3.2.2　双曲线的几何性质 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

3．2.2　双曲线的几何性质(1)
1. 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．
2. 再次感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
活动一 掌握双曲线的几何性质
类比椭圆几何性质的研究，能否根据双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？
1. (1) 范围：
(2) 根据双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？
2. 对称性：
3. 顶点：
双曲线的实轴：
双曲线的虚轴：
试探究 a，b，c的几何意义．
4. (1) 我们已经知道，双曲线的范围在以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝±x具有怎样的关系？
(2) 渐近线：
(3) 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？
(4) 比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？
(5) 什么是等轴双曲线？其渐近线方程是什么？
5. 离心率：
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图象
性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c(c＝) F1F2＝2c(c＝)
范围 {x|x≤－a或x≥a}，y∈R {y|y≤－a或y≥a}，x∈R
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (±a，0) (0，±a)
轴 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率 e＝(e>1)
渐近线方程 y＝±x y＝±x
活动二 掌握双曲线的几何性质
例1　求双曲线－＝1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点的坐标、离心率及渐近线方程．
　求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
活动三　掌握双曲线几何性质的简单应用　
例2　已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．
　若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？
例3　求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
1. (2025百色期末)双曲线9x2－16y2＝144的虚半轴长为(　　)
A. 16 B. 8 C. 4 D. 3
2. (2024滕州五中月考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(－1，)，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. 2 C. D. 4
3. (多选)(2025通州、启东、如东等地期末)已知曲线C1：4x2＋3y2＝48，C2：x2－＝1，则下列结论中正确的有(　　)
A. C1的长轴长为4 B. C2的渐近线方程为y＝±x
C. C1与C2的焦距相同 D. C1与C2的离心率互为倒数
4. (2025开封期末)已知A，B为双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，写出双曲线C的一条渐近线方程________．
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 顶点在x轴上，焦距为10，e＝；
(2) 渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
1. 加深对双曲线几何性质的理解．
2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一 理解双曲线的离心率
例1　(1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点且离心率互为倒数，求该双曲线的方程；
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率．
例2　记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与双曲线C无公共点”的e的一个值为________．
思考1
如何求双曲线的离心率？
活动二　掌握双曲线的几何性质的简单应用　
例3　(1) (多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±2x　　B. △PF1F2内切圆的半径为2
C. PF1＋PF2＝12 D. 点P到x轴的距离为
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线，交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________．
例4　如图，已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称，设直线l过点A，斜率为k.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 当k＝1时，在双曲线C的上支上求点B，使其到直线l的距离为.
思考2
如何利用双曲线的性质解答问题？
活动三 双曲线方程的简单实际应用
例5　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
　
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
1. 如图，某拱桥的截面图可以看作双曲线－＝1图象的一部分．当拱顶M到水面的距离为 m 时，水面宽AB为2 m，则此双曲线的虚轴长为(　　)
A.
B. 2
C. 3
D. 6
2. (2024泰安二中期末)已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1 C. x2－＝1 D. －y2＝1
3. (多选)(2024深圳期末)已知双曲线M：－＝1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线M的离心率为
B. 双曲线M的标准方程为－y2＝1
C. 双曲线M的渐近线方程为y＝±x
D. 直线x＋y－2＝0经过双曲线M的一个焦点
4. (2025周口期末)已知P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△PF1F2的面积为2，若双曲线C的离心率为，则双曲线C的实轴长为________．
5. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交双曲线C于点P.若点P 的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
【活动方案】
例1　以O1O2所在的直线为x轴，以线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知O1(－2，0)，O2(2，0).设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R.
因为动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切，
所以MO1＝R－1，MO2＝R＋2，
所以MO2－MO1＝3(常数)，且3<4＝O1O2.
根据双曲线的定义，可得点M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支，
且2a＝3，2c＝4，即a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝，
故所求轨迹的方程为－＝1(x≤－)，
即动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的左支.
跟踪训练　D　－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2.又2例2　设点A的坐标为(x，y)(y≠0).
由题意，得kAB·kAC＝，即·＝，
化简，得－＝1(y≠0)，
所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，轨迹方程为－＝1(y≠0).
例3　(1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知爆炸点离A处比离B处距离更远，设M为爆炸点，则MA－MB＝340×2＝680<800，所以爆炸点位于以A，B为焦点，且靠近B处的双曲线的一支上．
(2) 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
则A(－400，0)，B(400，0)，
设M(x，y)为曲线上的任意一点，
则MA－MB＝2×340＝680<800，
所以2a＝680，即a＝340.
又c＝400，
所以b2＝c2－a2＝44 400，
又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支，
所以这条曲线的方程为－＝1(x≥340).
