4.2.3 等差数列的前n项和(1)
1. 掌握等差数列的前n项和公式以及推导该公式的数学思想方法.
2. 能够运用等差数列的前n项和公式解决简单的问题.
活动一 探求等差数列的前n项和公式
问题:某仓库堆放着一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根,怎样计算这堆钢管的总数呢?
等差数列的前n项和公式:
推导方法:倒序相加.
思考1
倒序相加用到了等差数列的哪个性质?
活动二 掌握公式的应用——求基本量(a1,d,n,an,Sn)
例1 设等差数列{an}的公差为d,数列{an}的前n项和为Sn.
(1) 已知a1=,d=-,Sm=-15,求m及am;
(2) 已知a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d;
(3) 已知S5=24,求a2+a4.
例2 已知等差数列{an}满足a4=7,a10=19,其前n项和为Sn.求数列{an}的通项公式an及Sn.
(1) 已知等差数列{an}的前5项和为25,第8项等于15,求第21项;
(2) 已知在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,Sn=242,求n.
等差数列求和公式涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,依据方程的思想,在五个基本量中要知道三个基本量可求其他基本量,这也就是我们所说的“知三求二”.
活动三 探求等差数列前n项和公式的特征并应用其解决问题
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
思考2
(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn,如何求an
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r为常数,且p≠0,则这个数列一定是等差数列吗?
(多选)(2025石家庄期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2-2n(n∈N*),则下列结论中正确的是( )
A. a2=8 B. {an}为等差数列
C. a10=a3+40 D. {Sn}是递增数列
1. (2025东莞期末)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a7=8,则S13的值为( )
A. 52 B. 104 C. 208 D. 416
2. (2024盐城八校期末联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S7=28,则等差数列{an}的公差为( )
A. 2 B. C. 1 D. 3
3. (多选)(2024连云港期末)已知公差为d的等差数列{an}的前m(m为奇数)项和为99,其中偶数项之和为44,且a1-am=16,则下列结论中正确的是( )
A. m=9 B. a5=13 C. d=-2 D. a6=11
4. 已知数列{an}的前n项和是Sn=(n+2)2+k.当k=________时,{an}是公差d=________的等差数列.
5. (2024邯郸期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,再从条件:①a1=-3,②an+1-an=2,③S2=-4中选择两个作为已知,并解答下列问题.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求数列{|an|}的前10项和.
4.2.3 等差数列的前n项和(2)
1. 能选取合适的等差数列的前n项和公式解决问题.
2. 探求等差数列前n项和的性质并能运用它们解决问题.
活动一 掌握等差数列前n项和公式的灵活运用
例1 在等差数列{an}中,Sn为前n项和.
(1) 已知a3=1,a5=11,求an和S8;
(2) 已知a2+a7+a12=24,求S13;
(3) 已知S4=25,最后4项和为63,Sn=286,求项数n;
(4) 已知Sm=n,Sn=m(m≠n),求Sm+n.
在等差数列{an}的五个变量中,a1,n,d,an,Sn,可知三求二.若已知an,则优先选用Sn=;若已知d,则优先选用Sn=na1+d,同时在解题的过程中注意等差数列的性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq的应用.
活动二 等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中,a1=50,d=-.
(1) 从第几项开始有an<0
(2) 求Sn的最大值.
求Sn最值的常用方法:
(1) 函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解,一定注意n是正整数;
(2) 邻项变号法:①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
(2024南京一中期末)设数列{an}的前n项和为Sn,且 n∈N*,an>an+1,Sn≤S6,请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an=________.
活动三 探求等差数列前n项和的性质
例3 已知一个等差数列{an}的前4项和为32,前8项和为56.
(1) 求S12,S16的值;
(2) 通过计算观察,寻找S4,S8,S12,S16之间的关系,你发现什么结论?
(3) 根据上述结论,请你归纳出对于等差数列而言的一般结论,并证明.
例4 有一等差数列共有2n(n∈N*)项,它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,若最后一项与第一项之差为10.5,求此数列的首项、公差和项数.
思考
在等差数列中,当项数为2n(n∈N*)时,奇数项和与偶数项和之间有什么关系?
探究:若一个等差数列共有2n+1(n∈N*)项,则其奇数项和与偶数项和有什么关系?
例5 有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Tn,Sn,且=,求.
已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=(n∈N*),则+=________.
若有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Tn,Sn,则=.
1. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-27,则其前n项和Sn的最小值为( )
A. -105 B. -108 C. -115 D. -118
2. (2024苏州学业质量调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若3S5-5S3=1,则5S7-7S5的值为( )
A. B. 1 C. D.
3. (多选)(2024南京六校联合调研)已知等差数列{an}满足a7<0,a7+a8>0,记Sn为{an}的前n项和,则下列说法中正确的是( )
A. a1>0
B. {an}是递增数列
C. 当n=7时,Sn取得最小值
D. 使得Sn>0的n的最小值为13
4. (2025贵阳期末)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=________;若的值为正整数,则n=________.
5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=100, S16=392,求S24的值.
4.2.3 等差数列的前n项和(3)
能在具体的问题情境中,发现数列的通项公式和递推关系,并能利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式解决一些实际问题.
活动一 等差数列的通项公式和前n项和公式的简单实际应用
例1 某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位?
例2 (2024湖北联考)张大爷为了锻炼身体,每天坚持步行,用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中,张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数,经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步,前20天的运动步数是15.8万步,则张大爷在11月的运动步数是________万步.
求解数列应用题的一般步骤:
(1) 找出规律是否为等差数列;
(2) 巧用性质减少运算量.
活动二 掌握等差数列的综合实际应用
例3 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税,教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生. 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.
(1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元?
(2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本息合计约为多少?(精确到1元)
(注:教育储蓄存款总额不超过2万元)
应用等差数列解决实际问题的一般思路:
例4 广丰永和塔的前身为南潭古塔,建于明万历年间,清道光二十五年(1845)重修.砖石结构,塔高九层,沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上,下临丰溪河,气势峭拔.二十世纪九十年代末,此塔重修,并更名为“永和塔”.每至夜色降临,金灯齐明,塔身晶莹剔透,远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身,即沿石阶逐级攀登,一步一阶,此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景,现知底层共二十六级台阶,此后每往上一层减少两级台阶,顶层绕塔一周需十二步,每往下一层绕塔一周需多三步,则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需( )
A. 352步 B. 387步 C. 332步 D. 368步
1. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元,前20名共发放3 500元,则前30名共发放( )
A. 4 000元 B. 4 500元 C. 4 800元 D. 5 000元
2. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至起,接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气,其日影长依次成等差数列,其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺,且前九个节气日影长之和为85.5尺,则立春的日影长为( )
A. 10.5尺 B. 11尺 C. 11.5尺 D. 12尺
3. (多选)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则m-n的值为( )
A. - B. - C. D.
4. (2024北京朝阳期末)某校计划新建一个容纳300个座位的阶梯教室,若设置10排座位,且从第二排起每一排都比前一排多2个座位,则第一排需设置的座位数为________.
5. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,按约定以后每月的这一天都交付50万元,并加付所有欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部付清后,买这40套住房实际花了多少钱?
4.2.3 等差数列的前n项和(1)
【活动方案】
问题:4+5+6+7+8+9==39(根).
等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d.
思考1:对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
例1 (1) 因为Sm=ma1+d=m-×=-15,
整理,得m2-7m-60=0,
解得m=12或m=-5(舍去),
所以am=a12=a1+11d=+11×(-)=-4.
(2) 由Sn=(a1+an)=×(1-512)=-1 022,解得n=4,
所以an=a4=a1+3d=1+3d=-512,
解得d=-171.
(3) 方法一:由S5=5a1+d=24,得a1+2d=,
所以a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=.
方法二:由S5==24,得a1+a5=,
所以a2+a4=a1+a5=.
例2 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由题意,得解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1,
Sn==n2.
跟踪训练 (1) 由题意,得
解得所以a21=1+(21-1)×2=41.
(2) 由题意,得解得
因为Sn=242=12n+×2,
解得n=11(负值舍去).
例3 ①当n=1时,a1=S1=;
②当n≥2,n∈N*时,由an=Sn-Sn-1,得
an=(n2+)-[(n-1)2+(n-1)]
=2n-.
又a1=,满足an=2n-,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-.
因为an-an-1=(2n-)-[2(n-1)-]=2(n≥2),
所以数列{an}是首项为,公差为2的等差数列.
思考2:(1) an=
(2) 当n=1时,a1=S1=p+q+r;
当n≥2时,Sn-1=p(n-1)2+q(n-1)+r,
an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-[p(n-1)2+q(n-1)+r]=2pn-p+q.
若r=0,则a1=p+q,满足上式,
此时an=2pn-p+q,
an-1=2p(n-1)-p+q(n≥2),
所以an-an-1=2p,为常数,
所以{an}是等差数列;
若r≠0,则a1=p+q+r,不满足上式,
所以an=
此时{an}不是等差数列.
综上,这个数列不一定是等差数列.
