4.3.3 等比数列的前n项和 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 4.3.3 等比数列的前n项和 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 134.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-03 23:22:36 | ||
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文档简介
4．3.3 等比数列的前n项和(1)
1. 会用“错位相减法”推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的问题．
2. 会利用公式求等比数列的前n项和以及数列中的某些项．
活动一 探究等比数列的前n项和公式
1. 公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算？
探究：等比数列的前n项和公式．
2. 推导方法：错位相减．除了错位相减法以外，还有其他方法吗？
思考1
当等比数列的公比为参数时，求等比数列{an}的前n项和要注意什么？
思考2
类比等差数列的前n项和Sn是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列的前n项和Sn
活动二 掌握等比数列的前n项和公式的应用
例1 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－4，公比q＝，求前10项和S10；
(2) 已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk.
在等比数列{an}中，有五个量a1，q，an，n，Sn，根据等比数列的通项公式与前n项和公式，通过联立方程组，可知三求二．
例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝，S6＝，求数列{an}的通项公式．
例3 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－1，q＝－，n＝5，求Sn；
(2) 已知a1＝8，q＝，an＝，求Sn；
(3) 已知a1＝，S3＝，求q.
对于等比数列的求和公式，首先要判断q是否为1，然后用公式时要有所选择，如例3(2)中Sn＝；当Sn中n较小时，如例3(3)中，不一定要用求和公式，可直接计算S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)，这样免得讨论q是否为1.
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
1. 已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则前8项和为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S5＝a5，则S7等于( )
A. －2 B. 2 C. 14 D. －14
3. (多选)(2024苏州学业质量调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n，则下列结论中正确的是( )
A. {an}是等差数列 B. {an}是等比数列
C. Sn＝an＋n D. Sn＝nan
4. (2024盐城八校期末联考)设{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，若S1，S3，S2成等差数列，则q＝________．
5. (2024南通期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，b1＝2，b2－S2＝1，a2＋b3＝10.
(1) 数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2) 若数列{cn}满足cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
4．3.3 等比数列的前n项和(2)
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
2. 探究并掌握等比数列前n项和的简单性质．
活动一 掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，求证：数列{an}是等比数列．
思考1
等比数列前n项和的一般形式是怎样的？反过来满足这种特征的数列一定是等比数列吗？
思考2
等比数列的前n项和公式与指数函数有什么关系？
已知等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为n232n+1－2n·32n－3n2＋2n，设等差数列{an}的公差为d、等比数列{bn}的公比为q，则①a1＝－1；②d＝－6；③b1＝－8；④q＝9，其中正确的是________．(填序号)
活动二 掌握等比数列前n项和的性质
例2 一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
例3 已知在等比数列{an}中，a1＝1，ak＝8，q＝2.
(1) 求Sk，S2k，S3k的值；
(2) 计算S2k－Sk及S3k－S2k，并观察数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k有何特征．
(2024芮城中学期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则的值为( )
A. B.
C. D.
思考3
等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别是Sn，S2n，S3n(Sn≠0)，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n一定成等比数列吗？
例4 若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，求证：Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
思考4
等比数列前n项和的性质有哪些？
1. (2024扬州宝应期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝5，S6＝20，则S9的值为( )
A. 66 B. 67 C. 65 D. 63
2. 已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1的值为( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
3. (多选)(2024滨州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，a4＝24，则下列结论中正确的是( )
A. a3＝12 B. 数列{Sn＋2}为等比数列
C. Sn＝2an－3 D. ＝2n
4. (2025开封期末)已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn，若＝，则n＝________．
5. (2024南京一中期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，S6＝126.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 若a＋Sn>958，求n的最小值．
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
1. 能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．
2. 通过对知识的推理与运算，提高理解与运用知识的能力．
活动一 运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模
例 阅读材料，回答下列问题：
某地区2021年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2021年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
(1) 求2022年至2024年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨)
(2) 该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？(参考数据：1.053≈1.16；1.054≈1.22；1.055≈1.28；1.056≈1.34)
为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年的维修费用增加 4万元，从第7年开始每年的维修费用较上一年上涨25%.设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An<40万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为( )
A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年
活动二 弄清单利和复利的区别，会进行相关计算
阅读材料，回答下列问题：
某人今年年初向银行申请贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
解：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)，
则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120，
化简，得
x＝
≈2 029.66(元).
故每月应还贷2 029.66元．
(1) 单利与复利的区别？
(2) 单利与复利的数学模型分别为什么？
(3) 什么叫等额还款？
(4) 在解题过程中，等式x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120中的x(1＋0.003 375)，x(1＋0.003 375)119分别表示什么意思？等式右边表示什么意思？
(5) 该题还可以按如下思路进行考虑：
设商品一次性付款的金额为a元，等额付款 n次，每次期末付款x元，期利率为r.
