5.3.2 极大值与极小值 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1

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名称 5.3.2 极大值与极小值 同步学案(含答案) 2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修1
格式 docx
文件大小 219.1KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-03 23:25:02

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文档简介

5.3.2 极大值与极小值(1)
1. 结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2. 借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
3. 能利用导数求某些函数的极值,体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系.
活动一 理解函数极值的概念,理解极值与导数的关系
1. 观察上述函数图象,回答下面的问题:
(1) 函数图象在点P的左、右两侧分别有什么变化规律?
(2) 在点P附近,哪个点的位置最高?对应的函数值哪个最大?
2. 函数极值的概念.
(1) 试根据上图给出函数极大值和极大值点的概念:
(2) 类比给出函数极小值和极小值点的概念:
(3) 极值和极值点的概念:
思考1
函数的极大值与极小值是否都唯一?极大值一定比极小值大吗?
思考2
函数的极值点能否出现在区间端点?
思考3
在函数极大值点两侧的函数图象有什么变化规律?能否从导数出发进行研究?
3. 函数的极值与导数的关系.
结合上图探求函数的极大值与导数的关系,并填写下表:
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)____0 f′(x)____0 f′(x)____0
f(x) 单调递____ 取得________ 单调递____
试类比探求极小值与导数的关系:
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)____0 f′(x)____0 f′(x)____0
f(x) 单调递____ 取得________ 单调递____
思考4
若函数f(x)在x0处取得极值,则f′(x0)=0.反过来,若f′(x0)=0,则函数f(x)一定在x0处取得极值吗?能否举例说明?
例1 已知函数y=f(x) 的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为(  )
A. 1  B. 2  C. 3  D. 4
活动二 掌握求函数极值的方法 
例2 求下列函数的极值:
(1) f(x)=x3-x2-3x;
(2) f(x)=x4-4x3+5;
(3) f(x)=.
思考5
求函数的极值的一般步骤是什么?
 求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.
 求函数f(x)=的极值.
1. (2024连云港期末)函数f(x)=x3-12x+1的极小值为(  )
A. -17 B. -15 C. 15 D. 17
2. (2024重庆一中期末)若函数f(x)=xex+ax的极值点为x=1,则a的值为(  )
A. -2e B. -e C. e D. 2e
3. (多选)(2024南京一中期末)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列结论中正确的是(  )
A. 函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零
B. 函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增
C. 当x=-2时,函数y=f(x)取得极值
D. 当x=1时,函数y=f(x)取得极值
4. (2024大连期中)函数f(x)=x++2的所有极值之和为________.
5. 求下列函数的极值:
(1) y=;
(2) y=x-2cos x;
(3) y=ex-ex.
5.3.2 极大值与极小值(2)
1. 能熟练、准确地求函数的极值.
2. 初步掌握解决与极值有关的求参、恒成立、方程根、函数图象等问题的方法.
活动一 理解函数的极值
例1 已知函数f(x)=x3-x2+ax-1.
(1) 若函数在x=-1处取得极大值,求实数a的值;
(2) 若函数f(x)在x1与x2处取得极值,其中x1<0,x2>0,求实数a的取值范围.
(1) 极值点不是点;
(2) 极值是函数的局部性质;
(3) 函数的极值不唯一;
(4) 极大值与极小值两者的大小关系不确定;
(5) 极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点;
(6) 若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即“f′(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取到极值”的必要且不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点才是函数的极值点.
活动二 掌握与极值有关的参数取值问题 
例2 已知f(x)=sin x-cos x+ax,其中a∈R.
(1) 若f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值;
(2) 若f(x)在区间[-,]上单调递增,求实数a的取值范围.
 已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1仅在x=±1处有极值,且极大值比极小值大4.求:
(1) 实数a,b的值;
(2) f(x)的极值.
已知函数的极值求参数的要领:
(1) 列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2) 验证:求解后验证根的合理性.(在点左、右两侧的导数值符号相反)
活动三 掌握与极值有关的方程的根或恒成立问题
例3 设函数f(x)=x3-12x+5,x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值;
(2) 若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.
例4 设f(x)=x·ex.
(1) 求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2) 求f(x)的单调区间与极值;
(3) 若x·ex-a=0有实数解,求实数a的取值范围.
 (2024南京一中期末)若曲线y=x3与直线y=3ax+2有3个不同的交点,则实数a的取值范围是(  )
A. (-∞,1) B. (-1,1)
C. (1,+∞) D. (2,+∞)
1. 已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处有极值0,则实数m+n的值为(  )
A. 4 B. 4或11 C. 9 D. 11
2. (2024南京六校期末联合调研)已知函数f(x)=x3+3x2+m在R上有三个零点,则实数m的取值范围是(  )
A. (-4,0) B. (-20,0) C. (0,4) D.
3. (多选)(2024滨州期末)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的部分图象如图所示,若函数g(x)=,则下列关于函数g(x)的结论中错误的是(  )
A. g(x)在区间(3,6)上单调递减
B. g(x)在区间(-3,1)上单调递增
C. 当x=1时,函数g(x)有极小值
D. 当x=-3时,函数g(x)有极小值
4. (2024茂名期中)若函数f(x)=x3+ax2+2x+1无极值,则实数a的取值范围是________.