跟踪训练 BD 对于A,由Sn=3n2-2n(n∈N*),可得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5,上式对n=1也成立,所以a2=7,故A错误;对于B,由an=6n-5,可得{an}为首项为1,公差为6的等差数列,故B正确;对于C,a10=60-5=55,a3=13,a10=a3+42,故C错误;对于D,因为Sn-Sn-1=an=6n-5>0,所以{Sn}是递增数列,故D正确.故选BD.
【检测反馈】
1. B 由题意,得S13==13a7=13×8=104.
2. B 方法一:设等差数列{an}的公差为d,则解得
方法二:由S7==7a4=28,得a4=4,所以等差数列{an}的公差d==.
3. AC 由题意,得ma1+=99①,其中偶数项共有项,因为偶数项组成的数列的公差为2d,所以(a1+d)+×2d=44②.又a1-am=16=-(m-1)d③,由①②③,解得m=9,d=-2,a1=19,故A,C正确;an=a1+(n-1)d=19+(n-1)×(-2)=-2n+21,所以a5=-2×5+21=11,a6=-2×6+21=9,故B,D错误.故选AC.
4. -4 2 由等差数列前n项和公式可知Sn=na1+d=n2+(a1-)n,要使得Sn=(n+2)2+k=n2+4n+4+k为等差数列,则满足 4+k=0,解得k=-4,即Sn=n2+4n.因为a1=S1=5,a2=S2-S1=7,所以公差d=a2-a1=2.
5. (1) 设等差数列{an}的公差为d,
若选择①②,由a1=-3,an+1-an=2,
知等差数列{an}的首项为a1=-3,公差为d=2,
所以an=-3+2(n-1)=2n-5.
若选择①③,由a1=-3,S2=a1+a2=-4,得a2=-1,
所以公差d=a2-a1=2,
所以等差数列{an}的首项为a1=-3,公差为d=2,
所以an=-3+2(n-1)=2n-5.
若选择②③,由an+1-an=d=2,S2=2a1+d=-4,得a1=-3,
所以等差数列{an}的首项为a1=-3,公差为d=2,
所以an=-3+2(n-1)=2n-5.
(2) 令an≤0,得n≤,
所以{an}的前2项为负数,从第3项起为正数,
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=(-a1)+(-a2)+(a3+a4+…+a10)=3+1+=68,
即数列{|an|}的前10项和为68.
4.2.3 等差数列的前n项和(2)
【活动方案】
例1 (1) 因为a3=1,a5=11,
所以d===5,
所以a1=a3-2d=1-10=-9,
所以an=-9+5(n-1)=5n-14,
S8=8×(-9)+×5=68.
(2) 因为{an}是等差数列,
所以a1+a13=a2+a12=2a7,
所以a2+a7+a12=3a7=24,即a7=8,
所以a1+a13=16,
所以S13===104.
(3) 由题意,得a1+a2+a3+a4=25,
an-3+an-2+an-1+an=63.
因为{an}是等差数列,
所以a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
所以4(a1+an)=25+63=88,
即a1+an=22.
因为Sn==286,
所以n=26.
(4) 设Sn=An2+Bn,由题意,得
①-②,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.
因为m≠n,所以(m+n)A+B=-1,
所以Sm+n=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n).
例2 (1) 因为a1=50,d=-,
所以an=50+(n-1)×(-).
令an<0,得50+(n-1)×(-)<0,
解得n>=84.
因为n∈N*,所以从第85项开始有an<0.
(2) 由(1)知从第85项开始有an<0,
所以Sn的最大值为S84.
因为a1=50,d=-,
所以S84=84×50-×=2 108.4.
跟踪训练 6-n(答案不唯一) 由 n∈N*,an>an+1知,数列{an}为递减数列.又Sn≤S6,即S6最大,所以可取an=6-n.
例3 (1) 设数列{an}的公差为d,
则解得
S12=12a1+66d=12×+66×(-)=72,
S16=16a1+120d=16×+120×(-)=80.
(2) 由(1),得S4=32,S8-S4=24,S12-S8=16,S16-S12=8,
所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.
(3) 设数列{an}的公差为d,
则Skt-S(k-1)t=(a1+a2+…+akt)-(a1+a2+…+a(k-1)t)=a(k-1)t+1+a(k-1)t+2+…+akt,
同理S(k+1)t-Skt=akt+1+akt+2+…+a(k+1)t,
所以(S(k+1)t-Skt)-(Skt-S(k-1)t)=(akt+1-a(k-1)t+1)+(akt+2-a(k-1)t+2)+…+(a(k+1)t-akt)=td+td+…+td=t2d为常数,
所以St,S2t-St,S3t-S2t,…,Skt-S(k-1)t,…(k,t∈N*)成等差数列.
例4 设此数列为{ak},其公差为d,前2n项和为S2n.
