4.2.1 等差数列的概念及通项公式
1. 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型.
2. 理解等差数列、等差中项的概念.
3. 掌握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决一些简单的问题.
活动一 理解等差数列的概念
1. 阅读下列材料,回答问题.
(1) 某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3min,收话费0.2元,以后每分钟(不足1min按1min计)收话费0.1元,那么通话费按从小到大的次序依次为0.2,0.2+0.1,0.2+0.1×2,0.2+0.1×3,….
(2) 如果一年期储蓄的月利率为1.65‰,那么将10 000元分别存1个月,2个月,3个月,…,12个月,所得的本利和依次为10 000+16.5,10 000+16.5×2,…,10 000+16.5×12.
注:“本利和”是指本金和利息的和,按照单利计算本利和的公式是本利和=本金×(1+利率×存期).
思考1
这些数列有什么共同的特点?
2. 等差数列的定义.
试结合上述数列的特征归纳出等差数列的定义:
等差数列可用递推公式表示:
活动二 理解等差数列的概念
例1 (多选)下列说法中,正确的是( )
A. 45,52,59,66,73是公差为7的等差数列
B. -23,-35,-47,-60,-72是公差为-12的等差数列
C. 7,-8,9,-10,11不是等差数列
D. 1,,,,不是等差数列
思考2
如何判断一个数列是否为等差数列?应注意概念中的哪些关键字?
若数列{an}是等差数列,公差为d,则
(1) an,an-1,…,a2,a1是等差数列吗?如果是,试求出公差;
(2) a1,a3,a5,…,a2n-1,…是等差数列吗?如果是,试求出公差;
(3) ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等差数列吗?如果是,试求出公差;
(4) λa1+μ,λa2+μ,…,λan+μ,…(λ,μ为常数)是等差数列吗?如果是,试求出公差.
例2 写出下列等差数列中的未知项:
(1) 3,a,5,则a=________;
(2) 3,b,c,-9,则b=________,c=________.
活动三 等差数列的证明
例3 (1) 在等差数列{an}中,是否有 an=(n≥2)
(2) 在数列{an}中,如果对于任意的正整数n(n≥2),都有an=,那么数列{an}一定是等差数列吗?
等差中项的概念:
如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义知,2A=a+b或A=.
结论:证明数列{an}为等差数列的方法:
(1) 定义法:an-an-1=d(d为常数,n∈N*,n≥2);
(2) 中项法:an=(n∈N*,n≥2).
已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.求证:数列{bn}是等差数列.
活动四 推导等差数列的通项公式
思考3
设数列{an}是一个首项为a1,公差为d的等差数列,你能写出它的第n项an吗?
据其定义,可得:
a2-a1=________,即:a2=a1+________;
a3-a2=________,即:a3=a2+________=a1+________;
a4-a3=________,即:a4=a3+________=a1+________;
……
由此归纳出等差数列的通项公式,叠加可得出等差数列的通项公式:
思考4
观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?
例4 已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.
(1) 分别写出{an}和{bn}的通项公式;
(2) 当an=bn,求n的值.
在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
(1) 已知在等差数列{an}中,a3=9,a9=-3,求a17的值;
(2) 已知在等差数列{an}中,a3+a5=-14,2a2+a6=-15,求a8的值.
1. (2024南京六校联合期末)已知数列{an}是等差数列,a2=5,a4=7,则a7的值为( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. (2024日照期中)已知实数m是2和8的等差中项,则m的值为( )
A. ±4 B. -4 C. 4 D. 5
3. (多选)已知数列{an}为等差数列,则下列说法中正确的是( )
A. 数列{an+b}(b为常数)是等差数列 B. 数列{-an}是等差数列
C. 数列是等差数列 D. an+1是an与an+2的等差中项
4. (2024深圳期中)在等差数列{an}中,a1=1,2(a3+a4)=a5+a8,则数列{an}的通项公式an=________.
5. 已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列是否为等差数列?如果是,求出的通项公式;如果不是,请说明理由.
4.2.1 等差数列的概念及通项公式
【活动方案】
思考1:这些数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数.
2. 如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用d表示.
递推公式表示:an+1-an=d(常数)
例1 AC A中,每项与前一项的差值均为7,故A正确;B中,-60-(-47)=-13≠-12,故B错误;C中,-8-7≠9-(-8),所以不是等差数列,故C正确;D中,每一项与前一项的差值均为-,所以是等差数列,故D错误.故选AC.
思考2:判断:从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差是否为同一个常数.
关键字:从第二项起、同一个常数、每一项减去它的前一项.
跟踪训练 (1) 是,公差为-d (2) 是,公差为2d (3) 是,公差为md (4) 是,公差为λd
例2 (1) 4 (2) -1 -5
例3 (1) 因为{an}是等差数列,
所以an+1-an=an-an-1(n≥2),
所以an=(n≥2).
(2) 在数列{an}中,如果对于任意的正整数n(n≥2)都有an=,
则an+1-an=an-an-1(n≥2).
这表明,这个数列从第2项起,后一项减去前一项所得的差始终相等,所以数列{an}是等差数列.
跟踪训练 因为-==,
所以bn+1-bn=.
又b1==1,
所以{bn}是首项为1,公差为的等差数列.
思考3:d d d d 2d d d 3d an=a1+(n-1)d
思考4:由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
例4 (1) an=2+(n-1)×3=3n-1,
bn=-2+(n-1)×4=4n-6.
(2) 由(1),得an=bn,即3n-1=4n-6,
解得n=5.
跟踪训练 (1) 设数列{an}的公差为d,则由a3=9,a9=-3,得解得
所以an=13-2(n-1)=15-2n,
所以a17=15-2×17=-19.
(2) 设数列{an}的公差为d,则由题意,得
解得
所以an=2-3(n-1)=5-3n,
所以a8=5-3×8=-19.
【检测反馈】
1. B 设等差数列的公差为d,则有解得所以a7=a1+6d=10.
2. D 由题意,得m==5.
3. ABD 记数列{an}的公差为d,则an+1-an=d.由于(an+1+b)-(an+b)=d,故A正确;(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;-=,不一定是常数,所以数列不一定是等差数列,故C不正确;根据等差数列的定义可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD.
4. 2n-1 设等差数列{an}的公差为d,由2(a3+a4)=a5+a8,得2(2a1+5d)=2a1+11d,即2a1=d.又a1=1,所以d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1.
5. 数列是等差数列,理由如下 :
因为a1=2,an+1=,所以==+,所以-=,
所以是以=为首项,为公差的等差数列,
所以=+(n-1)=n.