第1章　直线与方程 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

第1章　直线与方程
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固直线的有关知识与思想方法．
活动一 建构知识网络
1. 知识结构框图
2. 直线中的相关知识
(1) 直线的倾斜角α和斜率k
①直线倾斜角的范围为________；
②直线的斜率k＝________；
③过两点P1(x1，y1)，P1(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝________；
④不重合且斜率存在的两条直线l1，l2.
l1∥l2 ________；l1⊥l2 ________．
(2) 直线的方程
①点斜式方程为______________；
②斜截式方程为______________；
③两点式方程为______________；
④截距式方程为______________；
⑤一般式方程为______________．
(3) 距离公式
①两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为________________________；
②点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为________________________；
③两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为____________．
(4) 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
①l1与l2相交 ________________；
②l1∥l2 ________________________；
③l1⊥l2 ________________．
(5) 三种常见的对称问题
①点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′________；　
②点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)；
③线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
活动二 直线的方程
例1　在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(－1，2)和C(5，4)，AB所在直线的方程为x－y＋3＝0.
(1) 求对角线BD所在直线的方程；
(2) 求AD所在直线的方程．
例2　已知直线l1过点A(2，3)，且________．
(1) 若横线上填写的是“过点B(3，－2)”，求直线l1的方程；
(2) 在①直线l1与直线l2：3x－y＋1＝0平行；②直线l1与直线l2：x＋3y－2＝0垂直；③直线l2的倾斜角为45°，且直线l1的斜率是直线l2的斜率的3倍，这三个条件中任选一个，填在横线上，求出直线l1的方程．
活动三　两直线的位置关系　
例3　已知直线l1：ax＋by＋6＝0和直线l2：(a－1)x＋y＋2＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1) 直线l1过点(－3，0)，且直线l1和l2垂直；
(2) 若直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为－3.
例4　已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4，0)，C(－1，4)，求：
(1) AC边上的高BD所在直线的方程；
(2) BC的垂直平分线EF所在直线的方程．
活动四 直线的综合应用
例5　求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．
例6　设直线l的方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0.
(1) 当m为何值时，点Q(3，4)到直线l的距离最大，最大值为多少？
(2) 若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
1. (2024常德一中月考)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为(　　)
A. －6或 B. －或1 C. －或 D. 0或
2. (2024南京五校联盟期末)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi＋1(i＝1，2，3，…，9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距AiAi＋1，BiBi＋1(i＝1，2，3，…，9)均为16m，最短拉索P1A1满足OP1＝60m，OA1＝96m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)设a为非零实数，直线l1：ax＋2ay＋1＝0，l2：(a－1)x－(a＋1)y－4＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l1∥l2，则a＝3 B. 若l1⊥l2，则a＝－3
C. 直线l1恒过点(－2，1) D. 当a∈[－1，0)∪(0，1]时，l2不经过第一象限
4. 已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x－2y＋4＝0，在直线l1上任取一点A，在直线l2上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作l1的平行线l3，则l1与l3间的距离为________．
5. 已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(2，－2)，BC边上的高所在直线的方程为x＋5y＋5＝0.
(1) 求直线BC的方程；
(2) 若________，求直线AC的方程．
在①点C在直线x－y＝0上；②BC边上的中线所在直线的方程为x＋y－12＝0，这两个条件中任选一个，补充在横线上．
第1章　直线与方程
【活动方案】
活动一　略
例1　(1) 由A(－1，2)和C(5，4)，得kAC＝＝，AC的中点M(2，3).因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，且M(2，3)为BD的中点，所以kBD＝－3，所以对角线BD所在直线的方程为y－3＝－3(x－2)，即3x＋y－9＝0.
(2) 由解得点B(，)，所以kBC＝＝－.因为AD∥BC，所以kAD＝－，所以直线AD的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋7y－13＝0.
例2　(1) 依题意，得直线l1的方程为＝，化简，得直线l1的方程为5x＋y－13＝0.