思考1：需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
思考2：求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1) 列出等量关系，化简得到方程；(2) 寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴；(2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3) 求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．
例4　(1) 8　18　由双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
(2) 9　由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0).因为PF－PF1＝2a＝4，即PF＝PF1＋4，所以PF＋PA＝PF1＋PA＋4≥AF1＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，又 AF1＝＝5，所以PF＋PA≥AF1＋4＝9，即PF＋PA的最小值为9.
例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.
又|PF2－PF1|＝8，
所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，
所以64＋PF1·PF2＝100，
即PF1·PF2＝36，
所以S△F1PF2＝·PF1·PF2·sin ＝×36×＝9.
跟踪训练　C　由题意，得解得又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝PF1·PF2＝24.
思考3：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．令PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ，因为F1F2＝2c，所以有：
(1) 定义：|r1－r2|＝2a；
(2) 余弦定理公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
(3) 面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
【检测反馈】
1. B　圆(x＋4)2＋y2＝4的圆心为F1(－4，0)，半径为r1＝2；圆x2＋y2－8x＋15＝0的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为F2(4，0)，半径为r2＝1.如图，设所求圆的圆心为P，半径为r，由圆与圆的位置关系，得PF1＝r－2，PF2＝r－1，所以PF2－PF1＝12. A　由题意可知F1F2＝10.由双曲线的定义知，|PF2－PF1|＝6，又PF1∶PF2＝1∶3，所以PF1＝3，PF2＝9，所以△F1PF2的周长为 3＋9＋10＝22.
3. BD　当m＝1时，方程为4y2＝0，即y＝0，表示x轴，故A错误；当m＝3时，方程为2x2＋2y2＝4，即x2＋y2＝2，表示圆，故B正确；当m≠1且m≠5时，方程为＋＝1，若m－1>0，5－m>0且5－m≠m－1时，即15时，方程表示双曲线，故D正确．故选BD.
4. －＝1　因为以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限相交于点P，所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中，由直线PF1的斜率为，得tan ∠PF1F2＝＝，即PF1＝2PF2.由△PF1F2的面积为8，得S△PF1F2＝PF1·PF2＝8，即×2PF2·PF2＝8，解得PF2＝2，PF1＝2×2＝4.由双曲线的定义知2a＝PF1－PF2＝2，故a＝.在Rt△PF1F2中，F1F2＝＝＝2，故2c＝2，即c＝，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线C的方程为－＝1.
5. 由x2＋y2－4y＝0，得x2＋(y－2)2＝12，
故圆心S(0，2)，半径r＝2.
因为SC∥TM，SD＝SC，
所以MT＝MD，
可得|MT－MS|＝SD＝2<4，
所以点M的轨迹为双曲线(除去顶点)，
其中c＝2，a＝，b＝3，
故点M的轨迹方程为－＝1(x≠0).
3.2.2　双曲线的几何性质(1)
【活动方案】
探究：
1. (1) x≥a或x≤－a
(2) 由双曲线的标准方程－＝1，
得－>0，
即(＋)(－)>0，
从而或
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内．
2. 双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的．
3. 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0).
双曲线的实轴：线段A1A2.
双曲线的虚轴：B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2.
a的几何意义：双曲线的实半轴长，
b的几何意义：双曲线的虚半轴长，
c的几何意义：双曲线的半焦距．
4. (1) 随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线y＝x的下方且无限接近于这条直线；随着x的减小，在第三象限内，双曲线上的点在直线y＝x的上方且无限接近于这条直线．根据对称性，直线y＝－x也有相同的性质．
(2) 直线y＝±x叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．
(3) 能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．
(4) 若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x；
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(5) 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x.
5. 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率．离心率越大，开口越大；离心率越小，开口越小．
例1　由题意，得a2＝4，b2＝3，则c2＝4＋3＝7，
所以a＝2，b＝，c＝，
所以实轴长为4，虚轴长为2，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，化为标准方程－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，渐近线方程为y＝± x＝± x.
例2　由题意，得2c＝16，所以c＝8.
由e＝＝，得a＝6，
则b2＝c2－a2＝64－36＝28，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练　当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.
例3　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意可得c＝2，
又双曲线过点(3，2)，所以－＝1.
因为a2＋b2＝(2)2，所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【检测反馈】
1. D　将双曲线9x2－16y2＝144的方程化为标准方程，得－＝1，则b2＝9，b＝3，所以双曲线9x2－16y2＝144的虚半轴长为3.
2. B　双曲线－＝1的一条渐近线方程为 y＝－x，将点(－1，)代入渐近线方程，得＝，所以e＝＝＝＝2.
3. BCD　由题意，得曲线C1：＋＝1，C2：x2－＝1.设椭圆＋＝1的长半轴为a1，短半轴为b1，半焦距为c1，双曲线x2－＝1的长半轴为a2，虚半轴为b2，半焦距为c2，则a1＝4，b1＝2，c1＝2，a2＝1，b2＝，c2＝2，则椭圆C1的长轴长为8，故A错误；双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，故B正确；椭圆C1的焦点坐标(0，±2)，双曲线C2的焦点坐标(±2，0)，椭圆C1与双曲线C2的焦距相同且均为4，故C正确；椭圆C1的离心率e1＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝2，则椭圆C1与双曲线C2的离心率互为倒数，故D正确．故选BCD.
