3.3.1 抛物线的标准方程 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线的标准方程 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 508.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-03 23:20:39 | ||
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文档简介
3.3.1 抛物线的标准方程
1. 了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3. 明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
活动一 了解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．
如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
1. 抛物线的定义：
2. 推导抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立合适的直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？
结论：
抛物线的标准方程为：______________；
焦点坐标为F____________；
准线方程为l：____________．
思考2
抛物线的标准方程还有哪些形式？
完成下表
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
思考4
确定抛物线的标准方程的关键是什么？
活动二 掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程
例1 求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3) 注意p与的几何意义．
求焦点在直线x－2y＋2＝0上的抛物线的标准方程．
活动三 抛物线方程的实际应用
例2 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．
(1) 以抛物线的顶点为坐标原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2) 若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度．(精确到0.1 m)
求解抛物线实际应用题的步骤：
一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
1. (2025通州、启东、如东期末)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF＝3，则点P的横坐标为( )
A. B. 2 C. 2 D. 3
2. (2024盐城五校联考期末)某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥(如图)，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面12m，该处路面厚度约1.5m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是( )
A. 4m
B. 5m
C. 6m
D. 7m
3. (多选)以直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. x2＝－y B. x2＝－2y C. y2＝2x D. y2＝4x
4. (2024重庆一中期末)已知F是抛物线C：y2＝6x的焦点，P是抛物线C上一点，PF＝8，则PF的中点M到y轴的距离为________．
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
3.3.1 抛物线的标准方程
【活动方案】
1. 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
思考1：过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
结论：y2＝2px(p>0) (，0) x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
小结：略
思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4：考虑其开口方向、焦点位置．
例1 如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形：y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0).
分别将点P的坐标代入方程，
解得p1＝4，p2＝，
故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.
跟踪训练 因为直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，1)，
所以当抛物线的焦点为(－2，0)时，
抛物线的方程为y2＝－8x；
当抛物线的焦点为(0，1)时，
抛物线的方程为x2＝4y.
故所求抛物线的标准方程为x2＝4y或y2＝－8x.
例2 (1) 根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0).
由图可知点C(5，－5)在抛物线上，
所以25＝10p，即p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y(－5≤x≤5).
(2) 如图，过点B作AB的垂线，与抛物线交于点D，设车辆高为h m，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.
跟踪训练 以拱顶O为坐标原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
因为AB＝4OD，
所以点B的坐标为(，－).
由点B在抛物线上，得()2＝－2p·(－)，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整数值为13.
【检测反馈】
1. C 因为抛物线C的方程为y2＝4x，所以2p＝4，则＝，设P(m，n)，由抛物线的定义，得m＋＝3，所以m＝2，即点P的横坐标为2.
2. B 以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(12.5，－12)在抛物线上，所以(12.5)2＝2p×12，所以p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y，所以焦点的坐标为，所以绳子最合适的长度约是＋＝≈5(m).
3. BD 直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为(1，0)，(0，－)，故以(1，0)和(0，－)为焦点的抛物线的标准方程分别为y2＝4x和x2＝－2y.故选BD.
4. 4 设P(x0，y0)，p＝3，F，准线方程为x＝－，所以PF＝x0＋＝8，解得x0＝，所以PF的中点M的横坐标为＝4，即PF的中点M到y轴的距离为4.
5. (1) 双曲线的方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0).
由题意，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝－3，所以p＝6，
故所求抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3).
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，联立解得n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
1. 了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3. 明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
活动一 了解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．
如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
1. 抛物线的定义：
2. 推导抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立合适的直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？
结论：
抛物线的标准方程为：______________；
焦点坐标为F____________；
准线方程为l：____________．
思考2
抛物线的标准方程还有哪些形式？
完成下表
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
思考4
确定抛物线的标准方程的关键是什么？
活动二 掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程
例1 求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3) 注意p与的几何意义．
求焦点在直线x－2y＋2＝0上的抛物线的标准方程．
活动三 抛物线方程的实际应用
例2 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．
(1) 以抛物线的顶点为坐标原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2) 若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度．(精确到0.1 m)
求解抛物线实际应用题的步骤：
一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
1. (2025通州、启东、如东期末)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF＝3，则点P的横坐标为( )
A. B. 2 C. 2 D. 3
2. (2024盐城五校联考期末)某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥(如图)，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面12m，该处路面厚度约1.5m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是( )
A. 4m
B. 5m
C. 6m
D. 7m
3. (多选)以直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. x2＝－y B. x2＝－2y C. y2＝2x D. y2＝4x
4. (2024重庆一中期末)已知F是抛物线C：y2＝6x的焦点，P是抛物线C上一点，PF＝8，则PF的中点M到y轴的距离为________．
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
3.3.1 抛物线的标准方程
【活动方案】
1. 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
思考1：过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
结论：y2＝2px(p>0) (，0) x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
小结：略
思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4：考虑其开口方向、焦点位置．
例1 如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形：y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0).
分别将点P的坐标代入方程，
解得p1＝4，p2＝，
故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.
跟踪训练 因为直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，1)，
所以当抛物线的焦点为(－2，0)时，
抛物线的方程为y2＝－8x；
当抛物线的焦点为(0，1)时，
抛物线的方程为x2＝4y.
故所求抛物线的标准方程为x2＝4y或y2＝－8x.
例2 (1) 根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0).
由图可知点C(5，－5)在抛物线上，
所以25＝10p，即p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y(－5≤x≤5).
(2) 如图，过点B作AB的垂线，与抛物线交于点D，设车辆高为h m，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.
跟踪训练 以拱顶O为坐标原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
因为AB＝4OD，
所以点B的坐标为(，－).
由点B在抛物线上，得()2＝－2p·(－)，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整数值为13.
【检测反馈】
1. C 因为抛物线C的方程为y2＝4x，所以2p＝4，则＝，设P(m，n)，由抛物线的定义，得m＋＝3，所以m＝2，即点P的横坐标为2.
2. B 以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(12.5，－12)在抛物线上，所以(12.5)2＝2p×12，所以p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y，所以焦点的坐标为，所以绳子最合适的长度约是＋＝≈5(m).
3. BD 直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为(1，0)，(0，－)，故以(1，0)和(0，－)为焦点的抛物线的标准方程分别为y2＝4x和x2＝－2y.故选BD.
4. 4 设P(x0，y0)，p＝3，F，准线方程为x＝－，所以PF＝x0＋＝8，解得x0＝，所以PF的中点M的横坐标为＝4，即PF的中点M到y轴的距离为4.
5. (1) 双曲线的方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0).
由题意，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝－3，所以p＝6，
故所求抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3).
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，联立解得n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.