由题意,得
解得
因为a1+a3+a5+a7=4a1+12d=24,
所以a1=,
所以此数列的首项为,公差为,项数为8.
思考:若项数为2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,=.
探究:S奇-S偶=an+1(an+1为中间项),=.
例5 =====.
跟踪训练 因为{bn}为等差数列,所以b3+b18=b6+b15,所以+======.
【检测反馈】
1. B 由题意,得an=3n-27,an+1=3n-24,两式相减得an+1-an=3,所以数列{an}是以a1=-24为首项,3为公差的等差数列,且为递增数列,所以当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时,有解得8≤n≤9.又因为n为正整数,所以当n=8或n=9时,Sn取得最小值,所以前n项和Sn的最小值为S8=S9==-108.
2. D 由3S5-5S3=1,得-=.因为{an}是等差数列,所以==a1+(n-1)d,即也是等差数列,所以-=,所以5S7-7S5==.
3. BC 由a7<0,a7+a8>0,得a8>-a7>0,则等差数列{an}的公差d=a8-a7>0,所以数列{an}是递增数列,故B正确;因为数列{an}的前7项都为负,从第8项起为正,所以当n=7时,Sn取得最小值,故A错误,C正确;因为S13==13a7<0,所以使得Sn>0的n的最小值不为13,故D错误.故选BC.
4. 1或3 因为{an},{bn}都是等差数列,所以=====.由题意,得======3-.因为为正整数,所以为整数.又n是正整数,所以n+1=2或n+1=4,解得n=1或n=3.
5. 因为在等差数列{an}中,S8=100,S16=392,
所以S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,即2(S16-S8)=S8+(S24-S16),
所以2×(392-100)=100+(S24-392),
解得S24=876,即S24的值为876.
4.2.3 等差数列的前n项和(3)
【活动方案】
例1 由题意,得d=2,n=20,a20=60,
所以a1=60-19×2=22,
所以S20==820.
故这个剧场共有820个座位.
例2 26.7 设张大爷在11月的30天的运动步数构成数列{an},且{an}的前n项和为Sn,则数列{an}是等差数列.易知S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),即2×(15.8-6.9)=6.9+S30-15.8,解得S30=26.7,所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步.
例3 (1) 设每月存入A元,则
A(1+2.1‰)+A(1+2×2.1‰)+…+A(1+36×2.1‰)=20 000,
A(36+36×2.1‰+×2.1‰)=20 000,
解得A≈535.
故每月大约存入535元.
(2) 因为总额不超过2万元,所以每月至多存≈555(元),
3年后本息和为555×(1+2.1‰)+555×(1+2×2.1‰)+…+555×(1+36×2.1‰)=555×(36+36×2.1‰+×2.1‰)≈20 756(元).
故每月至多存555元,此时3年后本息合计约为20 756元.
例4 C 设从第n层到第n+1层所走的台阶数为an,绕第n+1层一周所走的步数为bn,由已知可得a1=26,an+1-an=-2,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8},b8=12,bn-bn+1=3,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8},所以数列{an}为首项为26,公差为-2的等差数列,故an=28-2n,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8},数列{bn}为公差为-3的等差数列,故bn=36-3n,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}.设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,所以S8==152,T8==180,所以这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步.
【检测反馈】
1. B 由题意可知等差数列中S10=2 000,S20=3 500.因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以 2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500),解得S30=4 500.
2. A 设从冬至到芒种这十二个节气的日影长构成等差数列{an},公差为d,则即解得所以a4=a1+3d=13.5-3=10.5,即立春的日影长为10.5尺.
3. BD 设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为a1,a2,a3,a4,则数列a1,a2,a3,a4是首项为的等差数列,设其公差为d.由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3.①若a1,a4为方程x2-2x+m=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+n=0的两根.由根与系数的关系可得a1+a4=+a4=2,则a4=,所以d==,则 a2=,a3=,此时m=a1a4=,n=a2a3=,则m-n=-;②若a1,a4为x2-2x+n=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+m=0的两根,同理可得m=,n=,则m-n=.综上,m-n=±.故选BD.
4. 21 设第i(i=1,2,3,…,10)排的座位数为ai,则数列{an}(n≤10,n∈N*)是公差为d=2的等差数列,由题意,得10a1+d=10a1+90=300,解得a1=21,即第一排需设置的座位数为21.
5. 因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,
则每次付款的数额依次构成数列{an},则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,
a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,
……
所以an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N*),
所以{an}是以60为首项,-为公差的等差数列,
所以a10=60-9×=55.5,a20=60-19×=50.5,
所以S20=(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105,
所以实际共付1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部付清后,买这40套住房实际花了1 255万元.