5.2.1　基本初等函数的导数 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

5.2.1　基本初等函数的导数
1. 能根据定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3, y＝，y＝ 的导数．
2. 掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．
活动一 函数y＝xn的求导公式的推导
1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的过程．
思考1
f′(x0)与f′(x)相同吗？
2. 探求函数y＝xn的求导公式．
问题1：求函数y＝f(x)＝C(C为常数)的导数．
问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：
①f(x)＝kx＋b(k，b为常数); ②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.
问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？
(C)′＝________(C为常数)，
(xn)′＝________(n为常数).
活动二　掌握函数y＝(xn)′的导数公式的应用　
例1　求下列函数的导数：
(1) y＝x12；(2) y＝；(3) y＝.
例2　设曲线y＝xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. 　　　　B.
C. D. 1
活动三　掌握基本初等函数的求导公式　
3. 求导公式：
(1) (xα)′＝________(α为常数)；
(2) (ax)′＝________(a>0，且a≠1)；
(3) (logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)；
(4) (ex)′＝________；
(5) (ln x)′＝________；
(6) (sin x)′＝________；
(7) (cos x)′＝________．
例3　求函数在下列各点处的导数．
(1) y＝cos x，x＝； (2) y＝ex，x＝3；
(3) y＝，x＝8; (4) y＝log3x，x＝2.
活动四　利用求导公式解决问题　
例4　(1) 求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2) (2024湖州期中)已知直线y＝kx与函数f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为________，切点的坐标为________．
思考2
如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？
　(2024盐城五校期末联考)若直线y＝kx＋1是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则k的值为(　　)
A. B. e2
C. 2 D.
　求曲线y＝x3过点(1，1)的切线方程．
　求过曲线f(x)＝cos x上的一点P(，)，且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
1. 函数y＝x-1的导函数是(　　)
A. y′＝－x-1 B. y′＝－x-2 C. y′＝x-2 D. y′＝x-1
2. (2024南京六校联合期末调研)曲线y＝2ln x在点(e，2)处的切线方程为(　　)
A. y＝ex－2 B. y＝x＋1
C. y＝ex－e2＋2 D. y＝x
3. (多选)(2024海门期末)下列导数运算中，正确的是(　　)
A. ′＝0 B. ′＝－
C. (x5)′＝5x4 D. (2x)′＝x2x-1
4. (2024北京期中)已知曲线y＝x2的一条切线的倾斜角为，则切点的横坐标为________．
5. (2024北京延庆期末)求满足下列条件的直线l的方程．
(1) 直线l为曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线；
(2) 直线l的斜率为e且与曲线y＝ex相切；
(3) 直线l过原点且与曲线y＝ln x相切．
5.2.1　基本初等函数的导数
【活动方案】
1. 导数的定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).
求导数的过程：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率＝；
③令Δx→0，可得→A，则常数A即为函数f(x)在x＝x0处的导数，通常也可表示为 ＝A.
思考1：不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f(x)在x＝x0处的导数的值．
2. 问题1：常数函数的导数是0.
问题2：①因为＝＝k，
所以 ＝k，故f′(x)＝k.
②因为＝＝2x＋Δx，
所以 ＝2x，故f′(x)＝2x.
③因为＝＝3x2＋3x(Δx)＋(Δx)2，
所以 ＝3x2，故f′(x)＝3x2.
④因为＝＝－，
所以 ＝－，故f′(x)＝－.
⑤因为＝＝，
所以 ＝，故f′(x)＝.
问题3：0　nxn-1
例1　(1) y′＝(x12)′＝12x11.
(2) y′＝()′＝(x-4)′＝－4x-5＝－.
(3) y′＝()′＝(x)′＝x－.
例2　B　对y＝xn+1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝.
3. (1) αxα-1　(2) ax ln a　(3) logae　　(4) ex
(5) 　(6) cos x　(7) －sin x
例3　(1) 因为y′＝(cos x)′＝－sin x，
所以y′|x＝＝－sin ＝－.
(2) 因为y′＝(ex)′＝ex，所以y′|x＝3＝e3.
(3) 因为y′＝()′＝(x)′＝x－，
所以y′|x＝8＝×8－＝.
(4) 因为y′＝(log3x)′＝，
所以y′|x＝2＝.
例4　(1) 因为y′＝()′＝x－，
所以k＝y′|x＝1＝，
所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2) e　(1，e)　设切点的坐标为(x0，y0).因为f′(x)＝ex，所以所以＝y0，解得x0＝1，代入，得k＝y0＝e1＝e，故k的值为e，切点的坐标为(1，e).
思考2：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
跟踪训练1　D　设切点的坐标为(x0，ln x0)，易知y′＝，所以k＝，所以切线的方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝x－1＋ln x0，所以－1＋ln x0＝1，即ln x0＝2，所以x0＝e2，所以k＝＝.
跟踪训练2　由题意，得y′＝3x2.
若(1，1)是切点，则切线的斜率k＝3，
故切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0；
若(1，1)不是切点，设切点为(m，m3)(m≠1)，
则切线的斜率k＝3m2＝，
解得m＝－或m＝1(舍去)，
故切点为(－，－)，k＝，
则切线方程为3x－4y＋1＝0.
综上，曲线过点(1，1)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
跟踪训练3　因为f(x)＝cos x，
所以f′(x)＝－sin x，
所以曲线f(x)＝cos x在点P(，)处的切线的斜率为f′()＝－sin ＝－，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线的方程为y－＝(x－)，
即y＝x－π＋.
【检测反馈】
1. B　由(x-1)′＝－x-1-1＝－x-2，得y′＝－x-2.
2. D　由y＝2ln x求导，得y′＝，则当x＝e时，y′＝，所以曲线y＝2ln x在点(e，2)处的切线方程为y－2＝(x－e)，即y＝x.
3. ABC　′＝0，故A正确；′＝(x-1)′＝－1·x-2＝－，故B正确；(x5)′＝5x4，故C正确；(2x)′＝2x ln 2，故D错误．故选ABC.
4. －　设切点的横坐标为x0.由y＝x2，得y′＝2x，故2x0＝tan ＝－1，解得x0＝－.
5. (1) 由f(x)＝x3，得f′(x)＝3x2.
因为切点的坐标为(1，f(1))，
所以当x＝1时，切线斜率k＝3，f(1)＝1，
所以切线的方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
(2) 由y＝ex，得y′＝ex.
因为切线的斜率为e，令y′＝ex＝e，则x＝1，y＝e，
则切点的坐标为(1，e)，
所以切线的方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
(3) 由y＝ln x，得y′＝(x>0).
设切点的坐标为(m，ln m)，切线的方程为y＝kx，
所以切线的斜率k＝，切线的方程为y＝x.
因为切点的坐标为(m，ln m)，所以ln m＝·m＝1，所以m＝e，
所以切线的方程为y＝x.