3.1.2　椭圆的几何性质 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

3．1.2　椭圆的几何性质 (1)
1. 熟悉椭圆的几何性质(范围，对称性，顶点，离心率).
2. 理解离心率的大小对椭圆形状的影响.
3. 通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想．
活动一 掌握椭圆的几何性质
复习巩固：椭圆的定义及其标准方程：
探究：结合椭圆的标准方程＋＝1(a>b>0)来探究椭圆的几何性质．
1. 范围
思考1
将椭圆的标准方程进行变形，移项得＝1－，你能探索出x的取值范围吗？类比能求出y的取值范围吗？
2. 对称性
思考2
在椭圆的标准方程中，将x换成－x，或将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？
3. 顶点
思考3
根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．
结论：椭圆的顶点：
椭圆的长轴长：　
椭圆的短轴长：　
结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？
4. 离心率
完成下列两个实验：
(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆“扁”的程度的变化规律；
(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大或缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律．
思考4
圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？
定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率．
探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0)
离心率 e＝(0例1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1) 求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2) 写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
活动二 掌握椭圆的几何性质的简单应用
例2　已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
1. (2024通州、启东、如东等地期末)若椭圆＋＝1(a>)的离心率为，则a的值为(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
2. (2025广东东莞期末)已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋y2＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
3. (多选)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝2 B. 椭圆C的长轴长为
C. 椭圆C的短轴长为2 D. 椭圆C的离心率为
4. (2024南通中学月考)已知P为椭圆C：＋y2＝1上一点，A(1，0)，则PA的最小值为________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 长轴长为6，离心率为；
(2) 经过点P(3，0)，离心率为，焦点在x轴上．
3．1.2　椭圆的几何性质 (2)
1. 巩固椭圆简单的几何性质．
2. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一 利用椭圆的性质求椭圆方程
例1　已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，焦点在y轴上，且a－c＝，求椭圆的方程．
思考1
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路是什么？
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2) 经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率；
(3) 在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
活动二 理解椭圆的离心率
例3　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
例4　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，则椭圆C离心率的取值范围是________．
思考2
求椭圆离心率及范围的方法有哪些？
　(1) 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A，B，C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2) 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为________．
活动三 掌握椭圆的几何性质在实际问题中的应用
例5　如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面439 km, 远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)
解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1) 建系；
(2) 确定焦点位置；
(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．
1. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为B，C，若A为椭圆上的一点(不在x轴上)，则△ABC面积的最大值是(　　)
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
2. (2024天一中学期末)已知原点为O，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线l：x－y＋1＝0交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024滨州期末)如图，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，F1，F2为该椭圆的焦点，P为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为1，θ＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆的长轴长为4
B. 椭圆的离心率为
C. 满足∠F1PF2＝90°的点P共有4个
D. PF1·PF2的最大值为8
4. (2024扬州期末)设椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，直线l过F(c，0)，B(0，b)两点，坐标原点到直线l的距离等于FB，则椭圆的离心率为________．
5. (2024西宁大通期末)已知点A(－2，0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 若动点P，Q均在椭圆C上，且点P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的周长．
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. 巩固椭圆的方程及简单的几何性质．
2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
3. 能运用椭圆的方程和几何性质解决一些综合问题．
活动一 理解椭圆的定义及标准方程
例1　求离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26的椭圆的标准方程．
思考1
如何进行椭圆方程的识别？
例2　P为椭圆 ＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2为左、右焦点，判断以PF2为直径的圆与以O为圆心，a为半径的圆的位置关系，并说明理由．
活动二　理解椭圆的几何性质　
例3　(1) 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为________；
(2) 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQF2F1为平行四边形，则椭圆C离心率的取值范围是________．
思考2
椭圆的离心率的求法：
例4　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，直线y＝x－经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4＋2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求|＋|的最小值和最大值．
活动三　利用椭圆方程及几何性质求解最值问题　
例5　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为(　　)
A. 13 B. 12
C. 9 D. 6
思考3
椭圆上的点与椭圆两焦点的距离的最值问题，如何求解？
例6　已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点E(3，0)，设P，Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求·的最小值．
1. (2024阜南实验中学期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，M(3，)是椭圆C上一点，F1，F2分别是两个焦点，则△MF1F2的面积为(　　)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
2. (2024灌云一中期末)已知点A(2，1)，且F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上任意一点，则PF＋PA的最小值是(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. (多选)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，下列选项给出的条件中，能够求出椭圆E的标准方程的是(　　)
A. △BF1F2是等腰直角三角形
B. 椭圆E的离心率为，短轴长为2
C. △BF1F2是等边三角形，且椭圆E的离心率为
D. 椭圆E的焦距为4，且点B在圆(x－c)2＋y2＝9上
4. (2024秦皇岛期初)已知椭圆C：＋＝1的上顶点为A，左焦点为F1，线段AF1的中垂线与椭圆C交于M，N两点，则△AMN的周长为________．
5. 已知A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为.设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
【活动方案】
例1　由题意，得a＝2c.又a－c＝，
所以c＝，a＝2，所以b2＝9.