则第1次付款后，贷款余额为多少？
第2次付款后，贷款余额为多少？
第3次付款后，贷款余额为多少？
……
第n次付款后，贷款余额为多少？
由于第n次付款后，贷款余额为0，故有关系式：________________________.
从而可以解得x＝
1. (2024南京一中期末)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 3盏 B. 5盏 C. 7盏 D. 9盏
2. (2024泰安二中期末)某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
3. (多选)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2 000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为an万元，取lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，则下列叙述中正确的是( )
A. a1＝2 200
B. 数列{an}的递推关系是an＋1＝an×(1＋20%)
C. 数列{an－1 000}为等比数列
D. 至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
4. (2024重庆一中期末)无人机表演美轮美奂，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码．已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的a倍(a>0)，已知控制1 000台无人机需要24 300行代码，控制2 000台无人机需要32 400行代码．某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3 000台增加到5 000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织________名程序员编写新增的控制代码．
5. 某中学有在校学生2 000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒的人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．
(1) 求第n天新增病患的人数an(1≤n≤13，n∈N*)；
(2) 按有关方面规定，当天患病同学总数达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．
4．3.3 等比数列的前n项和(1)
【活动方案】
1. 当 q＝1 时， a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.
探究：略
2. 推导方法：当q＝1时，Sn＝na1.
当q≠1时，根据等比数列的定义，
可知＝＝＝…＝＝q，
所以a2＝a1q，a3＝a2q，…，an＝an－1q，
即a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)q，
所以＝q，
即＝q，所以Sn＝.
将an＝a1qn-1代入，得Sn＝，
可得Sn＝.
思考1：若等比数列的公比为参数，应用公式求其前 n 项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答．
思考2：当q≠1时，Sn＝＝－qn＋，即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn＝Aqn－A(q≠1，q≠0，A≠0)的形式，所以可把等比数列的前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
例1 (1) S10＝＝＝－8×(1－)＝－8＝－.
(2) Sk＝＝364.
例2 由题意，得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，将上面两个等式的两边分别相除，得1＋q3＝9，解得q＝2，所以a1＝，所以an＝×2n-1＝2n-2.
例3 (1) Sn＝＝－×＝－.
(2) Sn＝＝＝.
(3) 当q≠1时，S3＝＝＝，解得q＝－2；
当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝.
综上，q＝1或q＝－2.
跟踪训练 (1) 设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，
所以an＝2n－1.
(2) 设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，
所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1，
所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n-1＝.
【检测反馈】
1. B 由题意，得q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＝1，则a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝16，所以S8＝1＋16＝17.
2. B 设等比数列{an}的公比为q，显然q＝1不符合题意．由a1＝2，S5＝a5，得S4＝＝0，化简，得q＝－1，所以S7＝＝＝2.
3. ABD 对于A，B，因为Sn＝2n，所以S1＝2＝a1，S2＝4＝a1＋a2＝2＋a2，则a2＝2，同理可得，a3＝2，所以an＝2，所以{an}是首项为2，公差为d＝0的等差数列，也是首项为2，公比为q＝1的等比数列，故A，B正确；对于C，S1＝2＝a1≠a1＋1，故C错误；对于D，因为an＝2＝a1，所以Sn＝2n＝nan，故D正确．故选ABD.
4. － 由题意，得S1＋S2＝2S3，即2a1＋a2＝2(a1＋a2＋a3)，整理，得a2＋2a3＝0，所以q＝＝－.
5. (1) 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q＞0).
由得且q>0，所以q＝2，d＝1，
所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2n.
(2) 由(1)，得cn＝n＋2n，
设数列{cn}的前n项和为Tn，
则Tn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋…＋bn)
＝＋＝n2＋n＋2n+1－2.
4．3.3 等比数列的前n项和(2)
【活动方案】
例1 由题意，得Sn＋1＝an+1－1，
所以an＋1＝an+1－an＝an(a－1)，
an＝an－an-1＝an-1(a－1)，
所以＝＝a，
所以数列{an}是等比数列．
思考1：等比数列前n项和的一般形式为Sn＝A＋B·qn，但满足这种特征的数列不一定是等比数列．
思考2：①当q＝1时，Sn＝na1是关于n的正比例函数，点(n，Sn)是直线y＝a1x上的一群孤立的点．
②当q≠1时，Sn＝.记A＝，则Sn＝－Aqn＋A是一个指数式与一个常数的和．当q>0且q≠1时，y＝qn是指数函数，此时，点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．
跟踪训练 ④ 显然等比数列{bn}不是常数列，设等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和分别为An2＋Bn，C－Cqn，其中A，B，C，q为常数，Cq≠0，q≠1.因为n232n+1－2n·32n－3n2＋2n＝(－3n2＋2n)(1－9n)，即等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(An2＋Bn)·(C－Cqn)＝(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(CAn2＋CBn)(1－qn)＝(－3n2＋2n)(1－9n)，所以q＝9，CA＝－3，CB＝2，所以A，B，C的值不确定，故正确的是④.
