3.2.2 双曲线的几何性质(1)
1. 了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.
2. 再次感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法.
活动一 掌握双曲线的几何性质
类比椭圆几何性质的研究,能否根据双曲线的标准方程-=1(a>0,b>0)得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质?
1. (1) 范围:
(2) 根据双曲线方程-=1(a>0,b>0),你能发现双曲线的范围还受怎样的限制?
2. 对称性:
3. 顶点:
双曲线的实轴:
双曲线的虚轴:
试探究 a,b,c的几何意义.
4. (1) 我们已经知道,双曲线的范围在以直线y=x和y=-x为边界的平面区域内,那么从x,y的变化趋势看,双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=±x具有怎样的关系?
(2) 渐近线:
(3) 由图形可知,双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线?
(4) 比较双曲线的标准方程与其渐近线方程,如何快捷地得到双曲线的渐近线方程?
(5) 什么是等轴双曲线?其渐近线方程是什么?
5. 离心率:
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度,那么在双曲线中,离心率是否也与双曲线的形状有关?
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图象
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 F1F2=2c(c=) F1F2=2c(c=)
范围 {x|x≤-a或x≥a},y∈R {y|y≤-a或y≥a},x∈R
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (±a,0) (0,±a)
轴 实轴长=2a,虚轴长=2b
离心率 e=(e>1)
渐近线方程 y=±x y=±x
活动二 掌握双曲线的几何性质
例1 求双曲线-=1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点的坐标、离心率及渐近线方程.
求双曲线 nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
活动三 掌握双曲线几何性质的简单应用
例2 已知双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为,求双曲线的标准方程.
若去掉条件中的“焦点在y轴上”,结果如何?
例3 求与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.
1. (2025百色期末)双曲线9x2-16y2=144的虚半轴长为( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 3
2. (2024滕州五中月考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(-1,),则该双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 4
3. (多选)(2025通州、启东、如东等地期末)已知曲线C1:4x2+3y2=48,C2:x2-=1,则下列结论中正确的有( )
A. C1的长轴长为4 B. C2的渐近线方程为y=±x
C. C1与C2的焦距相同 D. C1与C2的离心率互为倒数
4. (2025开封期末)已知A,B为双曲线C的左、右顶点,点M在双曲线C上,且△ABM是顶角为120°的等腰三角形,写出双曲线C的一条渐近线方程________.
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1) 顶点在x轴上,焦距为10,e=;
(2) 渐近线方程是y=±2x,虚轴长为4.
3.2.2 双曲线的几何性质(2)
1. 加深对双曲线几何性质的理解.
2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
活动一 理解双曲线的离心率
例1 (1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点且离心率互为倒数,求该双曲线的方程;
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,求该双曲线的离心率.
例2 记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与双曲线C无公共点”的e的一个值为________.
思考1
如何求双曲线的离心率?
活动二 掌握双曲线的几何性质的简单应用
例3 (1) (多选)已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C右支上的一点,且PF1⊥PF2,则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为y=±2x B. △PF1F2内切圆的半径为2
C. PF1+PF2=12 D. 点P到x轴的距离为
(2) 已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作x轴的垂线,交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为______________.
例4 如图,已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且与以点A(,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称,设直线l过点A,斜率为k.
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 当k=1时,在双曲线C的上支上求点B,使其到直线l的距离为.
思考2
如何利用双曲线的性质解答问题?
活动三 双曲线方程的简单实际应用
例5 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东方向6 km处,丙舰在乙舰北偏西30°方向,相距4 km处,某时刻甲舰发现商船的求救信号,由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若甲舰赶赴救援,行进的方向角应是多少?
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系,然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程.
1. 如图,某拱桥的截面图可以看作双曲线-=1图象的一部分.当拱顶M到水面的距离为 m 时,水面宽AB为2 m,则此双曲线的虚轴长为( )
A.
B. 2
C. 3
D. 6
2. (2024泰安二中期末)已知直线l:x-y-2=0过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线C的一条渐近线平行,则双曲线C的方程为( )
A. x2-=1 B. -y2=1 C. x2-=1 D. -y2=1
3. (多选)(2024深圳期末)已知双曲线M:-=1的焦距为4,焦点到渐近线的距离是1,则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线M的离心率为
B. 双曲线M的标准方程为-y2=1
C. 双曲线M的渐近线方程为y=±x
D. 直线x+y-2=0经过双曲线M的一个焦点
4. (2025周口期末)已知P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,∠F1PF2=90°,且△PF1F2的面积为2,若双曲线C的离心率为,则双曲线C的实轴长为________.
