x-2y+1=0.
(3) 设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为=2,
所以-1-x1=2(x2+1),
化简,得x1=-3-2x2.①
又消去y并整理,得(1+m2)x2+2m2x+m2-3=0,
所以x1+x2=-,②
x1x2=,③
由①②③,解得m=±,
所以直线l的方程为x-y+1+=0或x+y+-1=0.
例4 (1) 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.
(2) 假设符合条件的实数a存在.
因为直线l垂直平分弦AB,
所以圆心C(3,-2)必在直线l上,
所以直线l的斜率kPC=-2.
又kAB=a=-,所以a=.
将直线ax-y+1=0与圆C的方程联立,
消去y并整理,得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
因为直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
所以Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
解得a<0,与a=矛盾,故假设不成立,
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
【检测反馈】
1. B 圆x2+y2-2x-4y-4=0可化为(x-1)2+(y-2)2=32,所以圆心为(1,2),半径为3,圆心到直线3x-4y=0的距离d==1,所以点P到直线3x-4y=0的距离最短为0,最长为1+3=4.故所求距离的取值范围是[0,4].
2. C 由题意,得(x+3)2+(y-4)2=4(x+3)2+4(y-1)2,整理,得(x+3)2+y2=4,可以看成圆(x+3)2+y2=4上动点P(x,y)与定直线x=1上动点Q(1,t)的距离,其最小值为圆心M(-3,0)到直线x=1的距离减去圆的半径2,即PQ≥4-2=2,所以(x-1)2+(y-t)2的最小值是22=4.
3. ABD 设P(x,y),由y=,得点P在半圆C:(x+2)2+y2=1(y≥0)上,对于A,因为x∈[-3,-1],所以当x=-3时,2x+1的最小值为-5,故A正确;对于B,设x2+y2=OP2,因为OPmax=OC+r=3,所以x2+y2的最大值为9,故B正确;对于C,D,设=kOP,当OP过圆心C(-2,0)时,(kOP)max=0,当OP与半圆相切时,(kOP)min=-,故C错误,D正确.故选ABD.
4. (3,5) 圆x2+y2=16的圆心为O(0,0),半径为4.由题意,得圆心到直线的距离大于3且小于5,即30,所以35. (1) 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4.
由题意,得解得
故圆C的圆心坐标为(4,4).
(2) 由题意,得BC==2,
所以BC-2=2-2≤BD≤BC+2=2+2,
所以BD的最大值为2+2,最小值为2-2.