例2 设此数列的公比为q，项数为2n，
则解得
所以此数列的公比为2，项数为8.
跟踪训练 A 根据题意，设an＝a1·qn-1＝qn-1.因为数列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，所以q＝＝2，故Sn＝21＋10＝，所以2n－1＝31，解得n＝5.
例3 (1) 由题意，得ak＝1×2k-1＝8，解得k＝4，
所以Sk＝S4＝＝15，
S2k＝S8＝＝255，
S3k＝S12＝＝4 095.
(2) S2k－Sk＝240＝15×16，
S3k－S2k＝3 840＝15×256＝15×162，
所以(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)，
即数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是首项为Sk，公比为qk的等比数列．
跟踪训练 B 设S3＝m(m≠0)，则S6＝4m.因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，且公比为＝3，所以S9－S6＝9m，S12－S9＝27m，即S9＝13m，S12＝40m，所以＝＝.
思考3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
例4 因为Sm＋n＝，Sn＝，
qn·Sm＝qn·，
所以Sn＋qn·Sm＝
＝＝
＝Sm＋n，
所以Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
思考4：已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质：
(1) Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2) 若Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)均不为0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，且公比为qk.
(3) 若{an}共有2n(n∈N*)项，则＝q；
若{an}共有(2n＋1)(n∈N*)项，则＝q.
【检测反馈】
1. C 因为S3＝5，S6＝20，所以a1＋a2＋a3＝5，a4＋a5＋a6＝15.设等比数列{an}的公比为q，则q3＝＝＝3，可得a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝45，所以S9＝S6＋(a7＋a8＋a9)＝65.
2. C 由题意，得S奇＋S偶＝4S偶，所以S偶＝S奇．设等比数列{an}的公比为q，该等比数列共有2k(k∈N*)项，则S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝S奇，所以q＝.因为a＝a1a2a3＝64，所以a2＝4，所以a1＝＝12.
3. ACD 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3＝24，解得q＝2，所以a3＝a1q2＝3×22＝12，故A正确；由Sn＝＝3×2n－3，得Sn＋2＝3×2n－1，所以S1＋2＝5，S2＋2＝3×22－1＝11，S3＋2＝3×23－1＝23，显然(S2＋2)2≠(S1＋2)(S3＋2)，所以数列{Sn＋2}不是等比数列，故B错误；因为an＝3×2n-1，所以Sn＝3×2n－3＝2an－3，故C正确；因为Sn＝3×2n－3，所以＝＝＝2n，故D正确．故选ACD.
4. 5 方法一：因为S2n＝Sn＋an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋an)＝Sn＋qnSn，所以＝1＋qn＝，即1＋＝，解得n＝5.
方法二：S2n＝，Sn＝，则＝＝1＋qn＝1＋＝，解得n＝5.
方法三：根据等比数列前n项和的性质，得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，且公比为qn，所以＝qn，所以＝，解得n＝5.
5. (1) 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝14，S6＝126，得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112，
又a1＋a2＋a3＝14，所以q3＝8，解得q＝2.
又a1(1＋q＋q2)＝14，所以a1＝2，
所以{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝2n.
(2) 由(1)知，Sn＝＝2n+1－2.
由a＋Sn>958，得22n＋2n+1－2>958，
即(2n)2＋2×2n－960>0，
整理，得(2n－30)(2n＋32)>0，
又2n>0，所以2n>30.
又n∈N*，所以n≥5，
即n的最小值为5.
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
【活动方案】
例 (1) 依题意，得从2022年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为{an}，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为{bn}，该地区n年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为Sn，
则a1＝20(1＋5%)，q＝1＋5%，b1＝6＋1.5＝7.5，d＝1.5，
故an＝20(1＋5%)n＝20×1.05n，bn＝6＋1.5n，
所以Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5n)]
＝－
＝420×1.05n－n2－n－420，
当n＝3时，S3＝420×1.053－×9－×3－420≈420×1.16－447＝40.2，
所以2022年至2024年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约40.2万吨．
(2) 由(1)，得bn>an，即6＋1.5n>×20×1.05n，
整理，得0.6＋0.15n>1.05n，n∈N*.