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的方程为＋＝1.
思考1：(1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2) 在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
例2　(1) 若焦点在x轴上，则a＝3.因为e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，则b＝3，因为e＝＝＝＝，解得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2) 方法一：由题意知，e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
所以设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程，
得＋＝1或＋＝1，
解得b2＝或b2＝3，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M(1，2)代入椭圆方程，
得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故椭圆的方程为＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3) 依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
如图，由题意可知△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且OF＝c，A1A2＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例3　由题意，得F1F2＝PF2＝2c，
所以PF1＝2c，所以PF1＋PF2＝2c＋2c.
又因为PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，所以＝－1，
故椭圆的离心率为－1.
例4　(，1)　由题意知，c>b，所以c2>b2.又 b2＝a2－c2，所以c2>a2－c2，即2c2>a2，所以e2＝>.又0思考2：(1) 直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2) 方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
跟踪训练　(1) A　设C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，则＋＝1，故x＝(b2－y)，又kAC·kBC＝＝－，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，故 e＝.
(2) 　方法一：由题意可设PF2＝m，PF1＝2m，F1F2＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二：设点P的坐标为(x，y).由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可得y＝±，所以PF2＝.又由∠PF1F2＝30°，可得F1F2＝PF2，故2c＝·，变形得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得 e＝或e＝－(舍去)，故椭圆C的离心率为.
例5　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，则a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
所以b＝＝≈7 722，
所以卫星运行的轨道方程是＋＝1.
【检测反馈】
1. B　由椭圆＋＝1，得c＝＝3.又椭圆的左、右焦点分别为B，C，所以BC＝2c＝6.因为A为椭圆上的一点，设A(x0，y0)，则－4≤y0≤4且y0≠0，所以S△ABC＝BC·|y0|≤×6×4＝12，故△ABC面积的最大值是12.
2. B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(，)，则两式相减，得－＝，所以－＝1×，即a2＝4b2，即a2＝4(a2－c2)，3a2＝4c2，故＝.
3. ABC　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，得2a＝＝4，故A正确；显然a＝2，2b＝2，解得b＝1，则c＝＝，离心率e＝＝，故B正确；以椭圆的对称中心O为圆心，为半径作圆，由b4. 　由题意易知直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，又原点到直线l的距离为，FB＝，所以＝，即b2＋c2＝2bc，解得b＝c，所以b2＋c2＝a2＝2c2，故＝.
5. (1) 由点A(－2，0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，
得解得则半焦距 c＝＝1，所以椭圆C的离心率为＝.
(2) 因为动点P，Q均在椭圆C上，且点P，Q在x轴的两侧，
所以由椭圆的定义，得四边形PF1QF2的周长为 PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝4a＝8.
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
【活动方案】
例1　由题意知，2a＝26，即a＝13.
又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
思考1：(1) 焦点在x轴上时，＋＝1(a>b>0) (参数方程，其中φ为参数)；焦点在y轴上时，＋＝1(a>b>0) (参数方程，其中φ为参数).
