5.2.1 基本初等函数的导数 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1

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名称 5.2.1 基本初等函数的导数 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1
格式 docx
文件大小 124.1KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-03 23:23:38

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文档简介

5.2.1 基本初等函数的导数
1. 能根据定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3, y=,y= 的导数.
2. 掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.
活动一 函数y=xn的求导公式的推导
1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的过程.
思考1
f′(x0)与f′(x)相同吗?
2. 探求函数y=xn的求导公式.
问题1:求函数y=f(x)=C(C为常数)的导数.
问题2:运用导数定义,求下列几个函数的导数:
①f(x)=kx+b(k,b为常数); ②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=.
问题3:通过以上几个函数的求导过程,你有什么发现?
(C)′=________(C为常数),
(xn)′=________(n为常数).
活动二 掌握函数y=(xn)′的导数公式的应用 
例1 求下列函数的导数:
(1) y=x12;(2) y=;(3) y=.
例2 设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为(  )
A.     B.
C. D. 1
活动三 掌握基本初等函数的求导公式 
3. 求导公式:
(1) (xα)′=________(α为常数);
(2) (ax)′=________(a>0,且a≠1);
(3) (logax)′=________=________(a>0,且a≠1);
(4) (ex)′=________;
(5) (ln x)′=________;
(6) (sin x)′=________;
(7) (cos x)′=________.
例3 求函数在下列各点处的导数.
(1) y=cos x,x=; (2) y=ex,x=3;
(3) y=,x=8; (4) y=log3x,x=2.
活动四 利用求导公式解决问题 
例4 (1) 求曲线y=在点B(1,1)处的切线方程;
(2) (2024湖州期中)已知直线y=kx与函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切,则实数k的值为________,切点的坐标为________.
思考2
如何求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程?
 (2024盐城五校期末联考)若直线y=kx+1是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则k的值为(  )
A. B. e2
C. 2 D.
 求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程.
 求过曲线f(x)=cos x上的一点P(,),且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.
1. 函数y=x-1的导函数是(  )
A. y′=-x-1 B. y′=-x-2 C. y′=x-2 D. y′=x-1
2. (2024南京六校联合期末调研)曲线y=2ln x在点(e,2)处的切线方程为(  )
A. y=ex-2 B. y=x+1
C. y=ex-e2+2 D. y=x
3. (多选)(2024海门期末)下列导数运算中,正确的是(  )
A. ′=0 B. ′=-
C. (x5)′=5x4 D. (2x)′=x2x-1
4. (2024北京期中)已知曲线y=x2的一条切线的倾斜角为,则切点的横坐标为________.
5. (2024北京延庆期末)求满足下列条件的直线l的方程.
(1) 直线l为曲线f(x)=x3在点(1,f(1))处的切线;
(2) 直线l的斜率为e且与曲线y=ex相切;
(3) 直线l过原点且与曲线y=ln x相切.
5.2.1 基本初等函数的导数
【活动方案】
1. 导数的定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0).
求导数的过程:①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②求平均变化率=;
③令Δx→0,可得→A,则常数A即为函数f(x)在x=x0处的导数,通常也可表示为 =A.
思考1:不同.f′(x)是函数y=f(x)的导函数,而f′(x0)是f(x)在x=x0处的导数的值.
2. 问题1:常数函数的导数是0.
问题2:①因为==k,
所以 =k,故f′(x)=k.
②因为==2x+Δx,
所以 =2x,故f′(x)=2x.
③因为==3x2+3x(Δx)+(Δx)2,
所以 =3x2,故f′(x)=3x2.
④因为==-,
所以 =-,故f′(x)=-.
⑤因为==,
所以 =,故f′(x)=.
问题3:0 nxn-1
例1 (1) y′=(x12)′=12x11.
(2) y′=()′=(x-4)′=-4x-5=-.
(3) y′=()′=(x)′=x-.
例2 B 对y=xn+1(n∈N*)求导得y′=(n+1)xn,令x=1,得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).因为切线与x轴的交点的横坐标为xn,令y=0,得xn=,所以x1·x2·…·xn=×××…××=.
3. (1) αxα-1 (2) ax ln a (3) logae  (4) ex
(5)  (6) cos x (7) -sin x
例3 (1) 因为y′=(cos x)′=-sin x,
所以y′|x==-sin =-.
(2) 因为y′=(ex)′=ex,所以y′|x=3=e3.
(3) 因为y′=()′=(x)′=x-,
所以y′|x=8=×8-=.
(4) 因为y′=(log3x)′=,
所以y′|x=2=.
例4 (1) 因为y′=()′=x-,
所以k=y′|x=1=,
所以曲线y=在点B(1,1)处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.
(2) e (1,e) 设切点的坐标为(x0,y0).因为f′(x)=ex,所以所以=y0,解得x0=1,代入,得k=y0=e1=e,故k的值为e,切点的坐标为(1,e).
思考2:由导数的几何意义,得切线的斜率为k=f′(x0),则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
跟踪训练1 D 设切点的坐标为(x0,ln x0),易知y′=,所以k=,所以切线的方程为y-ln x0=(x-x0),即y=x-1+ln x0,所以-1+ln x0=1,即ln x0=2,所以x0=e2,所以k==.
跟踪训练2 由题意,得y′=3x2.
若(1,1)是切点,则切线的斜率k=3,
故切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0;
若(1,1)不是切点,设切点为(m,m3)(m≠1),
则切线的斜率k=3m2=,
解得m=-或m=1(舍去),
故切点为(-,-),k=,
则切线方程为3x-4y+1=0.
综上,曲线过点(1,1)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
跟踪训练3 因为f(x)=cos x,
所以f′(x)=-sin x,
所以曲线f(x)=cos x在点P(,)处的切线的斜率为f′()=-sin =-,
所以所求直线的斜率为,
所以所求直线的方程为y-=(x-),
即y=x-π+.
【检测反馈】
1. B 由(x-1)′=-x-1-1=-x-2,得y′=-x-2.
2. D 由y=2ln x求导,得y′=,则当x=e时,y′=,所以曲线y=2ln x在点(e,2)处的切线方程为y-2=(x-e),即y=x.
3. ABC ′=0,故A正确;′=(x-1)′=-1·x-2=-,故B正确;(x5)′=5x4,故C正确;(2x)′=2x ln 2,故D错误.故选ABC.
4. - 设切点的横坐标为x0.由y=x2,得y′=2x,故2x0=tan =-1,解得x0=-.
5. (1) 由f(x)=x3,得f′(x)=3x2.
因为切点的坐标为(1,f(1)),
所以当x=1时,切线斜率k=3,f(1)=1,
所以切线的方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
(2) 由y=ex,得y′=ex.
因为切线的斜率为e,令y′=ex=e,则x=1,y=e,
则切点的坐标为(1,e),
所以切线的方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
(3) 由y=ln x,得y′=(x>0).
设切点的坐标为(m,ln m),切线的方程为y=kx,
所以切线的斜率k=,切线的方程为y=x.
因为切点的坐标为(m,ln m),所以ln m=·m=1,所以m=e,
所以切线的方程为y=x.