4.3.1 等比数列的概念及通项公式 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 4.3.1 等比数列的概念及通项公式 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-03 23:22:06 | ||
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文档简介
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
1. 理解等比数列的概念，会用概念进行判断、证明等比数列．
2. 类比等差数列的通项公式，探究发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列的通项公式的方法．
3. 掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题，了解等比中项的概念．
活动一 了解等比数列的概念
1. 阅读下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度与当时该物质的质量成正比例．如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间h后质量衰变到，那么称h为物质的半衰期．镭的半衰期是1 620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1 620年，剩余量依次为
10，10×，10×()2，10×()3，….
某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
36，36×0.9，3.6×0.92，36×0.93，….
某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055.
思考1
与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，用数学语言表示，并写出其递推关系式．
活动二 理解等比数列的定义
例1 判断下列数列是否为等比数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 0，1，2，4，8；
(3) 1，－，，－，.
思考2
如何判定一个数列为等比数列？
思考3
若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？
例2 求下列等比数列中的未知项：
(1) a，2，8，其中a＝________；
(2) 2，m，8，其中m＝________；
(3) －4，b，c，，其中b＝________，c＝________．
活动三 等比数列的证明
例3 (1) 在等比数列{an}中，是否有 a＝an－1an＋1(n≥2)
(2) 如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？
思考4
类比等差中项的概念，试给出等比中项的概念．
证明数列{an}为等比数列的方法：
(1) 定义法：＝q(q为常数，q≠0，n∈N*，n≥2)；
(2) 中项法：＝(n∈N*，an≠0，n≥2).
活动四 理解等比数列的通项公式
探究：
1. 根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式．
2. 类比等差数列{an}中an与am的关系，请写出等比数列中任意两项an与am的关系．
例4 在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) －是否为该数列的项？若是，为第几项？
1. (2024玉溪期末)“b＝”是“a，b，c成等比数列”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 充要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2025深圳明德实验学校期末)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q的值为( )
A. － B. －2 C. 2 D.
3. (多选)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列中是等比数列的是( )
A. {a} B. {an＋an＋1} C. D. {an·an＋1}
4. (2024苏州学业质量调研)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，4a1＋a3＝4，则a5＝________．
5. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＝an＋2－an＋1.
(1) 求a3，a4，a5，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；
(2) 证明：数列{an＋1＋an}是等比数列．
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
【活动方案】
思考1：这些数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用q表示．递推关系式：＝q，q为常数，q≠0.
例1 (1) 是 (2) 不是 (3) 是
思考2：要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．
思考3：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列．当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列；当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．
例2 (1) (2) ±4 (3) 2 －1
例3 (1) 因为{an}是等比数列，所以＝，
即a＝an－1an＋1(n≥2)成立．
(2) 不一定．例如，对于数列0，0，0，…，总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列．
思考4：如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项.此时G2＝ab或G＝±.
探究：1. 因为{an}是等比数列，所以当n≥2时，有＝q，＝q，＝q，…，＝q.将以上n－1个等式的左右两边分别相乘，得＝qn-1，所以an＝a1qn-1.当n＝1时，上面的等式也成立．
2. am＝an·qm－n
例4 (1) 因为2an＝3an＋1，所以＝，
所以数列{an}是公比为的等比数列．
又a2·a5＝，所以a()5＝()3.
由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－()n-2.
(2) 设an＝－，则－＝－()n-2，()4＝()n-2，则n＝6，
所以－是该数列的项，为第6项．
【检测反馈】
1. D 若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±，故必要性不成立；若b＝，令a＝b＝0，则b2＝ac，但此时a，b，c不构成等比数列，故充分性不成立．综上，“b＝”是“a，b，c成等比数列”的既不充分又不必要条件．
2. D 由题意，得q3＝＝，解得q＝.
3. ACD 对于A，{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，故A正确；对于B，当数列{an}的公比为－1时，an＋an＋1＝0，而等比数列各项均不为0，故B错误；对于C，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确；对于D，{an·an＋1}是以aq为首项，q2为公比的等比数列，故D正确．故选ACD.
4. 8 设等比数列的公比为q.由题意，得4＝＝＋q，解得q＝2，所以a5＝a2q3＝8.
5. (1) 由2an＝an＋2－an＋1，得a3＝2a1＋a2＝4，a4＝2a2＋a3＝8，a5＝2a3＋a4＝16.
结合a1＝1，a2＝2可猜想数列{an}的通项公式为 an＝2n-1.