因为当n＝1时，0.6＋0.15n＝0.75，1.05n＝1.05，0.6＋0.15n<1.05n；
当n＝2时，0.6＋0.15n＝0.9，1.05n＝1.102 5，0.6＋0.15n<1.05n；
当n＝3时，0.6＋0.15n＝1.05，1.05n≈1.16，
0．6＋0.15n<1.05n；
当n＝4时，0.6＋0.15n＝1.2，1.05n≈1.22，
0．6＋0.15n<1.05n；
当n＝5时，0.6＋0.15n＝1.35，1.05n≈1.28，
0．6＋0.15n>1.05n，
所以该地区在第5年，即2026年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.
跟踪训练 C 设前n年的总维修费用为Sn，a1＝20，a6＝20＋5×4＝40，则S6＝＝180，A6＝＝30<40，即前6年可继续使用．当n≥7时，＝1＋25%＝，所以a7＝a6＝50，an＝a7·()n-7＝50·()n-7，Sn－S6＝＝200[()n-6－1]，则An＝＝＝＝，计算得A8＝<40，A9＝>40，故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为2028年．
活动二：
(1) 单利是指只在原来的本金的基础上计算利息，而复利指不仅要计算本金利息，而且还要计算利息的利息，即利息可以转化为本金，同原来的本金一起作为下期计算利息的根据，俗称“利滚利”．
(2) 单利对应于一次函数模型，而复利对应于指数函数模型．
(3) 分期付款中规定每期还款相同．
(4) x(1＋0.003 375)——第119期本利和；
x(1＋0.003 375)119——第1期本利和；
200 000(1＋0.003 375)120——住房贷款的本利和．
(5) 第1次：a(1＋r)－x；
第2次：[a(1＋r)－x](1＋r)－x＝a(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第3次：a(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第n次：a(1＋r)n－x(1＋r)n-1－…－x(1＋r)－x；
a(1＋r)n－x(1＋r)n-1－…－x(1＋r)－x＝0；
x＝.
【检测反馈】
1. A 设塔顶共有灯a1盏，根据题意，各层灯数构成以a1为首项，2为公比的等比数列{an}，所以S7＝＝127a1＝381，解得a1＝3.
2. C 由题意，得a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，所以a＝.
3. ACD 由题意，得经过1年之后，该项目的资金为a1＝2 000×(1＋20%)－200＝2 200(万元)，故A正确；an＋1＝an×(1＋20%)－200＝1.2an－200，故B不正确；因为an＋1＝1.2an－200，所以an＋1－1 000＝1.2(an－1 000)，即数列{an－1 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列，故C正确；an－1 000＝1 200×1.2n-1＝1 000×1.2n，即an＝1 000(1.2n＋1)，令an＝1 000(1.2n＋1)≥4 000，则n≥log1.23＝≈6，故至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)，故D正确．故选ACD.
4. 6 方法一：设控制第一台无人机需要x行代码，显然a≠1，由题意，得解得a1 000＝，所以将表演规模从3 000台增加到5 000台，需要增加的代码行数为－＝×[(1＋a1 000＋a2 000＋a3 000＋a4 000)－(1＋a1 000＋a2 000)]＝×(a3 000＋a4 000)＝24 300×[＋]＝1 200.又≈5.45，所以该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码．
方法二：设控制第n台无人机需要的代码行数为an，由题意，得{an}是公比为a的等比数列，则S1 000，S2 000－S1 000，S3 000－S2 000，S4 000－S3 000，S5 000－S4 000仍然成等比数列．由已知，得S1 000＝24 300，S2 000－S1 000＝8 100，＝，所以S3 000－S2 000＝2 700，S4 000－S3 000＝900，S5 000－S4 000＝300，所以表演规模从3 000台增加到5 000台，需要编写控制代码行数为900＋300＝1 200.又≈5.45，所以该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码．
5. (1) 当1≤n≤7，n∈N*时，因为a1＝10，公差为9，所以an＝10＋(n－1)·9＝9n＋1；
当8≤n≤13，n∈N*时，因为a7＝64，公比为，
所以an＝a7·()n-7＝()n-13＝213-n，
所以an＝n∈N*.
(2) 设Sn为第n天患病总人数，则当2≤n≤7时，Sn－Sn－1＝an>0；
当8≤n≤13时，Sn－Sn－1＝an－10＝213-n－10.