4. y＝x(或y＝－x)　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(－a，0)，B(a，0)，设点M在双曲线的右支上，因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形，所以AB＝BM＝2a，故点M的横坐标为a＋2a cos 60°＝2a，纵坐标为±2a sin 60°＝±a，故M(2a，±a)，代入双曲线方程，得－＝1，故＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
5. (1) 由题意，得解得
则b2＝c2－a2＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 当双曲线的焦点在x轴上时，
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1；
当双曲线的焦点在y轴上时，
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为x2－＝1或 －＝1.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得椭圆的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率e＝，则双曲线的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率为.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝1，a＝，所以b2＝1－＝，
所以双曲线的方程为2x2－2y2＝1.
(2) 不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则顶点坐标为(±a，0)，焦点坐标为(±c，0)，
一条渐近线方程为y＝x，
所以解得所以e＝＝3.
例2　2(满足10，b>0)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与双曲线C无公共点”，所以e＝＝≤＝.又e>1，所以1思考1：(1) 若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2) 若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3) 若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
例3　(1) ABD　由双曲线C：x2－＝1，得a＝1，b＝2，c＝5，所以双曲线C的渐近线方程为 y＝±2x，故A正确；因为PF1⊥PF2，PF1－PF2＝2，F1F2＝2c＝10，所以PF＋PF＝F1F＝100，PF＋PF－2PF1·PF2＝F1F－2PF1·PF2＝4，解得PF1·PF2＝48，所以PF1＋PF2＝＝＝14，故C错误；△PF1F2内切圆的半径为＝2, 故B正确；设点P到x轴的距离为d，由△PF1F2的面积为＝24，可得d＝24，解得d＝，故D正确．故选ABD.
(2) x±y＝0　由题意，得PF2＝PF1，则PF1－PF2＝PF1＝2a，即PF1＝4a，PF2＝2a.在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝2c＝2a，即c＝a，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
例4　(1) 由题意可知双曲线的焦点在y轴上，
所以设双曲线的方程为－＝1.
因为点A(，0)，顶点A′与点A关于直线y＝x对称，
所以A′(0，)，即a＝.
设双曲线的渐近线方程为y＝±x.
由题意，得点A(，0)到渐近线的距离为1，
即＝1，解得b＝a＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2) 设B(x，)是双曲线C上到直线l：y＝x－的距离为的点，
所以＝，
解得x＝，此时＝2，
即点B的坐标为(，2).
思考2：(1) 把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2) 由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求解时一定要注意焦点的位置．
例5　设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
因为PB＝PC，
所以点P在线段BC的垂直平分线上．
又易知kBC＝－，线段BC的中点为D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).①
又PB－PA＝4，AB＝6>4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线的方程为－＝1(x≥2).②
联立①②，得点P的坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【检测反馈】
1. D　由双曲线－＝1，得M(0，－3)，且 B(，－4)，所以－＝1，解得m＝9，所以双曲线的方程为－＝1，可得b＝3，所以双曲线的虚轴长为2b＝6.
2. C　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，由直线l：x－y－2＝0，取y＝0，得x＝2，则c＝2.由x－y－2＝0，得y＝x－2，得＝，联立解得所以双曲线C的方程为x2－＝1.
3. ABD　由题意，得双曲线M的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±x，即ay±bx＝0，则＝＝1，解得b＝1，则a2＝c2－b2＝4－1＝3，解得a＝，所以双曲线M的离心率为＝，故A正确；双曲线M的标准方程为－y2＝1，渐近线方程为y＝±x＝±x，故B正确，C错误；点(2，0)在直线x＋y－2＝0上，故D正确．故选ABD.
4. 2　设点P在双曲线C的右支上，则PF1－PF2＝2a，由△PF1F2的面积为2，得PF1·PF2＝2，所以PF1·PF2＝4，PF＋PF＝F1F，即(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4c2，所以4a2＋8＝4c2.又＝，所以c2＝2a2，则4a2＋8＝8a2，解得a＝，故双曲线C的实轴长为2a＝2.
5. 不妨设过右焦点且与渐近线平行的直线l的斜率为.
因为直线l过右焦点F(c，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－c).
因为点P的横坐标为2a，
代入双曲线方程，得－＝1，
化简，得y＝－b或y＝b(舍去)，
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程，得－b＝(2a－c)，
化简，得离心率e＝＝2＋.