5. 已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).
(1) 当a=2时,求函数f(x)的极值;
(2) 若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
5.3.2 极大值与极小值(1)
【活动方案】
1. (1) 函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”,即函数由单调递增变为单调递减.
(2) 点P的位置最高,f(x1)最大.
2. (1) 一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有f(x)≤f(x1),则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1称为函数y=f(x)的极大值点.
(2) 一般地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有f(x)≥f(x2),则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2称为函数y=f(x)的极小值点.
(3) 函数的极大值、极小值统称为函数的极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
思考1:不唯一,不一定.
思考2:不能
思考3:图象先上升后下降,即先单调递增后单调递减.能从导数出发研究,即左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
3. > = < 增 极大值 减
< = > 减 极小值 增
思考4:不一定,如函数y=x3,导数为y′=3x2,当x=0时,y′=0,但函数在x=0处不是极值.
例1 A 由图象,设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中c例2 (1) 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x=-1时,f(x)有极大值;
当x=3时,f(x)有极小值-9.
(2) 因为f(x)=x4-4x3+5,
所以f′(x)=4x3-12x2=4x2(x-3).
令f′(x)=4x2(x-3)=0,得x1=0,x2=3.
列表如下:
x (-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞)
f′(x) - 0 - 0 +
f(x) ↘ 不是极值 ↘ 极小值 ↗
故当x=3时函数f(x)取得极小值,且极小值为f(3)=-22;无极大值.
(3) 函数f(x)=的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.
令f′(x)==0,得x=e.
列表如下:
x (0,e) e (e,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故当x=e时函数取得极大值,且极大值为f(e)=;无极小值.
思考5:①先求导;②令导数为0,求出x的值;③列表,根据f′(x)在f′(x)=0的根左、右的函数值的符号来确定函数的极值.
跟踪训练1 由题意,得f′(x)=3x2-6x-9.
令f′(x)=0,即3x2-6x-9=0,
解得x1=-1,x2=3.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10;
当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22.
跟踪训练2 由题意,得f′(x)==,
令f′(x)=0,解得x=0或x=2.
列表如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0;
当x=2时,f(x)有极大值f(2)=.
【检测反馈】
1. B 由函数f(x)=x3-12x+1求导,得f′(x)=3x2-12.令f′(x)=3x2-12=0,得x=±2,当x<-2时,f′(x)>0,函数单调递增;当-22时,f′(x)>0,函数单调递增,所以x=2是极小值点,所以函数的极小值为f(2)=-15.
2. A 由题意,得f′(x)=(1+x)ex+a,则f′(1)=2e+a=0,解得a=-2e.当x>1时,1+x>2,ex>e,则(1+x)ex>2e,所以f′(x)>0;当03. BC 对于A,y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f′(0)>0,故A错误;对于B,当x∈(-2,2)时f′(x)≥0,且f′(1)=0,此时f(x)单调递增,故B正确;对于C,x=-2是导函数f′(x)的一个变号零点,故当x=-2时,f(x)取得极值,故C正确;对于D,x=1不是导函数f′(x)的一个变号零点,故当x=1时,f(x)不能取得极值,故D错误.故选BC.
4. 4 函数f(x)=x++2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),求导,得f′(x)=1-.由f′(x)<0,得-0,得x<-或x>,因此函数f(x)在区间(-,0),(0,)上单调递减,在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增,所以当x=-时,f(x)取得极大值f(-)=-2+2;当x=时,f(x)取得极小值f()=2+2,所以函数f(x)=x++2的所有极值之和为f(-)+f()=4.
5. (1) y′=,令y′=0,解得x=或x=-.
列表如下:
x (-∞,-) - (-,) (,+∞)
y′ - 0 + 0 -
y ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x=-时,函数有极小值-;当x=时,函数有极大值.
(2) y′=1+2sin x,令y′=0,解得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z.
当x∈(-+2kπ,-+2kπ),k∈Z时,y′<0,函数单调递减;
当x∈(-+2kπ,+2kπ),k∈Z时,y′>0,函数单调递增,则当x=-+2kπ,k∈Z时,函数取得极小值-+2kπ-,k∈Z;当x=+2kπ,k∈Z时,函数取得极大值+2kπ+,k∈Z.
(3) y′=ex-e,令y′=0,得x=1.
当x∈(-∞,1)时,y′<0,函数单调递减;
当x∈(1,+∞)时,y′>0,函数单调递增,
故当x=1时,函数有极小值e-e=0,无极大值.
5.3.2 极大值与极小值(2)
【活动方案】
例1 (1) 由题意,得f′(x)=x2-2x+a,
且f′(-1)=1+2+a=0,
解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,
经验证可知f(x)在x=-1处取得极大值,
故实数a的值为-3.
(2) 由题意,得方程x2-2x+a=0有一负一正两个根x1,x2,则x1x2=a<0,且Δ=4-4a>0,
解得a<0,故实数a的取值范围是(-∞,0).