令213-n－10≥0，得n≤9，
(Sn)max＝S9＝(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋a9－10×2＝＋a8＋a9－20＝＋25＋24－20＝287<2 000×15%＝300，
所以该学校没有停课的必要．
1. 会用“错位相减法”推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的问题．
2. 会利用公式求等比数列的前n项和以及数列中的某些项．
活动一 探究等比数列的前n项和公式
1. 公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算？
探究：等比数列的前n项和公式．
2. 推导方法：错位相减．除了错位相减法以外，还有其他方法吗？
思考1
当等比数列的公比为参数时，求等比数列{an}的前n项和要注意什么？
思考2
类比等差数列的前n项和Sn是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列的前n项和Sn
活动二 掌握等比数列的前n项和公式的应用
例1 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－4，公比q＝，求前10项和S10；
(2) 已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk.
在等比数列{an}中，有五个量a1，q，an，n，Sn，根据等比数列的通项公式与前n项和公式，通过联立方程组，可知三求二．
例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝，S6＝，求数列{an}的通项公式．
例3 在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－1，q＝－，n＝5，求Sn；
(2) 已知a1＝8，q＝，an＝，求Sn；
(3) 已知a1＝，S3＝，求q.
对于等比数列的求和公式，首先要判断q是否为1，然后用公式时要有所选择，如例3(2)中Sn＝；当Sn中n较小时，如例3(3)中，不一定要用求和公式，可直接计算S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)，这样免得讨论q是否为1.
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
1. 已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则前8项和为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S5＝a5，则S7等于( )
A. －2 B. 2 C. 14 D. －14
3. (多选)(2024苏州学业质量调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n，则下列结论中正确的是( )
A. {an}是等差数列 B. {an}是等比数列
C. Sn＝an＋n D. Sn＝nan
4. (2024盐城八校期末联考)设{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，若S1，S3，S2成等差数列，则q＝________．
5. (2024南通期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，b1＝2，b2－S2＝1，a2＋b3＝10.
(1) 数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2) 若数列{cn}满足cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
4．3.3 等比数列的前n项和(2)
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
2. 探究并掌握等比数列前n项和的简单性质．
活动一 掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，求证：数列{an}是等比数列．
思考1
等比数列前n项和的一般形式是怎样的？反过来满足这种特征的数列一定是等比数列吗？
思考2
等比数列的前n项和公式与指数函数有什么关系？
已知等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为n232n+1－2n·32n－3n2＋2n，设等差数列{an}的公差为d、等比数列{bn}的公比为q，则①a1＝－1；②d＝－6；③b1＝－8；④q＝9，其中正确的是________．(填序号)
活动二 掌握等比数列前n项和的性质
例2 一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
例3 已知在等比数列{an}中，a1＝1，ak＝8，q＝2.
(1) 求Sk，S2k，S3k的值；
(2) 计算S2k－Sk及S3k－S2k，并观察数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k有何特征．
(2024芮城中学期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则的值为( )
A. B.
C. D.
思考3
等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别是Sn，S2n，S3n(Sn≠0)，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n一定成等比数列吗？
例4 若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，求证：Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
思考4
等比数列前n项和的性质有哪些？
1. (2024扬州宝应期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝5，S6＝20，则S9的值为( )
A. 66 B. 67 C. 65 D. 63
2. 已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1的值为( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
3. (多选)(2024滨州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，a4＝24，则下列结论中正确的是( )
A. a3＝12 B. 数列{Sn＋2}为等比数列
C. Sn＝2an－3 D. ＝2n
4. (2025开封期末)已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn，若＝，则n＝________．
5. (2024南京一中期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，S6＝126.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 若a＋Sn>958，求n的最小值．
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
1. 能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．
2. 通过对知识的推理与运算，提高理解与运用知识的能力．
活动一 运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模
例 阅读材料，回答下列问题：
某地区2021年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2021年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
(1) 求2022年至2024年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨)
(2) 该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？(参考数据：1.053≈1.16；1.054≈1.22；1.055≈1.28；1.056≈1.34)
为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年的维修费用增加 4万元，从第7年开始每年的维修费用较上一年上涨25%.设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An<40万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为( )
A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年
活动二 弄清单利和复利的区别，会进行相关计算
阅读材料，回答下列问题：
某人今年年初向银行申请贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
解：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)，
则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120，
化简，得
x＝
≈2 029.66(元).
故每月应还贷2 029.66元．
(1) 单利与复利的区别？
(2) 单利与复利的数学模型分别为什么？
(3) 什么叫等额还款？
(4) 在解题过程中，等式x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120中的x(1＋0.003 375)，x(1＋0.003 375)119分别表示什么意思？等式右边表示什么意思？
(5) 该题还可以按如下思路进行考虑：
设商品一次性付款的金额为a元，等额付款 n次，每次期末付款x元，期利率为r.