5. 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交双曲线C于点P.若点P 的横坐标为2a,求双曲线C的离心率.
3.2.1 双曲线的标准方程(2)
【活动方案】
例1 以O1O2所在的直线为x轴,以线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知O1(-2,0),O2(2,0).设动圆的圆心为M(x,y),半径为R.
因为动圆M与圆O1内切,且与圆O2外切,
所以MO1=R-1,MO2=R+2,
所以MO2-MO1=3(常数),且3<4=O1O2.
根据双曲线的定义,可得点M的轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的左支,
且2a=3,2c=4,即a=,c=2,
所以b2=c2-a2=,
故所求轨迹的方程为-=1(x≤-),
即动圆圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的双曲线的左支.
跟踪训练 D -=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2.又2例2 设点A的坐标为(x,y)(y≠0).
由题意,得kAB·kAC=,即·=,
化简,得-=1(y≠0),
所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点),轨迹方程为-=1(y≠0).
例3 (1) 由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差,可知爆炸点离A处比离B处距离更远,设M为爆炸点,则MA-MB=340×2=680<800,所以爆炸点位于以A,B为焦点,且靠近B处的双曲线的一支上.
(2) 以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,
则A(-400,0),B(400,0),
设M(x,y)为曲线上的任意一点,
则MA-MB=2×340=680<800,
所以2a=680,即a=340.
又c=400,
所以b2=c2-a2=44 400,
又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支,
所以这条曲线的方程为-=1(x≥340).
思考1:需要三个观测点才能确定爆炸点的位置.
思考2:求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1) 列出等量关系,化简得到方程;(2) 寻找几何关系,双曲线的定义,得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴;(2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支;(3) 求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点,是否都在所求曲线上.
例4 (1) 8 18 由双曲线的定义,得MF2-MF1=2a,NF2-NF1=2a,两式相加,得MF2+NF2-MN=4a=8.△MNF2的周长为MF2+NF2+MN=MF2+NF2-MN+2MN=8+10=18.
(2) 9 由双曲线的方程可知a=2,设右焦点为F1,则F1(4,0).因为PF-PF1=2a=4,即PF=PF1+4,所以PF+PA=PF1+PA+4≥AF1+4,当且仅当A,P,F1三点共线时取等号,又 AF1==5,所以PF+PA≥AF1+4=9,即PF+PA的最小值为9.
例5 由余弦定理,得F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos ,即PF+PF-PF1·PF2=100.
又|PF2-PF1|=8,
所以PF+PF=64+2PF1·PF2,
所以64+PF1·PF2=100,
即PF1·PF2=36,
所以S△F1PF2=·PF1·PF2·sin =×36×=9.
跟踪训练 C 由题意,得解得又由F1F2=10可得△PF1F2是直角三角形,则S△PF1F2=PF1·PF2=24.
思考3:双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形.令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,因为F1F2=2c,所以有:
(1) 定义:|r1-r2|=2a;
(2) 余弦定理公式:4c2=r+r-2r1r2cos θ;
(3) 面积公式:S△PF1F2=r1r2sin θ.
【检测反馈】
1. B 圆(x+4)2+y2=4的圆心为F1(-4,0),半径为r1=2;圆x2+y2-8x+15=0的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为F2(4,0),半径为r2=1.如图,设所求圆的圆心为P,半径为r,由圆与圆的位置关系,得PF1=r-2,PF2=r-1,所以PF2-PF1=12. A 由题意可知F1F2=10.由双曲线的定义知,|PF2-PF1|=6,又PF1∶PF2=1∶3,所以PF1=3,PF2=9,所以△F1PF2的周长为 3+9+10=22.
3. BD 当m=1时,方程为4y2=0,即y=0,表示x轴,故A错误;当m=3时,方程为2x2+2y2=4,即x2+y2=2,表示圆,故B正确;当m≠1且m≠5时,方程为+=1,若m-1>0,5-m>0且5-m≠m-1时,即15时,方程表示双曲线,故D正确.故选BD.