(2) 因为an＋2＝2an＋an＋1，a1＝1，a2＝2，
所以{an}为正项递增数列，所以an＋1＋an≠0，
所以＝＝2，
故数列{an＋1＋an}是等比数列．
1. 理解等比数列的概念，会用概念进行判断、证明等比数列．
2. 类比等差数列的通项公式，探究发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列的通项公式的方法．
3. 掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题，了解等比中项的概念．
活动一 了解等比数列的概念
1. 阅读下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度与当时该物质的质量成正比例．如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间h后质量衰变到，那么称h为物质的半衰期．镭的半衰期是1 620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1 620年，剩余量依次为
10，10×，10×()2，10×()3，….
某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
36，36×0.9，3.6×0.92，36×0.93，….
某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055.
思考1
与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，用数学语言表示，并写出其递推关系式．
活动二 理解等比数列的定义
例1 判断下列数列是否为等比数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 0，1，2，4，8；
(3) 1，－，，－，.
思考2
如何判定一个数列为等比数列？
思考3
若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？
例2 求下列等比数列中的未知项：
(1) a，2，8，其中a＝________；
(2) 2，m，8，其中m＝________；
(3) －4，b，c，，其中b＝________，c＝________．
活动三 等比数列的证明
例3 (1) 在等比数列{an}中，是否有 a＝an－1an＋1(n≥2)
(2) 如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？
思考4
类比等差中项的概念，试给出等比中项的概念．
证明数列{an}为等比数列的方法：
(1) 定义法：＝q(q为常数，q≠0，n∈N*，n≥2)；
(2) 中项法：＝(n∈N*，an≠0，n≥2).
活动四 理解等比数列的通项公式
探究：
1. 根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式．
2. 类比等差数列{an}中an与am的关系，请写出等比数列中任意两项an与am的关系．
例4 在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) －是否为该数列的项？若是，为第几项？
1. (2024玉溪期末)“b＝”是“a，b，c成等比数列”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 充要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2025深圳明德实验学校期末)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q的值为( )
A. － B. －2 C. 2 D.
3. (多选)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列中是等比数列的是( )
A. {a} B. {an＋an＋1} C. D. {an·an＋1}
4. (2024苏州学业质量调研)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，4a1＋a3＝4，则a5＝________．
5. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＝an＋2－an＋1.
(1) 求a3，a4，a5，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；
(2) 证明：数列{an＋1＋an}是等比数列．
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
【活动方案】
思考1：这些数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用q表示．递推关系式：＝q，q为常数，q≠0.
例1 (1) 是 (2) 不是 (3) 是
思考2：要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．
思考3：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列．当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列；当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．
例2 (1) (2) ±4 (3) 2 －1
例3 (1) 因为{an}是等比数列，所以＝，
即a＝an－1an＋1(n≥2)成立．
(2) 不一定．例如，对于数列0，0，0，…，总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列．
思考4：如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项.此时G2＝ab或G＝±.
探究：1. 因为{an}是等比数列，所以当n≥2时，有＝q，＝q，＝q，…，＝q.将以上n－1个等式的左右两边分别相乘，得＝qn-1，所以an＝a1qn-1.当n＝1时，上面的等式也成立．
2. am＝an·qm－n
例4 (1) 因为2an＝3an＋1，所以＝，
所以数列{an}是公比为的等比数列．
又a2·a5＝，所以a()5＝()3.
由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－()n-2.
(2) 设an＝－，则－＝－()n-2，()4＝()n-2，则n＝6，
所以－是该数列的项，为第6项．
【检测反馈】
1. D 若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±，故必要性不成立；若b＝，令a＝b＝0，则b2＝ac，但此时a，b，c不构成等比数列，故充分性不成立．综上，“b＝”是“a，b，c成等比数列”的既不充分又不必要条件．
2. D 由题意，得q3＝＝，解得q＝.
3. ACD 对于A，{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，故A正确；对于B，当数列{an}的公比为－1时，an＋an＋1＝0，而等比数列各项均不为0，故B错误；对于C，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确；对于D，{an·an＋1}是以aq为首项，q2为公比的等比数列，故D正确．故选ACD.
4. 8 设等比数列的公比为q.由题意，得4＝＝＋q，解得q＝2，所以a5＝a2q3＝8.
5. (1) 由2an＝an＋2－an＋1，得a3＝2a1＋a2＝4，a4＝2a2＋a3＝8，a5＝2a3＋a4＝16.
结合a1＝1，a2＝2可猜想数列{an}的通项公式为 an＝2n-1.
(2) 因为an＋2＝2an＋an＋1，a1＝1，a2＝2，
所以{an}为正项递增数列，所以an＋1＋an≠0，
所以＝＝2，
故数列{an＋1＋an}是等比数列．