则第1次付款后，贷款余额为多少？
第2次付款后，贷款余额为多少？
第3次付款后，贷款余额为多少？
……
第n次付款后，贷款余额为多少？
由于第n次付款后，贷款余额为0，故有关系式：________________________.
从而可以解得x＝
1. (2024南京一中期末)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 3盏 B. 5盏 C. 7盏 D. 9盏
2. (2024泰安二中期末)某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
3. (多选)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2 000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为an万元，取lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，则下列叙述中正确的是( )
A. a1＝2 200
B. 数列{an}的递推关系是an＋1＝an×(1＋20%)
C. 数列{an－1 000}为等比数列
D. 至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
4. (2024重庆一中期末)无人机表演美轮美奂，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码．已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的a倍(a>0)，已知控制1 000台无人机需要24 300行代码，控制2 000台无人机需要32 400行代码．某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3 000台增加到5 000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织________名程序员编写新增的控制代码．
5. 某中学有在校学生2 000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒的人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．
(1) 求第n天新增病患的人数an(1≤n≤13，n∈N*)；
(2) 按有关方面规定，当天患病同学总数达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．
4．3.3 等比数列的前n项和(1)
【活动方案】
1. 当 q＝1 时， a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.
探究：略
2. 推导方法：当q＝1时，Sn＝na1.
当q≠1时，根据等比数列的定义，
可知＝＝＝…＝＝q，
所以a2＝a1q，a3＝a2q，…，an＝an－1q，
即a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)q，
所以＝q，
即＝q，所以Sn＝.
将an＝a1qn-1代入，得Sn＝，
可得Sn＝.
思考1：若等比数列的公比为参数，应用公式求其前 n 项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答．
思考2：当q≠1时，Sn＝＝－qn＋，即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn＝Aqn－A(q≠1，q≠0，A≠0)的形式，所以可把等比数列的前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
例1 (1) S10＝＝＝－8×(1－)＝－8＝－.
(2) Sk＝＝364.
例2 由题意，得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，将上面两个等式的两边分别相除，得1＋q3＝9，解得q＝2，所以a1＝，所以an＝×2n-1＝2n-2.
例3 (1) Sn＝＝－×＝－.
(2) Sn＝＝＝.
(3) 当q≠1时，S3＝＝＝，解得q＝－2；
当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝.
综上，q＝1或q＝－2.
跟踪训练 (1) 设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，
所以an＝2n－1.
(2) 设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，
所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1，
所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n-1＝.
【检测反馈】
1. B 由题意，得q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＝1，则a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝16，所以S8＝1＋16＝17.
2. B 设等比数列{an}的公比为q，显然q＝1不符合题意．由a1＝2，S5＝a5，得S4＝＝0，化简，得q＝－1，所以S7＝＝＝2.
3. ABD 对于A，B，因为Sn＝2n，所以S1＝2＝a1，S2＝4＝a1＋a2＝2＋a2，则a2＝2，同理可得，a3＝2，所以an＝2，所以{an}是首项为2，公差为d＝0的等差数列，也是首项为2，公比为q＝1的等比数列，故A，B正确；对于C，S1＝2＝a1≠a1＋1，故C错误；对于D，因为an＝2＝a1，所以Sn＝2n＝nan，故D正确．故选ABD.
4. － 由题意，得S1＋S2＝2S3，即2a1＋a2＝2(a1＋a2＋a3)，整理，得a2＋2a3＝0，所以q＝＝－.
5. (1) 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q＞0).
由得且q>0，所以q＝2，d＝1，
所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2n.
(2) 由(1)，得cn＝n＋2n，
设数列{cn}的前n项和为Tn，
则Tn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋…＋bn)
＝＋＝n2＋n＋2n+1－2.
4．3.3 等比数列的前n项和(2)
【活动方案】
例1 由题意，得Sn＋1＝an+1－1，
所以an＋1＝an+1－an＝an(a－1)，
an＝an－an-1＝an-1(a－1)，
所以＝＝a，
所以数列{an}是等比数列．
思考1：等比数列前n项和的一般形式为Sn＝A＋B·qn，但满足这种特征的数列不一定是等比数列．
思考2：①当q＝1时，Sn＝na1是关于n的正比例函数，点(n，Sn)是直线y＝a1x上的一群孤立的点．
②当q≠1时，Sn＝.记A＝，则Sn＝－Aqn＋A是一个指数式与一个常数的和．当q>0且q≠1时，y＝qn是指数函数，此时，点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．
跟踪训练 ④ 显然等比数列{bn}不是常数列，设等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和分别为An2＋Bn，C－Cqn，其中A，B，C，q为常数，Cq≠0，q≠1.因为n232n+1－2n·32n－3n2＋2n＝(－3n2＋2n)(1－9n)，即等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(An2＋Bn)·(C－Cqn)＝(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(CAn2＋CBn)(1－qn)＝(－3n2＋2n)(1－9n)，所以q＝9，CA＝－3，CB＝2，所以A，B，C的值不确定，故正确的是④.