例2 (1) f′(x)=cos x+sin x+a,
由f′(0)=0,得1+a=0,解得a=-1,
经检验,满足题意,故实数a的值为-1.
(2) 因为f(x)在区间[-,]上单调递增,
所以f′(x)≥0在区间[-,]上恒成立,
即a≥-(cos x+sin x)在区间[-,]上恒成立.
令y=-(sin x+cos x),x∈[-,],
则y=-sin (x+),x∈[-,].
因为x∈[-,],
所以x+∈[-,],
所以ymax=1,所以a≥1,
所以实数a的取值范围为[1,+∞).
跟踪训练 (1) 由题意,得f′(x)=5x4+3ax2+b.
因为当x=±1时有极值,
所以5+3a+b=0,即b=-3a-5.①
将①代入f′(x),得f′(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)[5(x2+1)+3a]=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)].
又f(x)仅在x=±1处有极值,
所以5x2+(3a+5)≠0对任意x恒成立,
即Δ=0-20(3a+5)<0,解得a>-.
又当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
所以当x=-1时取得极大值;当x=1时取得极小值,
所以f(-1)-f(1)=4,即a+b=-3.②
由①②解得a=-1,b=-2.
(2) 由(1),得a=-1,b=-2,
所以f(x)=x5-x3-2x+1,
所以极大值f(-1)=3,极小值f(1)=-1.
例3 (1) 由题意,得f′(x)=3x2-12.
令f′(x)>0,得x>2或x<-2;
令f′(x)<0,得-2故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调减区间为(-2,2),
所以当x=-2时,取得极大值f(-2)=21;
当x=2时,取得极小值f(2)=-11.
(2) 由(1)可作出函数f(x)的草图,方程f(x)=a有三个不同的实根即为y=f(x)与y=a的图象有三个交点,故实数a的取值范围为(-11,21).
例4 (1) 由题意,得f(x)=x·ex的定义域为R,
f′(x)=(1+x)·ex,
则f(1)=e,f′(1)=2e,
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0.
(2) 由题意,得f′(x)=(1+x)ex,
令f′(x)=0,得x=-1,
当x<-1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x>-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)的单调减区间是(-∞,-1),单调增区间是(-1,+∞),
所以f(x)极小值=f(-1)=-,无极大值.
(3) 由(2)可作出函数f(x)=x·ex的草图,x·ex-a=0有实数解,即y=f(x)与y=a的图象有交点,所以实数a的取值范围为[-,+∞).
跟踪训练 C 曲线y=x3与直线y=3ax+2有3个不同的交点即x3-3ax-2=0有3个不同的解.令f(x)=x3-3ax-2,则f(x)有3个零点,可得f′(x)=3x2-3a,若a≤0,f′(x)≥0,则f(x)=x3-3ax-2是单调增函数,不可能有3个零点;若a>0,由f′(x)=0,得x2=a,则x=±,当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-,)时,f′(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,-)上单调递增,在区间(-,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.要使f(x)有3个零点,则f(x)的极大值f(-)大于0,极小值f()小于0,即解得a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).
【检测反馈】
1. D 由题意,得f′(x)=3x2+6mx+n,则即解得或当时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,不符合题意,故舍去;当时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令f′(x)>0,得x<-3或x>-1;令f′(x)<0,得-32. A 方法一:令f(x)=x3+3x2+m=0,得-m=x3+3x2.设g(x)=x3+3x2,则直线y=-m与函数g(x)的图象有三个交点,g′(x)=3x2+6x,令g′(x)=0,得x=-2或x=0,列表如下:
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)
g′(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
如下图所示,由图可知,当0<-m<4,即-4方法二:因为f′(x)=3x2+6x,令f′(x)>0,得x>0或x<-2,则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增;令f′(x)<0,得-23. ABD 由g(x)=,得g′(x)=,由图可知f(x),f′(x)的分布如图所示,当30,f(x)<0,f′(x)-f(x)>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在区间(3,6)上单调递增,故A错误;当-30,所以g(x)在区间(-3,1)上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,所以x=1是g(x)的极小值点,故当x=1时,函数g(x)有极小值,故C正确;当x=-3时,f′(x)=f(x),所以g′(x)=0,由图可知当x<-3时,f′(x)>0>f(x),所以f′(x)-f(x)>0,即g′(x)>0,所以g(x)在区间(-∞,-3)上单调递增,所以当x=-3时,函数g(x)有极大值,故D错误.故选ABD.
4. [-,] 因为f(x)=x3+ax2+2x+1,所以f′(x)=x2+2ax+2.若函数f(x)无极值,则Δ=4a2-8≤0,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围是[-,].
5. (1) 当a=2时,f(x)=x2+,其中x≠0,
则f′(x)=2x-=,
令f′(x)=0,解得x=1.
列表如下:
x (-∞,0) (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - - 0 +
f(x) ↘ ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极小值为f(1)=3,无极大值.
(2) 因为函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,所以f′(x)=2x-≥0在区间[2,+∞)上恒成立,所以a≤(2x3)min=16,
故实数a的取值范围是(-∞,16].