5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1

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名称 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1
格式 docx
文件大小 81.3KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-03 23:23:54

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文档简介

5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1. 理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2. 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
活动一 复习巩固常见函数的导数公式
C′=________(C为常数);
(xα)′=________(α为常数);
(ax)′=________(a>0,且a≠1);
(logax)′=________=________(a>0,且a≠1);
(ex)′=________;
(ln x)′=________;
(sin x)′=________;
(cos x)′=________.
活动二 掌握函数的和、差、积、商的导数法则的推导过程
例1 利用定义求y=x2+x的导数.
思考1
试根据例1探求两个函数和的导数的求导法则.
思考2
试类比函数的和的求导法则探求函数的差、积、商的求导法则.
活动三 掌握函数求导法则的应用 
例2 求下列函数的导数:
(1) f(x)=x2+sin x;
(2) g(x)=x3-x2-6x+2.
例3 求下列函数的导数:
(1) f(x)=-2x3+4x2;
(2) f(x)=xex;
(3) f(x)=x sin x+cos x;
(4) f(x)=.
求解函数的导数,可先化简表达式,再利用公式去求导,从而简化运算.
活动四 掌握导数的简单应用
例4 求满足下列条件的函数f(x).
(1) f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;
(2) f(x)是二次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.
1. 若函数f(x)对于任意x有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数的解析式为(  )
A. f(x)=x4+1 B. f(x)=x4-2
C. f(x)=-4x3+3 D. f(x)=x4+2
2. (2024滨州期末)已知f′(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)=2f′(1)ln x+,则f′(1)的值为(  )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3. (多选)(2024灌云一中期末)下列求导中,正确的是(  )
A. (ln 10)′= B. ′=2x+
C. (sin x+cos x)′=cos x-sin x D. (xex)′=(x+1)ex
4. (2024芮城中学期末)已知直线y=kx-2与曲线f(x)=x-相切,则k=________.
5. 求下列函数的导数:
(1) y=ln x+;
(2) y=x-sin cos ;
(3) y=.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
【活动方案】
0 αxα-1 ax ln a logae 
ex  cos x -sin x
例1 因为==2x+Δx+1,
所以 =2x+1,即y′=2x+1.
思考1:因为(x2)′=2x,x′=1,
所以(x2+x)′=(x2)′+x′,
所以一般地,我们有两函数和的求导法则:(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
思考2:(f(x)-g(x))′=f′(x)-g′(x),
(Cf(x))′=Cf′(x)(C为常数),
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
()′=(g(x)≠0).
例2 (1) f′(x)=(x2+sin x)′=2x+cos x.
(2) g′(x)=(x3-x2-6x+2)′=3x2-9x-6.
例3 (1) f′(x)=-6x2+8x.
(2) f′(x)=ex+xex=(x+1)ex.
(3) f′(x)=sin x+x cos x-sin x=x cos x.
(4) f′(x)==-.
例4 (1) 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
则f′(x)=3ax2+2bx+c.
由f(0)=3,得d=3;由f′(0)=0,得c=0;
由f′(1)=-3,f′(2)=0,得
解得故f(x)=x3-3x2+3.
(2) 设函数f(x)=mx2+nx+t(m≠0),
则f′(x)=2mx+n.
由题意,得x2(2mx+n)-(2x-1)(mx2+nx+t)=1,则解得
故f(x)=2x2+2x+1.
【检测反馈】
1. B 因为f′(x)=4x3,可设f(x)=x4+c,则 f(1)=1+c=-1,解得c=-2,所以f(x)=x4-2.
2. A 由f(x)=2f′(1)ln x+,得f′(x)=2f′(1)-,故f′(1)=2f′(1)-1,解得f′(1)=1.
3. BCD 对于A,(ln 10)′=0,故A错误;对于B,′=2x+,故B正确;对于C,(sin x+cos x)′=cos x-sin x,故C正确;对于D,(xex)′=ex+xex=(x+1)ex,故D正确.故选BCD.
4. 2 由题意,得f′(x)=1+.设切点的横坐标为x0,则曲线f(x)=x-在x0处的切线方程为l:y-=(x-x0),将x=0,y=-2代入,得-2-=(-x0),解得x0=1,则k=1+=2.
5. (1) y′=(ln x)′+()′=-.
(2) 由题意,得y=x-sin x,
所以y′=1-cos x.
(3) y′==
=-.