例2 设此数列的公比为q，项数为2n，
则解得
所以此数列的公比为2，项数为8.
跟踪训练 A 根据题意，设an＝a1·qn-1＝qn-1.因为数列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，所以q＝＝2，故Sn＝21＋10＝，所以2n－1＝31，解得n＝5.
例3 (1) 由题意，得ak＝1×2k-1＝8，解得k＝4，
所以Sk＝S4＝＝15，
S2k＝S8＝＝255，
S3k＝S12＝＝4 095.
(2) S2k－Sk＝240＝15×16，
S3k－S2k＝3 840＝15×256＝15×162，
所以(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)，
即数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是首项为Sk，公比为qk的等比数列．
跟踪训练 B 设S3＝m(m≠0)，则S6＝4m.因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，且公比为＝3，所以S9－S6＝9m，S12－S9＝27m，即S9＝13m，S12＝40m，所以＝＝.
思考3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
例4 因为Sm＋n＝，Sn＝，
qn·Sm＝qn·，
所以Sn＋qn·Sm＝
＝＝
＝Sm＋n，
所以Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
思考4：已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质：
(1) Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2) 若Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)均不为0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，且公比为qk.
(3) 若{an}共有2n(n∈N*)项，则＝q；
若{an}共有(2n＋1)(n∈N*)项，则＝q.
【检测反馈】
1. C 因为S3＝5，S6＝20，所以a1＋a2＋a3＝5，a4＋a5＋a6＝15.设等比数列{an}的公比为q，则q3＝＝＝3，可得a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝45，所以S9＝S6＋(a7＋a8＋a9)＝65.
2. C 由题意，得S奇＋S偶＝4S偶，所以S偶＝S奇．设等比数列{an}的公比为q，该等比数列共有2k(k∈N*)项，则S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝S奇，所以q＝.因为a＝a1a2a3＝64，所以a2＝4，所以a1＝＝12.
3. ACD 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3＝24，解得q＝2，所以a3＝a1q2＝3×22＝12，故A正确；由Sn＝＝3×2n－3，得Sn＋2＝3×2n－1，所以S1＋2＝5，S2＋2＝3×22－1＝11，S3＋2＝3×23－1＝23，显然(S2＋2)2≠(S1＋2)(S3＋2)，所以数列{Sn＋2}不是等比数列，故B错误；因为an＝3×2n-1，所以Sn＝3×2n－3＝2an－3，故C正确；因为Sn＝3×2n－3，所以＝＝＝2n，故D正确．故选ACD.
4. 5 方法一：因为S2n＝Sn＋an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋an)＝Sn＋qnSn，所以＝1＋qn＝，即1＋＝，解得n＝5.
方法二：S2n＝，Sn＝，则＝＝1＋qn＝1＋＝，解得n＝5.
方法三：根据等比数列前n项和的性质，得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，且公比为qn，所以＝qn，所以＝，解得n＝5.
5. (1) 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝14，S6＝126，得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112，
又a1＋a2＋a3＝14，所以q3＝8，解得q＝2.
又a1(1＋q＋q2)＝14，所以a1＝2，
所以{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝2n.
(2) 由(1)知，Sn＝＝2n+1－2.
由a＋Sn>958，得22n＋2n+1－2>958，
即(2n)2＋2×2n－960>0，
整理，得(2n－30)(2n＋32)>0，
又2n>0，所以2n>30.
又n∈N*，所以n≥5，
即n的最小值为5.
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
【活动方案】
例 (1) 依题意，得从2022年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为{an}，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为{bn}，该地区n年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为Sn，
则a1＝20(1＋5%)，q＝1＋5%，b1＝6＋1.5＝7.5，d＝1.5，
故an＝20(1＋5%)n＝20×1.05n，bn＝6＋1.5n，
所以Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5n)]
＝－
＝420×1.05n－n2－n－420，
当n＝3时，S3＝420×1.053－×9－×3－420≈420×1.16－447＝40.2，
所以2022年至2024年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约40.2万吨．
(2) 由(1)，得bn>an，即6＋1.5n>×20×1.05n，
整理，得0.6＋0.15n>1.05n，n∈N*.