＋＝1是椭圆，必须满足
(2) 与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(m>－b2).
(3) 与椭圆＋＝1(a>b>0)共离心率的椭圆方程可设为＋＝λ(λ>0).
(4) 焦点在坐标轴上，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
例2　如图，连接OO1，PF1，
其中O1为线段PF2的中点．
又O为F1F2的中点，所以OO1＝PF1.
又PF1＝2a－PF2，
所以OO1＝(2a－PF2)＝a－PF2，
即⊙O，⊙O1的圆心距等于两圆半径的差，
所以⊙O与⊙O1内切．
例3　(1) 　由题意知c＝b，即b＝3c，所以a＝＝c，所以e＝＝.
(2) (－1，1)　设P(m，n)，则Q(，n).又四边形PQF2F1为平行四边形，则m＝－2c＝，所以－a<思考2：(1) 直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e，或利用e＝＝，求e.
(2) 将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e.(Aa2＋Bac＋Cc2＝0 A＋Be＋Ce2＝0).
(3) 求离心率的取值范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0，1)取交集．
例4　(1) 由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，
又直线y＝x－交x轴于点(，0)，
所以椭圆C的右焦点为F2(，0)，
可得半焦距c＝.
由△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c，
得2a＋2＝4＋2，解得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，则＋y＝1，
即y＝1－，－2≤x0≤2.
令坐标原点为O，则O是线段F1F2的中点，
可得|＋|＝|2|＝2＝2＝，
故当x0＝0时，|＋|min＝2；
当x0＝－2或x0＝2时，|＋|max＝4.
故|＋|的最小值为2，最大值为4.
例5　C　由题意知，a2＝9，即a＝3，则MF1＋MF2＝2a＝6，所以MF1·MF2≤()2＝9，当且仅当MF1＝MF2＝3时，等号成立，所以MF1·MF2的最大值为9.
思考3：椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式的灵活运用，或记住定理：两正数，和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小，也可快速求解．
例6　(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 因为EP⊥EQ，
所以·＝·(－)＝||2.
设点P(x0，y0)，则x＋4y＝36，
所以·＝(x0－3)2＋y＝(x0－4)2＋6.
又因为－6≤x0≤6，
所以当x0＝4时，·取得最小值6.
【检测反馈】
1. A　由题意，得解得所以F1F2＝8，S△MF1F2＝F1F2·＝4.
2. B　取椭圆的右焦点为M(2，0)，则PF＋PA＝2a－PM＋PA＝6＋PA－PM.因为|PA－PM|≤AM＝1，所以－1≤PA－PM≤1，所以PF＋PA＝6＋PA－PM∈[5，7]，故PF＋PA的最小值为5，当且仅当P，A，M三点共线，且点P在上半椭圆时取到最小值．
3. BD　对于A，若△BF1F2是等腰直角三角形，则c＝b，没有具体数据，得不出方程，故A错误；对于B，因为椭圆E的离心率为，短轴长为2，所以＝，b＝1.又a2＝b2＋c2，所以a2＝，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1，故B正确；对于C，因为△BF1F2是等边三角形，且椭圆E的离心率为，所以2c＝a，b＝c，没有具体数据，得不出方程，故C错误；对于D，因为椭圆E的焦距为4，点B在圆(x－c)2＋y2＝9上，所以c＝2，b2＝5.由a2＝b2＋c2，得a2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1，故D正确．故选BD.
4. 8　设椭圆的右焦点为F2，如图，连接MF2，AF2，NF1.由题意，得长半轴长a＝2，半焦距c＝1，且AF1＝AF2＝F1F2＝2，所以△AF1F2为等边三角形，则直线MN过点F2，所以C△AMN＝AM＋AN＋MN＝MF1＋NF1＋MF2＋NF2＝(MF1＋MF2)＋(NF1＋NF2)＝2a＋2a＝4a＝8，即△AMN的周长为8.
5. 由题意，得直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则点M到直线AP的距离是，
所以＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2，0).
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
则d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15.
因为－6≤x≤6，
所以当x＝时，d取最小值，
所以椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.