4.3.2　等比数列的通项公式及性质 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

4．3.2　等比数列的通项公式及性质
1. 进一步理解等比数列的概念．
2. 能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数、指定的项．
3. 探究并掌握等比数列的一些常用性质．
活动一 回顾等比数列的基本概念及通项公式
1. 等比数列的定义是什么？等比数列的项有什么特征？
2. 等比中项的概念是什么？证明一个数列是等比数列有几种方法？
3. 等比数列的通项公式是什么？其推导过程用的什么方法？它的任意两项之间有怎样的关系？
活动二　等比数列的通项公式的应用　
例1　在等比数列{an}中，公比为q.
(1) 若a1＝－2，q＝－，求an；
(2) 若a1＝－5，a4＝40，求q和an；
(3) 若a1＝2，q＝，an＝，求项数n.
在等比数列中，只要知道它的首项和公比就能解决此数列的一切问题．通过公式的变形an＝amqn－m或qn－m＝.
　(1) 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数；
(2) 在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这两个正数之和．
活动三　等比数列的基本性质　
回顾：等差数列的基本性质：
探究：
在等比数列{an}中，
(1) 若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq有何关系？
(2) 若m＋n＝2p，则am，an，ap有何关系？
例2　(1) 在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9·a10＝100，则a18＝________；
(2) 在等比数列{an}中，a2·a3·a10·a11＝36，求a5·a8及a6·a7的值．
例3　在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，且a3＋a8＝124，公比为整数，求a10的值．
　(1) 已知在等比数列{an}中，a1＝1，a1＋a3＋…＋a2k＋1＝85，a2＋a4＋…＋a2k＝42，则公比q为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
(2) (2025邢台期末)已知等比数列{an}满足a1＋a3＋a5＝7，a5＋a7＋a9＝28，则a9＋a11＋a13的值为(　　)
A. 56 B. －56
C. －112 D. 112
例4　已知在各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，求证：a1，a3，a5成等比数列．
1. (2024天一中学期末)已知{an}是递增的等比数列，且a4＋a5＝27，a3a6＝162，则公比q的值是(　　)
A. 3 B. －3 C. 2 D. －2
2. (2025石家庄期末)若等比数列{an}满足a3＋a4＝1，a3－a5＝3，则公比q的值为(　　)
A. B. －2 C. 2 D. －
3. (多选)已知{an}为等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＋a3≥2a2 B. a＋a≥2a
C. 若a1＝a2，则a1＝a3 D. 若a3>a1，则a4>a2
4. 写出数列{an}一个通项公式an＝________，使你写出的数列{an}具有性质①②：
①am＋n＋aman＝0；②{an}为递减数列．
5. (2024石家庄期末)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求这四个数．
4．3.2　等比数列的通项公式及性质
【活动方案】
1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列．an≠0，＝q.
2. 如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．
①＝q，且q≠0；②当an≠0时，＝(n≥2).
3. an＝a1qn-1　累乘法　am＝anqm－n
例1　(1) 因为a1＝－2，q＝－，
所以an＝a1qn-1＝－2×(－)n-1.
(2) 由题意，得a4＝a1q3＝－5q3＝40，解得q＝－2，所以an＝a1qn-1＝－5×(－2)n-1.
(3) 由题意，得an＝a1qn-1＝2×()n-1＝，即()n-1＝＝()4，所以n－1＝4，所以n＝5.
跟踪训练　(1) 由题意，得该等比数列中a1＝243，a5＝3，则q4＝＝，所以q＝±.当q＝时，a2＝81，a3＝27，a4＝9；当q＝－时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9，所以这3个数分别为81，27，9或－81，27，－9.
(2) 不妨设插入两个正数为a，b，即3，a，b，9.
因为3，a，b成等比数列，所以a2＝3b.
因为a，b，9成等差数列，所以a＋9＝2b，
即解得或(舍去)，
则a＋b＝.
回顾：在等差数列{an}中，
(1) 若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，
则am＋an＝ap＋aq.
(2) 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
探究：(1) aman＝apaq　(2) aman＝a
例2　(1) 20
(2) a5·a8＝a6·a7＝±6
例3　因为{an}是等比数列，a4·a7＝－512，
所以a3·a8＝－512.
因为a3＋a8＝124，
所以或
所以q＝－(舍去)或q＝－2，所以a10＝512.
跟踪训练　(1) A　在等比数列{an}中，a1＝1，a1＋a3＋…＋a2k＋1＝85，a2＋a4＋…＋a2k＝42.设等比数列{an}的公比为q.a3＋…＋a2k＋1＝85－a1＝85－1＝84.又因为a3＋…＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)q，所以84＝42q，解得q＝2.
(2) D　由题意，得a5＋a7＋a9＝a1q4＋a3q4＋a5q4＝(a1＋a3＋a5)q4＝7q4＝28，所以q4＝4，所以a9＋a11＋a13＝(a5＋a7＋a9)q4＝28×4＝112.
例4　由已知，得2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③，得＝，
所以a4＝.④
由①，得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·，
所以a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)，化简，得a＝a1·a5.
又a1，a3，a5均不为0，
所以a1，a3，a5成等比数列．
【检测反馈】
1. C　由题意，得a4，a5是x2－27x＋162＝0的两个实数根，且a42. B　由a3＋a4＝1，a3－a5＝3，得a4＋a5＝－2.又a4＋a5＝q(a3＋a4)，所以q＝＝＝－2.
3. BC　设等比数列{an}的公比为q，当a1<0，q<0时，a3<0，a2>0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A错误；a＋a＝()2＋(a2q)2＝a(＋q2)≥2a，当且仅当q2＝1时，等号成立，故B正确；若a1＝a2，则q＝1，所以a1＝a3成立，故C正确；当a1＝1，q＝－2时，a3＝4，a2＝－2，a4＝－8，满足a3>a1，但a4>a2不成立，故D错误．故选BC.
4. －2n(答案不唯一)　当数列{an}为等比数列时，am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，am＋n＝a1qm＋n-1，因为am＋n＋aman＝0，所以a1qm＋n-1＋aqm＋n-2＝0，所以a1qm＋n-2(q＋a1)＝0.因为a1≠0，q≠0，所以a1＝－q，因为{an}为递减数列，所以当a1<－1，q>1时符合题意，可取a1＝－2，q＝2，此时an＝－2n.
5. 设前三个数为a－d，a，a＋d，
则a－d＋a＋a＋d＝48，解得a＝16，
所以前三个数为16－d，16，16＋d.
因为后三个数成等比数列，
所以(16＋d)2＝16×25，即d2＋32d－144＝0，
解得d＝－36或d＝4.
当d＝－36时，16＋d<0不满足题意，舍去；
当d＝4时，满足题意，
所以这四个数为12，16，20，25.