4. -=1 因为以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限相交于点P,所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中,由直线PF1的斜率为,得tan ∠PF1F2==,即PF1=2PF2.由△PF1F2的面积为8,得S△PF1F2=PF1·PF2=8,即×2PF2·PF2=8,解得PF2=2,PF1=2×2=4.由双曲线的定义知2a=PF1-PF2=2,故a=.在Rt△PF1F2中,F1F2===2,故2c=2,即c=,所以b2=c2-a2=10-2=8,所以双曲线C的方程为-=1.
5. 由x2+y2-4y=0,得x2+(y-2)2=12,
故圆心S(0,2),半径r=2.
因为SC∥TM,SD=SC,
所以MT=MD,
可得|MT-MS|=SD=2<4,
所以点M的轨迹为双曲线(除去顶点),
其中c=2,a=,b=3,
故点M的轨迹方程为-=1(x≠0).
3.2.2 双曲线的几何性质(1)
【活动方案】
探究:
1. (1) x≥a或x≤-a
(2) 由双曲线的标准方程-=1,
得->0,
即(+)(-)>0,
从而或
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内,也就是以直线y=x和y=-x为边界的平面区域内.
2. 双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.
3. 顶点:A1(-a,0),A2(a,0).
双曲线的实轴:线段A1A2.
双曲线的虚轴:B1(0,-b),B2(0,b),线段B1B2.
a的几何意义:双曲线的实半轴长,
b的几何意义:双曲线的虚半轴长,
c的几何意义:双曲线的半焦距.
4. (1) 随着x的增大,双曲线在第一象限内的点在直线y=x的下方且无限接近于这条直线;随着x的减小,在第三象限内,双曲线上的点在直线y=x的上方且无限接近于这条直线.根据对称性,直线y=-x也有相同的性质.
(2) 直线y=±x叫作双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线.
(3) 能.直线x=±a和y=±b所围成的矩形.
(4) 若双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的渐近线方程为y=±x;
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的渐近线方程为y=±x.
(5) 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程是y=±x.
5. 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率.离心率越大,开口越大;离心率越小,开口越小.
例1 由题意,得a2=4,b2=3,则c2=4+3=7,
所以a=2,b=,c=,
所以实轴长为4,虚轴长为2,焦点坐标为(-,0),(,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),离心率e==,渐近线方程为y=±x.
跟踪训练 把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化为标准方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=,焦点坐标为(-,0),(,0),离心率e===,顶点坐标为(-,0),(,0),渐近线方程为y=± x=± x.
例2 由题意,得2c=16,所以c=8.
由e==,得a=6,
则b2=c2-a2=64-36=28,
所以双曲线的标准方程为-=1.
跟踪训练 当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为-=1;当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1.
例3 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由题意可得c=2,
又双曲线过点(3,2),所以-=1.
因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
【检测反馈】
1. D 将双曲线9x2-16y2=144的方程化为标准方程,得-=1,则b2=9,b=3,所以双曲线9x2-16y2=144的虚半轴长为3.
2. B 双曲线-=1的一条渐近线方程为 y=-x,将点(-1,)代入渐近线方程,得=,所以e====2.
3. BCD 由题意,得曲线C1:+=1,C2:x2-=1.设椭圆+=1的长半轴为a1,短半轴为b1,半焦距为c1,双曲线x2-=1的长半轴为a2,虚半轴为b2,半焦距为c2,则a1=4,b1=2,c1=2,a2=1,b2=,c2=2,则椭圆C1的长轴长为8,故A错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x,故B正确;椭圆C1的焦点坐标(0,±2),双曲线C2的焦点坐标(±2,0),椭圆C1与双曲线C2的焦距相同且均为4,故C正确;椭圆C1的离心率e1==,双曲线C2的离心率e2==2,则椭圆C1与双曲线C2的离心率互为倒数,故D正确.故选BCD.
4. y=x(或y=-x) 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A(-a,0),B(a,0),设点M在双曲线的右支上,因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形,所以AB=BM=2a,故点M的横坐标为a+2a cos 60°=2a,纵坐标为±2a sin 60°=±a,故M(2a,±a),代入双曲线方程,得-=1,故=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
5. (1) 由题意,得解得
则b2=c2-a2=9,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2) 当双曲线的焦点在x轴上时,
由题意,得解得
所以双曲线的标准方程为x2-=1;
当双曲线的焦点在y轴上时,
由题意,得解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
综上,双曲线的标准方程为x2-=1或 -=1.
