2.3　圆与圆的位置关系 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

2．3　圆与圆的位置关系
1. 了解圆与圆之间的位置关系．
2. 掌握圆与圆的位置关系的判断方法．
3. 能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
活动一 探究圆与圆的位置关系
问题1：初中几何中，将两个圆的位置关系分成了几种？
问题2：如何用几何法判断圆与圆的位置关系呢？
问题3：能否根据方程来判断圆与圆的位置关系呢？
探究：圆与圆的位置关系
(1) 几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|　　(2) 代数法：通过两圆的方程联立成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程―→
活动二　判断圆与圆的位置关系　
例1　判断下列两圆的位置关系：
(1) (x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
(2) x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
例2　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1) 当m为何值时，圆C1与圆C2外切？
(2) 当m为何值时，圆C1与圆C2内含？
活动三　圆与圆的位置关系的综合应用　
例3　求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程．
例4　已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
例5　求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
思考1
经过两圆交点的圆有多少个？它们的方程有什么共同特点？
思考2
如何求两圆的公共弦长？
相交弦及圆系方程问题的解决方法：
(1) 求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在的直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数；
(2) 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解；
(3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
1. (2024温州期末)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
2. 若圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB垂直平分线的方程是(　　)
A. 3x－y－9＝0 B. 3x＋y－9＝0 C. x－3y－6＝0 D. x＋3y－6＝0
3. (多选)(2025杭州期末)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C1，C2恒有公共点
B. 圆C1，C2至多有三条公切线
C. 若圆C2平分圆C1的周长，则m＋2n＝10
D. 若圆C2平分圆C1的周长，则n2－m的最小值为9
4. 写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
5. 已知圆C1过点(，1)，(1，－1)，且圆心在直线y＝1上，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1) 求圆C1的标准方程；
(2) 求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
2．3　圆与圆的位置关系
【活动方案】
问题1：①两圆相交，有两个公共点；②两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点；③两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
问题2：利用圆心距和半径之间的大小关系判断．
问题3：通过两圆的方程联立成方程组的公共解的个数进行判断．解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆外切或内切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．
例1　(1) 根据题意，得两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝＝5.
因为d＝r1＋r2，所以两圆外切.
(2) 方法一：将两圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，
故两圆的半径分别为r1＝2和r2＝，两圆的圆心距d＝＝.
因为|r1－r2|方法二：将两个圆的方程联立方程组
解得即方程有两组不同的解，所以两个圆相交．
例2　将圆C1的方程化为标准方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(m，－2)，半径r1＝3.
将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心为C2(－1，m)，半径r2＝2.
(1) 若圆C1与圆C2外切，则C1C2＝r1＋r2＝5，
即＝5，
解得m＝2或m＝－5，
故当m＝2或m＝－5时，圆C1与圆C2外切．
(2) 若圆C1与圆C2内含，则C1C2<|r1－r2|＝1，即<1，
解得－2故当－2例3　将圆C的方程化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
所以圆心为C(－5，－5)，半径为5，
所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知，点O(0，0)，A(0，6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，
则解得
所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
例4　设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点的坐标满足方程组
由①－②，得3x－4y＋6＝0.
因为A，B两点的坐标都满足此方程，
所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
易知圆C1的圆心为(－1，3)，半径r＝3，
所以圆心C1到直线的距离d＝＝，
所以AB＝2×＝，
即两圆的公共弦长为.
例5　由题意可求得两圆心连线所在直线的方程为x＋y＋3＝0.
由得所求圆的圆心为(，－).
易知两圆相交，由两圆方程，得两圆公共弦所在的直线方程是x－y＋4＝0.
利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d＝5.
设所求圆的半径为r，
则r2＝()2＋()2＝，
所以所求圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
思考1：经过两圆交点的圆有无数个，这些圆中，任意两个圆的方程相减，所得的方程均为这两个交点所在直线的方程．
思考2：公共弦长的求法：
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【检测反馈】
1. A　由题意，得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(－3，2)，半径r2＝5.又C1C2＝＝，所以C1C2<5－1＝r2－r1，所以圆C1与圆C2的位置关系为内含．
2. A　由题意，得线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心(2，－3)与(3，0)，根据两点式可得AB的垂直平分线的方程为3x－y－9＝0.
3. ABD　由题意，得圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝，圆C2的圆心C2，半径r2＝.对于A，圆C1和圆C2都一定过原点(0，0)，则圆C1，C2恒有公共点，故A正确；对于B，由A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，故B正确；对于C，圆C2平分圆C1的周长，则两圆的公共弦必过圆C1的圆心C1(1，2)，联立整理，得(m＋2)x＋(n＋4)y＝0，所以m＋2＋2(n＋4)＝0，即m＋2n＝－10，故C错误；对于D，由C可得m＋2n＝－10，即m＝－2n－10，所以n2－m＝n2＋2n＋10＝(n＋1)2＋9≥9，当n＝－1时，n2－m的最小值为9，故D正确．故选ABD.
4. y＝－x＋或y＝x－或x＝－1　方法一：显然直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为x＋by＋c＝0，所以＝1，＝4.故c2＝1＋b2①，|3＋4b＋c|＝|4c|.于是3＋4b＋c＝4c或3＋4b＋c＝－4c，再结合①，解得或或所以直线方程有三条，分别为x＋1＝0，7x－24y－25＝0，3x＋4y－5＝0(填一条即可).
方法二：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，则点O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋；当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意，得解得即m的方程为y＝x－；当切线为n时，易知切线方程为x＝－1，故直线方程有三条，分别为y＝－x＋或y＝x－或x＝－1.
5. (1) 由题意可设圆C1的圆心坐标为(a，1)，
则＝，
解得a＝0，
故圆C1的半径为r1＝，
所以圆C1的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.
(2) 两圆的方程作差可得(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，化简，得x－y－1＝0，
即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x－y－1＝0，
所以点C1(0，1)到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
设公共弦长为l，则()2＝r－d2＝3，
解得l＝2，即公共弦长为2.