(2) 若选①：设直线l1的方程为3x－y＋λ＝0(λ≠1)，将点A(2，3)代入上式，得3×2－3＋λ＝0，解得λ＝－3，故直线l1的方程为3x－y－3＝0.
若选②：设直线l1的方程为3x－y＋λ＝0，将点 A(2，3)代入上式，得3×2－3＋λ＝0，解得λ＝－3，故直线l1的方程为3x－y－3＝0.
若选③：易知直线l2的斜率k2＝tan 45°＝1，故直线l1的斜率k1＝3k2＝3，故直线l1的方程为y－3＝3(x－2)，即3x－y－3＝0.
例3　(1) 因为直线l1和l2垂直，
所以a×(a－1)＋b×1＝0.
又直线l1过点(－3，0)，
故－3a＋6＝0，联立两式，解得a＝2，b＝－2.
故有a＝2，b＝－2.
(2) 因为直线l1和l2平行，
所以
又直线l1在y轴上的截距为－3，故
联立解得a＝2，b＝2，
故有a＝2，b＝2.
例4　(1) 由斜率公式易知kAC＝－2，
所以直线BD的斜率k＝.
又直线BD过点B(－4，0)，代入点斜式，得
直线BD的方程为x－2y＋4＝0.
(2) 因为kBC＝，所以kEF＝－.
又线段BC的中点为(－，2)，
所以EF所在直线的方程为y－2＝－(x＋)，
整理，得所求的直线方程为6x＋8y－1＝0.
例5　在直线a：2x＋y－4＝0上取一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，
则
解得点B(，－).
由解得交点D(3，－2).
由两点式方程，得直线b的方程为2x＋11y＋16＝0.
例6　(1) 根据题意，得直线l过定点P(－1，－2)，
则由点Q(3，4)到直线的距离最大，
可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即＝2为最大值．
因为kPQ＝＝，
所以直线(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，即－＝－，解得m＝.
(2) 若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，直线l方程为y＋2＝k(x＋1)，k<0，则点A(－1，0)，B(0，k－2)，
S△AOB＝|－1|·|k－2|＝(－1)(k－2)＝2＋(＋)≥2＋2＝4，当且仅当k＝－2时取等号，
所以△AOB面积的最小值为4，
此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0.
【检测反馈】
1. A　由题意，得＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或m＝.
2. D　由题意，得OA10＝OA1＋A1A10＝96＋9×16＝240m，OP10＝OP1＋P1P10＝60＋9×4＝96(m)，故B10(－240，0)，P10(0，96)，则kP10B10＝＝.
3. BD　若l1∥l2，则＝≠，解得a＝或a＝0(舍去)，故A错误；若l1⊥l2，则 a(a－1)－2a(a＋1)＝0，解得a＝－3或a＝0(舍去)，故B正确；将点(－2，1)代入直线l1：ax＋2ay＋1＝0，得－2a＋2a＋1≠0，故直线l1不过点(－2，1)，故C错误；若直线l2不经过第一象限，当－(a＋1)≠0且a－1≠0时，l2：y＝x－，则解得－14. 　过点A作AD⊥l2于点D，交l3于点E，如图所示．因为l1∥l2∥l3，且由题意得＝，所以Rt△ABD∽Rt△ACE，所以＝＝.又直线l1与直线l2间的距离AD＝＝，所以l1与l3间的距离为AE＝AD＝.
5. (1) 因为点B(2，－2)，BC边上的高所在直线的方程为x＋5y＋5＝0，
所以直线BC的斜率k＝5，
故所求的直线方程为y＋2＝5(x－2)，
即5x－y－12＝0.
(2) 若选①点C在直线x－y＝0上，
由得x＝y＝3，即点C(3，3).
此时kAC＝，则AC所在的直线方程为y＝(x＋5)，即3x－8y＋15＝0.
若选②BC边上的中线所在直线的方程为x＋y－12＝0，
由解得
即BC的中点坐标为(4，8).
设点C(x，y)，则2＋x＝8，－2＋y＝16，
所以x＝6，y＝18，
所以kAC＝，则AC所在的直线方程为y＝(x＋5)，即18x－11y＋90＝0.