3.2.2 双曲线的几何性质(2)
【活动方案】
例1 (1) 由题意,得椭圆的焦点坐标为(1,0),(-1,0),离心率e=,则双曲线的焦点坐标为(1,0),(-1,0),离心率为.
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则c=1,a=,所以b2=1-=,
所以双曲线的方程为2x2-2y2=1.
(2) 不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则顶点坐标为(±a,0),焦点坐标为(±c,0),
一条渐近线方程为y=x,
所以解得所以e==3.
例2 2(满足10,b>0),所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与双曲线C无公共点”,所以e==≤=.又e>1,所以1思考1:(1) 若可求得a,c,则直接利用e=得解.
(2) 若已知a,b,可直接利用e=得解.
(3) 若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
例3 (1) ABD 由双曲线C:x2-=1,得a=1,b=2,c=5,所以双曲线C的渐近线方程为 y=±2x,故A正确;因为PF1⊥PF2,PF1-PF2=2,F1F2=2c=10,所以PF+PF=F1F=100,PF+PF-2PF1·PF2=F1F-2PF1·PF2=4,解得PF1·PF2=48,所以PF1+PF2===14,故C错误;△PF1F2内切圆的半径为=2, 故B正确;设点P到x轴的距离为d,由△PF1F2的面积为=24,可得d=24,解得d=,故D正确.故选ABD.
(2) x±y=0 由题意,得PF2=PF1,则PF1-PF2=PF1=2a,即PF1=4a,PF2=2a.在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,所以F1F2=2c=2a,即c=a,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.
例4 (1) 由题意可知双曲线的焦点在y轴上,
所以设双曲线的方程为-=1.
因为点A(,0),顶点A′与点A关于直线y=x对称,
所以A′(0,),即a=.
设双曲线的渐近线方程为y=±x.
由题意,得点A(,0)到渐近线的距离为1,
即=1,解得b=a=,
所以双曲线C的方程为-=1.
(2) 设B(x,)是双曲线C上到直线l:y=x-的距离为的点,
所以=,
解得x=,此时=2,
即点B的坐标为(,2).
思考2:(1) 把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键;
(2) 由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;
(3) 由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:求解时一定要注意焦点的位置.
例5 设点A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图,以直线AB为x 轴,线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,
则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
因为PB=PC,
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
又易知kBC=-,线段BC的中点为D(-4,),
所以直线PD的方程为y-=(x+4).①
又PB-PA=4,AB=6>4,
所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,
所以双曲线的方程为-=1(x≥2).②
联立①②,得点P的坐标为(8,5),
所以kPA==,
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【检测反馈】
1. D 由双曲线-=1,得M(0,-3),且 B(,-4),所以-=1,解得m=9,所以双曲线的方程为-=1,可得b=3,所以双曲线的虚轴长为2b=6.
2. C 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,由直线l:x-y-2=0,取y=0,得x=2,则c=2.由x-y-2=0,得y=x-2,得=,联立解得所以双曲线C的方程为x2-=1.
3. ABD 由题意,得双曲线M的焦点坐标为(-2,0),(2,0),渐近线方程为y=±x,即ay±bx=0,则==1,解得b=1,则a2=c2-b2=4-1=3,解得a=,所以双曲线M的离心率为=,故A正确;双曲线M的标准方程为-y2=1,渐近线方程为y=±x=±x,故B正确,C错误;点(2,0)在直线x+y-2=0上,故D正确.故选ABD.
4. 2 设点P在双曲线C的右支上,则PF1-PF2=2a,由△PF1F2的面积为2,得PF1·PF2=2,所以PF1·PF2=4,PF+PF=F1F,即(PF1-PF2)2+2PF1·PF2=4c2,所以4a2+8=4c2.又=,所以c2=2a2,则4a2+8=8a2,解得a=,故双曲线C的实轴长为2a=2.
5. 不妨设过右焦点且与渐近线平行的直线l的斜率为.
因为直线l过右焦点F(c,0),
所以直线l的方程为y=(x-c).
因为点P的横坐标为2a,
代入双曲线方程,得-=1,
化简,得y=-b或y=b(舍去),
故点P的坐标为(2a,-b),
代入直线方程,得-b=(2a-c),
化简,得离心率e==2+.