因为当n＝1时，0.6＋0.15n＝0.75，1.05n＝1.05，0.6＋0.15n<1.05n；
当n＝2时，0.6＋0.15n＝0.9，1.05n＝1.102 5，0.6＋0.15n<1.05n；
当n＝3时，0.6＋0.15n＝1.05，1.05n≈1.16，
0．6＋0.15n<1.05n；
当n＝4时，0.6＋0.15n＝1.2，1.05n≈1.22，
0．6＋0.15n<1.05n；
当n＝5时，0.6＋0.15n＝1.35，1.05n≈1.28，
0．6＋0.15n>1.05n，
所以该地区在第5年，即2026年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.
跟踪训练 C 设前n年的总维修费用为Sn，a1＝20，a6＝20＋5×4＝40，则S6＝＝180，A6＝＝30<40，即前6年可继续使用．当n≥7时，＝1＋25%＝，所以a7＝a6＝50，an＝a7·()n-7＝50·()n-7，Sn－S6＝＝200[()n-6－1]，则An＝＝＝＝，计算得A8＝<40，A9＝>40，故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为2028年．
活动二：
(1) 单利是指只在原来的本金的基础上计算利息，而复利指不仅要计算本金利息，而且还要计算利息的利息，即利息可以转化为本金，同原来的本金一起作为下期计算利息的根据，俗称“利滚利”．
(2) 单利对应于一次函数模型，而复利对应于指数函数模型．
(3) 分期付款中规定每期还款相同．
(4) x(1＋0.003 375)——第119期本利和；
x(1＋0.003 375)119——第1期本利和；
200 000(1＋0.003 375)120——住房贷款的本利和．
(5) 第1次：a(1＋r)－x；
第2次：[a(1＋r)－x](1＋r)－x＝a(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第3次：a(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第n次：a(1＋r)n－x(1＋r)n-1－…－x(1＋r)－x；
a(1＋r)n－x(1＋r)n-1－…－x(1＋r)－x＝0；
x＝.
【检测反馈】
1. A 设塔顶共有灯a1盏，根据题意，各层灯数构成以a1为首项，2为公比的等比数列{an}，所以S7＝＝127a1＝381，解得a1＝3.
2. C 由题意，得a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，所以a＝.
3. ACD 由题意，得经过1年之后，该项目的资金为a1＝2 000×(1＋20%)－200＝2 200(万元)，故A正确；an＋1＝an×(1＋20%)－200＝1.2an－200，故B不正确；因为an＋1＝1.2an－200，所以an＋1－1 000＝1.2(an－1 000)，即数列{an－1 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列，故C正确；an－1 000＝1 200×1.2n-1＝1 000×1.2n，即an＝1 000(1.2n＋1)，令an＝1 000(1.2n＋1)≥4 000，则n≥log1.23＝≈6，故至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)，故D正确．故选ACD.
4. 6 方法一：设控制第一台无人机需要x行代码，显然a≠1，由题意，得解得a1 000＝，所以将表演规模从3 000台增加到5 000台，需要增加的代码行数为－＝×[(1＋a1 000＋a2 000＋a3 000＋a4 000)－(1＋a1 000＋a2 000)]＝×(a3 000＋a4 000)＝24 300×[＋]＝1 200.又≈5.45，所以该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码．
方法二：设控制第n台无人机需要的代码行数为an，由题意，得{an}是公比为a的等比数列，则S1 000，S2 000－S1 000，S3 000－S2 000，S4 000－S3 000，S5 000－S4 000仍然成等比数列．由已知，得S1 000＝24 300，S2 000－S1 000＝8 100，＝，所以S3 000－S2 000＝2 700，S4 000－S3 000＝900，S5 000－S4 000＝300，所以表演规模从3 000台增加到5 000台，需要编写控制代码行数为900＋300＝1 200.又≈5.45，所以该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码．
5. (1) 当1≤n≤7，n∈N*时，因为a1＝10，公差为9，所以an＝10＋(n－1)·9＝9n＋1；
当8≤n≤13，n∈N*时，因为a7＝64，公比为，
所以an＝a7·()n-7＝()n-13＝213-n，
所以an＝n∈N*.
(2) 设Sn为第n天患病总人数，则当2≤n≤7时，Sn－Sn－1＝an>0；
当8≤n≤13时，Sn－Sn－1＝an－10＝213-n－10.
令213-n－10≥0，得n≤9，
(Sn)max＝S9＝(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋a9－10×2＝＋a8＋a9－20＝＋25＋24－20＝287<2 000×15%＝300，
所以该学校没有停课的必要．